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点到直线、两平行线间的距离


点到直线的距离
2012.10.20

复习
已知平面上点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )

| P1 P2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2

2

特别
当x1 ? x2时 当y1 ? y2时

/>
| P1 P2 |?| y1 ? y2 |
| P1 P2 |?| x1 ? x2 |

如何求点到直线的距离呢?

引入 求下列点到直线的距离
(1)点A(1, 3)到直线x ? 0的距离 (2)点A(1, 3)到直线y ? ?1的距离

(3)点A( x0 , y0 )到直线l : By ? C ? 0的距离 (4)点A( x0 , y0 )到直线l : Ax ? C ? 0的距离
  那么对于任意位置的直线,如何求点到直 线的距离呢?

点到直线的距离

思考:已知点P (x0,y0)和直线 l :Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线 l 的距离d呢?

l

y

P( x0 , y0 )

d
Q

o

x

如图,P到直线l的距离,就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足.

分析 思路一、设垂足的坐标为(a, b)
那么d ? ( x0 ? a ) ? ( y0 ? b) 因为: y l ? Aa ? Bb ? C ? 0
2 2

? ? y0 ? b B ? ?x ?a A ? 0

P( x0 , y0 )

d
Q (a , b)

o

x

求出(a, b)则可以求出d !



能否在不求出Q(a, b)的情况下求d ?

分析 思路二:面积法(构造直角三角形)
| Ax0 ? By0 ? C | | PS |? l | A| S | Ax0 ? By0 ? C | | PR |? |B| A2 ? B 2 | RS |? | Ax0 ? By0 ? C | | A || B |

By0 ? C 那么:S(,y0 ) A

Ax0 ? C R(x0 ,) B

y

P( x0 , y0 )

d
Q

o

R

x

利用:d ? | RS |?| PR || PS |

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

总结

已知直线l : Ax ? By ? C ? 0, 及一点P( x0 , y0 )

那么P到l的距离:d ?
(1)那么当A ? 0或B ? 0时 l  公式成立吗? (2)那么当P点在直线上时  公式成立吗?

| Ax0 ? By0 ? C |
y

A ?B
2

2

P( x0 , y0 )

d
Q

o

x

总结

已知直线l : Ax ? By ? C ? 0, 及一点P( x0 , y0 )

那么P到l的距离:d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

例题
(1)求点P(?1, 2)到直线3 x ? 4 y ? 8 ? 0的距离。

(2)求点P(?1, 2)到直线3 x ? 2的距离。
课堂练习:课本108页练习2

例2、求经过点A(-1,-2)且到原点距离为 1的直线方程.

练习 2.已知直线l过点A(1, 2), 且到点B( ?1,1) 的距离为2,求l的方程。

例题分析
例3:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求的?ABC 面积 y 解 : 如图, 设AB边上的高为 h, 则
S ?ABC 1 ? | AB | ?h 2

A
h O

| AB |? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2

AB边上的高h就是点C到AB的距离 C
AB边所在直线的方程为 y - 3 x ?1 ? 即x ? y ? 4 ? 0 1- 3 3 ?1
? h? | ?1 ? 0 ? 4 | 1 ?1
2 2

B

x

5 ? 2

因此, S ?ABC

1 5 ? ?2 2 ? ?5 2 2

例题分析
3.已知直线 l1 : x ? 2 y - 1 ? 0      l2 : 3 x ? 6 y ? 1 ? 0  l1与l2平行吗?若平行  求它们间的距离。

y

o
Q

P
x
l1
l2

一般来说,两条平行线l1:Ax+By+C1=0与

l2: Ax+By+C2=0的距离是?

d?

C1 - C2 A ?B
2 2

课堂练习:课本109页练习

练习3、直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0之间 的距离为?

例4、过点(2,3)的直线l被两条平行直 线l1:2x-5y+9=0与l2:2x-5y-7=0所截 线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,求 直线l的方程。

小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0

的距离公式是

d=

Ax0 + By0 + C A 2 + B2

当A=0或B=0时,公式仍然成立.

2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d= C1 - C2 A 2 + B2

练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4,求a的值.
2 2、求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 2

的直线方程 .

3、求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称 的直线方程.


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