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浙江省江山实验中学2014-2015学年高二数学1月教学质量检测试题 理


2014 学年第一学期高二年级理科数学 1 月份教学质量检测试卷
参考公式: 柱体的体积公式 锥体的体积公式

V ?S h
V ?

其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高
1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

台体的体积公式 高 球

的表面积公式

1 V ?h ( S ?S S ? S ) 1 1 2 2 3 其中 S 1 , S 2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的

S ? 4?R 2
4 V ? ?R 3 3

球的体积公式

其中 R 表示球的半径

一、选择题 (本大题共 10 小题每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。)

x2 y2 ? ?1 1.双曲线 a a ? 1 的焦距为(
(A)

) (D) 2 1 ? 2a )条件

1

(B) 2

(C) 2 2a ? 1

2.命题 p : “直线 l 上不同的两点 A, B 到平面 ? 的距离为 1 ”,命题 q : “ l // ? ”,则 p 是 q 的(

(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3. 已知水平 放置的四边形 ABCD 的平面直观图 A?B ?C ?D ? 是边长为 1 的正方形,则四边形 ABCD 的面积为 ( )

2 A. 2

B.1

C. 2

D. 2 2 )

4.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 (

A.1

B.2

1 C. 3

2 D. 3
) A .若 D.若

5. 设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是(
l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ?
l / /? ,? ? ? ,则 l ? ?

B.若 l / /? ,? / / ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ?

6、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是
2 5 5

B1C1

的中点,则异面直线 DC1 与 BE 所成角的余弦值为(
? 2 5 5



A.

B.

10 5

C.

?

10 5

D.

1

7.设抛物线 M : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 是双曲线
2

N:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2 右焦点.若 M 与 N 的公共弦

AB 恰好过 F,则双曲线 N 的离心率 e 的值为( A. 2 B. 2 ? 1 C. 3 ? 2

) D.

2 ?1

8. 直线 y ? kx ? k

x2 y 2 ? 1 与椭圆 9 ? 4 ? 1 的位置关系为(



A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 不确定

P

9、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M、N、Q 分别为 AB, BB1 , C1D1 的中点,过 M、N、Q 的 平面与正方体相交截得的图形是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 10、三棱锥 P-ABC 中,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=3,PB=2,PC=1,设 M 是 底面△ABC 内一点,定义 f ?M ? ? ?m, n, p ? ,其中 m, n, p 分别是三棱锥 M-PAB,三棱
C M B 第9题图 A

1 a ?1 ? ? ?8 f ?M ? ? ? , x, y ? 2 ? ? ,且 x y 锥 M-PBC,三棱锥 M-PCA 的体积。若 恒成立,则正实数 a 的最小值为 (



A. 1

B. 13 ? 4 3

C. 9 ? 4 2

D. 2

二、(填空题:本大题共 7 小题每小题 4 分,共 28 分) 11.已知 x、y ? R ,那么命题“若 x、y 中至少有一个不为 0,则 x ? y ? 0 .”的逆否命题是
2 2

12.命题 P :直线 y ? 2 x 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直;命题 Q :异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平 行直线,则命题 P ? Q 为
2

命题(填真或假).

13. 已知抛物线 y ? 8 x ,焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为

? 3 ,那么 | PF | =
x2 y2 P?x0 , y0 ? 是双曲线 E: a 2 ? b 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 上的一点,M、N 分别是双曲线的左右顶点,直 14、已知点

1 线 PM、PN 的斜率之积为 3 ,则该双曲线的渐近线方程为___________________。
15. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 ,当以 A, B, C , D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 和 平面

ABC 所成的角的大小为____ ___ .
16、已知 直线 y ? a 交抛物线 y ? x 于 A、B 两点,若该抛物线上存在点 C,
2

使得 ?ACB 为直角,则 a 的取值范围为___________.

D1 A1 D A E F B1 C B

C1

ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1, AC1 与平面 A1 BD , CB1 D1 交于 17 .已知平行 六面体

2

E , F 两点。给出以下命题,其中真命题有______(写出所有正确命题的序号)
①点 E , F 为线段

AC1 的两个三等分点;

???? ? ? 2 ???? 1 ???? 1 ???? ED1 ? ? DC ? AD ? AA1 3 3 3 ② ;

③设

A1 D1 中点为 M , CD 的中点为 N ,则直线 MN 与面 A1 DB 有一个交点;

④ E 为的 ?A1 BD 内心;
0 ⑤若 ?A1 AD ? ?A1 AB ? ?BAD ? 60 , 且AA1 ? AB ? AD ? 1 ,则三棱锥 A1 ? ABD 为正三棱锥,且 | AC1 |? 6 .

2014 学年第一学期高二年级理科数学 1 月份教学质量检测答题纸 一选择题:(每小题 5 分,共 10 小题,合计 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二填空题:(每小题 4 分,共 7 小题,合计 28 分) ———————— ————— 12。————————— 13。————————— 14。———————

15。——————— ————————— 16。——————————————— ————————— 三、解答题(本大题 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17。———

2 18.(本题满分 14 分)已知命题 p :存在 x ? [1,4] 使得 x -4 x ? a ? 0 成立,命题 q :对于任意 x ? R ,

函数 f ( x) ? lg( x -ax ? 4) 恒有意义.
2

(1)若 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若 p ? q 是假命题,求实数 a 的取值范围.

19.(本大题满分 14 分)已知四面体 ABCD , ?ADB ? ?CDB ? 120 ,且平面 ABD ? 平面 BCD .
?

(Ⅰ)若 AD ? CD ,求证: BD ? AC ;

3

(Ⅱ)求二面角 B ? CD ? A 的正切值.
A

B

D C

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 2 20.(本题 14 分)已知椭圆 C 的方程为 a b ,称圆心在坐标原点 O ,半径为 a ? b 的圆为
6

椭圆 C 的“伴随圆”,椭圆 C 的短轴长为 2,离心率为 3 . (1) 求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,与其“伴随圆”交于 C , D 两点,当 | CD |? 13 时,求△ AOB 面积的 最大值.

21.(本题满分 15 分)
o 如 图 , 矩 形 ABCD 所 在 的 半 平 面 和 直 角 梯 形 CDEF 所 在 的 半 平 面 成 60 的 二 面 角 , DE ∥

CF , CD ? DE , AD ? 2 , EF ? 3 2 , CF ? 6 , ?CFE ? 45o .
(Ⅰ)求证: BF ∥平面 ADE ;

1 (Ⅱ)在线段 CF 上求一点 G ,使锐二面角 B ? EG ? D 的余弦值为 4

4

(本题满分 15 分)已知点 P 是圆 x ? y ? 1 上任意一点,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 Q ,点 R 满足
2 2

??? ? ??? ? RQ ? 3 PQ 记点 R 的轨迹为曲线 C .
(Ⅰ)求曲线 C 的方程;

2 A (0,1) M , N (Ⅱ)设 ,点 在曲线 C 上,且直线 AM 与直线 AN 的斜率之积为 3 ,
求 ?AMN 的面积的最大值.

5

2014 学年第一学期高二年级理科数学 1 月 教学质量检测参考答案及评分细则 一选择题:(每小题 5 分,共 10 小题,合计 50 分) 1 B 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B 7 B 8 A 9 D 10 A

二填空题:(每小题 4 分,共 7 小题,合计 28 分) 11—————若 x ? y ? 0 ,则 x, y 都为 0.
2 2

12。———真—————

13。————8————



14 。————

y??

3x 3 — 15 。——— —— 45 °—————

16 。————— a ? 1 — ——

17。—①⑤———— 三解答题(本大题共 5 小题,满分共 72 分) 18.(1)设 g ( x) ? x -4 x ? a ,对称轴为 x ? 2
2

若存在一个 x ? [1,4] 满足条件,则 g (1) ? 0, g (4) ? 0 ,得 0 ? a ? 3 ,????????3 分 若存在两个 x ? [1,4] 满足条件,则 g (1) ? 0, g (2) ? 0 ,得 3 ? a ? 4 , 故满足条件的实数 a 的取值范围为 0 ? a ? 4 ???????????7 分

(2)由题意知 p, q 都为假命题,若 p 为假命题,则 a ? 0 或 a ? 4 ?????????9 分
2 若 q 为假命题,则由 ? ? a ? 16 ? 0 得 a ? ?4 或 a ? 4

??????????11 分 ????????????????14 分

故满足条件的实数 a 的取值范围为 a ? ?4 或 a ? 4 19 . ( Ⅰ ) ∵

A

AD ? DC, ?ADB ?

∴ ?ADB ? ?CDB ∴ AB ? BC ,取 AC 中点 M , 则 MB ? AC, DM ? AC ∴ AC ? 平面 BDM , ∴ AC ? BD 7分

B

D G

H C

(Ⅱ)过点 A 作 AH ? BD 交 BD 延长线于 H 。过 H 作 HG ? CD 于 G ,连结 GA ∵平面 ABD ? 平面 BCD ,∴ AH ? 平面 BCD ,∴ AH ? CD 根据三垂线定理知, ?AGH 为二面角 A ? CD ? H 的平面角
? 由已知可知 ?ADH ? 60 ,设 AD ? 2a ,则 AH ? 3a, HD ? a

6

在 Rt ?HDG 中,

?HDG ? 60? ? HG ?

3 a 2 ,∴ tan ?AGH ? 2
14 分

∴ 二面角 B ? CD ? A 的正切值为 ?2 注:用空间向量做,酌情给分。
e2 ? c 2 a 2 ? b2 b2 2 ? ? 1 ? ? a2 a2 a2 3 ,

20.解:(Ⅰ)由题意得,

x2 ? y2 ? 1 2 ? b ? 1, ? a ? 3 又 ,? 椭圆 C 的方程为 3 ,??????????6 分
“伴随圆”的方程为 x ? y ? 4 .???????????????????7 分
2 2

(Ⅱ)①当 CD ? x 轴时,由,得 | CD |? 13 | AB |? 3 .
3 | CD | ? 13 CD CD x O 2 ②当 与 轴不垂直时,由 ,得圆心 到 的距离为 .

|m|
设直线 CD 的方程为 y ? kx ? m, 则由 1 ? k
2

?

3 3 m 2 ? ( k 2 ? 1) 2 ,得 4 ,

? y ? kx ? m, ? 2 ?x 2 2 2 2 ? ? y ? 1, A ( x , y ), B ( x , y ) 1 1 2 2 3 ? 设 ,由 得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0 .



x1 ? x2 ?

?6km 3m 2 ? 3 x1 x2 ? 2 2 3k ? 1 , 3k ? 1 .???? ?????????9 分
2 2 2

| AB | ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) 当 k ? 0 时,
(1 ? k 2 )[(

=

36k 2 m2 12(m2 ? 1) ?6km 2 12(m2 ? 1) 2 (1 ? k )[ ? ] ) ? ] (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 =
? 3? 12k 2 12 12 ? 3? ? 3? ?4 1 9k 4 ? 6k 2 ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k .?12 分

3(1 ? k 2 )(9k 2 ? 1) (3k 2 ? 1)2 =

当且仅当

9k 2 ?

1 3 k?? 2 k ,即 3 时等号成立,此时 | AB |? 2 .

| AB |max ? 2 , 当 k ? 0 时, | AB |? 3 ,综上所述:
此时△ AOB 的面积取最大值 21.(本题满分 15 分) (Ⅰ)因为 BC ∥ AD , BC ? 平面 ADE ,所以 BC ∥平面 ADE ,
7

S?

1 3 3 | AB |max ? ? 2 2 2 .??????14 分

同理 CF ∥平面 ADE ,又因为 BC I CF ? C ,所以平面 BCF ∥平面 ADE , 而

BF ? 平 面 B C F , 所 以 BF ∥ 平 面

A D. E ???????????????5 分
(Ⅱ)因为 CD ? AD , CD ? DE 所以 ?ADE 就是二面角

Z A

B
D
E
O y

A ? CD ? F 的平面角,


60o ,

?????????????????????

C
x

G

F

???????????6 分

又 AD ? DE ? D ,所以 CD ? 平面 ADE ,平面 CDEF ? 平面 ADE , 作 AO ? DE 于 O ,则 AO ? 平面CDEF ,????7 分 连结 CE ,在 ?CEF 中由余弦定理求得 CE ? 3 2 ,
o 易求得, ?ECF ? 45 , CD ? DE ? 3 , OD ? 1 , OE ? 2 .

????????????????? 8

分 以 O 为原点,以平行于 DC 的直线为 x 轴,以直线 DE 为

y 轴,建立如图空间直角坐标系 O ? xyz ,
则 A(0,0, 3) B(3,0, 3) , C (3, ?1, 0) ,

E (0, 2, 0) , F (3,5, 0) ,


G(3, t ,0), ?1 ? t ? 5 ,

uur uuu r BE ? ( ? 3, 2, ? 3) BG ? (0, t , ? 3) , 则 ,
设平面 BEG 的一个法向量为, m ? ( x, y, z) ,
? ?3x ? 2 y ? 3z ? 0 ? ? ? m ? BE ? 0 ? ? ? ?m ? BG ? 0 得, ? ?ty ? 3z ? 0 ,

则由



?x ? 2?t ? ?y ? 3 ? ? z ? 3t

得, m ? (2 ? t,3, 3t ) , ????????????????10 分

平面 DEG 的一个法向量 n ? (0,0,1) ,

8

cos ? m, n ??

(2 ? t ,3, 3t ) ? (0,0,1) 4t ? 4t ? 13
2

?

3t 4t ? 4t ? 13 ,
2

所以,

???13 分
3t ? 1 4

1 为使锐二面角 B ? EG ? D 的余弦值为 4 ,只需
解得
t? 1 CG 1 ? 2 ,此时, CF 4

4t ? 4t ? 13
2



即所求的点 G 为线段 CF 的靠近 C 端的四分之一分点. ??????????15 分
? 3 x ?x ? ?? 0 3 ?y ? y ? 0

22.解:(I)设 R( x , y ) , P ( x0 , y0 ) ,则 Q (0, y0 ) .? RQ ? 3 PQ ,



x2 ? y2 ? 1 ? x0 ? y0 ? 1 ,故点 R 的轨迹方程: 3 .
2 2

?6 分

(Ⅱ)(1)当直线 MN 的斜率不存在时,设 MN : x ? t (? 3 ? t ? 3 ) .
M (t , 1 ? t2 t2 1 ) N ( t ,? 1 ? ) ? k AM ? K AN ? 3 , 3 , 3 ,不合题意.



?7 分

(2)当直线 MN 的斜率存在时,设 l MN : y ? kx ? b , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 )
? y ? kx ? b ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 2 2 2 联立方程 ? 3 ,得 (1 ? 3k ) x ? 6kbx ? 3b ? 3 ? 0 .

? ? ? 12(3k ? b ? 1) ? 0 ,
k AM ? k AN ?

2

2

x1 ? x2 ?

3b 2 ? 3 ? 6kb x1 x 2 ? 1 ? 3k 2 . 1 ? 3k 2 ,

9分



y1 ? 1 y 2 ? 1 k 2 x1 x 2 ? k (b ? 1)( x1 ? x 2 ) ? (b ? 1) 2 2 ? ? ? x1 x2 x1 x 2 3,

2 2 即 (3k ? 2) x1 x2 ? 3k(b ? 1)( x1 ? x2 ) ? 3(b ? 1) ? 0 .



x1 ? x2 ?

3b 2 ? 3 ? 6kb x ? x ? 1 2 1 ? 3k 2 代入上式,得 b ? ?3 . 1 ? 3k 2 ,

? 直线 MN 过定点 T (0,?3) .
S?AMN ?

11 分

?

3k 2 ? 8 1 | AT | ? | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 4 3 ? 1 ? 3k 2 . 2

13 分

3k 2 ? 8 t 1 1 ? 2 ? ? 2 9 6 1 ? 3k t ?9 t? 2 2 2 3 k ? 8 ? t ( t ? 0 ) 3 k ? t ? 8 t ? 令 ,即 , .
9

当且仅当 t ? 3 时,

( S ?ABC )max ?

2 3 3 .

15 分

10


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