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直线与圆的位置关系2


圆和直线的位置关系。
r o d l r o d l r o d l

(1)直线l 和⊙O相离 (2)直线l 和⊙O相切 (3)直线l 和⊙O相交

d>r d=r d<r

在⊙O中,经过半径OA的 外端点A作直线L⊥OA, 则圆心O到直线L的距离 OA 直线L和 是多少?______, ⊙O有什么位置关系? 相切 _________.

.O

A

L

切线判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. 几何应用: ∵OA⊥L ∴L是⊙O的切线

1.判断下列命题是否正确. (1)经过半径外端的直线是圆的切线.( × ) (2)垂直于半径的直线是圆的切线.( × ) (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线.( √ ) (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.( √ ) (5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的高为半 径的圆与底边相切.( √ )

(1)如图1,AB为直径,要使得EF是⊙O的切 线,还需添加的条件是 或 。 (2)如图2, AB为非直径弦,且∠CAE=∠B, 求证:EF为⊙O的切线。
F A E O C F A E O C B

一般情况下,要证明一条直线为圆 的切线,它过半径外端(即一点已 已知△ABC内接于⊙O, 在圆上)是已知给出时,只需证明 直线EF过点A 直线垂直于这条半径。

B

练习1 如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线 上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=300. 求证:DC是⊙O的切线.

A

.
O

C B D

方法引导 当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时,可 先连结圆心与公共点,再证明连线垂直于直线 ,这是证 明切线的一种方法.

练习2.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以 D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.

F

方法引导
若直线与圆的公共点未指明,则过圆心作直线的垂线段,然后 说明这条线段的长等于圆的半径,这是证明切线的一种方法.

1、定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的 切线。 2、数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆 的切线。 3、判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
即:若直线与圆的一个公共点已指明,则连接这点和圆心,说明 直线垂直于经过这点的半径;若直线与圆的公共点未指明,则过 圆心作直线的垂线段,然后说明这条线段的长等于圆的半径.

切线判定定理:经过半径外端且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。

将切线判定定理 反过来,如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线L是不 是一定垂直呢?
一定垂直

.

O

切线的性质定理: A 圆的切线垂直于过切点的半径

L

如图,AB是⊙O的直径,直线L1、L2 是⊙O的切线,A、B是切点,直线L1、 L2有怎样的位置关系?
A O L1 L2

B

已知如图,半径为5cm的⊙O切AC于点 B,AB=5cm,BC=5

3 cm,求∠AOC的度数.

O

A

C

B

如图,BC是⊙O的直径,P是CB延长线上一 点,PA切⊙O于A,若PA= 3 ,PB=1,求⊙O 的半径. A
C

P

B

O

3.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E 作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并 说明理由.

2.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交 过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并 说明你的理由.

1、切线和圆只有一个公共点。
2、切线和圆心的距离等于半径。

3、切线垂直于过切点的半径。
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 切线的性质3、4、5可归纳为:已知直线满足a、过 圆心,b、过切点,c、垂直于切线中任意两个,便得 到第三个结论。

3.如图,已知,AB是⊙O直径,BC⊥AB于B, ⊙O的弦AD∥OC, 求证:DC是⊙O的切线.
C D A O B

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠C=90°. 且AB=AD+BC,求证:以AB为直径的⊙O与 CD相切. A D
O E C

B

能力与拓展
1.如图所示,△ABC中,AC=BC,以BC为直 径的⊙O交AB于D,过点D作DE⊥AC于点E, 交BC的延长线于点F. 求证:(1)AD=BD; (2)DF是⊙O的切线. A D E B O C F

5.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出墙的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.

2.如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6, BC=8,以AB? 为直径的⊙O交AC于D,E是BC 的中点,连接ED并延长交BA的延长线于F. 求证:DE是⊙O的切线
C

D

E

A

O

·

B

如图,以Rt△ABC的直角边BC为直径 作半圆O,交斜边于D,OE∥AC交AB于E 求证:DE是⊙O的切线。
C

D

O

A

E

B

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