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浙江省嘉兴市2015届高三第一模拟考试理科数学试题


瑞安六中 2015 届高三周日数学模拟考试 1
姓名 一、选择题: A. ? A. 1 或 ? 1 成绩 时间 3.15pm3:00-5:00 ) 1、设全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 ? ? ?0,1,2? ,集合 ? ? ?2,3? ,则 (CU A) ? B ? ( B. ?1,2,3,4? B. 1 C. ?2,3,4? C. ? 1 D. ?0,1,2,3,4? ) D. 0 ) 2、已知直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 1 ? 0 互相垂直,则 a ? (

3、已知向量 a ? ?3cos ? ,2? 与向量 b ? ? 3, 4sin ? ? 平行,则锐角 ? 等于( A.

4、三条不重合的直线 a , b , c 及三个不重合的平面 ? , ? , ? ,下列命题正确的是( A.若 a //? , a //? ,则 ? //?

? 4

B.

? 6

C.

? 3

D.

5? 12



? ? a , ? ? ? , ? ? ? ,则 a ? ? C.若 a ? ? , b ? ? , c ? ? , c ? a , c ? b ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? a , c ? ? , c //? , c //? ,则 a //?
B.若 ?
2 2 2 5、已知条件 p : x ? 3x ? 4 ? 0 ,条件 q : x ? 6 x ? 9 ? m ? 0 .若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 m 的取值范围是( )

A. ??1,1?

B. ? ?4, 4?

C. ? ??, ?4?

?4, ???

D. ? ??, ?1?

?4, ???

2 2 6 、已知直线 l : x ? cos? ? y ? sin? ? 2( ? ? R ) ,圆 C : x ? y ? 2cos? ? x ? 2sin ? ? y ? 0

(? ? R ) ,则直线 l 与圆 C 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离
2 2

D.与 ? , ? 有关

x y ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )上有一点 ? ,它关于原点的对称点为 ? , 2 a b ?? ? ? 点 F 为双曲线的右焦点,且满足 ?F ? ?F ,设 ???F ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则该双曲线离 ?12 6 ? 心率 e 的取值范围为( ) A. ? 3, 2 ? 3 ? B. ? 2, 3 ? 1? ? ? ? ? C. ? 2, 2 ? 3 ? D. ? 3, 3 ? 1? ? ? ? ? x ? ?e ? 2 ? x ? 0 ? 8、已知函数 f ? x ? ? ? ,则下列关于函数 y ? f ? ? f ? kx ? ? 1? ? ? 1( k ? 0 )的零点 ln x x ? 0 ? ? ? ?
7、如图,已知双曲线 个数的判断正确的是( ) A.当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 4 个零点 B.当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 3 个零点 C.无论 k 为何值,均有 3 个零点 D.无论 k 为何值,均有 4 个零点 二、填空题(本大题共 7 小题,第 9~12 题每题 6 分,第 13~15 题每题 4 分,共 36 分. )

第 1 页 共 9 页

?2 x ? y ? 2 ? 9、若实数 x , y 满足不等式组 ? ax ? y ? 4 ,目标函数 z ? x ? 2 y .若 a ? 1 ,则 z 的最大值 ? y ? ?1 ?
为 ;若 z 存在最大值,则 a 的取值范围为 . 10、一个几何体的三视图如图,其中正视图和侧视图是相同的等 腰三角形,俯视图由半圆和一等腰三角形组成.则这个几何体可 以看成是由 则a ? . 和 组成的,若它的体积是

? ?2
6



11、在 ??? C 中,若 ?? ? 120 , ?? ? 1 , ?C ? 13 ,

?D ?

1 DC ,则 ?C ? 2

; ?D ?

. ;

12、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? a4 ? a9 ? 24 ,则 S9 ? 最大值为
2

S8 S10 ? 的 8 10



13、? 是抛物线 y ? 4 x 上一点, F 是焦点,且 ? F ? 4 .过点 ? 作准线 l 的垂线,垂足为 ? , 则三角形 ? F? 的面积为 .
2 2 14、 设 x ,y ,z ? 0 , 满足 xyz ? y ? z ? 8 , 则o lg 4

xo lg ?

2

o lg y ?

2

z 的最大值是



15、正四面体 ??? C ,其棱长为 1 .若 ?? ? x??? y ,且满 ??? z ? C( 0 ? x , y , z ? 1 ) 足 x ? y ? z ? 1 ,则动点 ? 的轨迹所形成的空间区域的体积为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分. ) 16、已知函数 f ? x ? ? 1 ? 2sin ? x ?

? ?

? ??

? ? ? 求函数 f ? x ? 的最小正周期;

?? ? ?? ? ? ? ?sin ? x ? ? ? cos ? x ? ?? . 8 ?? ? 8? 8 ?? ? ? ?? ?? ? ? , ? ,求函数 f ? x ? ? 的值域. ? ?? ? 当 x ? ? ? 8? ? 2 12 ? ?

第 2 页 共 9 页

17、在四棱锥 ? ? ??CD 中, ?? ? 平面 ?? CD , ??? C 是正三角形, ? C 与 ? D 的交点 ? 恰好是 ? C 中点,又 ?? ? ?? ? 4 , ?CD? ? 120 ,点 ? 在线段 ?? 上,且 ?? ? 2 .

? ? ? 求证: ?? // 平面 ?DC ; ? ?? ? 求二面角 ? ? ?C ? ? 的余弦值.

18、已知直线 l : y ? kx ? 1 ( k ? 0 )与椭圆 3x 2 ? y 2 ? a 相交于 ? 、 ? 两个不同的点,记 l 与 y 轴的交点为 C .

? ? ? 若 k ? 1 ,且 ?? ?

10 ,求实数 a 的值; 2 ? ?? ? 若 ?C ? 2C? ,求 ???? 面积的最大值,及此时椭圆的方程.

第 3 页 共 9 页

19、设二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ( a , b ? R )满足条件:① 当 x ? R 时, f ? x ? 的最大值 为 0 ,且 f ? x ?1? ? f ? 3 ? x ? 成立;② 二次函数 f ? x ? 的图象与直线 y ? ?2 交于 ? 、 ? 两点, 且 ?? ? 4 .

? ? ? 求 f ? x ? 的解析式; ,使得存在实数 t ,只要当 x ?? n, ?1? 时,就有 f ? x ? t ? ? 2x 成 ? ?? ? 求最小的实数 n ( n ? ?1 )
立.

20、在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ?

? ? ? 求 a2 , a3 ,判断数列 ?an ? 的单调性并证明;
1

an?1 ? 2 , bn ? an ? 2 , n ? 2 , 3 , ??? .

? ??? ? 是否存在常数 ? ,对任意 n ? 2 ,有 b2b3 ??? bn ? ? ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,
请说明理由.

; ? ?? ? 求证: an ? 2 ? 4 an?1 ? 2 ( n ? 2 , 3 , ??? )

第 4 页 共 9 页

浙江省嘉兴市 2015 年高三第一次模拟考试 数学(理科)试卷参考答案
一.选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.C; 5.C; 2.D; 6.D; 3.A; 7.B; 4.B; 8.C.

7. 【解析】 Rt?ABF 中, OF ? c ,? AB ? 2c ,? AF ? 2c sin ? , BF ? 2c cos ?

?| BF ? AF |? 2c | cos ? ? sin ? |? 2a ,? e ?

c 1 ? ? a | cos ? ? sin ? |

1 2 | cos(? ?

?
4

)|

?

?
12

?? ?

?
6

,?

?
3

?? ?

?
4

?

5? , 12

? cos(? ?

?
4

)?[

6? 2 1 ? 3 ?1 2 , ], 2 | cos(? ? ) |? [ , ] ? e ? [ 2 , 3 ? 1] . 4 2 4 2 2

8. 【解析】令 f ( x ) ? ?1 ,则得 x ? 0 或 x ? (1)当 k ? 0 时,

1 1 .则有 f ( kx ) ? ?1 或 ? 1 . e e 1 1 ? 1 , kx ? 0 或 ln(1 ? ) , 解 得 x ? 0 或 e e

① 若 x ? 0 , 则 kx ? 0 , e kx ? 2 ? ?1 或 e kx ? 2 ?

1 ln(1 ? ) e (舍) ; x? k
( ?1) 1 1 1 e e ②若 x ? 0 ,则 kx ? 0 , ln( kx ) ? ?1 或 ? 1 ,解得 kx ? 或 e e , x ? 或 e e ke k 1
1 ( ?1)

,均满足.

所以,当 k ? 0 时,零点有 3 个;同理讨论可得, k ? 0 时,零点有 3 个. 所以,无论 k 为何值,均有 3 个零点. 二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分) 9.6, (0,10) 13. 4 3 14.【解析】 10.一个三棱锥,半个圆锥,1 14. 11.3, 15.
7 3

12.72,64

3 2

5 2 12

log 4 x ? log 2 y ? log 2 z ? log 4 xy 2 z 2 , xy 2 z 2 ? yz[8 ? ( y 2 ? z 2 )] ? yz(8 ? 2 yz ) ? 2 ? yz(4 ? yz ), 又

第 5 页 共 9 页

yz(4 ? yz ) ? (

yz ? 4 ? yz 2 3 ) ? 4 , 所 以 xy 2 z 2 ? 8 , log 4 x ? log 2 y ? log 2 z ? . 当 且 仅 当 2 2
C

y ? z ? 2 , x ? 2 时,等号成立.
15.【解析】点 P 的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正 四面体 OABC 的部分.易得其体积为
5 2 . 12

B
O

(第15题) A

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) 16.解:(I) f ( x ) ? 1 ? 2 sin( x ?

?
8

)[sin( x ?

?
8

) ? cos( x ?

?
8

)]

? 1 ? 2 sin 2 ( x ? ? cos( 2 x ?

?
8

) ? 2 sin( x ?

?
8

) ? cos( x ?

?
8

)

?
4

) ? sin( 2 x ?

?
4

)

? 2 sin( 2 x ?

?
4

?

?
4

) ? 2 sin( 2 x ?

?
2

) ? 2 cos 2 x ……5 分

所以, f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)由(I)可知 f ( x ?

2? ? ? .……7 分 2

?
8

) ? 2 cos 2( x ?

?
8

) ? 2 cos( 2 x ?

?
4

) .……9 分

? x ? [?

? ? ? 3? 5? , ] ,? 2 x ? ? [? , ] ,……11 分 2 12 4 4 12
?
4 ) ? [? 2 ,1] , 2

? cos( 2 x ?
? f (x ?

?
8

) ? [?1, 2 ] .

所以, f ( x ?

? ) 的值域为 [?1, 2 ] .……14 分 8

17. (Ⅰ)证明:在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC , 所以 AD ? CD , ?CDA ? 120? ,所以 DM ? 所以 BM : MD ? 3 : 1 ……4 分 在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4, PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3 : 1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN // PD .
第 6 页 共 9 页

2 3 , 3

又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN // 平面 PDC .……7 分 (Ⅱ)解:因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90? , 所以 AB ? AD ,分别以 AB , AD , AP 为 x 轴,
B(4,0,0), C ( 2,2 3 ,0), D(0, 4 3 ,0), P (0,0,4) . 3 4 3 ,0) 为平面 PAC 的法向量……10 分 3

y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系,所以

由(Ⅰ)可知, DB ? (4,?

z P N A M D C

PC ? ( 2,2 3 ,?4), PB ? (4,0,?4) ,

设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ,
? ? ? n ? PC ? 0 ?2 x ? 2 3 y ? 4z ? 0 则? ,即 ? , ? ? ?4 x ? 4 z ? 0 ? n ? PB ? 0

y

B x

令 z ? 3 ,则平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( 3, 3 ,3) ……13 分 设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? , 则 cos ? ?

n ? DB | n | ? | DB |

?

7 , 7

所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为 18.解:设 A( x 1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) .

7 .……15 分 7

?y ? x ? 1 1 1? a ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? a ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? (Ⅰ) ? 2 , 2 2 4 ?3 x ? y ? a

| AB |? 2 | x 1 ? x 2 |? 2 ? a ?

3 10 ? ? a ? 2 .……5 分 4 2

? y ? kx ? 1 ? ( 3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? a ? 0 , (Ⅱ) ? 2 2 ?3 x ? y ? a
? x1 ? x 2 ? ? 2k 1? a , x1 x 2 ? ,……7 分 2 3? k 3 ? k2

由 AC ? 2CB ? ( ? x 1 ,1 ? y1 ) ? 2( x 2 , y 2 ? 1) ? x 1 ? ?2 x 2 ,代入上式得:

x1 ? x 2 ? ? x 2 ? ?

2k 3?k
2

? x2 ?

2k 3 ? k2

,……9 分

第 7 页 共 9 页

S ?AOB ?

3|k | 1 3 3 3 3 | OC || x 1 ? x 2 |? | x 2 |? ? ? ? ,……12 分 2 3 2 2 2 3?k 2 3 ?|k| |k|
2k 3?k
2

当且仅当 k 2 ? 3 时取等号,此时 x 2 ? 又 x1 x 2 ?

, x 1 x 2 ? ?2 x 2 ? ?2

2

4k 2 (3 ? k )
2 2

??

2 . 3

1? a 3?k
2

?

1? a 2 1? a ?? ?a?5. ,因此 6 6 3
3 ,此时椭圆的方程为 3 x 2 ? y 2 ? 5 .……15 分 2

所以, ?AOB 面积的最大值为

19.解: (Ⅰ)由 f ( x ? 1) ? f ( 3 ? x ) 可知函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? 1 ,……2 分 由 f ( x ) 的最大值为 0,可假设 f ( x ) ? a ( x ? 1) 2 (a ? 0) . 令 a ( x ? 1) 2 ? ?2 , x ? 1 ? 所以, f ( x ) ? ?

?2 ?2 1 ? 4,a ? ? . ,则易知 2 a a 2

1 ( x ? 1) 2 .……6 分 2 1 ( x ? 1 ? t ) 2 ? 2 x ,即 x 2 ? 2( t ? 1) x ? ( t ? 1) 2 ? 0 , 2

(Ⅱ)由 f ( x ? t ) ? 2 x 可得, ?

解得 ? t ? 1 ? 2 t ? x ? ? t ? 1 ? 2 t .……8 分 又 f ( x ? t ) ? 2 x 在 x ? [n,?1] 时恒成立,可得

? ?? t ? 1 ? 2 t ? n ? ? ? ? t ? 1 ? 2 t ? ?1

(1) ( 2)



由(2)得 0 ? t ? 4 .……10 分 令 g ( t ) ? ? t ? 1 ? 2 t ,易知 g ( t ) ? ? t ? 1 ? 2 t 单调递减,所以, g ( t ) ? g (4) ? ?9 , 由于只需存在实数,故 n ? ?9 ,则 n 能取到的最小实数为 ? 9 . 此时,存在实数 t ? 4 ,只要当 x ? [n,?1] 时,就有 f ( x ? t ) ? 2 x 成立.……15 分 20.解: (Ⅰ)由 a 1 ? 3, a n ? a n ?1 ? 2 易知, a 2 ? 5 , a 3 ? 由 a 1 ? 3, a n ? a n ?1 ? 2 易知 a n ? 0 . 由 a n ? a n ?1 ? 2 得, a n ? a n ?1 ? 2 (1) ,则有 a n ?1 ? a n ? 2 (2) ,由(2)-(1)得
第 8 页 共 9 页
2 2

5 ? 2 .……2 分

a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 , (a n ?1 ? a n )(a n ?1 ? a n ) ? a n ? a n ?1 , ? a n ? 0 , 所 以 a n ?1 ? a n 与
a n ? a n ?1 同号.由 a 2 ? a 1 ? 5 ? 3 ? 0 易知, a n ? a n ?1 ? 0 ,即 a n ? a n ?1 ,可知数列 {a n } 单调

2

2

递减. ……5 分 (Ⅱ)由 a n ? a n ?1 ? 2 可得, a n ? 4 ? a n ?1 ? 2 , (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n ?1 ? 2 , 所以, | a n ? 2 |?
| a n ?1 ? 2 | .……7 分 an ? 2
2 2

由 (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n ?1 ? 2 易 知 , a n ? 2 与 a n ?1 ? 2 同 号 , 由 于 a 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 0 可 知 ,
a n ? 2 ? 0 ,即 a n ? 2 ,? a n ? 2 ? 4 ,?

1 1 1 ? ,所以 | a n ? 2 |? | a n ?1 ? 2 | ,得证. ……10 an ? 2 4 4

分 (III)? (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n ?1 ? 2 , a n ? 2 ? 则 b2 b3 ? bn ? 由 | a n ? 2 |?
a n ?1 ? 2 a ?2 ,即 bn ? n ?1 , an ? 2 an ? 2

a ? 2 a1 ? 2 a1 ? 2 a 2 ? 2 1 .……13 分 ? ? ? ? n ?1 ? ? a2 ? 2 a3 ? 2 an ? 2 an ? 2 an ? 2

1 | a n ?1 ? 2 | 可知, 4 1 1 1 1 1 | a n ? 2 |? | a n ?1 ? 2 |? 2 | a n ? 2 ? 2 |? 3 | a n ? 3 ? 2 |? ? ? n ?1 | a 1 ? 2 |? n ?1 , 4 4 4 4 4 1 1 所以, ? 4 n ?1 ,因为 a n ? 2 ,所以 ? 4 n ?1 .当 n ? ? 时, 4 n ?1 ? ? ,故不存在常 | an ? 2 | an ? 2
数 M ,对任意 n ? 2 ,有 b2 b3 ? bn ? M 成立. ……15 分

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