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高中数学《平面向量的数量积》同步练习1 新人教A版必修4


高一数学期末复习(8)——平面向量的数量积
说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,共 150 分;答题时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,仅有一个选项是正确的) 1 . 已 知 平 面 向 量 ( A.-1 2 . 已 知 a
?

a ? ( 3 , 1 ), b ? ( t , ? 3 )

,



a ? b

,



t ?

) B.1 =(2,3), (
? b

C. 3 =(-4,7), 则 a )
?

D.-3 在 b
?

方 向 上 的 投 影 为

? A. 13 ?
? ?

B.

13 5

?
? ?

C.

65 5

?

D. 65 ?

3.已知 a =(λ ,2),b =(-3,5)且 a , b 的夹角为钝角,则λ 的取值范围是 ? A.λ >
10 3


10 3



?
?

B.λ ≥

10 3

C.λ <
? ?

10 3

? D.λ ≤
? ? ?

?

4 . 给 定 两 个 向 量 a =(3,4), b =(2,-1) 且 ( a +x b ) ⊥ ( a - b ), 则 x 等 于 ( ? A.23 ) ? B.
23 2

C.

23 3

D.

23 4

? ( )

5. 已知 a , b , c 为非零的平面向量. 甲: a ? b ? a ? c , 乙 : b ? c , 则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6.设向量 a
? (?1

, 2) ,b

? (2

, ? 1) ,则 ( a ? b )( a ? b ) 等于 C.-4

( D. (-2,-2) ( D.1或-2



A. (1,1)

B. (-4,-4)

7.已知向量 OA ? ( a , a ? 1) 的模为 5 ,则实数 a 的值是 A.-1 B.2 C.-1或 2



用心

爱心

专心

1

8.在矩形 ABCD 中, AE ?
|a| |b |

1 2

AB , BF ?

1 2

BC , 设 AB ? ( a , 0 ), AD ? ( 0 , b ) ,当 EF ? DE 时,

的值为





A. 2
? ?

B. 3
?

C.2
?

D.3 (
3 ,? 4 5 4 ) ??

9.已知 a =(4,3),向量 b 是垂直 a 的单位向量,则 b 等于 ? A. ( , ) 或 ( , ) ?
3 4 4 3



B. ( , ) 或 ( ?

3 4

5 5 5 5 5 5 5 3 4 4 3 3 4 3 C. ( , ? ) 或 ( ? , ) ? D. ( , ? ) 或 ( ? , 5 5 5 5 5 5 5 ? ? ? ? ? ? ? 10.已知 a 、 b 都是非零向量,且 a + 3 b 与 7 a ? 5 b 垂直, a

)?

5

? 4 b 与 7 a ? 2 b 垂直, ( )

?

?

?

则 a 与 b 的夹角为 A.30° B.45° C.60° D.120°

?

?

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分。把正确答案填写在题中的横线上,或按题目要求作答。 ) 11. ? ABC 中, ? A ? 90 ? , AB
?? ?

? (k

,1) AC ? ( 2 ,3) , ,则 k 的值是________.
?? ? ?? ?
?? ?

12.在直角坐标系中, OA = ( 2 , 2 ) , | AB |= 2, 且 AB · OA = 0, 则点 B 的坐标 是 .
?
?

13.已知向量 a ? (cos 23 ? , cos 67 ? ) , b ? (co s 6 8 ? , co s 2 2 ? ) ,则 a · b = 14.已知 a =(3,0), b =(k,5)且 a 与 b 的夹角为
? ? ? ?
3? 4

?

?

. .

,则 k 的值为

三、计算题(共 84 分.要求写出必要的文字说明、主要方程式和重要演算步骤。 ) 15.已知| a |=4,| b |=3, a -3 b )(2 a + b )=61,求 a 与 b 的夹角θ . (2 ·

?? ?

16.设 i , j 是平面直角坐标系内 x 轴,y 轴正方向上的两个单位向量,且 AB = 4i + 2j ,

用心

爱心

专心

2

?? ?

AC

= 3i + 4 j . 试证:△ABC 是直角三角形.

17.已知 O 为坐标原点, O A ? (2 co s 2 x , 1) , O B ? ( a , 3 a sin 2 x ? 1 ? a ) ,a 为非零常数.设
??? ??? ? ? y ? O A ?O B

??? ?

??? ?



(1)求 y 关于 x 的函数解析式 f(x); ? (2)当 x ? [ 0 , ] 时,f(x)的最大值为 3,求 a 的值并指出 f(x)的单调增区间.
2

18. 已知向量 m 的值.

??

? (co s ? , sin ? )

和n ? ?

?

2 ? sin ? , co s ? , ? ? ? ? , 2 ?

?

且 ?,

?? ? 8 2 ? ? ?? m?n ? , 求 co s ? ? ? 5 8 ? ? 2

19.已知 a ? ?1 , 2 ? , b ? ? ? 3 , 2 ? 。当 k 为何值时,

?

?

(I)



垂直;

用心

爱心

专心

3

(II)



平行,平行时它们是同向还是反向.

20.已知向量 OA ? ( 3 , ? 4 ), OB ? ( 6 , ? 3 ), OC ? ( 5 ? m , ? 3 ? m ). (1)若点 A、B、C 能构成三角形,求实数 m 满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且 ? A 为直角,求实数 m 的值.

参考答案
一、选择题:BCACB 二、填空题:11. ? 三、计算题: 15.解:∵(2 a -3 b )(2 a + b )=61, ∴ 4 a ? 4 a ? b ? 3 b ? 61 . · 又| a |=4,| b |=3,∴ a · b =-6.
? cos ? ? a ?b |a |?|b | ? ? 1 2
2 2

BCADC
3 2

12. (0,2 2 ),(2 2 ,0) 13.

2 2

;14.-5

,

∴θ =120°.

16.证 1:∵i , j 是平面直角坐标系内 x 轴,y 轴正方向上的两个单位向量, ∴| i | =1, | j | = 1, 且 i⊥j , 即 i ? j =0.
?? ? ?? ?

?? ?

∵ BC = AC – AB =–i + 2 j ,

用心

爱心

专心

4

?? ?

?? ?

∴ AB · BC = – 4 + 4 = 0, ∴∠B = 90?,即△ABC 是直角三角形. 证 2. ∵i , j 是平面直角坐标系内 x 轴,y 轴正方向上的两个单位向量, ∴| i | =1, | j | = 1, 且 i⊥j , 即 i ? j =0.
?? ?

又 ∵ AB
?? ?

= 4i + 2j , AC
?? ?

?? ?

= 3i + 4 j , ∴ | AB |=
?
( 4 i ? 2 j ) ? (3 i ? 4 j ) 20 ? 5
? ? ? ?

?? ?

?? ?

20 , | AC | = 5 ,
? 20 5

cos< AB , AC >=
? ?

AB ? AC | AB | ? | AC |
? ?

?

?

?

?

?

?

?

12 ? 8 5 20

.

从而 | BC
?? ?

| ? | AB | ? | AC | ? 2 | AB | ? | AC | ? cos ? AB , AC ?
2 2 2

?

= 5 .

∴| AB | +| BC | =| AC | ,故△ABC 是直角三角形. 17.解: (1) f ( x ) ? 2 a sin( 2 x ?
?
6 ) ?1.



?? ?



?? ?



(2)当 a>0 时,f(x)的单调增区间为 [ k ? ? 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为 [ k ? ? 18.解: ∵ m ? n ? ? co s ? ∴ m?n ?
?? ?
?? ? ? sin ? ?

?
3

, k? ? 2? 3

?
6

](k ? Z ) ;

?
6

, k? ?

] (k ? Z ) .

2 , co s ? ? sin ?

?
4 ? 2 2 (co s ? ? sin ? )

? co s ? ? sin ? ?
4 ?

2

?

2

2 ? (co s ? ? sin ? ) =

= 4 ? 4 co s ? ? ? ? ? = 2 ? ?
?

? ? ? 1 ? co s ? ? ? ? 4 ? ?

由已知 m ? n ?
?
2

??

?

8 2 5

? ? 7 ? , ,得 co s ? ? ? ? ? 4 ? 25 ?

又 co s ? ? ?
?

?

? ?

? ? 2 co s ( ? ) ? 1 4 ? 2 8
2

?

?

? co s 2 (

?

?
8

)?

16 25

? ? ? ? ? , 2?
?? ?2

?
? ?

?

5? 8

?

?
2

?

?
8

?

9? 8

? co s ? ? ? ? ? ? 0 ? ?
?2 8 ?
? ?

? co s ?

?

4 ?? ? . 8 ? 5
? ?

19.解:由已知 k a ? b ? ? k ? 3 , 2 k ? 2 ? , a ? 3 b ? ?1 0 , ? 4 ?

因为



垂直,所以

用心

爱心

专心

5



解得:

即当

时,两向量垂直





平行时,存在惟一的实数

,使得

则有



时,向量



平行

用心

爱心

专心

6

因为

,此时它们是反向.

20.解: (1)由已知得: AB ? ( 3 ,1) , AC ? ( 2 ? m ,1 ? m ). 若点 A、B、C 能构成三角形, 则这三点不共线。 故 3 (1 ? m ) ? 2 ? m ,? m ?
1 2

时,满足条件。

(2)若△ABC 为直角三角形,且 ? A 为直角,则 AB ? AC ,
? AB ? AC ? 3 ( 2 ? m ) ? (1 ? m ) ? 0 ,

解得: m ?

7 4



用心

爱心

专心

7


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