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直线的参数方程,圆锥曲线的参数方程及其应用等-高中数学


直线的参数方程, 直线的参数方程,圆锥曲线的参数方程及其应用
一. 教学内容: 直线的参数方程,圆锥曲线的参数方程及其应用,极坐标系,曲线的极坐标方程及其应用. [基本知识点] (1)直线的参数方程 <1>标准形式:
过点 M 0 ( x 0 , y 0 ), 且倾角为 α的直线的参数方程的标 准形式为 :

x = x 0 + t cos α ( t为参数) y = y 0 + t sin α

<2>一般形式
x = x 0 + at ' ( t ' 为参数且 a 2 + b 2 ≠ 1) y = y 0 + bt '

(2)参数 t 的几何意义及其应用 标准形式:
x = x 0 + t cos α ( t为参数)中, t的几何意义是表示定点 M 0 ( x 0 , y 0 ) y = y 0 + t sin α

到直线上动点M (x, y)的有向线段M 0 M的数量
即M 0 M = t, 故 :

<1>直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2,则弦长|AB|=|t1-t2| <2>定点 M0 是弦 M1,M2 的中点 t1+t2=0
tM = <3>设弦 M1,M2 中点为 M;则点 M 相应的参数 t1 + t 2 2

(3)圆锥曲线的参数方程
x = r cos α 圆x 2 + y 2 = r 2的参数方程为 (α为参数) y = r sin α <1>

其中 α的几何意义动半径对于 x轴正方向的旋转角
x = a cos α x 2 y2 椭圆 2 + 2 = 1的参数方程为 (α为参数, 其几何意义为离心 b y = b sin α <2> a

角).

x = asecα 双曲线的参数方程为 (α为参数) y = btgα <3>

<4>抛物线 y2=2px 的参数方程为
x = 2pt 2 (t为参数) y = 2pt

(4)极坐标系的基本概念. 在平面内任取一个定点 O,叫做极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和 角度的正方向(通常取逆时针方向),对于平面内任一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长度,θ 表示 从 Ox 到 OM 的角度,ρ 叫做 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角,有序数对(ρ,θ)就叫做点 M 的 极坐标系,这样建立的坐标叫做极坐标系. (5)极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件: 极点与直角坐标系原点重合; 极轴与直角坐标系 Ox 轴重合; 两坐标系中的长度单位统一. <2>互化公式
x = ρ cosθ (1) y = ρ sin θ x 2 + y 2 = ρ 2 ( 2) y tgθ = ( x ≠ 0) x

(6)曲线的极坐标方程 <1>定义:在极坐标系中,曲线可以用含有 ρ,θ 这两个变数的方程来表示,这种方程叫做曲 线的极坐标方程. <2>直线与圆的极坐标方程. 过极点的直线方程 θ=θ0(ρ∈R) 过点 A(a,0),倾角为 α 的直线方程 ρ sin(α θ ) = a sin α 以极点为圆心,半径为 r 的圆的方程 ρ=r 圆心在 C(a,0),半径为 a 的圆的方程 ρ=2acosθ 圆心在(ρ0,θ0),半径为 r 的圆的方程

ρ 2 2 ρρ 0 cos(θ θ 0 ) + ρ 0 2 = r 2
【例题选讲】 例题选讲】 例1
x 2 y2 = 1的右焦点F作倾角为45 的直线l与双曲线交于 A, B两点 9 16 ,M 是 AB 的中点,求|MF|. 过双曲线

解:方法一 依题意 a=3,b=4,c=5 所以 F(5,0),又直线 l 的倾斜角为 45 度 所以 k=1

∴ l的方程为y = x 5
联立 x 2 y2 = 1和y = x 5 9 16

得 : 7 x 2 + 90x 369 = 0
∴ xM = yM x1 + x 2 45 = 2 7 80 = xM 5 = 7
60 2 7

∴| MF |=

解法 2:依题意 l 的参数方程为:
2 t x = 5 + 2 2 2 代入 x y = 1 9 16 2 y= t 2

得7 t 2 + 160 2 t 512 = 0
∴| MF |= | t1 + t 2 | 80 = 2 2 7

小结: 方法二:用参数方程求解,且灵活运用参数 t 的几何意义,使求解过程变得简洁,同学们可 以多尝试. 例2

x = m + 2 cos 在直角坐标系中, 椭圆 y = 3 sin
(m 为常数, 是参数) ,和抛物线
3 2 x = + t 2 ( t为参数) y = 6t

有交点,试求 m 的取值范围.

解:解法 1 化椭圆方程为普通方程.
3( x m) 2 + 4 y 2 12 = 0 (1)

抛物线方程化为普通方程为 y2=6x-9 (2) 2 由(1)(2)联立消去 y 得 x +2(4-m)x+m2-16=0 因为椭圆与抛物线有交点 所以方程(3)的判别式:
= 4(4 m) 2 4(m 2 16) ≥ 0

(3)

解得m ≤ 4
3 3 3 又y 2 = 6( x ), 顶点坐标为( ,0), 开口向右, 故x ≥ 2 2 2

由(3)得x = (4 m) ± 2 8 2m ∴ m 4 + 2 8 2m ≥
整理得 2 8 - 2m ≥

3 2

11 m 2

11 m >0 2 121 ∴ 32 8m ≥ 11m + m 2 4 ∵
解得 1 7 ≤m≤ 2 2
3 时, m值不存在, 2 1 7 ≤m≤ 2 2



m 4 2 8 2m ≥

综上可知, m的取值范围为

解法 2: 根据题意,椭圆与抛物线有交点,而抛物线化为普通方程为 y2=6x-9 又椭圆的方程为:

(1)

x = m + 2 cosθ (θ为参数) y = 3 sin θ

(2)

把(2)代入(1)得3sin 2θ = 6m + 12 cosθ 9
1 整理得 : m = (cosθ + 2) 2 + 4 2 ∴ 当 cosθ = 1时, m = 9 1 + 4 = 为最小值 2 2

1 7 + 4 = 为最大值 2 2 1 7 ∴ m的取值范围为 ≤ m ≤ 2 2
当 cosθ = 1时, m =

例 3 极坐标系中,圆 ρ=4cosθ+3sinθ 的圆心坐标是( 5 3 4 A. ( , arcsin ) B.(5, arcsin ) 2 5 5
3 C. (5, arcsin ) 5 5 4 D.( , arcsin ) 2 5

)

解法一:化为圆的一般方程.
∵ ρ = 4 cos θ + 3 sin θ 3 ∴ ρ = 5 cos(θ arctg ) 4 3 即ρ = 5 cos(θ arcsin ) 5
∴ρ2 = 2× 5 3 5 5 ρ cos(θ arcsin ) + ( ) 2 ( ) 2 = 0 2 5 2 2

5 3 ∴ 圆心坐标为( , arcsin ) 2 5

故选 A. 解法 2 依互化关系求.

ρ = 4 cosθ + 3 sin θ的直角坐标系方程是 :
x 2 + y 2 = 4 x + 3y 3 25 即( x 2) 2 + ( y ) 2 = 2 4
3 ∴圆心的直角坐标是 (2, ), 其极坐标可求 2 3 3 2 5 3 2 ρ = 2 + ( ) = , sin θ = 2 = 5 5 2 2 2

例4
已知圆C的圆心为(6, ), 半径为5, 直线θ = α (0 ≤ α < π , ρ ∈ R )被圆截得的弦 2

π

长为 8,求 α 的值. 解法一: π 将圆心坐标(6, )及半径r = 5 代入圆的极坐标系下的 一般方程之中, 得 2

ρ 2 12 ρ sin θ + 11 = 0
ρ 2 12 ρ sin θ + 11 = 0 由 θ = α

得ρ 2 12 ρ sin α + 11 = 0 ∴ ρ1 + ρ 2 = 12 sin α

ρ1 ρ 2 = 11 又 | ρ1 - ρ 2 |= 8
∴ ( ρ1 + ρ 2 ) 2 4 ρ1 ρ 2 = 64 ∴ (12 sin α ) 2 4 × 11 = 64 从而得12 sin α = 6 3 ∴ sin α = 3 2 又∵0 ≤ α < π π 2π ∴α = 或 3 3

解法 2 (几何法)

C B D A O x

设直线 ρ 与圆 C 相交于 A,B 两点 如图作 CD⊥AB 于 D 则|CD|=3,|OC|=6 | OD | 3 1 ∴| cos α |= = = | OC | 6 2
∴ cos α = ± ∵ α ∈ [0, π ) ∴α =

1 2 2π 3

π
3



解法 3 化为直角坐标方程后求解.

【同步类型题选】 同步类型题选】
x = x 0 + at 直线 ( t为参数)上两点A, B对应的参数值是 t1, t 2 , 则 | AB | 等于( ) y = y 0 + bt 1.

A.| t1 + t 2 |

B. | t1 t 2 |

C. a 2 + b 2 | t1 t 2 |

D.

| t1 t 2 | a 2 + b2

x = -2 - 2 t 直线 ( t为参数)上的点到P(-2,3)的距离等于 2的点的坐标是( y = 3 + 2t 2.
A. (-4 , 5) C. (-4,5)或(0,1) B. (-3,4) D. (-3,4)或(-1,2)
)

)

x = x 0 + at 直线 ( t为参数), ab < 0, 则直线的倾斜角为( y = y 0 + bt 3.

A. arctg

b a

B.π arctg

b a

C. arctg

b a

D.π + arctg

b a

4 π π π 点A (0, ), B(2, ), C(- 2 , π ), D(2,- )中在曲线ρ = 2 2cosθ上的点的个数有( ) 3 4 3 4 4.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知点 P 的极坐标为(1,π),那么过点 P 且与极轴垂直的直线的方程为(

). A.

ρ=1

B. ρ=cosθ

1 C .ρ = cosθ
6.

D.ρ =

1 cos θ

π ρ = cos( θ )所表示的曲线为( )
4
A. 双曲线 B. 椭圆 C. 抛物线 7. 曲线 ρ=sinθ 和 2sinθ=1 的交点个数是( ).
已知直线的极坐标方程 为ρsin(θ +

D. 圆

π
4

)=

8.

2 , 则极点到直线的距离 ( 2

)

【试题答案】 试题答案】 1. C 2. D (提示:把直线方程化为标准方程) 3. D 4. D 5. C.(解三角形即得) 6. D(化为直角坐标方程) 7. 3 个(数形结合)

2
8.

2
解法一 : ρ sin(θ +

π
4

)=

2 2 π 2 , 表示过点( , )且极点到该直线的距离 为 2 2 4 2

的直线. 解法二:将直线的极坐标化为普通方程为 x+y=1,极点即为原点,原点到直线的距离为
2 2

(97 年,全国高考)

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