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四川省雅安市天全中学2015-2016学年高二数学9月月考试题 文


天全中学 2015—2016 学年上期 9 月月考高二数学试题 (文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题有且只有一个选项是符合题 目要求的. 1.设 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是( A. a 3 ? b3 B. ) C. a 2 ? b 2 D. 0 ? b ? a ? 1

1 1 ?

a b

2.下列命题中正确命题的个数是( ) ①若 a ? b , c ? d 则 ac ? bd ; ②若 a ? b 则 ac 2 ? bc 2 ; ③若 ac ? bc 则 a ? b A.0 B.1 ④若

a b ? 2 则a ? b 2 c c
C.2 ) D.3

3.角 ? 的终边上有一点 (1, ?2) ,则 sin ? ? ( A. ?

5 5

B. ?

2 5 5

C.

5 5

D.

2 5 5

?x ? y ?1 ? 0 ? 4.已知实数 x , y y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为( ?x ? 0 ?
A.



1 2 4 x
?x

B. 0 )

C. ?1

D. ?

1 2

5.下列函数中,最小值为 4 的函数是( A. y ? x ?
x

B. y ? sin x ?

4 (0 ? x ? ? ) sin x

C. y ? e ? 4e

D. y ? log3 x ? log x 81

6.已知等比数列 ?an ? 中, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 A.-2 B.1

S4 ?( S2
) C.

) C.2 D.5

3 7.已知 cos( ? x) ? ? ,则 sin 2 x 的值是( 4 5 7 24 A. B. ? 25 25
8.已知点 A 、B (? 11) ,) 2 , 1 )(

?

24 25


D. ?

7 25


、 C (?2, ?1) 、 D(3, 4) ,则向量 B. 3 5 C. ?

方向上的投影( D. ?3 5

A.

3 2 2

3 2 2

9.为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将函数 y ? 2 cos3x 的图象(



? 个单位 4 ? C. 向右平移 个单位 12
A. 向右平移 10.函数 y ? cos 2 x ? 2sin x 在区间 ? ? A. 1
2

B. 向左平移

? 个单位 4 ? D. 向左平移 个单位 12


? ? ? , ? 上的最大值为( ? 6 ? ?
C. ?

B. 2
2

1 4

D. 3

11.若不等式 ax ? 2ax ? 4 ? 2 x ? 4 x 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 A. (?2, 2) B. (?2, 2] C. (??, ?2) ? [2, ??) D. ( ??, 2]

12.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 1) ?

1 ,且当 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? x ,函数 f ( x)

?sin ? x, x ? 0 ? ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,5] 上的零点的个数为( g ( x) ? ? 1 ? , x ? 0 ? ? x
A. 8 B. 9 C. 10 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 . a 是 三 个 正 数 a, b, c 中 的 最 大 的 数 , 且 _______________. 14.已知- D. 11



a c ? ,则 a ? d 与 b ? c 的大小关系是 b d

? ? ? ?? ≤α <β ≤ ,则 的范围为_______________. 2 2 2
1? x ? 0 的解为_______________. f ( x)

15.若二次函数 f ( x) ? 0 的解的区间是 [-1,5] ,则不等式
2 16.化简 2 cos ? ? (tan ? ?

1 1 ) ? sin 2? ? _______________. tan ? 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 10 分)接下列不等式
2 (Ⅰ) ?3x ? 5x ? 2 ? 0

(Ⅱ) x ? (1 ? a) x ? a ? 0
2

18. (本小题满分 12 分)已知 x , y 都是正数. (1)若 3x ? 2 y ? 12 ,求 xy 的最大值;

(2)若 x ? 2 y ? 3 ,求

1 1 ? 的最小值. x y

19. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 (a2 ? 4) x2 ? (a ? 2) x ?1 ? 0 的解集是空集,求 实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分) A, B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第二象限.记 ?AOB ? ? 且 sin ? ? (1)求 B 点坐标;

4 . 5

sin(? ? ? ) ? 2sin(
(2)求

?
2

??)
的值.

2 cos(? ? ? )

2 21. (本小题满分 12 分)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 ,

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? …? log3 an ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和. b ? n?

2 22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2sin (

?
4

? x) ? 3 cos 2 x .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ) 若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ?0,

? ?? ]上有两个不同的解, 求实数 m 的取值范围. ? 2? ?

天全中学 2015—2016 学年上期 9 月月考高二数学试题(文科) 参考答案及评分意见 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分. 1.分析: 由 0<a<b<1,可得 0<b﹣a<1.即可得出. 解答: 解:∵0<a<b<1, ∴0<b﹣a<1. 故选:D. 2.解答:正确的只有④故选:B. 3.分析: 由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 sinα 的值. 解答: 解:由题意可得 x=1,y=﹣2,r= , ∴sinα = =﹣ =﹣ ,故选:B.

4.分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 z=x﹣2y 过 y 轴的截距最小,即 z 最大值,从而求解. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 目标函数 z=2x﹣y,z 在点 A( , )处取得最大值,可得 zmax=2× ﹣ = ,故最大值为 , 故选 A. 点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 5.分析: 利用基本不等式可得 提条件. x ﹣x 解答: 解:∵e >0,4e >0, ∴
x ﹣x

=4,注意检验不等式使用的前

=4,
x ﹣x

当且仅当 e =4e ,即 x=ln2 时取得等号,∴y=e +4e 的最小值为 4,故选 C. 点评: 本题考查基本不等式求函数的最值,利用基本不等式求函数最值要注意条件: “一正、 二定、三相等” . 6. 解答:由题可得,

a5 S ? q3 ? ?8 ,所以 q ? ?2 , 4 ? 1 ? q 2 ? 5 ,故选:D. a2 S2

7.分析: 已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求出 sinx+cosx 的值,两边平方即可求出 sin2x 的值. 解答: 解:cos( ﹣x)=
2

(sinx+cosx)=﹣ , ,

两边平方得: (sinx+cosx) = (1+sin2x)= 则 sin2x=﹣ 故选 D 8.分析: 首先利用有向线段的坐标求法求出向量 .



的坐标,然后利用向量的投影定义

解答. 解答: 解:因为点 A(﹣1,1) 、B(1,2) 、C(﹣2,﹣1) 、D(3,4) , 则向量 =(5,5) , =(2,1) ,

所以向量



方向上的投影为

=



故选 B. 9.分析: 利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式,然后 利用平移原则判断选项即可. 解答: 解:函数 y=sin3x+cos3x= 右平移 个单位,得到 y= = ,故只需将函数 y= cos3x 的图象向

的图象.

故选:C. 2 10.分析: 利用同角三角函数的基本关系化简函数 f(x)的解析式为﹣(sinx﹣1) +2,根 据 x 的范围求得﹣ ≤sinx≤1,再根据二次函数的性质,求得函数 f(x)的最大值. 解答: 解:∵函数 f(x)=cos x+2sinx =1﹣sin x+2sinx=﹣(sinx﹣1) +2,x∈[﹣ ∴﹣ ≤sinx≤1, ∴当 sinx=1,即 x= 故选:B. 11.解答:原不等式等价于 (a ? 2) x2 ? (2a ? 4) x ? 4 ? 0 恒成立。 当 a ? 2 时,满足题意 当 a ? 2 时,需要 ? 时,函数 f(x)取得最大值为 2,
2 2 2

,π ],

?a ? 2 ? 0
2 ?(2a ? 4) ? 16(a ? 2) ? 0

解得 ?2 ? a ? 2

综上所述,故选:B.

12.分析: 由题意可得可得 f(x+2)=f(x) ,函数 f(x)是周期为 2 的周期函数.本题即 求函数 f(x)的图象和函数 g(x)的图象在区间[﹣5,5]上的交点的个数,数形结合可得结 论 解:由 f(x+1)= ,可得 f(x+2)=f(x) ,故函数 f(x)是

周期为 2 的周期函数. 函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]上的零点的个数, 即函数 f (x) 的图象和函数 g (x) = 的图象在区间[﹣

5,5]上的交点的个数, 当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=|x|, 如图所示:数形结合可得函数 f(x)的图象和函数 g(x)的图象 在区间[﹣5,5]上的交点的个数为 10, 二、填空题:每小题 5 分,共 20 分.

13.a+d>b+c 解析:设

a c = =k,依题意可知 d>0,k>1,且 c>d,b>d,∴(a+d)-(b+c) b d

=bk+d-b-dk=(b-d)(k-1)>0 14 . ?

?
2

?

? ??
2

? 0 解析:∵-

? ? ? ? ≤β ≤ ∴- ≤-β ≤ ,同向可加性得 2 2 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ,从而得到结论.
15. (?1,1] ? (5, ? ?) 16.分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式化简所给的式子,可得 结果. 解答: 解: sin2α =cos2α +1﹣( ?sinα cosα =cos2α +1﹣(sin2α +cos2α )=cos2α , 故答案为:cos2α . 三、解答题:共 75 分. 17. (本小题满分 10 分) (Ⅰ) ? x x ? + )

?

? (Ⅱ)若 a ? ?1 时,解集为 ? x ?1 ? x ? a?
若 a ? ?1 时,解集为 ? 若 a ? ?1 时,解集为 x a ? x ? ?1

1 ? 或x ? ?2? 3 ?

?

?

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) xy ?

1 1 3x ? 2 y 2 3x?2 y ? ( ) ?6 6 6 2 ?x ? 2 ?3x ? 2 y 当且仅当 ? 即? 时取 " ? " 号,所以 x ? 2, y ? 3 时, xy 取得最 ?3x ? 2 y ? 12 ? y ? 3

大值 6 . (Ⅱ)

1 1 1 1 1 1 x 2y 2 2 ? ? ( x ? 2 y)( ? ) ? (3 ? ? ) ? 1 ? x y 3 x y 3 y x 3 ? x ? ?3 ? 3 2 ? x 2y ? ? ? x 即? 当且仅当 ? y 3 2 时取 " ? " 号, ?x ? 2 y ? 3 ? y ? 3 ? ? ? 2
所以 x ? ?3 ? 3 2, y ? 3 ?
2

1 1 3 2 2 2 时, ? 取得最大值 1 ? . x y 3 2
1 ,此时,原不等式的解集不为空集。 4

19.解析:当 a ? 4 ? 0 ,即 a ? ?2 时; 若 a ? 2 时,原不等式化为 4 x ? 1, 即 x ?

若 a ? ?2 时,原不等式化为 ?1 ? 0 ,无解,此时原不等式的解集为空集。

?a 2 ? 4 ? 0 ? 当 a ? 4 ? 0 时,由题意得 ? 2 2 ? ?? ? (a ? 2) ? 4(a ? 4) ? (?1) ? 0
2

??2 ? a ?

6 5

综上所述, a 的取值范围为 ?2 ? a ?

6 5

20.解:分析: (1)根据角 θ 的终边与单位交点为(cosθ ,sinθ ) ,结合同角三角函数 关系和 sinθ = ,可得 B 点坐标;

(2)由(1)中结论,结合诱导公式化简 解答: 解: (1)∵点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第二象限. 设 B 点坐标为(x,y) , 则 y=sinθ = . x=﹣ 即 B 点坐标为: =﹣ ,

,代入可得答案.

(2)∵

=

=

=



21. (本小题满分 12 分) 2 分析: (Ⅰ)设出等比数列的公比 q,由 a3 =9a2a6,利用等比数列的通项公式化简后得到关 于 q 的方程,由已知等比数列的各项都为正数,得到满足题意 q 的值,然后再根据等比数列 的通项公式化简 2a1+3a2=1,把求出的 q 的值代入即可求出等比数列的首项,根据首项和求出 的公比 q 写出数列的通项公式即可; (Ⅱ)把(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式代入设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,利用对数的运算 性质及等差数列的前 n 项和的公式化简后,即可得到 bn 的通项公式,求出倒数即为 公式,然后根据数列的通项公式列举出数列的各项,抵消后即可得到数列{
2 2 2 2

的通项

}的前 n 项和.

解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 =9a2a6 得 a3 =9a4 ,所以 q = . 由条件可知各项均为正数,故 q= .由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= .故数列{an}的通 项式为 an= (Ⅱ)bn= 故 则 =﹣ + +?+ . + +?+ =﹣2( ﹣ =﹣(1+2+?+n)=﹣ ) )]=﹣ , ,

=﹣2[(1﹣ )+( ﹣ )+?+( ﹣ .

所以数列{

}的前 n 项和为﹣

22. (本小题满分 12 分)

解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=2sin ( + cos2x=1+sin2x+ ≤2x+ ≤x≤kπ +

2

+x)+

cos2x=1﹣cos( ) ,

+2x)

cos2x=1+2sin(2x+ ≤2kπ + ,k∈Z ,k∈Z,

由由 2kπ ﹣ 得 kπ ﹣

所以函数 的单调递增区间为[kπ ﹣ (Ⅱ)由 f(x)﹣m=2 得 f(x)=m+2, 当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ =1+ , ,

,kπ +

].k∈Z.

],

由图象得 f(0)=1+2sin

函数 f(x)的最大值为 1+2=3, ∴要使方程 f(x)﹣m=2 在 x∈[0, 则 f(x)=m+2 在 x∈[0, ]上有两个不同的解,

]上有两个不同的解, ]上有两个不同的交点,

即函数 f(x)和 y=m+2 在 x∈[0,

即 1+ ≤m+2<3, 即 ﹣1≤m<1. 点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用辅助角公式将函数进行化简,利用数形结 合是解决本题的关键.


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