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高中奥林匹克物理竞赛 等效法


等效法
在一些物理问题中,一个过程的发展、一个状态的确定,往往是由多个因素决定的, 在这一决定中, 若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同, 则前一些因素与后一 些因素是等效的, 它们便可以互相代替, 而对过程的发展或状态的确定, 最后结果并不影响, 这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法. 等效思维的实质是在效果相同的情况下,将较为复杂

的实际问题变换为简单的熟悉问 题,以便突出主要因素,抓住它的本质,找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单 的因素代替较复杂的因素,以使问题得到简化而便于求解.

赛题精讲
例 1:如图 4—1 所示,水平面上,有两个竖直的光滑 墙壁 A 和 B,相距为 d,一个小球以初速度 v0 从两墙 之间的 O 点斜向上抛出,与 A 和 B 各发生一次弹性 碰撞后,正好落回抛出点,求小球的抛射角θ . 解析:将弹性小球在两墙之间的反弹运动,可等效为 一个完整的斜抛运动(见图).所以可用解斜抛运动的 方法求解. 由题意得: 2d ? v0 cos? ? t ? v0 cos? ?

2v0 sin? g

可解得抛射角 ? ?

1 2 gd arcsin 2 2 v0

例 2:质点由 A 向 B 做直线运动,A、B 间的距离为 L,已知质点在 A 点的速度为 v0,加速 度为 a,如果将 L 分成相等的 n 段,质点每通过 L/n 的距离加速度均增加 a/n,求质点到达 B 时的速度. 解析 从 A 到 B 的整个运动过程中,由于加速度均匀增加,故此运动是非匀变速直线 运动,而非匀变速直线运动,不能用匀变速直线运动公式求解,但若能将此运动用匀变速直 线运动等效代替,则此运动就可以求解. 因加速度随通过的距离均匀增加,则此运动中的平均加速度为

a平 ?

a 初 ? a末 2

?

a?a?

(n ? 1)a 3an ? a (3n ? 1)a n ? ? 2 2n 2n
2 2

由匀变速运动的导出公式得 2a平 L ? v B ? v0
2 v B ? v0 ?

解得

(3n ? 1)aL n

例 3 一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出, 已知爬出速度 v 的大小与距老鼠洞中心的距离 s 成 反比,当老鼠到达距老鼠洞中心距离 s1=1m 的 A 点时,速度大小为 v1 ? 20cm / s ,问当老

鼠到达距老鼠洞中心 s2=2m 的 B 点时,其速度大小 v 2 ? ? 老鼠从 A 点到达 B 点所用的时间 t=? 解析 我们知道当汽车以恒定功率行驶时,其速度 v 与牵引力 F 成反比,即,v=P/F, 由此可把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动. 由此分析,可写出 v ? 当 x ? s1时, v ? v1 将其代入上式求解,得 k ?

P P ? F kx

P P ? v1 s1 v 2 s 2
s1 1 v1 ? ? 20 ? 10 cm / s s2 2

所以老鼠到达 B 点时的速度 v 2 ?

再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加, Pt ? 代入有关量可得 Pt ?

1 2 1 2 ks2 ? ks1 2 2

1 P 2 ? (s2 ? s12 ) 2 v1 s1

由此可解得 t ?

2 (s2 ? s12 ) 2 2 ? 12 ? ? 7 .5 s 2 s1v1 2 ? 1 ? 0 .2

此题也可以用图像法、类比法求解. 例 4 如图 4—2 所示,半径为 r 的铅球内有一半径为 图 4—2 球形空腔,其表面与球面相切,铅球的质量为 M.在铅球和空腔 的中心连线上,距离铅球中心 L 处有一质量为 m 的小球(可以看成质点) ,求铅球对小球的 引力. 解析 因为铅球内部有一空腔, 不能把它等效成位于球心的质点. 我们设想在铅球的空 腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球△M,然后在对于小球 m 对称的另一侧位置放另一 个相同的小铅球△M,这样加入的两个小铅球对小球 m 的引力可以抵消,就这样将空腔铅 球变成实心铅球,而结果是等效的. 带空腔的铅球对 m 的引力等效于实心铅球与另一侧△M 对 m 的引力之和. 设空腔铅球 对 m 的引力为 F,实心铅球与△M 对 m 的引力分别为 F1、F2. 则 F=F1-F2 ① 经计算可知: ?M ?

r 的 2

1 M ,所以 7 m( M ? ?M ) 8GmM F1 ? G ? L2 7 L2 m?M GmM F2 ? G ? r r ( L ? ) 2 7( L ? ) 2 2 2

② ③

将②、③代入①式,解得空腔铅球对小球的引力为

图 4—3

F ? F1 ? F2 ? GmM [

8 ? 7 L2

1 r 7( L ? ) 2 2

]

例 5 如图 4-3 所示,小球长为 L 的光滑斜面顶端自由下滑, 滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回,若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的

4 ,求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时,小球总共通过的路程. 5
解析 小球与挡板碰撞后的速度小于碰撞前的速度,说明碰撞过程中损失能量,每次 反弹距离都不及上次大,小球一步一步接近挡板,最终停在挡板处. 我们可以分别计算每次 碰 撞 垢 上 升 的 距 离 L1 、 L2 、 … … 、 Ln , 则 小 球 总 共 通 过 的 路 程 为

s ? 2( L1 ? L2 ? ?? ? Ln ) ? L , 然后用等比数列求和公式求出结果, 但是这种解法很麻烦.
我们假设小球与挡板碰撞不损失能量,其原来损失的能量看做小球运动过程中克服阻 力做功而消耗掉,最终结果是相同的,而阻力在整个运动过程中都有,就可以利用摩擦力做 功求出路程. 设第一次碰撞前后小球的速度分别为 v 、 v1 ,碰撞后反弹的距离为 L1,则

1 2 mv ? mgL sin? 2

1 2 mv1 ? mgL1 sin? 2

L1 v12 4 4 其中 v1 ? v, 所以 ? 2 ? ( )2 5 L v 5

1 2 1 2 1 2 16 mv ? mv1 ? mv (1 ? ) 2 2 2 25 9 根据等效性有 f ( L1 ? L) ? ?Ek 解得等效摩擦力 f ? mg sin? 41
碰撞中损失的动能为 ?E k ? 通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关,所以在以后的运动过程中,等 效摩擦力都相同. 以整个运动为研究过程,有 f ? s ? mgL ? sin? 解出小球总共通过的总路程为 s ?

41 L. 9

此题也可以通过递推法求解,读者可试试. 例 6 如图 4—4 所示,用两根等长的轻质细线悬挂一个小球, 设 L 和 ? 已知,当小球垂直于纸面做简谐运动时,其周期为 . 图 4—4 解析 此题是一个双线摆,而我们知道单摆的周期,若将又线摆摆长等效为单摆摆长, 则双线摆的周期就可以求出来了. 将双线摆摆长等效为单摆摆长 L? ? L sin? ,则此双线摆的周期为

T ? ? 2? L? / g ? 2? l sin ? / g
例 8 如图 4—5 所示,由一根长为 L 的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅很小 的自由振动. 如果杆上的中点固定另一个相同的小球,使单摆变成一个异形复摆,求该复摆 的振动周期. 解析 复摆这一物理模型属于大学普通物理学的内容,中学阶段限于知识的局限,不 能直接求解. 如能进行等效操作,将其转化成中学生熟悉的单摆模型,则求解周期将变得简

图 4—5

捷易行. 设想有一摆长为 L0 的辅助单摆,与原复摆等周期,两摆分别从摆角 ? 处从静止开始摆 动,摆动到与竖直方向夹角为 ? 时,具有相同的角速度 ? ,对两摆分别应用机械能守恒定

1 1 1 ?l (cos ? ? cos? ) ? m(?l ) 2 ? m( ) 2 2 2 2 2 1 对单摆,得 mgl0 (cos ? ? cos? ) ? m(?l 0 ) 2 2 5 联立两式求解,得 l 0 ? l 6
律,于是得 mgl (cos ? ? cos? ) ? mg 故原复摆的周期为 T ? 2?

l0 5l ? 2? . g 6g

例 9 粗细均匀的 U 形管内装有某种液体,开始静止在水平 面上,如图 4—6 所示,已知:L=10cm,当此 U 形管以 4m/s2 的 加速度水平向右运动时,求两竖直管内液面的高度差.(g=10m/s2) 解析 当 U 形管向右加速运动时,可把液体当做放在等效重

图 4—6

力场中, g ? 的方向是等效重力场的竖直方向,这时两边的液面应与等效重力场的水平方向 平行,即与 g ? 方向垂直. 设 g ? 的方向与 g 的方向之间夹角为 ? ,则 tan? ?

a ? 0.4 g

由图 4—6 可知液面与水平方向的夹角为 ? , 所以, ?h ? L ? tan? ? 10 ? 0.4 ? 4cm ? 0.04m. 例 10 光滑绝缘的圆形轨道竖直放置,半径为 R,在其最低点 A 处放一质量为 m 的带 电小球,整个空间存在匀强电场,使小球受到电场力的大小为

3 mg ,方向水平向右,现 3

给小球一个水平向右的初速度 v 0 ,使小球沿轨道向上运动,若小球刚好能做完整的圆周运 动,求 v 0 . 解析 小球同时受到重力和电场力作用,这时也可以认为小球处在等效重力场中. 小球受到的等效重力为 G ? ?

(mg ) 2 ? (

3 2 3 mg ) 2 ? mg 3 3

等效重力加速度 g ? ?

G? 2 3 ? g m 3

与竖直方向的夹角 ? ? 30? , 如图 4—7 甲所示.所以 B 点为等效重力场中轨道的最高点, 图 4—7 如图 4—7,由题意,小球刚好能做完整的圆周运动,小球运动到 B 点时的速度 v B ? g ?R

在等效重力场中应用机械能守恒定律

1 2 1 2 mv 0 ? mg ?( R ? R cos? ) ? mv B 2 2
将 g ? 、 v B 分别代入上式,解得给小球的初速度为

v0 ? 2( 3 ? 1) gR
例 11 空间某一体积为 V 的区域内的平均电场强度(E)的定义为
n

E ?V ? E 2 ?V2 ? ? ? E n ?Vn E? 1 1 ? ?V1 ? ?V2 ? ? ? ?Vn

? E ?V
i ?1 i

i

?V
i ?1

n

i

如图 4—8 所示,今有一半径为 a 原来不带电的金属球,现 使它处于电量为 q 的点电荷的电场中,点电荷位于金属球外, 与球心的距离为 R,试计算金属球表面的感应电荷所产生的电 场在此球内的平均电场强度. 解析 金属球表面的感应电荷产生的球内电场,由静电平衡知识可知等于电量为 q 的 点电荷在金属球内产生的电场,其大小相等,方向相反,因此求金属球表面的感应电荷产生 的电场,相当于求点电荷 q 在金属球内产生的电场. 由平均电场强度公式得 图 4—8

E?

? E ?V
i ?1 n i

n

i

? ?V
i ?1

1 ? V

i

n ?Vi k q ?Vi Ei ?Vi ? ? Ei ?? 2 ? V V i ?1 i ?1 i ?1 ri n n

设金属球均匀带电,带电量为 q,其密度为 ? ?

q ,则有 V

E??
i ?1

n

n k1 ??Vi k?qi ? ? 2 2 ri i ?1 ri

?
i ?1

n

k? q i kq 为带电球体在 q 所在点产生的场强,因而有 E ? 2 ,方向从 O 指向 q. 2 ri R

例 11 质量为 m 的小球带电量为 Q,在场强为 E 的水平匀强电场中获得竖直向上的初 速度为 v 0 . 若忽略空气阻力和重力加速度 g 随高度的变化, 求小球在运动过程中的最小速度. 解析 若把电场力 Eq 和重力 mg 合成一个力,则小球相当于只受一个力的作用,由于 小球运动的初速度与其所受的合外力之间成一钝角, 因此可以把小球的运动看成在等效重力

G ? (即为合外力)作用下的斜抛运动,而做斜抛运动的物体在其速度方向与 G ? 垂直时的速
度为最小,也就是斜抛运动的最高点,由此可见用这种等效法可以较快求得结果. 电场力和重力的合力方向如图 4—9 所示, 由图所示的几何关系可知 tan? ?

mg Eq

小球从 O 点抛出时, 在 y 方向上做匀减速直线运动, 在 x 轴方向上做匀速直线运动. 当 在 y 轴方向上的速度为零时,小球只具有 x 轴方向上的速度,此时小球的速度为最小值,所 以

v min ? v0 cos? ?

Eqv0 (mg ) 2 ? ( Eq) 2

此题也可以用矢量三角形求极值的方法求解,读者可自行解决. 例 12 如图 4—10 所示,R1、R2、R3 为定值电阻,但阻值未 知,Rx 为电阻箱.当 Rx 为 Rx1 ? 10? 时,通过它的电流

I x1 ? 1A;当Rx为Rx 2 ? 18? 时,通过它的电流 I x 2 ? 0.6 A.
则当 I x 3 ? 0.1A 时,求电阻 Rx 3 . 解析 电源电动势 ? 、内电阻 r、电阻 R1、R2、R3 均未知, 按题目给的电路模型列式求解,显然方程数少于未知量数,于 是可采取变换电路结构的方法. 将图 4—10 所示的虚线框内电路看成新的电源,则等效电 路如图 4—10 甲所示,电源的电动势为 ? ? ,内电阻为 r ? . 根据 电学知识,新电路不改变 Rx 和 Ix 的对应关系,有 图 4—10 甲 图 4—10

? ? ? I x1 ( Rx1 ? r ?),
? ? ? I x 2 ? ( Rx 2 ? r ?),
? ? ? I x 3 ( Rx 3 ? r ?)

① ② ③

由①、②两式,得 ? ? ? 12V , r ? ? 2? , 代入③式,可得 R x 3 ? 118 ? 例 13 如图 4—11 所示的甲、乙两个电阻电路具有这样的特性:对于任意阻值的 RAB、 RBC 和 RCA,相应的电阻 Ra、Rb 和 Rc 可确定. 因此在对应点 A 和 a,B 和 b、C 和 c 的电位 是相同的,并且,流入对应点(例如 A 和 a)的电流也相同,利用这些条件

证明: Ra ?

R AB

R AB RCA ,并证明对 Rb 和 Rc 也有类似的结果,利用上面的结果求图 ? RBC ? RCA

4—11 甲中 P 和 Q 两点之间的电阻.

图 4—11 解析 图 4—11 中甲、 乙两种电路的接法分别叫三角形接法和星形接法, 只有这两种电 路任意两对应点之间的总电阻部分都相等,两个电路可以互相等效,对应点 A、a、B、b 和 C、c 将具有相同的电势. 由 Rab=RAB,Rac=RAC,Rbc=RBC,对 ab 间,有

Ra ? Rb ? (

R R ? R AB RBC 1 1 ? ) ?1 ? AB CA R AB R AC ? RBC R AB ? RBC ? RCA R R ? RBC RCA 1 1 ? ) ?1 ? AB CA RCA R AB ? RBC R AB ? RBC ? RCA R R ? RBC RCA 1 1 ? ) ?1 ? AB BC RBC R AB ? RCA R AB ? RBC ? RCA R AB RCA ? RBC ? RCA



同样,ac 间和 bc 间,也有

Ra ? Rc ? (



Rb ? Rc ? (



将①+②-③得: Ra ?

R AB

再通过①-②+③和③+②-①,并整理,就得到 Rb 和 RC 的表达式.

Rb ?

R AB

R AB RBC ? RBC ? RCA

Rc ?

R AB

RBC R AC ? RBC ? RCA

下面利用以上结果求图 4—12 乙中 P 和 Q 两点之间的电阻. 用星形接法代替三角形接 法,可得图 4—12 乙所示电路,PRQS 回路是一个平衡的惠斯登电桥,所以在 RS 之间无电 流,因此它与图 4—12 丙所示电路是等效的. 因此 PQ 之间的总电阻 RPQ 可通过这三个并联 电阻求和得到.

1 1 1 ?1 RPQ ? ( 4—? 12 甲? ) ? 4? 36 18 6

4—12 乙

4—12 丙

例 14 如图 4—13 所示,放在磁感应强度 B=0.6T 的匀强磁场中的长方形金属线框

abcd,框平面与磁感应强度方向垂直,其中 ab 和 bc 各是一段粗细均匀的电阻丝 Rab=5Ω , Rbc=3Ω , 线框其余部分电阻忽略不计.现让导体 EF 搁置在 ab、 cd 边上, 其有效长度 L=0.5m, 且与 ab 垂直,阻值 REF=1Ω ,并使其从金属框 ad 端以恒定的速度 V=10m/s 向右滑动,当 EF 滑过 ab 长的 4/5 距离时,问流过 aE 端的电流多大? 解析 EF 向右运动时,产生感应电动势 ? ,当 EF 滑过 ab 长的 为如图 4—13 甲所示的电路. 根据题设可以求出 EF 产生的感应电动势 ? ,

4 时,电路图可等效 5

? ? BLV ? (0.6 ? 0.5 ?10) ? 3V
RaE ? 4?, REb ? 1?, Rbc ? 3?
此时电源内阻为导体 EF 的电阻, r ? REF ? 1? ,则电路中的总电阻为 图 4—13

R?r?

RaE ? ( REb ? Rbc ) ? 3? RaE ? ( REb ? Rbc )

电路中的总电流为 I ?

?
R

? 1A.

图 4—13 甲

∴通过 aE 的电流为 I aE ? 0.5 A 例 15 有一薄平凹透镜,凹面半径为 0.5m,玻璃的折射 率为 1.5,且在平面上镀一层反射层,如图 4—14 所示,在此 系统的左侧主轴上放一物 S,S 距系统 1.5m,问 S 成像于何处? 解析 本题可等效为物点 S 先经薄平凹透镜成像,其像为 平面镜的物,平面镜对物成像又为薄平凹透镜成像的物,根据 成像规律,逐次求出最终像的位置. 根据以上分析,首先考虑物 S 经平凹透镜的成像 S ? , 根据公式 图 4—14

1 1 1 ? ? ? P f1 P1

其中

1 1 1 1 1 ? (n ? 1)( ? ) ? (1.5 ? 1)( ? ) ? ?1(m ?1 ) f1 R R2 ? 0.5 ?
1 1 ? ? ?1 ? 1 .5 P1 ? P1 ? ?0.6m

故有

成像在左侧,为虚像,该虚像再经平凹透镜成像 S ?? 后,其像距为

? ? P2 ? ? P2 ? ? P1 ? 0.6m
成像在右侧,为虚像,该虚像再经平凹透镜成像 S ??? ,有

1 1 1 1 ? ? ? , 其中P3 ? P2 ? 0.6m, ? ?1(m ?1 ) P3 P ? f f 3


1 1 ? ? ?1 ? 0.6 P3

? P3 ? ?0.375 m 成虚像于系统右侧 0.375m 处

此题还可用假设法求解.


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