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河北省唐山市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版含答案


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唐山市 2012~2013 学年度高二年级第一学期期末考试

理科数学甲卷参考答案及评分标准
一、选择题: A 卷:ABBA B 卷:DBAB 二、填空题: (

13)150? 三、解答题: CBDD CDAD ADCC ABCC

(14)2

(15)③④

(16)13

?0<m<4, ?m>4, ? ? m 1 或? 4 1 (17)解:若命题 p 为真,则有? 2 2 ?0<e =1- 4 < 2 , ?0<e =1-m< 2 , ? ?
解得 2<m<4 或 4<m<8. 圆 x2+y2-4x+7-m=0 化为(x-2)2+y2=m-3.若命题 q 为真,则有
?m-3>0, ? 解得 3<m<5. 2 2 ?(1-2) +(-1) >m-3,

…4 分

…8 分

?2<m<4或4<m<8, ∵p∧q 为真命题,∴p 真 q 真,故有? 即 3<m<5 且 m≠4. ?3<m<5,

故所求实数 m 的取值范围是 3<m<5 且 m≠4.

…10 分

(18)解: (Ⅰ)由题意,设所求抛物线方程为 y2=2px,由点(1, 2 )在抛物线上, 故 2=2p,p=1,故所求抛物线 C 的方程为 y2=2x. …5 分 (Ⅱ)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b(k≠0) ,
?y=kx+b, 2b 由? 2 得 ky2-2y+2b=0,由题设,得 y1y2= k =-2,b=-k, y =2x, ?

所以直线 AB 的方程为 y=kx-k=k(x-1),显然直线 AB 过定点(1,0).…11 分 当直线 AB 的方程为 x=1 时,易得 A(1, 2 ),B(1,- 2 ),满足 y1y2=-2. 综上,直线 AB 恒过定点(1,0). …12 分 (19)解: (Ⅰ)连结 CB1,设 BC1 与 CB1 交于点 F,连结 EF. 在△AB1C 中,易知 F 为 CB1 的中点,又 E 为 AC 的中点,所以 EF∥AB1. ∵EF?平面 BEC1,AB1?平面 BEC1,∴AB1∥平面 BEC1. / (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz, 则 B(0,0, 3 ),C1(1,2,0),A(-1,0,0), …6 分

→=(1,0, 3 ),→=(1,2,0),→=(0,0, 3 ). AB EC1 EB
设平面 BEC1 的一个法向量为 n=(x,y,z),
B z

…8 分

B1

A -7C E x

F C1

A1 y

? ?n·→=0, ? 3 z=0, EB 故有? 即? →=0, ?x+2y=0, ?n· EC1 ?
因此可取 n=(2,-1,0). 设 AB 与平面 BEC1 所成的角为?, 则 sin ?=|cos?→,n?| AB = 5 = 5 . |→|·|n| AB |→·n| AB …12 分

x y (20)解: (Ⅰ)设切线 l 的方程为2b+ b =1,即 x+2y-2b=0, 由题设,有 |-2b| 12+22 =2,解得 b=± 5 , …6 分
0

所以切线 l 的方程为 x+2y±2 5 =0. x0 (Ⅱ)设 P(x0,y0),则圆 C 在点 P 处的切线为 y-y0=-y (x-x0). 4 4 4 令 y=0,得 x= x =x ,即 A x ,0 ,令 x=0,得 B 0,y , 0 0 0 0 x2+y2 0 0

(

)

(

)

?x=x , ?x = x , →=→+→,得 设 M (x,y),由OM OA OB ? 4 即? 4 ?y=y , ?y = y .
4 4
0 0 0 0

42 42 由点 P 在圆 x2+y2=4 上,所以 x2+y2=4,即 x + y =4 0 0

( ) ( )

4 4 整理,得点 M 的轨迹方程为x2+y2=1. (21)解: (Ⅰ)由已知,△ADB 和△ADP 都是正三角形, O 为 AD 的中点,故 AD⊥OP,AD⊥OB, 所以 AD⊥平面 POB.又 BC∥AD, 所以 BC⊥平面 POB. …6 分 (Ⅱ)因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO⊥AD, 所以 PO⊥平面 ABCD,PO⊥OB, …8 分 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(1,0,0),B(0, 3 ,0),P(0,0, 3 ),
z P

…12 分

D x A O B y

C

→= (-1, 3 ,0),→=(-1,0, 3 ). AB AP
易知平面 POB 的一个法向量为 m=(1,0,0). 设平面 PAB 的一个法向量为 n=(x,y,z),

?n·→=0, ?x- 3 y=0, ? ? AB 由? 得? 因此可取 n=( 3 ,1,1) . ? ? AP ?n·→=0, ?x- 3 z=0, 设二面角 A-PB-O 的大小为?,

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所以 cos ? =|cos?m,n?|=

|m·n| 15 = 5 . |m|·|n|

…12 分

b2 3 (22)解: (Ⅰ)椭圆 C 的离心率 e 满足 e2=1-a2= 4 ,所以 a2=4b2. x2 y2 4 1 点 P(2,1)在椭圆a2+b2=1 上,所以a2+b2=1. x2 y2 由①②,解得 a2=8,b2=2,椭圆 C 的方程为 8 + 2 =1.
?x2+4y2=8, 1 1 (Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由? 2 2 ?x2+4y2=8,

① ② …5 分

得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. x1+x2 y1+y2 1 因为直线 OP 的方程为 y= 2 x,又线段 AB 的中点 D 2 , 2 在直线 OP 上,所以 y1

(

)

1 +y2= 2 (x1+x2),所以(x1-x2)+2(y1-y2)=0, 1 即直线 l 的斜率 k=- 2 . 1 x2 y2 设直线 l 的方程为 y=- 2 x+m(m≠0) ,代入 8 + 2 =1,并整理, 得 x2-2mx+2(m2-2)=0, 判别式?=4m2-8(m2-2)=4(4-m2)>0,得 0<m2<4. ____________________ 1 所以|AB|= 1+ 4 [(x1+x2)2-4x1x2]= 5(4-m2) . …7 分

?(

)

|2m| 点 O 到直线 AB 的距离 d= , 5 m2+(4-m2) 1 2 所以△AOB 的面积 S= 2 |AB|d=|m| 4-m ≤ =2, 2 当且仅当 4-m2=m2,即 m=± 2 时,△AOB 的面积最大, 1 此时直线 l 的方程为 y=- 2 x± 2 .

…9 分

…12 分

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