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第一讲:函数的基本概念及其表示方法






填写说明:根据“ 【教师版本】教学计划”中的安排准备历次课件,完成既定的教学任务; 每次课以两节课计,亦即共计 90 分钟,课间休息 10 分钟。 科目 数学 年级 高二 任课老师 老师 日期 7 月 12 日

课次
第 1 课次

主讲内容 / 要点

第一讲:函数的基本概念及其表示方法 第一讲:函数的基本概念及其表示方法

一.课标要求 1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用 集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一 些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念; 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数; 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用; 4.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体 函数,了解奇偶性的含义; 5.学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 二.命题走向 上课内容 详细 函数是整个高中数学的重点,其中函数思想是最重要的数学思想方法,函数问题在历年的高考中都 占据相当大的比例. 从近几年来看,对本部分内容的考察形势稳中求变,向着更灵活的的方向发展,对于函数的概念及 表示多以下面的形式出现:通过具体问题(几何问题、实际应用题)找出变量间的函数关系,再求出函 数的定义域、值域,进而研究函数性质,寻求问题的结果. 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主,以解答题形式出现的可能性相对较小,本节知识 作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大. 预测 2012 年高考对本节的考察是: 1.题型是一个选择和一个填空; 2.热点是函数概念及函数的工具作用,以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点. 三.要点精讲 1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作:y=f(x), x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函

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数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: (1) “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ; (2)函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式: ①自然型:指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式 函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等) ; ②限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有 时这种限制比较隐蔽,容易犯错误; ③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量 x 的实际意义. (2) 求函数的值域是比较困难的数学问题, 中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题. ①配方法(将函数转化为二次函数) ;②判别式法(将函数转化为二次方程) ;③不等式法(运用不 等式的各种性质) ;④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等) . 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定义域到值域的 对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且 仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数. 4.区间 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 5.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个 元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一 个映射.记作“f:A ? B” . 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合” , 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射. 注意: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中 f 表示具体的 对应法则,可以用汉字叙述. (2) “都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思. 6.常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式, 简称解析式; (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数; 8.复合函数
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若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量,它的取值范 围是 g(x)的值域. 四.典例解析 题型 1:函数概念 例 1. (1)设函数 f ( x ) ? ?
?x ? 3 ? f [ f ( x ? 5 )] ( x ? 100 ) ( x ? 100 ) , 求 f ( 89 ).

? 2 , x ? ( ?? ,1] 1 (2)设函数 f(x)= ? ,则满足 f(x)= 的 x 值为 4 ? log 81 , x ? (1, ?? )

?x



变式题:设 f ( x ) ? ? A.0

? 2 e x ? 1 , x< 2, ? ? lo g 3 ( x ? 1), x ? 2 . ?
2

则 f ( f ( 2 ))的 值 为 (

) D.3

B.1

C.2

例 2. (1)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? _;

1 f

?x?

,若 f ? 1 ? ? ? 5, 则 f

? f ? 5 ? ? ? __

例 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数?
3 (1)f(x)= x 2 ,g(x)= x 3 ;

(2)f(x)=

|x| x

,g(x)= ?

?1 ?? 1

x ? 0, x ? 0;

(3)f(x)=

2 n ?1

x

2 n ?1

,g(x)=( 2 n ? 1 x )2n-1(n∈N*) ;
? x ;

(4)f(x)= x

x ? 1 ,g(x)=

x

2

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.

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题型三:函数定义域问题 例 4.求下述函数的定义域: (1) f ( x ) ?
2x ? x
2

lg( 2 x ? 1)

? (3 ? 2 x ) ;
0

(2) f ( x ) ? lg( x ? ka ) ? lg( x ? a ).
2 2

例 5.已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域: (1) y = f ( x ) ? 2 3 ;
2

(2) y ?

f (x ) ? 1
2

lo g 1 ( 2 ? x )
2



变式题:已知函数 f(x)=
ax

3 2

3x ? 1 ? ax ? 3

的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( C.-12<a<0 D.a≤
1 3



A.a>

1 3

B.-12<a≤0
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题型四:函数值域问题 例 5.求下列函数的值域: (1) y ? 3 x ? x ? 2 ;
2

改:求函数 y ? 3 x ? x ? 2 , x ? [1, 3] 的值域.
2

(2) y ?

?x ? 6x ? 5 ;
2

(3) y ?

3x ? 1 x?2



(4) y ? x ? 4 1 ? x ;

(5) y ? x ? 1 ? x ;
2

(6) y ? | x ? 1 | ? | x ? 4 | ;

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(7) y ?

2x ? x ? 2
2

x ? x ?1
2



(8) y ?

2x ? x ?1
2

2x ?1

(x ?

1 2

);

(9) y ?

1 ? sin x 2 ? co s x



题型五:函数解析式 例 6. (1)已知 f ( x ?
1 x )? x ?
3

1 x
3

,求 f ( x ) ;

(2)已知 f (

2 x

? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ;

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(3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ;

(4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) .
x

1

例 7.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (Ⅰ)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0.求函数 f(x)的解析表达式.

题型六:函数应用 例 8.某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车的月租金 每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月 需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

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例 9.对 1 个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度 (含污物体的清洁度定义为:
1? 污物质量 物体质量(含污物) )为 0 . 8

,要求清洗完后的清洁度为 0 . 99 .有两种方案可供选择,方案甲:一次清

洗;方案乙:分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为 a (1 ? a ? 3 ) .设用 x 单 位质量的水初次清洗后的清洁度是
y ? ac y? a
x ? 0 .8 x ?1

( x ? a ? 1) ,用 y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是

,其中 c ( 0 . 8 ? c ? 0 . 99 ) 是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及 c ? 0 . 95 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当 a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨 论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

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题型 7:课标创新题 例 10. (1)设 f ( x ) ? x ? ax ? bx
4 3 2

? cx ? d ,其中 a、b、c、d 是常数.

如果 f (1) ? 10 , f ( 2 ) ? 20 , f ( 3 ) ? 30 , 求 f (10 ) ? f ( ? 6 )的值 ; (2)若不等式 2 x ? 1 ? m ( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围.
2

五.思维总结 “函数”是数学中最重要的概念之一,学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法.由给 定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的 x 的取值范围 它依赖于对各种
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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式的认识与解不等式技能的熟练. 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x )] 或已知 f [ g ( x )] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等.

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2.求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义; (3)已知 f ( x ) 的定义域求 f [ g ( x )] 的定义域或已知 f [ g ( x )] 的定义域求 f ( x ) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x ) 的定义域 ? a , b ? ,其复合函数 f ? g ( x ) ? 的定义域应由 a ? g ( x ) ? b 解出. 3.求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.其类型依解析式的特点分可分三类: (1)求常见函数值域; (2)求由常见函数复合而成的函数的值域; (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域. ①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?
k x ( k ? 0 ) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0};

二次函数 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 的定义域为 R, 当 a>0 时,值域为{ y | y
? ( 4 ac ? b )
2

};当 a<0 时,值域为{ y | y

?

( 4 ac ? b )
2

}.

4a

4a

②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值; 常转化为型如: f ( x ) ? ax
2

? bx ? c , x ? ( m , n ) 的形式;

③分式转化法(或改为“分离常数法” ) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: y ? x ?
k x ( k ? 0 ) ,利用平均值不等式公式来求值域;

⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域. ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.

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