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北京市一零一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷1


北京一零一中 2015-2016 学年度第一学期期中考试 高一数学
一、选择题:本大题共 8 小题,共 40 分。 1. 下列四个选项表示的集合中,有一个集合不同于另三个集合,这个集合是( (A) x x ? 0 )

?

?

(B) a a 2 ? 0

?

?<

br />
(C) ?a ? 0?

(D) ?0? )

2. 函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ?1,5? ,则函数 y ? f ? 2x ?1? 的定义域是( (A) ?1 , 5? (B) ? 2,10? (C) ?1 , 9? ) (D) ?1 , 3?

3. 下列四组函数,表示同一函数的是( (A) f ? x ? ?

x2 , g ? x? ? x

(B) f ? x ? ? x , g ? x ? ? (C) f ? x ? ?

x2 x

x 2 ? 4 , g ? x? ? x ? 2 ? x ? 2

(D) f ? x ? ? x ?1 , g ? x ? ? ?

? x ? 1, x ? ?1 ?? x ? 1, x ? ?1

4.如图是函数 y ? f ? x ? 的图象, f (A) 3 (B)4

? f ? 2?? 的值为(
(D)6



(C) 5

y
6

O

3

9

x

5. 已知函数 f ? x ? ? 3x ? x ? 5 ,用二分法求方程 3 ? x ? 5=0 在 x ? ? 0,2? 内近似解的过程
x

中,取区间中点 x0 ? 1 ,那么下一个有根区间为( (A)



? 0,1?

(B) ?1 , 2?

(C) ?1 , 2? 或 ? 0,1? 都可以 (D)不能确定

6. 函数 f ? x ? ? 4x2 ? ax ? 8 在区间 ? 4, +? ? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( (A) a ? 32 (B) a ? 32 (C) a ? 16
2



(D) a ? 16

7. 已知函数 f ? x ? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? (A) ?2 (B) 0 (C)1

1 ,则 f ? ?1? 等于( x (D) 2



8. 定义区间 ? a, b ? 、 ? a, b ? 、 ? a, b? 、 ? a, b? 的长度均为 d ? b ? a ,用 ? x ? 表示不超过 x 的 最大整数, 例如 ?3.2? =3 , 设f? x ? ?x ??2.3? ? ?3 .记 ?x? ? x ? ? x? , ?

?? ? ,g ? x ? ? x ?1 , ?x


若用 d 表示不等式 f ? x ? ? g ? x ? 解集区间长度,则当 0 ? x ? 3 时有( (A) d ? 1 (B) d ? 2 (C) d ? 3 (D) d ? 4

二、填空题:本大题共 6 小题,共 30 分。 9. 若 f ? 2x ? ? 3x2 ? 1,则函数 f ? 4 ? ? ___________.
log 2 1 4

10. 求值: 2

? 8 ? ?? ? ? 27 ?

?

2 3

? lg

1 ? 100

?

2 ?1

?

lg1

? ______________.

11. 设 f ? x ? 2 ? 是奇函数,且当 x ? ? 0,2? 时, f ? x ? ? 2x ,则 f ?3.5? ? _________. 12. 函数 f ? x ? ? 3x 3 的值域是___________. 13. 已知偶函数 f ? x ? 在区间 ? 0, 则满足 f ? 2x ?1? ? f ?1? 的 x 的取值范围 +? ? 上单调递增, 是______________. 14. 函数 f ? x ? 的定义域为 A ,若 x1 , x2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ? x ? 为单函数.例如,函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ? x ? R? 是单函数.下列命题: ① 函数 f ? x ? ? x 2 ? x ? R? 是单函数; ② 若 f ? x ? 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ; ③ 若 f : A ? B 为单函数,则对于任意 b ? B , A 中至多有一个元素与之对应; ④ 函数 f ? x ? 在某区间上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数。 其中正确的是_______________.(写出所有正确的编号)
2

三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分。 15. 已知集合 A ? x 3 ? x ? 7 , B ? ?2 ? x ? 10? , C ? x 5 ? a ? x ? a . (1)求 A ? B , ? CR A? ? B ; (2)若 C ? ? A ? B ? ,求 a 的取值范围。

?

?

?

?

16. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,已知 x ? 0 时, f ? x ? ? x2 ? 2x . (1)画出偶函数 f ? x ? 的图像,并指出函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若直线 y ? k ? k ? R? 与函数 y ? f ? x ? 恰有 4 个交点,求 k 的取值范围。

y
4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

x

17.已知 g ? x ? ? ?x2 ? 3 , f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? ,函数 h ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? 是奇 函数.(1)求 a , c 的值; (2)当 x ?? ?1,2? 时, f ? x ? 的最小值是 1 ,求 f ? x ? 的解析式。

18. 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? (1)求 a , b 的值;

b ? 2x 是奇函数 2x ? a

(2)判断 f ? x ? 的单调性,并用单调性定义证明; (3)若对任意的 x ? R ,不等式 f x ? 2 x 2 ? f ? ?k ? ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

?

?

北京一零一中学 2015-2016 学年度高一第一学期期中考试 数学参考答案
一、 选择题 题号 答案 二、 填空题 9. 13 10. ?3 13. 11. 1 14.②③ 1 C 2 D 3 D 4 C 5 B 6 A 7 A 8 A

+? ? 12. ? 0,
三、解答题

? 0,1?

15.解: (1)由集合 A ? x 3 ? x ? 7 , B ? ?2 ? x ? 10? 在数轴上表示可得:

?

?

A ? B ? ? x 2 ? x ? 10? , CR A ? ? x x ? 3或x ? 7?

?CR A? ? B ? ?2 ? x ? 3或7 ? x ? 10?
(2)依题意可知 ①当 C ? ? 时,有 5 ? a ? a 得 a ?

5 ; 2

?5 ? a ? a 5 ? ②当 C ? ? 时,有 ?5 ? a ? 2 解得 ? a ? 3 2 ? a ? 10 ?
综上所述,所求实数 a 的取值范围为 a ? ? ??,3?

16. 解:依题意:当 x ? 0 时,有 f ? x ? ? f ? ? x ? ? ? ? x ? ? 2 ? ? x ?
2

即 f ? x? ? ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? 2 ? ? x ? 2 x, x ? 0

函数 f ? x ? 为偶函数,图像关于 y 轴对称,其图像如下图所示:

y
5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

6

x

由图像可知, f ? x ? 的单调递增区间为 ? ?1,0? , ?1 , +?? (2)结合函数图像可知:若直线 y ? k ? k ? R? 与函数 y ? f ? x ? 恰有 4 个交点, 实数 k 的取值范围是 k ? ? ?1,0?

17. 解: (1)依题意有: h ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ?x2 ? 3 ? ax2 ? bx ? c

= ? a -1? x2 ? bx ? c ? 3

? a ? 0?

因 h ? x ? 为奇函数,故有 h ? ? x ? ? ?h ? x ? 对于任意 x ? R 恒成立,即有
2 h ? ?x ? ? ? a ?1? x2 ? bx ? c ? 3= ?h ? x ? = ? ? ?? a -1? x +bx ? c ? 3? ?

于是有 ? a -1? x2 +c ? 3=0 对于定义域 R 上的任意 x 都成立

可得 ?

?a ? 1 ? 0 ?c ? 3 ? 0

解得 ?

?a ? 1 ?c ? 3

因此所求 a , c 的值分别为 a ? 1 , c ? 3

(2)由(1)可得 f ? x ? ? x2 ? bx ? 3 其对称轴为 x ? ?

b 2

① 当?

b ? ?1 ,即 b ? 2 时, f ? x ? 在区间 ? ?1, 2? 上单调递增,此时 f ? x ? 的最小值为 2

f ? x ?min ? f ? ?1? =1 ? b ? 3 ? 4 ? b ? 1,解得 b ? 3 ? 2 成立;
②当 ?1 ? ?

b ? 2 ,即 ?4 ? b ? 2 时, 2

b? ? ? b ? 2 ? 上单调递增,此时 f ? x ? 的最小值为 f ? x ? 在区间 ? ?1, ? ? 上单调递减,在区间 ? ? , 2? ? ? 2 ?
2 b2 ? b? b ? b? f ? x ?min ? f ? ? ? ? +b ? ? ? ? ? 3 ? ? +3 ? 1 ,解得 b ? ?2 2 4 ? 2? 4 ? 2?

又 ?4 ? b ? 2 ,故 b=2 2 舍去, b ? ?2 2 符合

③当 ?

b ? 2 即 b ? ?4 时,函数 f ? x ? 在给定区间 ? ?1, 2? 上为减函数,故此时有 2

f ? x ?min ? f ? 2? ? 4 ? 2b+3 ? 7+2b ? 1 得 b ? ?3 ? ?4 不成立,舍去
综上所述, b 的值为 3 或 ?2 2 ,所求 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? x2 ? 3x+3 或 f ? x ? ? x2 ? 2 2x+3

18. 解: (1)因 f ? x ? ?

b ? 2x 定义域为 R 且是奇函数,故 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 对于任意 x ? R 2x ? a b ? 2? x b ? 2 x ? 2? x ? a 2 x ? a
?x x x ?x

恒成立,即有 f ? ? x ? ? f ? x ? ?

?b ? 2 ?? 2 ? a ? ? ?b ? 2 ?? 2 ? ? 2 ? a ?? 2 ? a ?
?x x

? a?

=

? b ? a ? ? 2 x ? 2? x ? ? 2ab ? 2

?2

?x

? a ?? 2 x ? a ?

=0

对于任意 x ? R 恒成立,

于是有 ?

?b ? a ? 0 ?2ab ? 2 ? 0

解得 a ? b ? 1 或 a ? b ? ?1

又 f ? x ? 的定义域为 R , a ? 0

故所求实数 a , b 的值分别为 a ? b ? 1

(2)由(1)可得函数 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ?

1 ? 2x 2x ? 1

f ? x ? 在定义域 R 上为单调减函数,用单调性定义证明如下:

在定义域 R 上任取两个自变量值 x1 , x2 且有 x1 ? x2

1 ? 2 x1 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 ? 而 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x ? 2 1 ? 1 2 x2 ? 1
2 ? 2 x2 ? 2 x1 ?
x1

?

?? 2 ? 1? ? ?1 ? 2 ?? 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1?
x2 x2 x1 x2

x1

? 1?

?

?2
x

? 1?? 2 x2 ? 1?
x

此时,2 2 ? 2 1 ? 0 ,2 1 ? 1 ? 0 ,2 2 ? 1 ? 0
x x

故有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 即 f ? x1 ? ? f ? x2 ?

因此,根据函数单调性的定义可知,函数 f ? x ? 在定义域 R 上为减函数.

(2) (3) 有题意和 知 函数 f ? x ? 在定义域 R 上既为奇函数又为减函数
对于不等式 f x ? 2 x 2 ? f ? ?k ? ? 0 有 f x ? 2 x 2 ? ? f ? ? k ?

?

?

?

?

根据函数的奇偶性有 ? f ? ?k ? ? f ? k ? ,于是不等式可转化为 f x ? 2 x 2 ? f ? k ?

?

?

再由函数的单调性可得:不等式 x ? 2 x ? k 对于任意的 x ? R 恒成立.
2

令 g ? x ? ? x ? 2x2 ,对称轴为 x ?

1 ,其在定义域 R 上的最大值 4

为 g ? x ?max ? g ? ? ?

?1? ?4?

1 1 ?1? 1 ? 2 ? ? ? 故所求实数 k 的取值范围是 k ? g ? x ? max ? 8 4 ? 4? 8

2


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