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第十章 第五节 互斥事件有一个发生的概率


了解互斥事件的含义,会用互斥事件的概率加 法公式计算一些事件的概率.

1.互斥事件

2.对立事件

[思考探究] 互斥事件和对立事件有什么区别和联系? 提示:互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的.在 一次试验中,两个互斥的事件有可能都不发生,也可能有 一个发生;而两个对立的事件则必有一个发生,但不可能

同时发生.所以,两个事件互斥,他们未必对立;反之,
两个事件对立,它们一定互斥.也就是说,两个事件对立 是这两个事件互斥的充分而不必要条件.

1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互 斥而不对立的两个事件是 A.至少有1个白球,都是白球 B.至少有1个白球,至少有1个红球 ( )

C.恰有1个白球,恰有2个白球
D.至少有1个白球,都是红球

解析:结合互斥事件和对立事件的定义知,对于C中恰有 1个白球,即1白1红,与恰有2个白球是互斥事件,但不 是对立事件,因为还有2个都是红球的情况. 答案:C

2.甲、乙二人下棋,甲获胜的概率是40%,甲不输的概率 为90%,则甲、乙二人下成和棋的概率为 A.60% C.10% B.30% D.50% ( )

解析:甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋, 90%=40%+P,∴P=50%. 答案:D

3.一盒内放有大小相同的10个球,其中有5个红球,3个绿 球,2个白球,从中任取2个球,其中至少有1个绿球的概 率为 A. C. B. D. ( )

解析:从10个球中任取2个球有C 10 种取法,其中至少有 1个绿球记为事件A,则 表示没有绿球, 包含基本

2

事件数为C 7 ,P(
∴P(A)=1-P( 答案:B

2

)=
)=1-=

4.向三个相邻的军火库投一枚炸弹,击中第一个军火库的 概率是0.025,击中另两个军火库的概率各为0.1,并且 只要击中一个,另两个也爆炸,则军火库爆炸的概率为

________.

解析:设事件A、B、C分别表示击中第一、二、三个军 火库,易知A、B、C彼此互斥,P(A)=0.025,P(B)=P(C) =0.1. 设事件D表示军火库爆炸,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)= 0.025+0.1+0.1=0.225. ∴军火库爆炸的概率为0.225. 答案:0.225

5.某小组有男生6人,女生4人,现要选3个人当班干部,

则当选的3人中至少有1个女生的概率为________.
解析:所选3人中没有女生的概率为 有一个女生的概率为1- 答案: 则至少

应用互斥事件的概率加法公式的一般步骤是:
1.确定诸事件彼此互斥;

2.诸事件中有一个发生;
3.先求诸事件有一个发生的概率,再求其和.

从分别写有0,1,2,3,4,5的六张卡片中,任取三张, 并组成三位数,计算: (1)这个三位数是偶数的概率; (2)这个三位数能被3整除的概率;

(3)这个三位数比340小的概率.

[思路点拨]

[课堂笔记]

(1)分别记“个位是0,2,4的三位数”为事件A1,B1,

C1,它们的概率:

因为事件A1,B1,C1彼此互斥,由互斥事件的概率加法公式 知这个三位数是偶数的概率是 P(A1+B1+C1)=P(A1)+P(B1)+P(C1)

(2)分别记“由1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;0,2,4;0,1,5;
0,1,2;0,4,5排成的三位数为事件A2,B2,C2,D2,E2,F2, G2,H2,它们的概率: P(A2)=P(B2)=P(C2)=P(D2)= P(E2)=P(F2)=P(G2)=P(H2)=

因为事件A2,B2,C2,D2,E2,F2,G2,H2彼此互斥,由互

斥事件的概率加法公式知这个三位数能被3整除的概率是
P(A2+B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2)

=P(A2)+P(B2)+P(C2)+P(D2)+P(E2)+P(F2)+P(G2)+P(H2)=

(3)分别记“百位上的数是1,2,3的符合条件的三位数”为事
件A3,B3,C3,它们的概率是

P(A3)=P(B3)=

,P(C3)=

因为事件A3,B3,C3彼此互斥,由互斥事件的概率加法公 式知这个三位数比340小的概率是: P(A3+B3+C3)=P(A3)+P(B3)+P(C3)=

当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求解时, 可转化为求其对立事件的概率,当 由P(A)=1-P( )求得事件A的概率. 的概率较容易求出时,

[特别警示] 应用公式P(A)=1-P(

)时,一定要分清事件

的对立事件,不能重复或遗漏,该公式常用于“至多、至

少”型问题的探求.

书架上有10本不同的书,其中语文书4本,数

学书3本,英语书3本,现从中取3本书,求下列各事件
的概率:

(1)3本是同科目的书;
(2)3本书中至少有1本是数学书.

[思路点拨]
(1)“3本是同科目的书”分三类,可采用互斥事件的概率公

式求解;
(2)“3本书中至少有1本是数学书”的对立事件为“3本书中 没有数学书”,可采用对立事件的概率公式求解.

[课堂笔记] (1)从10本书中取3本共有C 10 种取法.若设
抽取3本都是语文书、数学书、英语书的事件分别记为A、

9

B、C,则它们的概率分别为:

又因为事件A、B、C是互斥事件,所以所求事件的概率为

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=
(2)法一:三本书中至少有一本是数学书的事件可分为:三 本都是数学书;三本中恰有两本数学书;三本中恰有一本

是数学书,它们为互斥事件,概率分别为:

所以所求事件的概率为 法二:所求事件的对立事件为“3本均不是数学书”,其概 率为 所以所求事件的概率为1-

求复杂的互斥事件的概率,一般有两种方法: 1.直接法:将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件 的概率的和,分解后的每个事件概率的计算通常为等可 能性事件的概率计算,求m与n时要正确应用排列组合公 式,其关键在于确定事件是否互斥,是否完备;

2.间接法:先求出此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1-P(A),即运用逆向思维法(正难则反).特别是 解决“至多”,“至少”型的题目,用间接法就显得比较方 便.

袋中有红、黄、白3种颜色的球各1个,从中每次 任取1个,有放回地抽取3次,求: (1)3个全是红球的概率; (2)3个颜色全相同的概率;

(3)3个颜色不全相同的概率;
(4)3个颜色全不相同的概率.

[思路点拨](1)(4)为等可能事件的概率;(2)为互斥事件的
概率;(3)可采用对立事件的概率公式求解.

[课堂笔记] (1)记“3个全是红球”为事件A.从袋中有放回 地抽取3次,每次取1个,则基本事件总数为27.其中事件 A的基本事件数为1,故事件A的概率为P(A)=

(2)“3个颜色全相同”包含这样三个基本事件:“3个全是红
球”(事件A);“3个全是黄球”(设为事件B);“3个全是白球” (设为事件C),且它们之间是或者关系,故“3个颜色全相同” 这个事件可记为A+B+C,由于事件A、B、C不可能同时发 生,因此它们是互斥事件.又由于红、黄、白球个数一样, 故不难得到 P(B)=P(C)=P(A)=

故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=

(3)3个颜色不全相同的情况较多,如有两个球同色而与另 一个球不同色,可以两个同红色或同黄色或同白色等;或 三个球颜色全不相同等.考虑起来比较麻烦,现在记“3个 颜色不全相同”为事件D,则事件 显然事件D与 ∴P(D)=1-P 是对立事件. 为“3个颜色全相同”,

(4)要使3个颜色全不相同,只可能是红、黄、白各一个, 要分三次抽取,故“3次抽到红、黄、白各一只”包含6个 基本事件,故3个颜色全不相同的概率为=

以选择题、填空题的形式考查互斥事件概率的求 法,或以解答题的形式考查互斥事件与独立事件在实 际问题中的应用,是高考对本节内容的常规考法,09 年陕西高考以解答题的形式考查了互斥事件、对立事

件在实际问题中的应用,是一道较为典型的题目.

[考题印证] (2009· 陕西高考)(12分)据统计,某食品企业在一个月 内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1. (1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率;

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,
求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.

【解】

法一:(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次

数为0”,事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”, ∴P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.┄(5分) (2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”,事件Bi 表示“第i个月被投诉的次数为1”,事件Ci表示“第i个月被 投诉的次数为2”,事件D表示“两个月内共被投诉2次”.

∴P(Ai)=0.4,P(Bi)=0.5,P(Ci)=0.1(i=1,2).(7分)
∵两个月中,一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次的 概率为P(A1C2+A2C1), 一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2), ∴P(D)=P(A1C2+A2C1)+P(B1B2) =P(A1C2)+P(A2C1)+P(B1B2), 由事件的独立性得 P(D)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.5×0.5=0.33.(12分)

法二:(1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”,事件B表

示“一个月内被投诉的次数不超过1次”.
∵P(A)=0.1,∴P(B)=1-P(A)=1-0.1=0.9.(5分)

(2)同法一.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)

[自主体验]
袋子里装有30个小球,其中彩球中有n(n≥2)个红球、 5个蓝球、10个黄球,其余为白球.若从袋子里取出3个 都是相同颜色彩球的概率是 ,求红球的个数,并求

从袋子中任取3个小球至少有1个是红球的概率.

解:任取3个球的方法数为C =4060. 设“3个球全为红球”为事件A,“3个球全为蓝球”为事件B, “3个球全为黄球”为事件C,则

3 30

∵A、B、C为互斥事件,

∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C),

∴红球的个数n≤2. 又∵n≥2,故n=2. 记“3个球中至少有1个是红球”为事件D,则 没有红球”,则P(D)=1-P 为“3个球中

1.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于 160 cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175]的概率 为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为 ( A.0.2 C.0.7 B.0.3 D.0.8 )

解析:因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高 超过175 cm的概率为1-0.2-0.5=0.3. 答案:B

2.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试, 则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为 ( A. C. B. D. )

解析: 答案:D

3.(2010· 日照模拟)以平行六面体ABCD-A′B′C′D′ 的任意三个顶点作三角形,从中随机取出两个三角 形,则这两个三角形不共面的概率p为 A. C. B. D. ( )

解析:平行六面体的八个顶点共可以确定三角形个数 =56(个),从中随机取出两个三角形的结果数为 ,平行

六面体八个顶点构成的三角形中随机取两个三角形,两三 角形共面的结果数为 1- ,所以满足条件的概率:P=

答案:A

4.一笼里有3只白兔和2只灰兔,现让它们一一出笼,假设 每一只跑出笼的概率相同,则先出笼的两只中一只是白

兔,而另一只是灰兔的概率是________.

解析:从笼里出两只兔子的情况有
只白兔一只灰兔的情况有 ∴P= 答案:

=20种情况,而一

=12种情况,

5.有80个数,其中一半是奇数,一半是偶数,若从中任取 2个数,则所取的2个数和为偶数的概率是________.

解析:事件A1:2个数都是奇数,P(A1)= 件A2:2个数都是偶数,P(A2)= 的2个数和为偶数”的概率是P(A1)+P(A2)= 答案:

;事 故事件“所取

6.从男女生共有36名的班级中,任意选出2名班委, 任何人都有相同的当选机会.如果选得性别相同 的班委的概率等于 ,求男女生相差几名.

解:设男生有x名,则女生有36-x名. 选得2名班委都是男生的概率为= 选得2名班委都是女生的概率为

以上两种选法是互斥的,由选得同性班委的概率等于

,得

解得x=15或x=21, 即男生有15名,女生有36-15=21名;或男生有21名,女生 有36-21=15名.男女生相差6名.


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