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2015-2016学年浙江省温州市十校联合体高二下学期期末联考数学试题


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2015 学年第二学期十校联合体高二期末联考 数 学 试 卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分,全卷共 4 页,满分 120 分,考试时间是 120 分钟。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、复数 z ? i?2 ? i ? ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 ) D、第四象限

2、从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球,那么,互斥而不对立的两个事件是 ( ) A、至少有一个黑球与都是黑球 B、至少有一个黑球与至少有一个红球 C、恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D、至少有一个黑球与都是红球 3、 随机变量? 的所有可能取值为 1,2,3,4,, 且 P?? ? k ? ? ak ?k ? 1,2,3,4? , 则 a 的值为( ) A、

1 11
b2 ? 2b ? a a

B、

1 10


C、11

D、10

4、若 a ? 0, b ? 0 ,则有( A、 B、

b2 ? 2b ? a a

C、

b2 ? 2b ? a a

D、

b2 ? 2b ? a a


5、已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax ? 4 ,则“ a ? 0 ”是“ f ?x ? 在 R 上单调递增”的( 2
B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

A、充分不必要条件 C、充要条件

6、5 个人排成一列,其中甲不排在末位,且甲、乙两人不能相邻,则满足条件的所有排列 有( A、18 种 ) B、36 种 C、48 种 D、54 种

7、已知定义在 R 上的函数 f ( x) 和 g ( x) 满足 f ( x) ?

g ' ( x) ? 2 g ( x) ? 0 ,则下列不等式成立的是(

f ' (1) 2 x ?2 ?e ? x 2 ? 2 f (0) x ,且 2


) ? g (2017 ) A. f (2) g (2015

) ? g (2017 ) B. f (2) g (2015

) ? f (2) g (2017 ) D. g (2015 O ? ABC 8、在三棱锥 中,已知 OA, OB, OC 两两垂直且相等,点 P、Q 分别是线段 BC 和 1 1 OA 上的动点,且满足 BP ? BC , AQ ? AO ,则 PQ 和 OB 所成角的余弦值的取值范 2 2
围是( A、 ? ) B、 ?

) ? f (2) g (2017 ) C. g (2015

? 2 ? ,1? ? 2 ?
2

? 3 ? ,1? ? 3 ?

C、 ?

? 3 2 5? , ? 5 ? ? 3

D、 ?

? 2 2 5? , ? 5 ? ? 2

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9、若复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 为纯虚数,则实数 m ? ________, 第 1 页

1 ? _____ 1? z

升学助考一网通 1 ? 10、设随机变量 X ~ B? ? 4, ? ,则 E ( X ) ? _____________, D?3 X ? 2? ? _______ ? 3? www.ewt360.com 11、已知 f ?x? ? ?2x ? 3? ? a0 ? a1 ?x ? 1? ? a2 ?x ? 1? ? ? ? a9 ?x ? 1? ,
9 2 9

则 a1 ? ? ? a9 ? ______________, f ?9? ? 8 被 8 除的余数是________ 12、设袋中共有 6 个大小相同的球,其中 3 个红球,2 个白球,1 个黑球。若从袋中任取 3 个球,则所取 3 个球中至少有 2 个红球的概率是_____________ 13、已知函数 f ?x ? ? aex ? x 2 , g ?x ? ? cos?  x ? bx ,直线 l 与曲线 y ? f ?x ? 切于点

?0, f ?0?? ,且与曲线 y ? g ?x ? 切于点 ?1, g ?1?? ,则 a ? b ? __________,直线 l 的方程为
________________ 14、在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E、F 分别是 BC、AD 的中点,则 AE ? FC ? ______ 15、已知函数 f(x)=(3x+1) e
x+1

?

?

+kx(k≥-2) ,若存在唯一整数 m,使 f(m)≤0,

则实数 k 的取值范围是________________ 三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。 16、 (本题满分 10 分)已知 1 ? m x 含 x 项的系数为 112, (1)求 m、n 的值; (2)求 1 ? m x

?

? ?m ? R ? 展开式的二项式系数之和为 256,展开式中
n ?

?

? ?1 ? x ?展开式中含 x
n

2

项的系数

17、 (本题满分 10 分)已知 S n ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? , 2 3 4 2n ? 1 2n 1 1 1 1 Tn ? ? ? ??? n? N* n ?1 n ? 2 n ? 3 2n (1)求 S 1 , S 2 , T1 , T 2 ; (2)猜想 S n 与 T n 的关系,并证明之.

?

?

第 2 页

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1 ,乙射 2 击一次命中 10 环的概率为 s,若他们各自独立地射击两次,设乙命中 10 环的次数为 ξ,
18、 (本题满分 10 分)某甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中 10 环的概率为 且 ξ 的数学期望 Eξ=

(1)求 s 的值及? 的分布列, (2)求? 的数学期望.

4 , ? 表示甲与乙命中 10 环的次数的差的绝对值。 3

19、(本题满分 10 分)如图,正方形 AMDE 的边长为 2,B,C 分别为 AM,MD 的中点,在 五棱锥 P-ABCDE 中,F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD,PC 分别交于点 G,H. (1)求证:AB∥FG; (2)若 PA⊥底面 ABCDE,且 PA=AE,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求线段 PH 的长.

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20、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ? ln x ? kx ?k ? R ? (1)当 k ? ?2 时,求函数 f ?x ? 的极值点;

b ? a ? 0 ?a, b ? R ? 恒成立,试求 e a ?1 ? b ? 1 的最大值; x a ?1 a ?1 ? m ?m ? R ? ,并 (3)在(2)的条件下,当 e ? b ? 1 取最大值时,设 F ?b ? ? b 2 设函数 F ?x ? 有两个零点 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? e
(2)当 k ? 0 时,若 f ? x ? ?

第 4 页

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2015 学年第二学期十校联合体高二期末联考 答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 A 6 D 7 D 8 B

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.

1 2 9、 1 , ? i 5 5 1 12、 2 5 15、 ? 2 ? k ? ? 2e

10、 13、

4 ,8 3
? 2 , x ? y ?1 ? 0

11、 14、

2 , 7
1 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。
n 16、解: (1)二项式系数之和为 2 ? 256,可得 n ? 8

-------------------------------2 分
r 8 r r 2

r 设含 x 的项为第 r ? 1 项,则 Tr ?1 ? C8 m x

?

? ?C m x
r

r ? 1 ,即 r ? 2 2 2 2 则 C8 m ? 112,解得 m ? ?2


? m ? R?

(2)由(1)知 1 ? m x

?

?m ? 2
n

? ?1 ? x ? ? ?1 ? 2 x ? ?1 ? x ?
8

-

----------------------------------6 分

4 2 所以含 x 2 项的系数为 C8 ? 24 ? ?C8 ? 2 2 ? 1008

-------------------------10 分

17、解: (1) S1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 7 ? , S2 ? 1 ? ? ? ? , 2 2 2 3 4 12

T1 ?

1 1 1 1 7 ? , T2 ? ? ? 1?1 2 2 ? 1 2 ? 2 12 ……………………………………………..4 分
……………………………………5 分

(2)猜想: Sn ? Tn (n ? N ? ) 即1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? (n ? N ? ) 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 n ? 3 2n

下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, S1 ? T1 ;………………………………………6 分 ②假设当 n ? k 时, Sk ? Tk (k ? 1, k ? N ? ) , 即1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? 2 3 4 2k ? 1 2k k ? 1 k ? 2 k ? 3 2k ???????7 分
第 5 页

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1 1 1 1 那么当 n ? k ? 1 时, Sk ?1 ? Sk ? ? =Tk ? ? 2k ? 1 2(k ? 1) 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 k ? 1 2(k ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2( k ? 1) ? Tk ?1 即当 n ? k ? 1 时,等式也成立
由①②可知,对任意 n ? N ? , Sn ? Tn 都成立??????????????10 分 18、解:(1)依题意知 ξ∽B(2,s),故 Eξ=2s=

? 的取值可以是 0,1,2

2 4 ,∴s= 3 3

----------------------------2 分.

1 1 1 , 2 3 36 1 1 1 1 2 1 1 2 2 甲、乙两人命中 10 环的次数均为 1 次的概率是 ( ? ? ? )( ? ? ? ) ? , 2 2 2 2 3 3 3 3 9 1 1 2 2 1 甲、乙两人命中 10 环的次数均为 2 次的概率是 ( ? )( ? ) ? , 2 2 3 3 9 1 2 1 13 ? ? ? ∴ p (? =0)= . ---------------------------------------------------4 分 36 9 9 36 1 1 1 1 1 甲命中 10 环的次数为 2 次且乙命中 10 环的次数为 0 次的概率是 ( ? )( ? ) ? , 2 2 3 3 36 1 1 2 2 1 甲命中 10 环的次数为 0 次且乙命中 10 环的次数为 2 次的概率是 ( ? )( ? ) ? . 2 2 3 3 9 1 1 5 ? = , ∴ p (? =2)= --------------------------6 分 36 9 36 13 5 1 ? ? ∴ p (? =1)=1 ? p (? =0) ? p ( ? =2)= 1 ? --------------------------7 分 36 36 2
2 2 甲、乙两人命中 10 环的次数均为 0 次的概率是 ( ) ? ( ) ?

故? 的分布列是

?
-

0

1

2

p

13 36

1 2

5 36

--------------------------------------8 分

(2) E? = 0 ?

13 1 5 7 ? 1? ? 2 ? ? . 36 2 36 9

--------------------------10 分

19、解 (1)证明:在正方形 AMDE 中,因为 B 是 AM 的中点,所以 AB∥DE. 又因为 AB?平面 PDE,所以 AB∥平面 PDE. 因为 AB?平面 ABF,且平面 ABF∩平面 PDE=FG, 所以 AB∥FG. 第 6 页 ----------------------4 分

www.ewt360.com 升学助考一网通 (2)因为 PA⊥底面 ABCDE,所以 PA⊥AB,PA⊥AE.如图建立空间直角坐标系 A-xyz, → 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0). 设平面 ABF 的法向量为 n=(x, y,z), → ? ? AB=0, ?n· ?x=0, 则? 即? → ?y+z=0. ? ?n· AF=0, ? 令 z=1,则 y=-1.所以 n=(0,-1,1). 设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 α, → ? n· BC ? 1 → 则 sinα=|cos〈n,BC〉|=? → ?= . ?|n||BC|? 2 π 因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为 . 6 设点 H 的坐标为(u,v,w). → → 因为点 H 在棱 PC 上,所以可设PH=λPC(0<λ<1), 即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2), 所以 u=2λ,v=λ,w=2-2λ. 因为 n 是平面 ABF 的法向量, → 所以 n· AH=0,即(0,-1,1)· (2λ,λ,2-2λ)=0, 2 解得 λ= . 3 4 2 2? 所以点 H 的坐标为? ?3,3,3?. 所以 PH= ---------------------------8 分

?4?2+?2?2+?-4?2=2 ?3? ?3? ? 3?

-----------------------10 分

20. 解: (1) k ? ?2 时, f ? x ? ? ln x ? 2 x ? f ?? x ? ? 当 x ? ? 0,

1 1? 2x ?2 ? x x

? ?

1? ?1 ? ? 时, f ??x ? ? 0 , 当 x ? ? ,?? ? 时, f ??x ? ? 0 2? ?2 ?

? 1? ?1 ? ? f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增,在 ? ,?? ? 单调递减, ? 2? ?2 ?
故函数 f ( x ) 有唯一的极大值点 x ? (2) k ? 0 时, f ( x) ?

1 ,无极小值点 2

...................2 分

b b b ? a ? ln x ? ? a ,设 g ( x) ? ln x ? ? a, ( x ? 0) , x x x 1 b x ?b 则 g ?( x) ? ? 2 ? 2 . x x x
第 7 页

www.ewt360.com 当 b ? 0 时,则 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 单调递增, 又 x ? 0 且 x ? 0 时, g ( x) ? ?? 与题意矛盾,舍.

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当 b ? 0 时,则 g ?( x) ? 0 ? x ? b ,所以 g ( x) 在 (b, ??) 单调递增, (0, b) 单调递减, 所以 g ( x)min ? g (b) ? ln b ? 1 ? a ,............................................................................5 分 所以 ln b ? 1 ? a ? 0 ? a ? 1 ? ln b ? ea?1 ? b ? ea?1 ? b ? 1 ? 1 , 故 ea ?1 ? b ? 1 的最大值为 1 (3)由(Ⅱ)知,当 e
a ?1

.........................................................................................7 分

? b ? 1 取最大值 1 时,

ea ?1 ? b ? a ? 1 ? ln b ? F (b) ?
记 F ( x) ?

ln b ? m, (b ? 0) , b
.....................................................................9 分

ln x ? m, ( x ? 0) x

F ( x) ? 0 ? ln x ? mx ? 0 ,
不妨设 x1 ? x2 ,由题意 ?

?ln x1 ? mx1 , ?ln x2 ? mx2

x2 x x1 则 ln x1 x2 ? m( x1 ? x2 ), ln 2 ? m( x2 ? x1 ) ? m ? , x1 x2 ? x1 ln
欲证 x1 ? x2 ? e2 ,只需证明: ln( x1 ? x2 ) ? 2 ,只需证明: m( x1 ? x2 ) ? 2 , 即证:

( x1 ? x2 ) x2 ln ? 2 , x2 ? x1 x1
x2 x1

1?
即证

x2 ?1 x1

ln

x t ?1 x2 , ? 2 ,设 t ? 2 ? 1 ,则只需证明: ln t ? 2 ? t ?1 x1 x1
t ?1 ?0 t ?1

也就是证明: ln t ? 2 ? 记 u (t ) ? ln t ? 2 ?

.....................................................10 分

t ?1 1 4 (t ? 1)2 , (t ? 1) ,? u?(t ) ? ? ? ? 0, t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2

? u(t ) 在 (1, ??) 单调递增,

? u (t ) ? u (1) ? 0 ,所以原不等式成立

.....................................................12 分 第 8 页


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