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2013年广东省最新高考全真模拟试题及答案(一)


2013 年广东省高考模拟试题(一)
数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每题 5 分,满分 50 分. 2 1. (原创)已知集合 A ? ? x | x ? x ? 2 ? 0? ,集合 B ? ?x | x ? 0? ,则 A ? B ? (
A. ? ?1, 2? 2. (原创)复数 B. ?0, 2? C. ? 0, 2? D. ??1, 2? )

2i 的虚部为( ) 1? i A. i B. ?i C. 1 D. ?1 3. (原创)已知命题 p :函数 f ? x ? 在 x ? x0 处有极值,命题 q :可导函数 f ? x ? 在 x ? x0 处导数为 0,则 p 是 q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2

y2 ? 1的 4. (2012 年河北衡水高三期末考试改编)已知 m 是两个正数 2 , 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ? m
离心率为( A. )

3 5 3 3 或 B. C. 5 D. 或 5 2 2 2 2 5. (原创)设 a , b 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若 a ∥ ? , b ∥ ? 且 ? ∥ ? ,则 a ∥ b B.若 a ∥ ? , a ∥ ? 且 b ∥ a ,则 b ∥ ? C.若 a ? ? , b ? ? 且 ? ∥ ? ,则 a ∥ b D.若 a ? ? , a ? ? 且 b ∥ ? ,则 b ∥ ?
6. (2011 年深圳一模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( 2 1 A.2 B.1 C. D. 3 3 n?1 7. (2009 年陕西高考改编)设曲线 y ? x (n ? N ? ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn , lg 则o A. log 2011 2010
2 1 0 1 3



1 1 1 1 1

x lg23 o0 ?1

B. ?1

x. ?g ? 22 l 23 0 o 0 1 1 C. log2011 2010 ?1
2

x

= ( D. 1



正(主)视图

侧(左)视图

?x ? 0 ? 8. (2009 年惠州调研改编)已知平面区域 A: ? y ? 0 恰好被面 ? ? 3x ? y ? 2 3 ? 0 2 2 2 积最小的圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 及其内部所覆盖,现向此圆内部投一
粒子,则粒子恰好落在平面区域 A 内的概率为( A. ) D.

俯视图

2 2?

B.

3 2?

C.

2

3

?


?

9. (2012 年杭州月考改编)若 n ? m 表示 [m, n](m ? n) 的区间长度,函数 f ( x) ? a ? x ? x (a ? 0) 的 值域区间长度为 2 ? 1 ,则实数 a 的值为( A. 4 B. 2 C. 2 D. 1

10. 原创) ?ABC 中, , F 分别为 AB, AC 的中点, 为 EF 上的任一点, ( 在 P 实数 x, y 满足 PA ? xPB ? yPC ? 0 , E 设 ?ABC , ?PBC , ?PCA , ?PAB 的面积分别为 S , S1 , S2 , S3 ,记

??? ???? ? ?

??? ?

S S1 S ? ?1 , 2 ? ?2 , 3 ? ?3 ,则 λ2λ3 取到最大值时, 2x ? y 的值为( S S S 3 3 A. ?1 B. 1 C. ? D. 2 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
(一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.



第 11 题图

1 1 1 1 ? ? ?? ? 的一个程序框图如图,其中框内应填入的条件是__ 2 4 6 20 2 2 12. (原创)函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 在其定义域内零点的个数为_____. x
11. (原创)给出计算 数列 ?an ? ,若 an ? 2013 ,则 n ? ___________.

__.

13. (2012 年湖北荆州市高三一模改编)把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数 和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个

C
D (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题. 14. (几何证明选讲选做题) (原创)如图,在 Rt△ABC 中, ?C ? 90? , E 为 AB 上一点,以 BE 为直径作圆 O 刚好与 AC 相切于点 D,若

A

E

· O

B

. AB : BC ? 2:1, CD ? 3 ,则圆 O 的半径长为 ? x ? sin ? 15. (极坐标与参数方程选做题) (原创) 曲线 ? 与 (? 为参数) y ? x ? 2 的交点坐标为__________ 2 ? y ? sin ? 三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分. ?? ? ?? ?

sin ? ? 2 x ? sin ? ? x ? ?2 ? ?2 ?. 16. (12 分) (原创)设函数 f ? x ? ? 3 sin x ? cos ?? ? x ?
(1)求 f ? x ? 的最值; (2)当 ? ? ? 0,

? ?

??

? 时,若 f ?? ? ? 1,求 ? 的值. 2?

17. (12 分) (原创)美国男子篮球职业联赛(NBA)是美国四大职业联赛之一,吸引了全世界无数的球迷。 下表列出了 NBA 巨星科比在本赛季前六场比赛的技术统计指标,每场比赛包括“得分”、“篮板”、“助攻”、 “抢断”以及“盖帽”五项. (1)写出科比在这六场比赛中得分的众数和中位数,并计算其平均得分; (2)若在“得分”,“篮板”,“助攻”,“抢断”和“盖帽”这五项技术统计中有任意三项均达到或超过 10,则称 这个运动员在比赛中拿到“三双”,按表中所出现“三双”的频率计算,在本赛季一共 66 场常规赛中,科比大 概能拿到多少次“三双”? (3)若从这六场比赛中任意抽取两场比赛作进一步的技术统计分析,则抽到得分不低于 29 分且盖帽数不 低于 2 次的概率为多少?

18. (14 分) (原创)如图 3:四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角 梯形,且 ?DAB ? 90? , E 为 SD 的中点, SA ? 平面 ABCD ,且 AB ? 1 , SA ? AD ? CD ? 2 .延长 DA ,与 CB 的延长线交于点 M . (1)求四棱锥 S ? ABCD 的体积; (2)求证: AE ∥平面 SBC ; (3)求证:平面 SMC ? 平面 SCD . M

S E D A B C

19. (14 分) (原创)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 1 ?
2 (3)记数列 1 ? an 的前 n 项积为

1 , an ?1an ? an an ?1 ? 2an ?1an ?1 . 2

?

?

??
n i ?2

?b ? 1 ,试求数列 ? n ? 的前 n 项和 Tn ; n 2 ? an ? n 1 1 ? ai2 ,试证明: ? ? 1 ? ai2 ? 1 . 2 i ?2

?

?

?

20. (14 分) (原创)已知圆 C1 : x2 ? y 2 ?10x ? 6 y ? 32 ? 0 ,动圆

C2 : x2 ? y2 ? 2ax ? 2(8 ? a) y ? 4a ?12 ? 0(a ? R) ; (1)求证圆 C1 与圆 C2 相交于两个定点;
x2 ? y 2 ? 1上的点,过点 P 作圆 C1 的一条切线,切点为 T1 ,过点 P 作圆 C2 的一条切 4 线,切点为 T2 ,是否存在点 P ,使无穷多个圆 C2 满足 PT1 ? PT2 ?如果存在,求出所有这样的点 P ,
(2)设点 P 是椭圆 不存在,说明理由.

21. (14 分) (2010 年佛山考前指导改编)已知函数 f ? x ? ? a ? x ? x ln a ? a ? 1? .
x 2

(1)试讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若函数 y ? f ? x ? ? t ? 1有三个零点,试求 t 的值; (3)若存在 x1, x2 ?? ?1, 1? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1 ,试求 a 的取值范围.

2013 年广东省数学高考模拟试题 数学 (文科)数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 个小题,每题 5 分,满分 50 分
1. 【答案:B】此题主要考查一元二次不等式的求法和交集的概念,属于容易送分题。
2 ? 解 析 : 因 为 A ? x | x ? x ? 2 ? 0 ? x |? x ? 2 x ?? ? 0 ? x | ?1 ? x ? 2 B ? ?x | x ? 0? , 因 此 ?? 1 ?,

?

? ?

?

A ? B ? ?0, 2? 。
2. 【答案:C】主要考查复数的定义和除法运算,属于容易送分题。 解析:

2i 2i(1 ? i) ? ? ?1 ? i ,所以虚部为 1,故选 C。 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

3. 【答案:A】考查充要条件知识和导数极值的基本知识,属于容易题。

解析:“函数 f ? x ? 在 x ? x0 处有极值” ? “可导函数 f ? x ? 在 x ? x0 处导数为 0”;但是“可导函数 f ? x ? 在

x ? x0 处导数为 0”却并不能推出“函数 f ? x ? 在 x ? x0 处有极值”,如函数 f ? x? ? x3 在 x ? 0 处的导数

f ' ? 0? ? 0 ,但是 x ? 0 并不是它的极值点,自然在这点就不存在极值。
4. 【答案:D】考查了等比数列中等比中项的概念和圆锥曲线中各个参数的关系以及离心率的定义,考查 了学生的思维是否缜密周全,考查了简单的分类讨论思想,属于基础题。 解析: 由 m ? 2 ? 8 ? 16 得 m ? ?4 ,代入曲线方程可求得 e ? 5或
2

3 . 2

5. 【答案:C】本题考查了线面平行和垂直的判定和性质,考查了空间想象能力。 解析:由 a ? ? 且 ? ∥ ? 可得 a ? ? ,又 b ? ? ,从而可得 a ∥ b 。 6. 【答案:C】本题考查三视图的基本知识,考查考生空间想象能力。 解析:将三视图还原得到的是一个四棱锥,根据三视图给出的边长求得为体积 7. 【答案:B】考查导数的几何意义和对数的运算,属于中等题。
' n 解析:由 y ? (n ? 1) x 求得 xn ?

2 。 3

n , log2013 x1 ? log2013 x2 ? .... ? log2013 x2012 n ?1 1 2 2012 ) ? ?1 。 ? log2013 ( x1 x2 ...x2012 ) ? log 2013 ( ? ? ..... ? 2 3 2013 1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 ,要使区域 2 A 被 面 积 最 小 的 圆 C 及 其 内 部 所 覆 盖 , 则 圆 C 为 Rt △ ABC 的 外 接 圆 , 此 时 其 直 径
MN ? 2 ? 2 3
2

8. 【答案:B】考查几何概型的知识和圆的知识,属于中等题。 解析:如右图,平面区域 A 所示的部分即为 Rt △ OMN ,其面积为: S ?

?

?

2

?4? ? 4 ,从而其面积为: S1 ? ? ? ? ? 4? ,故粒子恰好落在平面区域 A 的概率为: ?2?

2

p?

S 2 3 3 。 ? ? S1 4? 2?

9. 【答案:D】本题考查函数的值域和考查基本不等式的简单运用,本题解题的关键是利用所求的长度与 所给的长度进行对比,属于中等题。 解析:[ f ( x)]2 ? ( a ? x ? x )2 ? a ? 2 (a ? x) x , (a ? x) x ?

(a ? x) ? x a ? ,故 a ? [ f (x)] 2 ? a , 2 2 2 a ? f ( x) ? 2a ,故 f ( x) ? a ? x ? x (a ? 0) 的区间长度为 a ( 2 ?1) ? 2 ?1 ,解得 a ? 1 。

10. 【答案:D】本题考查向量的线性运算、基本不等式等知识的综合,是一道综合题,难度较大。

1 1 1 ,?1 ? ?2 ? ?3 ? 1,?2 ? ?3 ? ? 2 ?2 ?3 , ?2?3 取到最大值时,?2 ? ?3 ? , 当 2 2 4 ??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? ??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? ??? 1 ??? 1 ???? ? ? 此 时 P 为 EF 的 中 点 , 所 以 PA ? BA ? CA , PB ? CB ? AB , PC ? BC ? AC , 4 4 4 4 4 2
解析: 由题意可知 ?1 ?

??? ???? ? ? ??? 1 ??? 1 ??? 1 ??? 1 ???? 1 ??? 1 ??? ? ? ? ? ? ? PA ? xPB ? yPC ? BA ? x AB ? CA ? y AC ? xCB ? yBC 4 2 4 2 4 4 ? 3 1 1 ??? 1 3 1 ???? 1 1 3 ? ( x ? y ? ) AB ? (? x ? y ? ) AC ? 0 ,所以 x ? , y ? ,故 2 x ? y ? 。 4 4 4 4 4 4 2 2 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。本大题分为必做题和选做题两部分。 (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 11. 【答案: i ? 10 或者 i ? 11 或者 n ? 20 ,其中的任一个答案都可以对】本题考查了学生对程序框图的
应用能力,审题能力和判断能力。 解析:直接进行判断要循环 10 次,因此得 i ? 10 或者 i ? 11 或者 n ? 20 。 12. 【答案:1】考查了函数的零点,函数与方程的互化,基本初等函数的图象。 解析:由 ? x ? 2 x ?
2

2 2 2 ? 0 零点得 ? x 2 ? 2 x ? ,即( ?( x ? 1) 2 ? 1 ? ,由图象可知只有 1 个零点。 x x x

13. 【答案:1029】 本题以等差数列的三角形数阵为载体,考查了数列在实际生活中的应用,属于难题.观 察对比两图形中的相同点与不同点,合理利用这此关系并结合等差数列的求和公式与通项公式,是解决本 问题的关键。
2 解析:图乙中第 k 行有 k 个数,第 k 行最后的一个数为 k ,前 k 行共有

k ( k ? 1) 个数,由 2

知 a5 4 4? 4 4? 1 9 3 6 , ? 5 ? 5 2 0 2 n ? 2013 出 现 在 第 45 行 , 第 45 行 第 一 个 数 为 1937 , 第 4 4 201? 1937 3 44(44 ? 1) ?1 ? 3 9 ? 39 ? 1029 个数为 2013,所以 n ? 2 2 。

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做一题,两题全答的,只计算第一题的得分。
14. 【答案:2】考查解三角形和圆的有关知识,属于容易题。 解析:连接 DE ,则 ?BDE ? ?C ? 90? ,由 AB : BC ? 2 :1 ,所以 ?A ? 30? ,从而 ?ABC ? 60? ,又 因为 AC 切圆 O 于点 D,故 ?BED ? ?BDC ,从而: ?EBD ? ?CBD ? 所以 BD ? 2CD ? 2 3 ? BE ?

1 ?ABC ? 30? ,而 CD ? 3 , 2

BD cos 30? 1 2 3 ? ? 4 故圆 O 的半径: r ? BE ? 2 。 2 3 2 15. 【答案: (?1,1) 】考查了参数方程,函数的图象,考查学生思维是否缜密,以及初等函数图像的掌握。 ? x ? sin ? ? x2 ? y (?1,1) 。 解析:把参数方程 ? x2 ? y( y ? 0) ,联立 ? y ? sin 2 ? 化简为得 y ? x ? 2 解得交点坐标为 ? ? 三、本大题 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 ?? ? ?? ? sin ? ? 2 x ? sin ? ? x ? ?2 ? ?2 ?。 16. (本小题满分 12 分) (原创)设函数 f ? x ? ? 3 sin x ? cos ?? ? x ?
(Ⅰ)求 f ? x ? 的最值; (Ⅱ)当 ? ? ? 0,

? ?

??

? 时,若 f ?? ? ? 1,求 ? 的值。 2?

【说明】本题考查三角函数的诱导公式、两角和差等公式和三角函数化简及最值等知识,十分符合广东高 考考纲要求,考查了基本运算能力,是属于基础题。

?? ? ?? ? sin ? ? 2 x ? sin ? ? x ? 2 2 ? ? ? ? ? 3 sin x ? cos 2 x cos x ? 3 sin x ? cos 2 x 解: (Ⅰ) f ? x ? ? 3 sin x ? cos ?? ? x ? ? cos x

? 3 ? 11 ? 3 sin x ? 1 ? 2sin x ? ?2 ? sin x ? ? ? ---------------------------------------------------------(4 分) ? 4 ? 8 ? ? 11 3 故当 sin x ? 时, f ? x ? max ? ----------------------------------------------------------------------------(5 分) 8 4 2 当 sin x ? ?1 时, f ? x ?min ? 3 ? ? ?1? ? 1 ? 2 ? ? ?1? ? ? 3 ? 1 --------------------------------------(6 分)
2

2

?? ? ?? ? sin ? ? 2? ? sin ? ? ? ? ?2 ? ?2 ? ? 1 ? 3 sin ? ? cos 2? ? 1 --------(8 分) (Ⅱ)由 f ?? ? ? 1 ? 3 sin ? ? cos ?? ? ? ?
即: 3 sin ? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 2sin ? ? 3 sin ? ? 0 ? sin ? 2sin ? ? 3 ? 0 ------------(10 分)
2 2

?

?

又 ? ? ? 0,

? ?

??

? 3 ,从而 ? ? ----------------------------------------------------------(12 分) ? ,所以 sin ? ? 3 2 2?

17. (本小题满分 12 分) (原创)美国男子篮球职业联赛(NBA)是美国四大职业联赛之一,吸引了全世 界无数的球迷。 下表列出了 NBA 巨星科比在本赛季前六场比赛的技术统计指标, 每场比赛包括“得分”, “篮 板”,“助攻”,“抢断”以及“盖帽”五项。 (Ⅰ)写出科比在这六场比赛中得分的众数和中位数,并计算其平均得分; (Ⅱ)若在“得分”,“篮板”,“助攻”,“抢断”和“盖帽”这五项技术统计中有任意三项均达到或超过 10,则 称这个运动员在比赛中拿到“三双”,按表中所出现“三双”的频率计算,在本赛季一共 66 场常规赛中,科比 大概能拿到多少次“三双”? (Ⅲ)若从这六场比赛中任意抽取两场比赛作进一步的技术统计分析,则抽到得分不低于 29 分且盖帽数 不低于 2 次的概率为多少? 【说明】本题考查中位数、平均数等、古典概型等基础知识,考查运用概率统计知识解决简单实际问题的 能力,数据处理能力和应用意识,属于基础题。 解: (Ⅰ)得分的众数为:28,中位数为:29---------------------------------------------------------------(2 分)

1 ? 28 ? 29 ? 28 ? 28 ? 37 ? 30 ? ? 30 -----------------------------------------------------(4 分) 6 1 (Ⅱ)在这六场比赛中,科比只在第五场比赛中拿到了“三双”,故其频率为 ,那么在本赛季 66 场常规 6 1 赛中,科比可能拿到 ? 66 ? 11 场“三双”。-----------------------------------------------------------(6 分) 6
平均数为: x ? (Ⅲ)从这六场比赛中任意抽取两场比赛的基本事件数为 15 种----------------------------------------(8 分) 而满足得分不低于 29 分且盖帽数不低于 2 次的比赛是第 2,第 5 和第 6 场共三场,从这三场中抽取两场的 方法有 3 种-------------------------------------------------------------------------------------------------(10 分)

3 1 ? ----------------------------------------------(12 分) 15 5 18. (本小题满分 14 分) (原创)如图 3:四棱锥 S ? ABCD 中, S 底面 ABCD 是直角梯形,且 ?DAB ? 90? , E 为 SD 的中点, SA ? 平面 ABCD ,且 AB ? 1 , SA ? AD ? CD ? 2 。延长 DA , F E 与 CB 的延长线交于点 M 。 (Ⅰ)求四棱锥 S ? ABCD 的体积; D (Ⅱ)求证: AE ∥平面 SBC ; (Ⅲ)求证:平面 SMC ? 平面 SCD 。 A 【说明】本题考查本题主要考察空间线面平行和面面垂直判定性质定理 B
从而 p (得分不低于 29 分且盖帽不低于 2 次) ? 的知识以及棱锥的体积等基础知识,充分考查考生的空间想象能力、 运算能力和推理论证能力。 图3

C

1 1 1 M 解: (Ⅰ) V ? S梯形ABCD ? SA ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ---(4 分) 3 3 2 证明: (Ⅱ)取 SC 的中点 F ,连结 EF , BF ,则 EF ∥ AB 且

EF ? AB ,故四边形 EFBA 为平行四边形------------------------------------------------------------------(6 分) 从而 AE ∥ BF -----------------------------------------------------------------------------------------------------(7 分) 所以 AE ∥平面 SBC ---------------------------------------------------------------------------------------------(8 分) (Ⅲ) SA ? 平面 ABCD ,则 SA ? CD ,又 AD ? CD ,故 CD ? 平面 SAD ,从而 CD ? SM (10 分) AB 1 DA 与 CB 的延长线交于点 M ,且 ? ,则 A 为 MD 的中点,又 SA ? MD ,且 SA ?AD ?AM ? 2 DC 2 所以三角形 SMD 为等腰直角三角形,且 SD ? SM -----------------------------------------------------(12 分) 而 CD, SD 是平面 SCD 内的两条相交直线,从而 SM ? 平面 SCD ---------------------------------(13 分) 所以平面 SMC ? 平面 SCD -----------------------------------------------------------------------------------(14 分)

19. (本小题满分 14 分) (原创)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 1 ?

1 , an ?1an ? an an ?1 ? 2an ?1an ?1 。 2

?b ? 1 ,试求数列 ? n ? 的前 n 项和 Tn ; n 2 ? an ? n n 1 2 2 2 (Ⅲ)记数列 ?1 ? an ? 的前 n 项积为 ? ?1 ? ai ? ,试证明: ? ? ?1 ? ai ? ? 1 。 2 i ?2 i ?2
【说明】本题考查数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式和前 n 项和求通项以及错位相减法等基础 知识,突出考查了学生变形的能力,化归与转化的思想以及创新意识,是一道十分重视基础但又有比较好 区分度的中等题。 解: (Ⅰ) an ?1an ? an an ?1 ? 2an ?1an ?1 ? an ? an ?1 ? an ?1 ? ? 2an ?1an ?1 ?

an?1 ? an?1 2 ? an?1an?1 an

?

1 1 1 1 1 1 2 -----------------------------------------------------------(2 分) ? ? ? ? ? ? an?1 an an an?1 an ?1 an ?1 an

?1? 1 1 ? ? 2 ? 1 ? 1 ,因此 ? ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列----------------------(3 分) a2 a1 ? an ? 1 1 从而 ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n ? an ? ------------------------------------------------------------------------(4 分) an n 1 1 (Ⅱ)当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1 ? ? -----------------------------------------------------------------------(5 分) 2 2 1? ? 1 ? 1 ? 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? ?1 ? n ? ? ?1 ? n ?1 ? ? n ------------------------------------------------(6 分) ? 2 ? ? 2 ? 2 1 b n 而 b1 也符合上式,故 bn ? n ,从而: n ? n ------------------------------------------------------------(7 分) 2 an 2 1 2 3 n 1 1 2 3 n 所以 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ---------------------------------(8 分) 2 2 2 2 2 2 2 2 2
而 a1 ? 1且 将上面两式相减,可得:

1? 1? ?1 ? n ? 1 1 1 1 1 n n 1 n n?2 2 2 ? Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ? ? ? n?1 ? 1 ? n ? n?1 ? Tn ? 2 ? n --(10 分) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 2 ? 1 ? ? 1 ?? 1 ? n ? 1 n ?1 2 (Ⅲ)因为 1 ? an ? 1 ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? -----------------------------------------(11 分) ? n n ? n ? ? n ?? n ?



? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? a ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 4 ? 4 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
n i ?2 2 i

3 1

4 2

5 3

n ? 1 n ?1 ? ? 3 4 5 n ?1 ? ? 1 2 3 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? n n ? ?2 3 4 n ? ?2 3 4 n ?

n ?1 1 1 ? 1 ? ? ? ?1 ? ? --------------------------------------------------------------------------------------------(12 分) 2 n 2? n? n 1 1 1 1? 1? 3 1 由于 n ? 2, n ? N ? ,故 0 ? ? ,从而 ? ?1 ? ? ? ? 1 ,即 ? ? ?1 ? ai2 ? ? 1 -------(14 分) n 2 2 2? n? 4 2 i ?2 2 2 20. (本小题满分 14 分) (原创)已知圆 C1 : x ? y ?10x ? 6 y ? 32 ? 0 ,动圆

C2 : x2 ? y2 ? 2ax ? 2(8 ? a) y ? 4a ?12 ? 0(a ? R) ; (Ⅰ)求证圆 C1 与圆 C2 相交于两个定点;
x2 ? y 2 ? 1上的点,过点 P 作圆 C1 的一条切线,切点为 T1 ,过点 P 作圆 C2 的一条 4 切线,切点为 T2 ,是否存在点 P ,使无穷多个圆 C2 满足 PT1 ? PT2 ?如果存在,求出所有这样的点 P ,
(Ⅱ)设点 P 是椭圆 不存在,说明理由。 【说明】本题考查圆的基本知识与直线与圆、椭圆相关知识的探究性综合题目,本题要求能力比较高,是 一道综合题目的中等题。 解
2


2













x2 ? y 2 ? 2ax ? 2(8 ? a) y ? 4a ? 12 ? 0





x ? y ?16 y ? 12 ? (?2x ? 2 y ? 4)a ? 0 ----------------------------------------------------------------(2 分) ? x 2 ? y 2 ? 16 y ? 12 ? 0 ? x ? 4 ? x ? 6 由? 得? 或? ,所以圆 C2 过定点 (4, 2) 和 (6, 4) -----------------(4 分) ? ?2 x ? 2 y ? 4 ? 0 ?y ? 2 ?y ? 4
将?

?x ? 4 代入方程 x2 ? y 2 ?10 x ? 6 y ? 32 ? 0 中,可见点 (4, 2) 满足方程,故点 (4, 2) 在圆 C1 上,同理点 ?y ? 2 (6, 4) 也在圆 C1 上-,所以圆 C1 与圆 C2 相交于两个定点 (4, 2) 和 (6, 4) ----------------------(6 分)
2 2 x0 ? y0 ? 10 x0 ? 6 y0 ? 32 ,----------------------------------------(7 分)
2 2 PT2 ? x0 ? y0 ? 2ax0 ? 2(8 ? a) y0 ? 4a ? 12 -----------------------------------------------------------(8 分)

(Ⅱ)设 P ? x0 , y0 ? ,因此 PT1 ?

若 PT1 ? PT2 ,则有 ?10x0 ? 6 y0 ? 32 ? ?2ax0 ? 2(8 ? a) y0 ? 4a ? 12 -------------------------(9 分) 整理得 ( x0 ? y0 ? 2)(a ? 5) ? 0 --------------------------------------------------------------------------------(10 分)

? x0 ? y0 ? 2 ? 0 ? 故存在无穷多个圆 C2 满足 PT1 ? PT2 的充要条件为 ? x 2 有解----------------------(11 分) 2 0 ? ? y0 ? 1 ?4 6 ? x ? x0 ? 2 ? 0 5 ? ? 解方程组得 ? 或? ----------------------------------------------------------------------------(13 分) ? y0 ? 0 ? y ? ? 4 ? 0 5 ? 6 4 故存在点 P ,使得无穷多个圆 C2 满足 PT1 ? PT2 ,这样的点 P 的坐标为 (2, 0) 或 ( , ? ) -(14 分) 5 5 x 2 21. (根据 2010 年佛山考前指导改编) (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? a ? x ? x ln a ? a ? 1? 。
(Ⅰ)试讨论函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若函数 y ? f ? x ? ? t ? 1有三个零点,试求 t 的值; (Ⅲ)若存在 x1, x2 ?? ?1, 1? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1 ,试求 a 的取值范围。 【说明】本题主要考查利用导数来求单调性、不等式的证明等基础知识,考查数形结合思想和导数作为解 决问题的工具的灵活运用,着重突出了分析问题、解决问题的能力和创新意识,是一道对文科考生具有十

分好区分度的综合题目。

x x 解: (Ⅰ) f ' ? x ? ? a ln a ? 2 x ? ln a ? 2 x ? a ? 1 ln a -------------------------------------------------(1 分)

?

?

因为 f ' ? 0? ? 0 ,且 a ? 1 ---------------------------------------------------------------------------------------(2 分) 当 x ? 0 时, ln a ? 0, a x ?1 ? 0 ? f ' ? x ? ? 0 -------------------------------------------------------------(3 分) 故函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递增;-------------------------------------------------------------------------(4 分) 当 x ? 0 时, ln a ? 0, a x ?1 ? 0 ? f ' ? x ? ? 0 ----------------------------------------------------------------(5 分) 故函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递减。-----------------------------------------------------------------------(6 分) (Ⅱ)当 a ? 1 时,由(Ⅰ)可知: f ? x ? 在 x ? 0 处取得最小值,又函数 y ? f ? x ? ? t ? 1 有三个零点, 所以方程 f ? x ? ? t ? 1有三个根,------------------------------------------------------------------------(8 分) 而 t ? 1 ? t ? 1 ,所以 t ? 1 ? f ? x ?

?

?

(Ⅲ)因为存在 x1, x2 ?? ?1,1? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1 ,因此当 x?? ?1,1? 时,有:

min

? f ? 0? ? 1 ,由此可解得: t ? 2 。--------------------------(9 分)

? f ? x ??

又由(Ⅰ)知: f ? x ? 在 ? ?1,0? 上单调递减,在 ?0,1? 上单调递增,故当 x?? ?1,1? 时,

max

? ? f ? x ? ?min ? ? f ? x ? ?max ? ? f ? x ? ?min ? e ? 1 ---------------------------------------------(10 分)

? f ? x ??

min

? f ? 0? ? 1,

? f ? x ??

max

? max ? f ? ?1? , f ?1?? ,

而 f ?1? ? f ? ?1? ? ? a ? 1 ? ln a ? ? ?

1 ?1 ? ? 1 ? ln a ? ? a ? ? 2ln a ------------------------------------(12 分) a ?a ?

记 g ? t ? ? t ? ? 2 ln t ? t ? 1? ,因为 g ? t ? ' ? 1 ?

1 t

1 2 ?1 ? ? ? ? ? 1? ? 0 (当 t ? 1 时取等号) t2 t ? t ?

2

因此 g ? t ? ? t ? ? 2 ln t 在 t ??1, ??? 上单调递增,而 g ?1? ? 0 ,故当 t ? 1 时, g ? t ? ? 0 ;即当 a ? 1 时, 由 f ?1? ? f ? 0? ? e ?1 ? a ? ln a ? e ?1 ? a ? e ,综上所述,所求 a 的取值范围为 ? e, ?? ? (14 分) 注:各题其它正确的解法,请按照相应步骤给分.

f ?1? ? f ? ?1? ----------------------------------------------------------------------------------------------------(13 分)

1 t


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