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求递推数列通项公式的常用方法


数 一、 求递推数列通项公式
基础类型 类型 1



an?1 ? an ? d及an?1 ? qan

an?1 ? an ? f (n) ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。
1 ,求 an 。 n ?n
2

解法:把原递推公式转化为 an?1 例 1:已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1 , a n?1 ? a n ?
2

解:由条件知: a n ?1

? an ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之, 即 (a2

? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 n

1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n
类型 2

所以 a n

? a1 ? 1 ?

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
3 n a n ,求 an 。 n ?1

解法:把原递推公式转化为

例 2:已知数列

?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ?
an?1 n ? an n ?1

解 : 由 条 件 知

, 分 别 令

n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1)

, 代 入 上 式 得

(n ? 1)

个 等 式 累 乘 之 , 即

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n
又? a1

?

2 2 ,? a n ? 3 3n

例 3:已知 a1

? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

解: a n

?

3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 ? ? ???? ? a1 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2
3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1 。

?

变式: (2004,全国 I,理 15. ) 已知数列{an}, 满足 a1=1,an

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1

(n≥2),则{an}的通项 a

n

?1 ?? ? ___

-1-

n ?1 n?2
解:由已知,得 an?1 当n

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 ? nan ,用此式减去已知式,得

? 2 时, an?1 ? an ? nan ,即 an?1 ? (n ? 1)an ,又 a2 ? a1 ? 1,

? a1 ? 1,
类型 3

a a a2 a n! ? 1, 3 ? 3, 4 ? 4,? ? ?, n ? n ,将以上 n 个式子相乘,得 an ? (n ? 2) 2 a1 a2 a3 an?1

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1

? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

例 4:已知数列

?an ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .
an?1 ? 2an ? 3
可以转 化为

解 :设递推 公式

an?1 ? t ? 2(an ? t )



an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3

. 故递 推公式为

an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且
等比数列,则 bn 变式:在数列 (key: an 类型 4

bn?1 an?1 ? 3 ? ? 2 .所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 bn an ? 3

为公比的

? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 .

?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________

? 2n?1 ? 3 )
r 均为常数) 。

n q 均为常数,( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) 。 (或 an?1 ? pan ? rq ,其中 p, q, an?1 ? pan ? q n(其中 p,

解法:一般地,要先在原递推公式两边 同除以 q

n ?1

,得:

an?1 p an 1 ? ? ? q n?1 q q n q

引入辅助数列

?bn ? (其中 bn ? an n
q

) ,得:

bn?1 ?

p 1 bn ? 再待定系数法解决。 q q

例 5:已知数列 解:在 a n ?1

?an ?中, a1 ? 5 , an?1 ? 1 an ? ( 1 ) n?1 ,求 an 。
6 3 2

1 1 2 ? a n ? ( ) n ?1 两边乘以 2 n ?1 得: 2 n?1 ? a n?1 ? (2 n ? a n ) ? 1 3 2 3 bn 2 2 n 1 n 1 n n 令 bn ? 2 ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,解之得: bn ? 3 ? 2( ) 所以 a n ? n ? 3( ) ? 2( ) 3 2 3 3 2
类型 5 递推公式为 an?2 。 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)

解 (特征根法 ):对于由递推公式 an?2

? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? ,方程 x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列

-2-

?an ?的特征方程。
若 x1 , x 2 是特征方程的两个根, 当 x1
n?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 , ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1n?1 ? Bx2 n?1 ,得到关于 A、B 的方程组) ; ? Ax1n?1 ? Bx2

代入 an 当 x1

? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中
。 ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组)

A,B 由 a1

? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,

代入 an

例 6: 数列

?an ?: 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,
2

a1 ? a, a2 ? b ,求 an
2 , 3

解(特征根法) :的特征方程是: 3x

? 5 x ? 2 ? 0 。? x1 ? 1, x 2 ?

2 n?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是 ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 3

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ?
练习:已知数列

故 an

2 ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) n ?1 3

?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2 an?1 ? 1 an ,求 an 。
3 3

7 3 1 key : an ? ? (? ) n ?1 。 4 4 3
变式:已知数列 (I)解:

?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn 解 法 : 利 用

? f (an ) )


?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) an ? ? ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 )

消 去

Sn

(n ? 2)

或 与

S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。
例 7:数列

?an ?前 n 项和 S n ? 4 ? an ?
? 4 ? an ? 1 2
n?2

1 2
n?2

.(1)求 an ?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an .

解: (1)由 S n 于是 S n ?1

得: S n ?1

? 4 ? a n ?1 ? 1 2
n ?1

1 2 n ?1 1 1 1 ? a n ?1 ? a n ? n n ?1 2 2 2
.

? S n ? (a n ? a n ?1 ) ? (

1 2
n?2

?

) ,所以 an?1 ? an ? an?1 ?

( 2 )应用类型 4 ( an?1

? pan ? q n (其中

p , q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1)

n ?1 ? 0) ) )的方法,上式两边同乘以 2 得:

-3-

2n?1 an?1 ? 2n an ? 2


a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?

1 ? a1 ? 1 2
1? 2

. 于 是 数 列

?2 a ? 是 以
n n

2 为 首 项 , 2 为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以

2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ?
类型 7
r ( p ? 0, an ? 0) an?1 ? pan

n 2 n ?1

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 例 8:已知数列{ an }中, a1

? pan ? q ,再利用待定系数法求解。

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 . a 1 2 1 解:由 a n ?1 ? ? a n 两边取对数得 lg a n ?1 ? 2 lg a n ? lg , a a 1 1 2 n ?1 令 bn ? lg an ,则 bn ?1 ? 2bn ? lg ,再利用待定系数法解得: a n ? a ( ) 。 a a ? 1, a n?1 ?
类型 8

an?1 ?

f ( n) a n g ( n) a n ? h( n)

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1

? pan ? q 。

例 9:已知数列{an}满足: an

?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

解:取倒数:

1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
变式:已知数列{an}满足:a1=

3 2

,且 an=

3na n-1 (n ? 2,n ? N?)求数列{an}的通项公式; 2a n-1+n- 1
}为一个等比数列,其首项为 1-

解: (1)将条件变为:1-

n an



1 n-1 n ,因此{1- ( 1- ) 3 a n-1 an

1 a1



1 1 n ,公比 ,从而 1- 3 3 an



1 3n

,据此得 an=

n ? 3n (n?1) 3n-1

二、数列的求和

?na1 ?? q ? 1 n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? na1 ? : (1)公式法: 必须记住几个常见数列前 n 项和 S n ? ; ; 2 2 ? 1 ? q ?? q ? 1 ?
2 10. (辽宁卷)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn ? 2a ? q( p, q ? R), n ? N

-4-

(Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)若 a1 与 a5 的等差中项为 18,bn 满足 an ? 2log2 bn ,求数列的{bn}前 n 项和. . (Ⅰ)解法一:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 2 ? q , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? pn2 ? 2n ? q ? p(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? q ? 2 pn ? p ? 2 . · · · · · · · · · · · 4分 ??an ? 是等差数列,? p ? 2 ? q ? 2 p ? p ? 2 ,? q ? 0 · 解法二:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 2 ? q , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? pn2 ? 2n ? q ? p(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? q ? 2 pm ? p ? 2 . 当 n ? 3 时, a1 ? an?1 ? 2 pn ? p ? 2 ? [2 p(n ?1) ? p ? 2] ? 2 p .

a2 ? p ? 2 ? q ? 2 p ? 3 p ? 2 ? q .
又 a2 ? 2 p ? 2 ? p ? 2 ? 3 p ? 2 , 所以 3 p ? 2 ? q ? 3 p ? 2 ,得 q ? 0 .· · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)解:? a1 ?

a1 ? a5 ,? a3 ? 18 .又 a3 ? 6 p ? p ? 2 ,? 6 p ? p ? 2 ? 18 ,? p ? 4 2

· · · · · · · · · · · 8分 ?an ? 8n ? 6 · 又 an ? 2log2 b n 得 bn ? 24n?3 .?b1 ? 2 , 所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? (2)分组求和:

bn?1 24( n?1)?1 ? 4n?3 ? 24 ? 16 ,即 ?bn ? 是等比数列. bn 2

2(1 ? 16n ) 2 ? (16n ? 1) 1 ? 16 15

? (3n ? 1)n ?? a ? 1 ? 1 1 1 ? 2 如:求 1+1, ? 4 , 2 ? 7 ,…, n ?1 ? 3n ? 2 ,…的前 n 项和(注: S n ? ? ) a a a ? (3n ? 1)n ?? a ? 1 ? 2 ?
(3)裂项法: 如 an ?

1 求 Sn n(n ? 2)

常用的裂项有

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ); ? [ ? ] ; n(n ? 2) 2 n n ? 2 n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) n n ? 1
'

(湖北卷)已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。
-5-

(Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ) 、设 bn ?

m 1 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立的最小正整数 m; 20 an an?1

解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.

又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5. 当 n=1 时,a1=S1=3× 12-2=6× 1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
?

?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 = ( 1 - ). ( 1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? ? ? 2

因此,要使

1 1 m 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10,所以满足要求的 2 6n ? 1 20 2 20

最小正整数 m 为 10.

(4)错位相减法:其特点是 cn=anbn 其中{an}是等差,{bn}是等比 - 如:求和 Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n-1)xn 1 注意讨论 x,

?n 2 ?? x ? 1 ? S n ? ? (2n ? 1) x n ?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) ?? x ? 1 ? (1 ? x) 2 ?
(5)倒叙相加法:等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。 如求证:Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n—1) Cnn=(n+1)2n

-6-


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