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数学三角函数公式大全


三角函数
1. ① 与 ? ( 0°≤ ? < 360°) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ) :

?? | ?

? k ? 360

?

??,k ? Z

?
? k ? 180 , k ? Z

>? ? ?



y

②终边在 x 轴上的角的集合: ?? | ? ③终边在 y 轴上的角的集合: ?? | ?

? ?

3 sin x 4 c o sx c o sx

2 sin x 1 c o sx

? k ? 180

? 90 , k ? Z
?

x
c o sx 4 sin x 2 sin x 3

④终边在坐标轴上的角的集合: ?? | ? ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: ?? | ? ⑥终边在 y
? ?x

? k ? 90 , k ? Z
? ?

? ? ?

1

? k ? 180

? 45 , k ? Z
? ?

S IN \C O S 三 角 函 数 值 大 小 关 系 图 1、 2、 3、 4表 示 第 一 、 二 、 三 、 四象限一半所在区域

轴上的角的集合: ?? | ?

? k ? 180

? 45 , k ? Z

⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ?
?

? 360 k ? ?
? ?

?

? 360 k ? 180
?

??

? 180 k ? ?
?

? 360 k ? ? ? 90

2. 角度与弧度的互换关系:360° ? 180° ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ =2 = 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°=
1 2
y

?
180

≈0.01745 (rad)

3、弧长公式: l ? | ? | ? r .

扇形面积公式: s 扇 形 ?

1 2

lr ?

|? | ? r

2

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于 原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则
cos ? ? x r

sin ? ?

y r


r y

a的 终边
P(x,y)



tan ? ?

y x



cot ? ?

x y



sec ? ?

r x

;.

csc ? ?

.

r

o

x

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

y P T

- + o x + 正切、余切
O

M

Ax

6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.

7. 三角函数的定义域: 三角函数 f ( x ) ? sinx
f (x) ? f (x) ?

定义域 ?x | x ? R ?

cosx tanx cotx secx cscx
cos ? ? tan ?
c o s? s i n? ? c o t?

?x | x ? R ?
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

f (x) ? f (x) ?

?x | x ? R 且 x ?

k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

f (x) ?

?x | x ? R 且 x ?

k? , k ? Z ?

8、同角三角函数的基本关系式: sin ?
tan ? ? cot ? ? 1
sin
2 2

csc ? ? sin ? ? 1
2 2

s e c? ? c o s? ? 1
2 2

16. 几个重要结论 :
? ?1

? ? cos ? ? 1 sec ? ? tan ? ? 1 csc ? ? cot

(1)

y

(2)

y

9、诱导公式:
把 k? 2

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
|cosx|>|sinx| x O |cosx|>|sinx| x

? ?的 三 角 函 数 化 为 ?的 三 角 函 数 , 概 括 为 :

O

“奇变偶不变,符号看象限”

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 sinx? cscx= 1 tanx=
sin x co s x

sin x + co s x= 1
2 2

2

2

co sx? secx = 1 tanx? co tx= 1

x=

co s x sin x

1 + tan x = sec x 1 + co t x= csc x
2 2

公式组二
sin( 2 k ? ? x ) ? sin x cos( 2 k ? ? x ) ? cos x tan( 2 k ? ? x ) ? tan x cot( 2 k ? ? x ) ? cot x

公式组三
sin( ? x ) ? ? sin x cos( ? x ) ? cos x tan( ? x ) ? ? tan x cot( ? x ) ? ? cot x

公式组四
sin( ? ? x ) ? ? sin x cos( ? ? x ) ? ? cos x tan( ? ? x ) ? tan x cot( ? ? x ) ? cot x

公式组五
sin( 2 ? ? x ) ? ? sin x cos( 2 ? ? x ) ? cos x tan( 2 ? ? x ) ? ? tan x cot( 2 ? ? x ) ? ? cot x

公式组六
sin( ? ? x ) ? sin x cos( ? ? x ) ? ? cos x tan( ? ? x ) ? ? tan x cot( ? ? x ) ? ? cot x

(二)角与角之间的互换 公式组一
cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

公式组二
s i n2? ? 2 s i n c o s ? ?

c o s2? ? c o s ? ? s i n ? ? 2 c o s ? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ?
2 2 2 2

t a n2? ?

2 t a n? 1? t an ?
2

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin

?
2

? ?

1 ? c o s? 2

tan( ? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

cos

?
2

? ?

1 ? cos ? 2

tan( ? ? ? ) ?

tan

?
2

? ?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

sin ? 1 ? cos ?

?

1 ? cos ? sin ?

公式组三
2 tan sin ? ? 1 ? tan

公式组四
?
2
2

公式组五
? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ?

sin ? cos ? ?

1 2 1 2 1 2

?sin ?? ?sin ?? ?cos ??

?? ?? ??

cos(

1 2

? ? ? ) ? sin ?
? ? ? ) ? cos ? ? ? ? ) ? cot ?

?
2

cos ? sin ? ? cos ? cos ? ?

sin(

1 2

1 ? tan cos ? ? 1 ? tan

2

?
2

? ? ? ? cos ?? ? ?

tan(

1 2

2

?
2

sin ? sin ? ? ?

1 2

?cos ??

? ? ? ? cos ?? ? ?
cos

??
cos(

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

? ??
2

1 2

? ? ? ) ? ? sin ?

2 tan tan ? ? 1 ? tan

?
2
2

sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2 ? ??

sin cos

? ??
2 ? ??

tan(

1 2

? ? ? ) ? ? cot ?
? ? ? ) ? cos ?

?
2

cos ? ? cos ? ? 2 cos

cos ? ? cos ? ? ? 2 sin
2

2 ? ??

sin

? ??
?

2

sin(

1 2
3

sin 15

?

? cos 75

?

?

6 ? 4

, , tan 15 ?
2

? cot 75

?

? 2?

3

,.

2

tan 75

2 ? ? cot 15 ? 2 ?

sin 75

?

? cos 15

?

?

6 ? 4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin ?? x ? ? ?

(A、 ? >0)
k? , k ? Z ?

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[ ? 1, ? 1]

R
[ ? 1, ? 1]

?x | x ? R 且 x ?

R

R
?

R
?

??

A, A ?
2?

2?

2?

?

奇函数
?
2

偶函数
[ ? 2 k ? 1 ?? , 2 k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? ?? 2 ? 2 ?

奇函数

当? 当?

? 0, ?

非奇非偶 0 , 奇函数

[?

? 2 k? ,



?k ? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?
2

? 2 k? ]

上为增函 数
[2 k? ,

上 为 增 函 数 (k ? Z )

上为增函 数 ; 单调性
[

?2 k

? 1 ?? ]

? ? ? ?? ? 2 k? ? ? 2 ( A ), ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 k? ? ? ? ? ? 2 ? (? A)? ? ? ?

?
2

? 2 k? , ? 2 k? ]

3? 2

上为减函 数 (k ? Z )

上为增函数;
? ? ? ?? ? 2 k? ? ? 2 ( A ), ? ? ? ? ? ? ? 3 2 k? ? ? ? ? ? ? 2 (? A)? ? ? ? ?

上为减函 数 k?Z ) (

上 为 减 函 数

(k ? Z )

注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地,若 y ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上递增(减) ,则 y ? ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上递减(增).


②y? ③y

sin x

与y

? cos x

的周期是 ? . (?
? 0

y

? sin( ? x ? ? ) 或 y ? cos( ? x ? ? )
x 2

)的周期 T

?

2?

?

.
x O

y ? tan

的周期为 2 ? ( T

?

? ?

? T ? 2?

,如图,翻折无效).
?
2

④y

? sin( ? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k ? ?
? k?( k ? Z

(k ? Z ) ,对称中心( k ? , 0 ) y ;
? 1 2

?sc (o

?x ? ? )



对称轴方程是 x
原点对称

) 对称中心 k ? , (

? ,0

) y ? (a ; nt

( ? x ? ? ) 的对称中心

k? 2

. ,0 )

y ? cos 2 x ? ? ? ? y ? ? cos( ? 2 x ) ? ? cos 2 x ?

tan ⑤当 tan ? · ?

? 1, ? ? ? ? k ? ?

?
2

(k ? Z )

tan ; tan ? · ?

? ? 1, ? ? ? ? k ? ?

?
2

(k ? Z )

.

⑥y

? cos x

与y

? ? ? ? sin ? x ? ? 2 k? ? 2 ? ?
1 2

是同一函数,而 y

? (? x ? ? )

是偶函数,则

y ? (? x ? ? ) ? sin( ? x ? k ? ?

? ) ? ? cos( ? x ) .

⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域, )
y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是 f ( x ) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? ? f ( x) )
f (? x) ? f ( x)

,奇函数:

奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan( x ? 义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x ) 一定有 质)


1 3

? ) 是非奇非偶.(定

f (0) ? 0

.( 0 ? x 的定义域,则无此性



⑨y

? sin x

不是周期函数; y

? sin x

为周期函数( T ? ? ) ;

y

y

x

1 /2 x

y = c o s|x |图 象

y = |c o s2 x + 1 /2 |图 象

y ? cos x

是周期函数(如图) y ;
1 2

? cos x

为周期函数( T ? ? ) ;

y ? cos 2 x ?

的周期为 ? (如图) ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: .
2

y ? f ( x ) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R

⑩y

? a cos ? ? b sin ? ?

a ?b
2

sin( ? ? ? ) ? cos ? ?

b a



a ?b
2

2

? y

.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T
? 2? |? |

,频率 f

?

1 T

?

|? | 2?

,相位 ? x ? ? ; 初相 ?

(即当 x=0 时的相位)(当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号) . , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A| <1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变, 横坐标伸长 (0<|ω |<1) 或缩短 (|ω |>1) 到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x
?

替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0) 或向右 (当 φ<0) 平行移动|φ|个单位, 得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y)

由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ) (A>0,ω >0) (x∈R)的 图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法 1.三角函数恒等变形的基本策略。 ( 1 ) 常 值 代 换 : 特 别 是 用 “ 1 ” 的 代 换 , 如 1=cos2 θ +sin2 θ =tanx?cotx=tan45°等。 ( 2 ) 项 的 分 拆 与 角 的 配 凑 。 如 分 拆 项 : sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x; 配凑角: = α +β ) α ( -β , = β -
? ? ?
2

? ? ?
2

等。

(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所 在象限由 a、b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? = 2.证明三角等式的思路和方法。
b a

确定。

(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化 为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的 单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析 例 1. 已知 tan ? ? 的值. 解: (1)
cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 1? ? sin ? 2 2
2

2

, (1) 求

cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

; (2)sin 2 ? ? sin ? . cos ? ? 2 cos 2 ?

1 ? tan ? 1? cos ? ? ? sin ? 1 ? tan ? 1? 1? cos ?
2

? ?3 ? 2 2



(2)

sin

2

? ? sin ? cos ? ? 2 cos
2

??

sin

2

? ? sin ? cos ? ? 2 cos sin
2

?

? ? cos

2

?

sin ? ? cos
2

cos ? 2 ? ?1 2 cos ?

? sin

?

sin ?

?2 ?

2?

2?2 2 ?1

?

4? 3

2

.

说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行 弦、切互化,就会使解题过程简化。 例 2.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x ) 2 的值域。 解:设 t ? sin x ? co s x ?
1 2 3 2 y ? t ? t ? 1 ? (t ? ) ? 2 4 2 sin ( x ? π 4 ) ? [ ? 2, 2 ] ,则原函数可化为

,因为 t ? [ ? 2, 2 ] ,所以
1 2

当 t ? 2 时, y m ax ? 3 ? 2 ,当 t ? ?
3 4

时, y m in ?

3 4



3 所以,函数的值域为 y ? [ , ? 2 ] 。

例 3.已知函数 f ( x ) ? 4 sin 2 x ? 2 sin 2 x ? 2, x ? R 。 (1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?
π 8

对称。

解: f ( x ) ? 4 sin 2 x ? 2 sin 2 x ? 2 ? 2 sin x ? 2(1 ? 2 sin 2 x )

? 2 s i n x 2?

2 c o s? 2 x

2

π 2 xs ? n ( 2 i 4

)

(1)所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R , 所以,当 2 x ?
π 4 ? 2 kπ ? π 2

,即 x ? kπ ?

3π 8

时, f ( x ) 最大值为 2 2 ;
π 8

(2)证明:欲证明函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 有 f (?
π 8 ? x) ? f (? π 8 π 8 π 8 π 8 ? x ) ? 2 2 sin [ 2 ( ? ? x ) ? 2 2 sin [ 2 ( ? ? x) ? f (? π 8
1 2

对称,只要证明对任意 x ? R ,

? x ) 成立, π 8 π 8 ? x) ? ? x) ? π 4 π 4 ] ? 2 2 sin ( ? ] ? 2 2 sin ( ? π 2 π 2
π 8

因为 f ( ?
f (?

? 2 x ) ? ? 2 2 co s 2 x ? 2 x ) ? ? 2 2 co s 2 x

, , 对称。

所以 f ( ?

? x ) 成立,从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?

例 4. 已知函数 y=

cos2x+

3 2

sinx?cosx+1

(x∈R),

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得 到? 解: 1) ( y= +1 = =
1 4 1 2 1 2

cos2x+

3 2

sinx? cosx+1=

1 4

(2cos2x-1)+

1 4

+

3 4

(2sinx? cosx)

cos2x+ sin(2x+

3 4

sin2x+ )+
5 4

5 4

=

1 2

(cos2x?sin

?
6

+sin2x?cos

?
6

)+

5 4

?
6

所以 y 取最大值时, 只需 2x+

?
6

=

?
2

+2kπ , (k∈Z) 即 ,
?
6

x=

?
6

+kπ , (k∈Z) 。

所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移
?
6

+kπ ,k∈Z}
?
6

,得到函数 y=sin(x+
1 2

)的图像;

(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 函数 y=sin(2x+
?
6

倍(纵坐标不变) ,得到

)的图像;
1 2

(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 函数 y=
1 2

倍(横坐标不变) ,得到

sin(2x+

?
6

)的图像;

(iv)把得到的图像向上平移 的图像。 综上得到 y=
1 2

5 4

个单位长度,得到函数 y=

1 2

sin(2x+

?
6

)+

5 4

cos2x+

3 2

sinxcosx+1 的图像。

说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数 的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降 幂后最终化成 y= a 2 ? b 2 sin (ω x+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的 二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时,
1 cos
2

x?
2

3

sin x cos x
2

1

?

3

tan x
2

y=

2 sin

2 x ? cos

+1=
x

2

2 1 ? tan

+1
x
3 4 7 4

化简得:2(y-1)tan2x- 3 tanx+2y-3=0 ∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: ∴ymax=
7 4

≤y≤

,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ +
x 3 cos x 3 ? 3 cos
2

?
6

,k∈Z}

例 5.已知函数 f ( x ) ? sin

x 3

.

(Ⅰ)将 f(x)写成 A sin( ? x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函数 f(x)的值域. 解: f ( x ) ?
1 2 sin 2x 3 ? 3 2 (1 ? cos 2x 3 ) ? 1 2 sin 2x 3 ? 3 2 cos 2x 3 ? 3 2 ? sin( 2x 3 ?

?
3

)?

3 2

(Ⅰ)由 sin(

2x 3

?

?
3

) =0



2x

?

?
3

? k ? ( k ? z )得 x ? k? z

3k ? 1 2

?

k? z

即对称中心的横坐标为 (Ⅱ)由已知 b2=ac
cos x ? ? 1 2 ?| a
2

3 3k ? 1 2

?,

?c ?b
2

2

?

a

2

? c ? ac
2

?

2 ac ? ac 2 ac 2x 3 2x 3 ?

?

1 2

, 5? 9

2 ac ? cos x ? 1, ?

2 ac 0? x ?

?
3



?
3

?

?

?
3

?

?
3

?
2

|? |

5? 9

?

?
2

|,
3 2

? sin
].

?
3

? sin(

?
3

) ? 1,

?

3 ? sin(

2x 3

?

?
3

) ?1?

3 2



即 f ( x ) 的值域为 ( 3 ,1 ? 综上所述, x ? ( 0 , ]
3

?



f ( x ) 值域为 ( 3 ,1 ?

3 2

]

.

说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数 形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行 整合的能力。

例 6.在 ? A B C 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ? A B C 的面积。 解:(1)由正弦定理及
co s C co s B ? 3a ? c b

co s C co s B

?

3a ? c b



,有

co s C co s B

?

3 sin A ? sin C sin B



即 sin B cos C ? 3 sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3 sin A cos B , 又因为 A ? B ? C ? π ,sin ( B ? C ) ? sin A , 所以 sin A ? 3 sin A cos B , 因为 sin A ? 0 , 所以 co s B ?
1 3

,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? co s 2 B ?
2 3 ac ? 32

2 2 3



(2)在 ? A B C 中,由余弦定理可得 a 2 ? c 2 ?
4 3 S ? 1 2 a c sin B ? 1 2 a sin B ? 8 2
2

,又 a ? c ,

所以有 a 2 ? 3 2, 即 a 2 ? 2 4 ,所以 ? A B C 的面积为 。

三角函数
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.集合 M={x|x= kπ π kπ ± ,k∈Z}与 N={x|x= ,k∈Z}之间的关系是 2 4 4 ( ) D.第四象限 ( )

A.M N B.N M C.M=N D.M∩N= ? 3. 若将分针拨慢十分钟, 则分针所转过的角度是 ( ) A.60° B.-60° C.30° D.-30° 4. 已 知 下 列 各 角 ( 1) 787° (2)- 957° (3)- 289° (4)1711° 其 中 在 第 一 象 限 的 , , , , 角 是 ( )

A.(1) (2) B.(2) (3) C.(1) (3) D.(2) (4) 5.设 a<0,角 α 的终边经过点 P(-3a,4a) ,那么 sinα+2cosα 的值等于 ( A. 2 5 2 B.- 5 C. 1 5 1 D.- 5 ( D.± 3 2 (



1 3 6. cos(π+α)=- , π<α<2π, sin(2π-α)等于 若 则 2 2 A.- 3 2 B. 3 2 C. 1 2



7. α 是第四象限角, π-α 是 若 则 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 8. 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2, 则这个圆心角所对的弧长是 A.2 B. 2 sin1 C.2sin1 D.sin2







1 9. 如果 sinx+cosx= , 0<x<π, 且 那么 cotx 的值是 5 4 A.- 3 4 3 B.- 或- 3 4 C.- 3 4 D.

( 4 3 或- 3 4 ( D.9



10. 若实数 x 满足 log2x=2+sinθ, 则|x+1|+|x-10|的值等于 A.2x-9 B.9-2x C.11 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.tan300° +cot765° 的值是_____________. sinα+cosα 12.若 =2,则 sinαcosα 的值是_____________. sinα-cosα 13.不等式(lg20)2cosx>1,(x∈(0,π))的解集为_____________. 1 14.若 θ 满足 cosθ>- ,则角 θ 的取值集合是_____________. 2 15.若 cos130° =a,则 tan50° =_____________. 16.已知 f(x)= 1-x 1+x -



π ,若 α∈( ,π),则 f(cosα)+f(-cosα)可化简为___________. 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)设一扇形的周长为 C(C>0),当扇形中心角为多大时,它有最大面 积?最大面积是多少?

18.(本小题满分 14 分)设 90° <α<180° ,角 α 的终边上一点为?P(x, 5 ),且 cosα= 2 x,求 sinα 与 tanα 的值. 4

m-3 4-2m π 19.(本小题满分 14 分)已知 ≤θ≤π,sinθ= ,cosθ= ,求 m 的值. 2 m+5 m+5

20.(本小题满分 15 分)已知 0° <α<45° ,且 lg(tanα)-lg(sinα)=lg(cosα)-lg(cotα)+2lg3 3 - lg2,求 cos3α-sin3α 的值. 2

7 21.(本小题满分 15 分)已知 sin(5π-α)= 2 cos( π+β)和 3 cos(-α)=- 2 cos(π+β), 2 且 0<α<π,0<β<π,求 α 和 β 的值.

三角函数
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 下列函数中, 最小正周期为 π 的偶函数是 A.y=sin2x C.y=sin2x+cos2x x B.y=cos 2 1-tan2x D.y= 1+tan2x ( )

2. 设函数 y=cos(sinx), 则 ( ) A.它的定义域是[-1,1] B.它是偶函数 C.它的值域是[-cos1,cos1] D.它不是周期函数 3.把函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两

倍,然后把图象向左平移 ( ) A.y=2sin2x π C.y=2cos(2x+ ) 4

π 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 4 B.y=-2sin2x x π D.y=2cos( + ) 2 4 ( D. 4π 3 ( ) )

π 4. 函数 y=2sin(3x- )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 4 A. π 3 B. 2π 3 C.π

5. sinα+cosα=m, 若 且- 2 ≤m<-1, α 角所在象限是 则 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.函数 y=|cotx|· sinx(0<x≤ 3π 且 x≠π)的图象是 2





cos2x 7. y= 设 , 则下列结论中正确的是 1+sinx A.y 有最大值也有最小值 C.y 有最小值但无最大值 π 8. 函数 y=sin ( -2x)的单调增区间是 4 3π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 π 3π C.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 B.y 有最大值但无最小值 D.y 既无最大值又无最小值





( π 5π B.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 3π 7π D.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 ( D.2a



1 9.已知 0≤x≤π,且- <a<0,那么函数 f(x)=cos2x-2asinx-1 的最小值是 2 A.2a+1 B.2a-1 C.-2a-1



π 10.求使函数 y=sin(2x+θ)+ 3 cos(2x+θ)为奇函数,且在[0, ]上是增函数的 θ 的一 4 个 ( A. 5π 3 值 ) B. 4π 3 C. 2π 3 D. π 3 为

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) cosx 11.函数 y= 的值域是_____________. 1+2cosx

cosx 12.函数 y= 的定义域是_____________. lg(1+tanx) 13.如果 x,y∈[0,π] ,且满足|sinx|=2cosy-2,则 x=___________,y=___________. 14.已知函数 y=2cosx,x∈[0,2π]和 y=2,则它们的图象所围成的一个封闭的平面图 形的面积是_____________ 15.函数 y=sinx+cosx+sin2x 的值域是_____________. 16.关于函数 f(x)=4sin(2x+ π )(x∈R)有下列命题: 3

①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π ②y=f(x)的表达式可改为 y=4cos(2x- ); 6 ③y=f(x)的图象关于点(- π ,0)对称; 6

π ④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6 其中正确的命题的序号是_____________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)如图为函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,试求该 函数的一个解析式.

18. (本小题满分 14 分)已知函数 y=(sinx+cosx)2+2cos2x.(x∈R) (1)当 y 取得最大值时,求自变量 x 的取值集合. (2)该函数图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= log

1 2

(sinx-cosx)

(1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调减区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.

20. (本小题满分 15 分)某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图) ,为降低成本,必 须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m, 渠深 3 米, 则水渠侧 壁的倾斜角 α 应为多少时,方能使修建的成本最低?

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其 3π π 图象关于点 M( ,0)对称,且在区间[0, ]上是单调函数,求 φ 和 ω 的值. 4 2


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