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立体几何 19周 复习


立体几何
一、选择题填空题 1.某三棱锥的主视图与俯视图如图所示,则其左视图的面积为( (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 )
主视图

2

3 2

2、如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形, 俯视图是一个圆,那么几何体的侧面积为

俯视

图 第 1 题图

1 A. ? 2 2 C. ? 4

B. D.

2 ? 2

? 4

3、已知α ,β 是平面,m,n 是直线。下列命题中不 正确的是 . A.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α C.若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β B.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n D.若 m⊥α , m ? ? ,则α ⊥β

4、给出下列关于互不相同的直线 m, l , n 和平面 ? , ? 的四个命题: ① 若 m ? ? , l ? ? ? A, 点A ? m, 则l与m不共面 ; ② 若 m, l 是 异 面 直 线 ,

l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ? ;③若 l // ? , m // ? ,? // ? , 则l // m ;
④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A, l ∥ ? , m ∥ ? ,则 ? ∥ ? ,其中为错误 的是( ) .. A.① B.② C.③ D.④ )

5.已知 ? , ? 是两个不同的平面, l , m, n 是不同的直线,下列命题不正确 的是( ...

? ? l, m ? ? , m ? l, 则 m ? ? ; D.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? , ,则 m ? n
6、某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积 A. 28+6 5 C. 56+ 12 5 B. 30+6 D. 60+12 5

A.若 l ? m, l ? n, m ? ? , n ? ? , 则 l ? ? ; B.若 l / / m, l ? ? ? , m ? ? , 则 l / /? ; C . 若 ? ? ? ,?

1、.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) 如图 3 所示,则该几何体的侧面积为_______cm2.

5

5

5

5

8 正(主)视图

8 侧(左)视图

8 俯视图

图1

2、用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如下图所示,则它的体积的最小值 为 ,最大值为 .

主视图

俯视图

二、解答题 1、已知某几何体的直观图(图 1)与它的三视图(图 2) ,其中俯视图为正三角形,其它两 个视图是矩形.已知 D 是这个几何体的棱 A1C1 上的中点 (1)求出该几何体的体积; (2)求证:直线 BC1∥平面 AB1D; (3)求证:平面 AB1D⊥平面 AA1D.

正视图

左视图

俯视图

2、 如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

?ACB ? 90 , AB ? 2 , BC ? 1 , AA1 ? 3 .
? 平面 AB1C1 ; (1)求四棱锥 A-CBB1C1 的体积; (2)证明: AC 1
(3)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上是否存在一点 E ,使 DE∥平面 AB1C1 ?证明你的结论.

A1 C1 D A C

B1

B

3 、如图 , 在四棱锥 P ? ABCD中 , 底面 ABCD是边长为 a 的正方形 , 侧面 PAD ? 底面

ABCD,且 PA ? PD ?

2 AD ,若 E 、 F 分别为线段 PC 、 BD 的中点. 2
P E D F A B C

(1) 求证:直线 EF // 平面 PAD ; (2) 求证:平面 PDC ? 平面 PAD ; (3) 求二面角 B ? PD ? C 的正切值.

4、如图 4,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ 平面 ABC, AB⊥ AC,D、E、F 分别是棱 PA、PB、PC 的中点,连接 DE,DF,EF. (1)求证: 平面 DEF∥平面 ABC; (2)若 PA=BC=2, 当三棱锥 P-ABC 的体积的最大值时, 求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值..

P

D E A

F

C

B

5、如图,己知?BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=600,E、 F 分别是 AC、AD 上的动点,且

(1)求证:不论 ? 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC: (2)若平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的大小为 60°, 求 ? 的值.

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) AC AD

二、解答题 1、解:由三视图可知该几何体为正三棱柱,底面是高为 3 的正三角形,三棱柱的高 h ? 3 , (1)底面是高为 3 的正三角形,易知底面边长为 2,所以底面面积 s ? 所求体积 V ? sh ? 3 3 . (2)连接 A 1B ,且 A 1B

1 ? 2? 3 ? 3 , 2

………………4 分

AB1 ? O , 正三棱柱侧面是矩形,

∴点 O 是棱 A 1B 的中点 ……6 分 因为 D 为棱 A1C1 的中点.连接 DO ,? DO 是 ?A1 BC1 的中位线,

? BC1 // DO, 又 DO ? 平面AB1D , BC1 ? 平面AB1D ,

? BC1 / /平面AB1D .……………9 分
(3) 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1中,三角形 A1 B1C1为正三角形, ? B1 D ? A1C1. , 又由正三棱柱性质知 平面A 1B 1C1 ? 平面ACC1 A 1 , 且 平面A 1B 1C1

平面ACC1 A1 ? AC 1 1,
…………12 分

B1D ? 平面 A1B1C1 ,? B1D ? 平面AA1D, 又B1D ? 平面AB1D, ?平面AB1 D ? 平面AA1 D .

………1 、如图 4 ,在三棱锥

P-ABC 中,PA⊥ 平面 ABC, AB⊥ AC,D、E、F 分别是棱 PA、PB、PC 的中点,连接 DE,DF,EF. (1)求证: 平面 DEF∥平面 ABC; (2)若 PA=BC=2, 当三棱锥 P-ABC 的体积的最大值时, 求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值.. P 1. 证明:∵D、E 分别是棱 PA、PB 的中点, ∴DE 是△PAB 的中位线,∴DE∥AB, ∵DE ? 平面 PAB,AB? 平面 PAB, D F ∴DE∥平面 PAB, ……2 分 E ∵DE∩DF=D,DE? 平面 DEF, A C DF? 平面 DEF, ∴平面 DEF∥平面 ABC. ……4 分 (2)求三棱锥 P-ABC 的体积的最大值,给出如下两种解法: B 解法 1:由已知 PA⊥平面 ABC, AC⊥AB,PA=BC=2, ∴AB2 +AC2 =BC2=4, ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 V =

1 ? PA ? S 3

ABC

1 1 ? ? PA ? ? AB ? AC 3 2
……6 分

1 1 AB2 ? AC2 1 BC2 2 ? ? 2 ? AB ? AC ? ? ? ? ? . 6 3 2 3 2 3
当且仅当 AB=AC 时等号成立,V 取得最大值,其值为

2 ,此时 AB=AC= 2 . 3

解法 2:设 AB=x,在△ABC 中, AC ? BC2 ? AB2 ? 4 ? x 2 (0<x<2), ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 V =

1 ? PA ? S 3

ABC

1 1 ? ? PA ? ? AB ? AC 3 2
……6 分

1 ? x 4 ? x2 3

?

1 1 4x 2 ? x 4 ? ?(x 2 ? 2) 2 ? 4 , 3 3
2 V 取得最大值, 其值为 , 此时 AB=AC= 2 . 2 时, 3

∵0<x<2, 0<x2<4, ∴当 x2=2, 即x ?

……8 分 求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值..,给出如下两种解法: 解法 1:作 DG⊥EF,垂足为 G,连接 AG, ∵PA⊥平面 ABC,平面 ABC∥平面 DEF,∴ P A⊥平面 DEF, ∵EF? 平面 DEF,∴P A⊥EF. ∵DG∩PA=D,∴ EF⊥平面 PAG,AG? 平面 PAG,∴ EF⊥AG, ∴ ∠AGD 是二面角 A-EF-D 的平面角. ……10 分 在 Rt△EDF 中,DE=DF= P

1 2 AB = , 2 2

EF ?
D E A G C F

1 1 BC = 1 ,∴ DG ? . 2 2

在 Rt△ADG 中,

AG = AD2 + DG 2 ? 1+

1 5 , ? 4 2

B

1 DG 5 ∴ ?AGD = . ? 2 ? AG 5 5 2
5 . 5
……14 分

∴二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值为

解法 2:分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),D(0,0,1),E(

2 ,0,1), 2

F(0,

2 2 2 2 ,1). ∴ AE ? ( , 0, 1), EF ? (? , , 0) . 2 2 2 2

P D

z

……9 分

设 n ? (x,y,z) 为平面 AEF 的法向量,

? ?n ? AE ? 0 则? , ? ?n ? EF ? 0
B ? 2 x+z ?0 x ? 2 即? ,令 ,则 , z= - 1, x = 2 y = 2 ? ?? 2 x + 2 y ? 0 ? ? 2 2 ∴ n ? ( 2,2, ?1) 为平面 AEF 的一个法向量. ∵平面 DEF 的一个法向量为 DA ? (0,, 0 ?1) ,

F

E A C y

……11 分

DA ?? ∴ cos ? n,

n, DA 1 5 ? ? , 5 | n || DA | ( 2)2 ? ( 2)2 ? (?1) 2 ?1
……13 分

而 n 与 DA 所成角的大小等于二面角 A-EF-D 的平面角的大小.

∴二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值为

5 . 5

……14 分

2 、如图 , 在四棱锥 P ? ABCD中 , 底面 ABCD是边长为 a 的正方形 , 侧面 PAD ? 底面 ABCD, 且 PA ? PD ?

2 AD ,若 E 、 F 分别为线段 PC 、 BD 的中点. 2
P E D C

(1) 求证:直线 EF // 平面 PAD ; (2) 求证:平面 PDC ? 平面 PAD ; (3) 求二面角 B ? PD ? C 的正切值. .(1) 证 明 : 连 结 AC , 在 ?CPA 中 EF // PA ……2 分 且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面

F

A

PAD
B

? EF // 平面PAD …………………………………………………………………………………………………….4 分
(2)证明:因为面 PAD ? 面 ABCD 所以, CD ? 平面 PAD 平面 PAD 面 ABCD ? AD

CD ? AD

?CD ? PA ………………………………………………………………………6 分

又 PA ? PD ?

? 2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形,且 ?APD ? 2 2

即 PA ? PD …………………………………………………………………………………………………………………….8 分 C D P? D ,且 D CD 、 PD ? 面 ABCD

? PA ? 面 PDC 又 PA ? 面 PAD

面 PAD ? 面 PDC ……………………………………………………………..10 分
P E M D F A B C

(3)解:设 PD 的中点为 M ,连结 EM , MF ,则 EM ? PD 由(Ⅱ)知 EF ? 面 PDC , EF ? PD PD ? 面 EFM PD ? MF ?EMF 是二面角 B ? PD ? C 的平面角……………………………………….12 分

Rt ?FEM 中, EF ?

1 2 PA ? a 2 4

EM ?

1 1 CD ? a 2 2

2 a EF 2 4 tan ?EMF ? ? ? 1 EM 2 a 2

故所求二面角的正切为

2 ……14 分 2

另解:如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP , OF . ∵ PA ? PD , ∴ PO ? AD . ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD , 平面PAD ? 平面ABCD ? AD , ∴? PO ? 平面ABCD ,

z P E

D O

C

而 O, F 分别为 AD, BD 的中点 , ∴ OF // AB , 又 ABCD 是正方 形,故 OF ? AD . ∵ PA ? PD ?
x

F A B

y

a 2 AD ,∴ PA ? PD , OP ? OA ? . 2 2

以 O 为 原 点 , 直 线 OA, OF , OP 为 x, y , z 轴 建 立 空 间 直 线 坐 标 系 , 则 有

a a a a a a , 0 ,, F 0 (0, ) , 0) , D ( ? , 0, 0) , P (0, 0, ) , B ( , a, 0) , C (? , a, 0) . 2 2 2 2 2 2 a a a ∵ E 为 PC 的中点, ∴ E (? , , ) . 4 2 4 a a a (1)易知平面 PAD 的法向量为 OF ? (0, , 0) 而 EF ? ( , 0, ? ) , 2 4 4 a a a 且 OF ? EF ? (0, , 0) ? ( , 0, ? ) ? 0 , ∴ EF //平面 PAD . 2 4 4 a a a a (2)∵ PA ? ( , 0, ? ) , CD ? (0, a,0) ∴ PA ? CD ? ( , 0, ? ) ? (0, a, 0) ? 0 , 2 2 2 2 A(
∴ PA ? CD ,从而 PA ? CD ,又 PA ? PD , PD

CD ? D ,

∴ PA ? 平面PDC ,而 PA ? 平面PAD ,

∴平面 PDC ? 平面 PAD

a 2 a a 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z) .∵ DP ? ( , 0, ), BD ? ( ? a, a, 0) , 2 2
(3)由(2)知平面 PDC 的法向量为 PA ? ( , 0, ? ) .

a 2

a ?a ? ? x ? 0? y ? ? z ? 0 ∴由 n ? DP ? 0, n ? BD ? 0 可得 ? 2 ,令 x ? 1 ,则 y ? 1, z ? ?1 , 2 ? ??a ? x ? a ? y ? 0 ? z ? 0
故 n ? (1,1, ?1) ,∴ cos ? n, PA ??

n ? PA n PA

?

a 2 a? 3 2

?

6 , 3

即二面角 B ? PD ? C 的余弦值为

6 2 ,二面角 B ? PD ? C 的正切值为 . 3 2

3、4、 (1)解:∵三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱垂直于底面, ∴ VA? A1B1C1 ?

?VA?CBB1C1

1 1 S?ABC ? AA1 = VABC ? A1B1C1 3 3 2 2 ? VABC ? A1B1C1 ? S?ABC ? AA1 3 3

S?ABC ?

1 3 AC ? BC ? 2 2

∴ VA?CBB1C1 ? ∴ B1C1 ? AC 1 1

2 3 ? ? 3 ?1 3 2
又∵ AC B1 C1 ? C C CC1 ? C1 ,∴ 1 1 1

(2) 证明:∵ BC ? AC

B1C1 ? 平面 ACC1 A1 .
AB ? 2 , BC ? 1 ,∴ ∵ AC ? 平面 ACC1 A1 ,∴ B1C1 ? AC 1 1 ,在 Rt?ABC 中,∵

AC ? 3 .
∵ AA ? AC1 . 1 为正方形.∴ AC 1 1 ? 3 ,∴四边形 ACC1 A ∵ B1C1

AC1 ? C1 ,

? 平面 AB1C1 . ∴ AC 1
(3)解:当点 E 为棱 AB 的中点时, DE 平面 AB1C1 . 证明如下:

如图,取 BB1 的中点 F ,连 EF 、 FD 、 DE ,∵ D 、 E 、 F 分别为 CC1 、 AB 、 BB1 的中点,

∴ EF ∴ EF

AB1 .∵ AB1 ? 平面 AB1C1 , EF ? 平面 AB1C1 ,
平面 AB1C1 平面 AB1C1 .∵ EF

A1 C1

B1

同理可证 FD

FD ? F ,∴平面 EFD

平面 AB1C1 .
A

F

D E C B

∵ DE ? 平面 EFD ,∴ DE

平面 AB1C1 .

3、如图,己知?BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=600,E、 F 分别是 AC、AD 上的动点,且

(1)求证:不论 ? 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC: (2)若平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的大小为 60°,求 ? 的值. (1)证明:因为 AB⊥平面 ABCD,所以 AB⊥CD, 又在△BCD 中,∠BCD = 900,所以,BC⊥CD,又 AB∩BC=B, 所 以 , CD ⊥ 平 面 ABC,………………………………………………3 分 又 在 △ ACD 中 , E 、 F 分 别 是 AC 、 AD 上 的 动 点 , 且

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) AC AD

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) AC AD
所以,EF∥CD,总有 EF⊥平面 ABC:EF ? 平面 BEF, 所以,不论 ? 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC…………………………6 分 (2)解:作 BQ∥CD,则 BQ⊥平面 ABC, 所以,BQ⊥BC,BQ⊥BE, 又 BQ 与 CD、EF 共面,所以,平面 BEF∩平面 BCD=BQ, 所以,∠CBE 为平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的平面角为 60°, 所以,cos60°= 所以,2BM=BE 又

BM 1 ? , BE 2
①…………………………9 分

AE CE ? ? ,所以, =1- ? , AC AC EM CE ? =1- ? , AB AC

在?ABC 内作 EM⊥BC 交 BC 于 M, 由

又在?BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=1, 所以,BD= 2 ,又在 Rt?ABD 中,∠AD B= 600, 所以,AB= 6 ,所以,EM= 6 (1- ? ) ②

BM AE ? = ? ,且 BC=1,所以,BM= ? BC AC 由①②③得:4 ? 2=6(1- ? )2+ ? 2




? 2-4 ? +2=0, ? =2- 2 或 ? =2+ 2 (舍去) ? =2- 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。14 分
故当若平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的大小为 60°时,


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