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四川省米易中学2014届高三12月月考数学(理)试题 Word版含答案


考试时间:120 分钟; 一、选择题,每小题 5 分,共 50 分。 1.复数 z ? A.第一象限

?1 ? 2i ( i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( i
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限 )

2.若集合 M ? {x | ?2 ? x ? 3}, N ? { y | y ? x2 ? 1, x ? R }, 则集合 M ? N =( A. (-2,+∞) B. (-2,3) C. ?1,3? D.R

3.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,有下列四个命题: ① 若 m ? ? ,? ? ? , 则m ? ? ; ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? , 则m ? ? ; 其中正确命题的序号是( ) A. ①③ B. ①② 4 . 等 比 数 列 {an } 满 足 an ? 0 n , ? ② 若 ? // ? , m ? ? , 则m // ? ; ④ 若 m // ? , m // ? , 则? // ?

C. ③④

D. ②③
5

1 ,? 2 ,, 3 且 a5 ? an 2?
) C. n(2n ? 1)

? 22n ( n ? 3, ) 则 当 n ?1 时 ,

l o 2g a1 ?
A. (n ? 1)
2

lo a g? 2 3

la ? ?g 2o 5
B. (n ? 1)

?
2

n? 2

( al o 2 g ? 1

2 D. n

5.在面积为 9 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则能使 ?PAB 的面积大于 3 的概率是( A.



1 3

B.

2 3

C.

1 9

D.

8 9

6.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A、B、C 分别是 ?GHI 三边的中点)得到的几何体如图 2,则该 几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为

?x ? y ? 1 ? 7.已知不等式组 ? x ? y ? ?1 表示的平面区域为 M,若直线 y=kx-3k 与平面区域 M 有公共点,则 k 的取 ?y ? 0 ?
值范围是( A. ? 0, ? 3 ) B. ? ??, ? 3

? ?

1? ?

? ?

1? ?

C. [ ? , 0]

1 3

D. ? ??, ? ? 3

? ?

1? ?

8 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 4 ?

9 ( x ? ?1) , 当 x=a 时 , f ( x) 取 得 最 小 值 , 则 在 直 角 坐 标 系 中 , 函 数 x ?1
)
y
y
2

1 x ?1 g ( x) ? ( ) 的大致图象为( a
y
3 2 1

2 1 –1

y

3 2 1

1

x
–3 –2 –1

O
–1

1

–2

–1

O
–1

1

x

O
–1

1

2

3 x –1

x O
–1 1 2 3

A

B

C

D

9.某餐厅有 A, B, C , D 四个桌子,每个桌子最多坐 8 人,现有 11 人进入餐厅,随意的坐下吃饭,已知 A 桌一定有人坐,其他桌子可能有人坐,也可能没人坐,则四个桌子坐的人数的不同的情况有多少种( A、286 B、276 C、264 D、246 10 . 已 知 函 数 f ( x) ? 1 ? x ? )

x 2 x3 x 4 x 2013 x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ? ... ? ? ? ? ... ? , g ( x) ? 1 ? x ? ,设函数 2 3 4 2013 2 3 4 2013

F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4) ,且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,则 b ? a 的最小值为
( ) A、11 B、10 C、9 D、8

第 II 卷(非选择题)
二、填空题,每小题 5 分,共 25 分。 11 . 二 项 式 ( 2 x ? 是

1 x

6

)展 开 式 中 含 x 2 项 的 系 数

. ? ? ? ? 12 . 已 知 平 面 向 量 a ? ?1, 2? , b ? ? ?2 , k ? , 若 a 与 b 共 线 , 则
? ? 3a ? b ? ________________.

13 已 知 ? , ? ? ?

7 ?? 4 ? 3? ? ? , sin ? ? ? ? ? , 则 , ? ? , sin ?? ? ? ? ? ? 25 4? 5 ? 4 ? ?

?? ? sin ? ? ? ? 的值=________________. 4? ?
14.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的 s 值等于 .

15.函数 f ? x ? 的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 时 总有 x1 ? x 2 ,则称 f ? x ? 为单函数.例如,函数 f ? x ? ? x ? 1? x ? R ? 是单函数. 下列命题: ①函数 f ? x ? ? x ? 2 x? x ? R ? 是单函数;
2

②函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, 是单函数; ?2 ? x , x ? 2

③若 f ? x ? 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是____________ (写出所有真命题的编号). 三、解答题 16.已知等差数列 {an } 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 , {an } 的前 n 项和为 S n . (1)求 an 及 S n ; (2)令 bn ?

1 an ? 1
2

(n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

17.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程,要求初等 代数、 初等几何都要合格, 且初等数论和微积分初步至少有一门合格, 则能取得参加数学竞赛复赛的资格, 现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训,每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立,其合 格的概率均相同, (见下表) ,且每一门课程是否合格相互独立, 课 程 初等代数 错误!未找 到引用源。 初等几何 错误!未找到 引用源。 初等数论 微积分初步 错误!未找 错误! 未找到 到引用源。 引用源。

合格的概率

(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率; (2)记错误!未找到引用源。表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求错误!未找到引 用源。的分布列及期望错误!未找到引用源。. 18. (本题满分 12 分)在锐角 ?ABC 中, A、B、C 三内角所对的边分别为 a、b、c .

?? ? 1 ?? ? 且m ? n ? ? 2 设 m ? (cos A, sinA), n ? (cos A, ?sinA), a ? 7 ,
(Ⅰ)若 b ? 3 ,求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)求 b ? c 的最大值.

19.已知某公司生产品牌服装的年固定成本是 10 万元,每生产千件,须另投入 2.7 万元,设该公司年内

? x2 10.8 ? (0 ? x ? 10) ? ? 30 共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完, 每千件的销售收入为 R (x) 万元, 且 R( x) ? ? ?108 ? 1000 ( x ? 10) ? 3x 2 ? x
(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大?(注:年利润=年销售收入 年 总成本) 20.如图所示,正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互 相垂直, AB ? 2AD ? 2 ,点 E 为 AB 的中点. (1)求证: BD1 ∥平面 A1 DE ; (2)求证: D1 E ? A1 D ; (3) 在线段 AB 上是否存在点 M , 使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 理由.

? ?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明 6

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=lnx?kx+1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)?0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;
n lni n(n?1) (3)证明:? i+1< 4 (n?N*,N>1). i=2

?c ? 2

1 1 ? 3 3 ? S ? b ? c ? sinA ? ? 3 ? 2 ? sin ? 2 2 3 2 .

……………8 分

21 . 21. 1 解:(1)f ?(x)=x ?k(x>0). ………1 分 ………2 分

?①当 k?0 时,f ?(x)>0,f(x)的增区间为(0,+?);

1 1 1 1 ②当 k>0 时,由x ?k?0 得 0<x?k,由x ?k?0 得 x?k,

1 1 即当 k>0 时, f(x)的增区间为(0,k ],递减区间为[k,+?).………4 分 (2)由(1)可知:当 k?0 时,f(x)无最大值,不合题意, ………5 分 ?k>0, 1 由(1)的②知 f(x)在 x=k取得最大值. 1 1 ?f(x)?0 恒成立的条件是 f(k)=lnk?0, ………7 分 解得 k?1. 从而,所求 k 的取值范围是[1,+?). ………8 分 (3)证明:由(2)可得,当 k=1 时,f(x)=lnx?x+1<0 在(1,+?)上恒成立, 令 x=n2,得lnn2<n2?1(n>1), ………10 分 lnn n?1 即n+1< 2 . ………11 分

n(n?1) ln2 ln3 lnn 1 ? 3 + 4 +…+n+1< *1+2+…+(n?1)]= 4 , 2 从而原不等式得证. ………14 分


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