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河北省冀州中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题A 文


河北冀州中学 2015—2016 学年度下学期期中考试 高二年级数学试题(文)
考试时间 120 分钟 试题分数 150 分 一、选择题: (本大题 共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1. 如图,在复平面内,点 M 表示复数 z,则 z 的共轭复数对应的 点 是 A.M ( B.N ) C.P D.Q 等于( )

2. f : x ? log 2 x 是集合 A 到对应的集合 B 的映射,若 A ? ? 1,2,4?,则 A. B. C. D.

3.已知随机变量 x, y 的值如 下表所示,如果 x 与 y 线性

x y

2 5

3 4

4 6
开始

? ? bx ? 相关且回归直线方程为 y
A. ?

7 ,则实数 b ? ( 2



1 1 1 C. ? D. 2 10 10 [来 2 4. 命题“存在 x ? Z ,使 x ? 2 x ? m ? 0 ”的否定( A.存在 x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m ? 0
B. B.不存在 x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m ? 0 C.对于任意 x ? Z ,都有 x 2 ? 2 x ? m ? 0 D.对于任意 x ? Z ,都有 x 2 ? 2 x ? m ? 0 5. 阅读如图所示的程序框图,若输入

1 2



输入a k ? 1, S ? 0

S ?S?

1 (2k ? 1)(2k ? 1)
k ? k ?1 S ? a?

a?

9 ,则输出的 k 值是( 19





A. 9 B. 10 C. 11

D. 12


输出k

6. A 为三角形的内角,则 sin A ?

1 3 的 ( ) 是 cos A ? 2 2

结束

A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 已知向量 a ? (? ,1), b ? (? ? 2,1) ,若 a ? b ? a ? b ,则实数 ? ? ( A.1 B.-1 C.2 D.-2 ( D.44 )

?

?

? ?

? ?

)

8. 若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a2+a10=4,则 S11 的值为 A.12 B.18 C.22 9.要得到函数 y ? sin (π-2 x) 的图象,可以将 函数 y ? sin (2 x ? A.向左平移

π ) 的图象( 3



π π π π 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 6 3 6

1

?x ? 0 ? (k 为常数) 10.实数 x, y 满足不等式组 ? y ? x ,且 x ? 3 y 的最大值为 12,则实数 k ? ( ) ?2 x ? y ? k ? 0 ?
A. 9 B. ?9 C. ?12 D. 12 11. .若实数 a >1,则函数 f ( x) ? log a ( x 2 ? 5 x ? 6) 的单调减区间为( )

5 5 A ( , ??) B (3, ??) C (??, ) D ( ??, 2) 2 2
12.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 点 A, B 为抛物线上的两个动点, 且满足 ?AFB ? 90? .过弦 AB 的
2

???? ? MN 中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则 ??? ? 的最大值为( AB
A.



2 2

B.

3 2

C. 1 第Ⅱ卷(共 90 分)

D.

3

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

3 x ,则它的离心率为_________. 4 3 14. 函数 f ( x) ? x ? 2 xf ?( ?1) ,则函数 f ?1? ? _____________.
13. 已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? 15.若圆锥的主视图(正视图)是一个边长为 2 的等边三角形,则该圆锥的表面积为_______. 16 . 已 知 P .若 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 是 以 原 点 O 为 圆 心 的 单 位 圆 上 的 两 点, ?POP 1 2 ? ? ( ? 为钝角)

π 3 sin(? ? ) ? ,则 x1 x2 ? y1 y2 的值为 4 5



三、解答题(解答应写出文 字说明、证明过 程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b,.c, 已知 sin A sin B ? sin B sin C ? cos 2 B ? 1 。 (1)求证: a, b,.c, 为 等差数列; (2)若 C ?

2? a ,求 的值。 3 b

18. (本小题满分 12 分) 为了解某单位员工的月工资水平,从该单位 500 位员工中随机抽取了 50 位进行调查,得到如下频数分布表 和频率分布直方图: 月工资 (单位:百元) 男员工数 女员工数 [15,25) 1 4 [25, 35 ) 8 2 [35,45) 10 5 [45,55) 6 4 [55,65) 4 1 [65,75) 4 1

2

频率/组距

0.03 0.02 0.01 O
15 25 35 45 55 65 75 月工资

(1) 试由上图估计该单位员工月平均工资;
35 ? 和 ? 45, 55 ? 两组所调查的女员工中随机选取 2 人,试求这 2 人月工资差不超过 1000 (2) 若从月工资在 ? 25,

元的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? ,.已知 PB ? PD ? 2, PA ?

6 .

(Ⅰ)证明: BD ? 面PAC (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知点 P ? ?1, ? 是椭圆 E:

? ?

3? 2?

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点, F1 、 F2 分别是椭圆 E 的左、右焦 a2 b2

点, O 是坐标原点, PF1 ? x 轴. (1)求椭圆 E 的方程; (2) 设 A 、 B 是 椭 圆 E 上 两 个 动 点 , PA ? PB ? ? PO (0 ? ? ? 4, ? ? 2) .求证:直线 AB 的斜率为定值; 21.. (本小题满分 12 分) 已知

? ? ( ,g ( )) f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? a sin x ? b , g ( x) 在 6 6

处的切线方程为

6 3 x ? 12 y ? 18 ? 3? ? 0 (Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)求 g ( x) 的解析式;
(III)当 x ? 【选考题】

0 时, g ( x) ? me x 恒成立,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,多答、不答按本选考题的首题进行评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 在△ABC 中, CD 是∠ACB 的平分线, △ACD 的外接圆交于 BC 于点 E, AB=2AC.

3

(Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=1,EC=2 时,求 AD 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ?

? x=4 cos ? (θ 为参数) ,直线 l 经过 定点 P(2,3) , ? y=4sin ?

倾斜角为

? . 3

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和圆的标准方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆相交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|的值. 24.本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f(x)=|x+1|+|x-3|. (Ⅰ)解不等式 f(x)≤3x+4; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥ m 的解集为 R,求实数 m 的取值范围.

4

河北冀州中学 2015—2016 学年度下学期期中考试 高二年级数学答案(文) 一、选择题: A 卷:BCBDC ABCBB B 卷:DCABB AACBA 二、填空题: DA DA

5 5 或 3 4
三、解答题:

?5

3?

?

2 10
2

17.解: (1)由已知得 sin A sin B ? sin B sin C ? 2 sin B , 因为 sin B ? 0 ,所以 sin A ? sin C ? 2 sin B ,由正弦定理 a ? c ? 2b , 所 以 为 等 差 a, b,.c, -------------------------------------------------------------------------6 分 (2)由 C ?





2? 2 , c ? 2b ? a 及余弦定理得 ?2b ? a? ? a 2 ? b 2 ? ab , 3 a 3 2 即 5ab ? 3b ? 0 ,所以 = -----------------------------------------------------------12 分 b 5
18.解 :(1) 20 ? 0.1 ? 30 ? 0.2 ? 40 ? 0.3 ? 50 ? 0.2 ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.1 ? 43 ?百元? 即该单位员工月平均工资估计为 4300 元.????????????????6 分 (2)由上表可知:月工资在 ? 25, 35? 组的有两名女工,分别记作甲和乙;月工资在 ? 45, 55? 组的有四名女工,分 别记作 A,B,C,D.现在从这 6 人中随机选 取 2 人的基本事件有如下 15 组: (甲,乙),(甲,A),(甲,B),(甲,C),(甲,D) , (乙,A),(乙,B),(乙,C),(乙,D), (A,B),(A,C),(A,D), (B,C),(B,D), (C,D) 其中月工资差不超过 1000 元,即为同一组的有(甲,乙),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C), (B,D),(C,D)共 7 组, 7 ∴所求概率为 P ? ??????????????????????????12 分 15

(1)证明:连接 BD, AC 交于 O 点

? PB ? PD ? PO ? BD ? BD ? AC 又? ABCD 是菱形 而 AC ? PO ? O ? BD ⊥面 PAC -------------------------- 5 分 (2)由(1)得: BD ? 面PAC ? PB ? PD ? AB ? D ? 2 O ? ?ABD ? ?PBD ? AO ? 3 ? PO ? 3 ,又? PA ? 6 ? PO ? AC .因为 E 为 PA 的中点 1 1 1 1 1 3 ? S ?PEC ? S ?PAC ? ? AC ? PO ? ? ? 2 3 ? 3 ? ----------------------------8 分 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 VP ? BEC ? VB ? PEC ? S ?PEC ? BO ? ? ? 1 ? --------------------------------------------12 分 3 3 2 2
20.解:(Ⅰ)∵PF1⊥x 轴, ∴F1(-1,0),c=1,F2(1,0),
5

|PF2|= 2 ? ( )?
2 2

3 2

5 2

,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b =3, ------------------------------5 分 得

2

椭圆 E 的方程为:

x2 y2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)方法一:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由 PA ? PB ? ? PO

3 3 3 (x1+1,y1- )+(x2+1,y2- )= ? (1,), 2 2 2 3 所以 x1+x2= ? -2 ? 0 ,y1+y2= (2- ? ) ? 0 ①----------------------8 分 2 2 2 2 2 又 3x1 ? 4 y1 ? 12 , 3x2 ? 4 y2 ? 12 ,
两式相减得 3(x1+x2)(x1 -x2)+ 4(y1+y2)(y1-y2)=0..② 以①式代入可得 AB 的斜率 k= 方法二:利用韦达定理 21. 解:(Ⅰ)令

y1 ? y 2 1 为定值; ----------------12 分 ? x1 ? x 2 2

? ? ∴当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 .


f ' ( x) ? e x ?1 ? 0 ,得 x ? 1 ,

f ( x) 的增区间为 (??,0) ,减区间为 (0,??) ,
无极大值。-----------------4 分

f ( x)极小 ? f (0) ? 1 ,
(Ⅱ) g 又
'

? 3 6 3 a? ( x) ? a cos x , g ' ( ) ? ,所以 a ? 1 .
6 2 12

? 1 g( ) ? ? b 6 2
?

∴6 3? 所以

g ( x) ? sin x ? 1

1 ? 12 ( ? b) ? 18 ? 3? ? 0 ,∴ b ? 1 6 2
--------------------------------8 分

(III)当 x 当m

? 0 时, sin x ? 1 ? m ex ,令 h( x) ? sin x ? 1 ? mex

? 1 时, h(0) ? 1 ? m ? 0 矛盾, ------------- ---------10 分 首先证明 sin x ? x 在 [0,??) 恒成立.

? sin x ? x , r ' ( x) ? cos x ? 1 ? 0 ,故 r ( x) 为 [0,??) 上的减函数, r ( x) ? r (0) ? 0 ,故 sin x ? x x 由(Ⅰ)可知 e ? x ? 1 故 当 m ? 1 时, h( x) ? sin x ? 1 ? mex ? x ? 1 ? mex ? e x ? mex ? (1 ? m)e x ? 0 综上 m ? 1 --------------------------------12 分
令 r ( x) 22、略

23、解: (1) x ? y ? 16 ,
2 2

1 ? x ? 2? t ? 2 ? ( t 为参数)-------------------5 分 ? ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ?

6

1 ? x ? 2? t ? 2 ? (2)把 ? 代入 x 2 ? y 2 ? 16 得: t 2 ? 2 ? 3 3 t ? 3 ? 0 ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ? 2 设 t1 , t 2 为 t ? 2 ? 3 3 t ? 3 ? 0 的 两根,所以 t1t 2 ? ?3

?

?

?

?

所以|PA|·|PB|= t1t 2 ? 3 ------------------------------------------10 分

?? 2 x ? 2 ? 24、解: (1) f ? x ? ? ?4 ?2 x ? 2 ?

x ? ?1 ? 1 ? x ? 3 ,原不等书等价于: x?3

? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 3 ?x ? 3 或? 或? ? ?? 2 x ? 2 ? 3x ? 4 ?4 ? 3x ? 4 ?2 x ? 2 ? 3x ? 4
所以不等式的解集为 x x ? 0 -----------------------------------------------------------------6 分 ( -10 分 2 )

?

?

m ? 4 ------------------------------------- -------------------------------------------------

7


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