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高二选数学试题修2


高二选数学试题修 2-2 导数及应用 2014-2015 学年度考卷
2 一、选择题 1.若函数 f ( x) ? x ?

1 ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不 2

?3 ? D. ? ,2 ? ?2 ?

是单调函数,则实数 k 的取值范围 (
<

br />1,??? A. ?

? 3? B. ?1, ? ? 2?

C. ?1,?2?

2 2 2.已知函数 f ( x) ? x3 ? bx 2 ? cx 的图象如图所示,则 x1 等于( ) ? x2

y
x1 1 x2

O
A.

2
4 3

x
C.

2 3

B.

8 3

D.

16 3


3. f ?( x ) 是 f ( x) 的导函数, f ?( x ) 的图象如右图所示,则 f ( x) 的图象只可能是(

4.函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,对 ?x ? R,都有 2 f ?( x) ? f ( x) 成立,若 f (ln 4) ? 2 ,则 不等式 f ( x) ? e 的解是( ) A. x ? ln 4 B. 0 ? x ? ln 4 C. x ? 1 D. 0 ? x ? 1
x 2

5. f ( x) 是定义在非零实数集上的函数, f ?( x) 为其导函数,且 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , 记a ?

f (20.2 ) f (0.22 ) f (log2 5) ,则 ( , b ? ,c ? 0.2 2 log2 5 2 0.2



(A) a ? b ? c (C) c ? a ? b

(B) b ? a ? c (D) c ? b ? a

6. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且 f (2) ? 0 ,当 x ? 0 时, 有 则不等式 x 2 f ( x) ? 0 的解集为 ( A . (?2, 0) D. (??, ?2) )

xf '( x) ? f ( x) ? 0 恒成立, x2

(2, ??) (0, 2)

B . (?2, 0)

(0, 2)

C . (??, ?2)

(2, ??)

7.己知函数 f ( x) ? x2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x- y+2=0 平行,若数 列? A.

? 1 ? ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S2014 的值为( ? f (n) ?
2014 2015
B.
2



2012 2013

C.
1

2013 2014

D.

2015 2016

8..若 f ( x ) ? x ? 2 A. ?1 B. ?

?

1

0

f ( x )dx, 则 ? f ( x )dx ? (
0



1 3
1

C.

1 3
λ x

D.1
-λ x

9.若函数 f(x)= 2 (e +e

) (λ ∈R) ,当参数 λ 的取值分别为 λ 1 与 λ 2 时,其 )

在区间[0,+∞)上的图像分别为图中曲线 C1 与 C2,则下列关系式正确的是: (

A.λ 1<λ

2

B.λ 1>λ

2

C.|λ 1|<|λ 2|

D.|λ 1|>|λ 2|

f x) ? 10.已知函数 (

x3 1 2 ? ax ? 2bx ? c 的两个极值分别为 ( f x1)和 ( f x2).若 x1 和 x2 3 2
b?2 的取值范围为( a ?1


分别在区间(-2,0)与(0,2)内,则

( ? 2, ) A. ( ? ?, ? 2) ( , ? ?) C.
11.若 sin 2t ? A.
t

2 3

B. ? ?2, ? 3

? ?

2?

?
2 3

2 3

( ? ?, ? 2] [ , ? ?) D.
) D. ?

,则 t=( ? cos xdx ,其中 t∈(0,π )
0

? 3

B.

? 2

C.

2? 3

12. .函数 y ? 2 x3 ?12 x 在区间 [?1,3] 上的最大值和最小值分别为( ) A. 18, ?8 2 13.若 S1 ? B. 54, ?12
2

C. 8 2, ?8 2

D. 10, ?8 2 )

?

1

x 2 dx, S 2 ? ?

2

1

2 1 dx, S3 ? ? e x dx, 则 S1 , S2 , S3 的大小关系为( 1 x

A. S1 ? S2 ? S3 C. S2 ? S3 ? S1 14.若曲线 f ? x ? ? 的值为( ) A.-2 B.2

B. S2 ? S1 ? S3 D. S3 ? S2 ? S1

x , g ? x ? ? xa ,在点 P ?1,1? 处的切线分别为 l1 , l2 ,且 l1 ? l2 ,则实数 a
1 2
D. ?

C.

1 2

15.已知 f ? x ? ?

1 2 x ? cos x , f ?? x ? 为 f ?x ? 的导函数,则 f ?? x ? 的图象是 4

16.已知 f ? x ? ?

1 2 x ? cos x , f ?? x ? 为 f ?x ? 的导函数,则 f ?? x ? 的图象是 4

17.如图,阴影区域的边界是直线 y ? 0, x ? 2, x ? 0 及曲线 y ? 3x ,则这个区域的面积是
2

A.4

B.8
2 3

C.

1 3

D.

1 2

18.由曲线 y= x ,y= x 围成的封闭图形面积为 (A)

1 12

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

7 12

19.若函数 f ? x ? 在 R 上可导,且满足 f ? x ? ? xf ? ? x ? ? 0 ,则 A. 3 f ?1? ? f ?3? C. 3 f ?1? ? f ?3? 20.由直线 x ? A. B. 3 f ?1? ? f ?3? D. f ?1? ? f ? 3? )

15 4

1 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围成的图形的面积是( 2 x 17 1 B. C. ln 2 D. 2ln 2 4 2

二、填空题 21.如图,在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边 沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,最大容积是 .

22.设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为 23.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则其高为 24.若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为 25.函数 y ? sin(2 ? x) 导数是
2 26.已知函数 y ? x ?
2

. . .

.

a ( a ? R ) 在 x ? 1 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 a ? x

27.已知 f ?( x) 是函数 f(x)的导函数, f ( x) ? sin x ? 2 xf ?(0) ,则 f ?( ) =________.

?

2

28.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 C (单位:

mg / L )随时间 t (单位: h )的变化关系为 C ?

20t ,则经过_______ h 后池水中药品 t ?4
2

浓度达到最大. 29.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物 的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元, 那么, 要使这两项费用之和最小, 仓库应建在离车站 千米处. 30.横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比,并和矩形横断面的高的平方成正比,要将直 径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的宽是 .

31.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)函数关系式为 ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 .

32.某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其它三 边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为 . 33.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,已 知总收益 R 与年产量 x 的关系为 R=R(x)= ,则总利润最

大时,每年生产的产品数量是 . 34.某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 x 元出售,可卖出(200﹣x)件, 当每件商品的定价为 元时,利润最大. 35.设 μ ∈R,函数 f(x)=e +
x

的导函数是 f′(x) ,且 f′(x)是奇函数,若曲线 y=f .

(x)的一条切线的斜率是 ,则该切点的横坐标是 36.设函数 a 的取值范围是
3

,集合 M={x|f(x)<0},P={x|f′(x)>0},若 M?P,则实数 . .

37.曲线 y= x +x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 38.函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a= 39.曲线 在点(﹣1,﹣1)处的切线方程
2 2

. . .

40.已知 f(x)=x +2x?f′(1) ,则 f′(0)= 41.函数 y=(1﹣ ) (1+ )的导数为 . . .

42.已知直线 y=kx 与曲线 y=lnx 相切,则 k= 3 43.曲线 y=x 在点(0,0)处的切线方程是 44.函数 45.函数 y= + 的导数为 + 的导数是 . .

46.物体运动方程为 S ? 2t ? 3 ,则 t ? 2 时瞬时速度为 47.已知直线 l 过点 (0,?1) ,且与曲线 y ? x ln x 相切,则直线 l 的方程为 48.若函数 ( f x) ? x ? a x ? 1 在[0,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是
3
sin x ? cos x ? 49 .已知函数 f ( x) ? e

. .

1 sin 2 x( x ? R) ,则函数 f(x) 的最大值与最小值的差 2



.

50.若

?

b

e

2 dx=6,则 b= ________. x
4

51. 过曲线 y ? x ? x 上点 P 处的切线平行于直线 y ? 3x ? 2 , 那么点 P 的坐标为 _______

x , 定义 f1 ( x) ? f ?( x), f 2 ( x) ? ? f1 ( x)?? , , f n ?1 ( x) ? ? f n ( x) ?? , n ? N . 经 x e 1? x x?2 3? x 计算 f1 ( x) ? x , f 2 ( x ) ? x , f 3 ( x) ? x , ?,照此规律,则 f n ( x) ? . e e e
52. 已知 f ( x ) ? 53. 已知函数 f ?x ? ? x3 ? 3ax , 若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线,则 a 的取值范围为 .

y ? kx ? 1 y ? x3 ? ax ? b (1,3) b
3 55 . 已 知 直 线 y ? kx ? 1 与 曲 线 y ? x ? ax ?切 b 于 点 (1,3) , 则 b 的 值

为 56.



?

2 0

(2 ? 1 ? x ) dx =
3 2

.
2

57.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值为 10,则 f ? 2 ? 的值等于 58. 定义在 [1, ??) 上的函数 f ( x) 满足: ① f (2 x) ? cf ( x)(c 为正常数) ; ②当 2 ? x ? 4 时,

f ( x) ? 1? | x ? 3 | .若函数的所有极大值点均在同一条直线上,则 c=______________.
59 . 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? 7a 在 x ? 1 处 取 得 极 大 值 10 , 则 a ? b 的 值 为 .

三、解答题 60.设 a ? R ,函数 f ( x) ?

x?a , F ( x) ? x . ln x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,比较 f (2e ? 1) 与 f (3e) 的大小; (Ⅱ)若存在实数 a ,使函数 f ( x ) 的图象总在函数 F ( x ) 的图象的上方,求 a 的取值集合. 61. (本小题满分 14 分) 函数 y ? f ( x) ? ? x ? ax ? b(a, b ? R) .
3 2

(1)要使 y ? f ( x) 在(0,1)上单调递增,求 a 的取值范围; (2)当 a >0 时,若函数满足 y极小值 =1, y极大值 =

31 ,求函数 y ? f ( x) 的解析式; 27

(3)若 x∈[0,1]时, y ? f ( x) 图象上任意一点处的切线倾斜角为θ ,求当 0≤θ ≤

? 时 4

a 的取值范围.
62. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 。 (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 A ?1, f (1)? 处的切线 l 与直线 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直,求实数 a 的 值; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)证明: ln(n ? 1) ? 63.已知函数 f ( x) ?

1 1 1 ? ? ?????? ? n? N?? ? 2 3 n ?1

a 2 . x ? bx ? ln x (a,b ∈R) 2

(1)若 a ? b ? 1 ,求 f ( x) 点( 1 , f (1) )处的切线方程; (2)设 a≤0,求 f ( x) 的单调区间; (3)设 a<0,且对任意的 x ? 0 , f ( x) ≤ f (2) ,试比较 ln(?a) 与 ? 2b 的大小. 64.已知函数 f ( x ) ?

m ln x ? n (m,n 为常数, e ? 2.71828 ?是自然对数的底数) ,曲线 ex

y ? f ( x) 在点 (1 ,f (1)) 处的切线方程是 y ?
(1)求 m,n 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; ( 3 )设 g ( x) ? f ?( x) ?

2 . e

e x ln(x ? 1) (其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数) ,证明:对任意 x ? 0 , 2

g ( x) ? 1 ? e?2 .
65.已知函数 f(x)=e -ax-1(e 为自然对数的底数) ,a>0. a a-1 (1)若函数 f(x)恰有一个零点,证明:a =e ; (2)若 f(x)≥0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值集合. 66. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? ln x ? (1)当 a ? b ?
x

1 2 ax ? bx . 2

1 时,求函数 f ( x) 的最大值; 2 1 2 a (2)令 F ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? (0 ? x ? 3) 其图象上任意一点 P ( x0 , y0 ) 处切线的斜 2 x 1 率 k ? ,恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
(3)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值.
2

67.己知函数 f ( x) ?

a ( x ? 1) ,其中 a ? 0 x2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若直线 x-y-l=0 是曲线 y= f ( x) 的切线,求实数 a 的值; (3)设 g ( x) ? x ln x ? x f (x) ,求 g(x)在区间 ?1, e? 上的最大值(其中 e 为自然对数的底
2

数) 68.已知函数 f ( x) ? a( x ? 1) ? 2ln x (d 为常数) (1)当 a ? 1 对,求 f ( x) 单调区间;

(2)若函数 f ( x) 在区间(0,1)上无零点,求 a 的最大值. 69 .(本小题满分 14 分)设函数 f ? x ? ? a ln x ?

1? a 2 x ? bx , a ? R 且 a ? 1 . 曲线 2

y ? f ? x? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线的斜率为 0 .
(1)求 b 的值; (2)若存在 x ??1, ?? ? ,使得 f ? x ? ?

a ,求 a 的取值范围. a ?1

70.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时 10 公里时 的燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,问此轮船以何种速度航 行时,能使行驶每公里的费用总和最小? 71.如图所示,设铁路 AB=50,B、C 之间距离为 10,现将货物从 A 运往 C,已知单位距离铁 路费用为 2,公路费用为 4,问在 AB 上何处修筑公路至 C,可使运费由 A 到 C 最省?

72.某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(x>6) ,年销量为 u 万件,若已知 与 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件.

(1)求年销售利润 y 关于 x 的函数关系式. (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润. 73.用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正 方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图) ,问该容器的高为多少时,容器的容积 最大?最大容积是多少?

74.已知函数 f1(x)=sinx,且 fn+1(x)=fn′(x) ,其中 n∈N ,求 f1(x)+f2(x)+?+f100 (x)的值. 2 75.已知 P(﹣1,1) ,Q(2,4)是曲线 y=x 上的两点,求与直线 PQ 平行且与曲线相切的 切线方程. 76.已知抛物线 y=x ,求过点(﹣ ,﹣2)且与抛物线相切的直线方程. 77.求下列函数的导数: (1)y= +2 ;
x 2

*

(2)y=lgx﹣sinx; (3)y=2sinxcosx; (4)y= .

78.设函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ln x ,其中 a ? 0 . (1)若 a ? ?6 ,求 f ( x) 在[1,4]上的最值; (2)若 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围; 79.已知函数 f(x)=x ?ln|x|(x≠0) . (1)求 f(x)的最值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=kx-1 无实数解,求实数 k 的取值范围. 80.己知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax2 ? 1 (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,若对任意 x1 , x2 ? (0, ??) ,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 ,求 a 的取 值范围. 81.已知函数 f ( x) ? e ? kx, x ? R .
x
2

(1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2) ??? F (n) ? (e
3 2
n ?1

? 2) (n ? N * ) .

n 2

82.已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 9x ? 2 ,若 f ? x ? 在 x=1 处的切线方程是 3x+y-6=0 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)若对任意的 x ? ? , 2 ? ,都有 f ? x ? ? t ? 2t ?1成立,求函数 g ?t ? ? t ? t ? 2 的最 4
2 2

?1 ?

? ?

值. 83.设函数 f ? x ? ? x ? a ln ? x ? 1?
2

(1)若函数 y ? f ? x ? 在区间 [1, ??) 上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围: (2)若函数 y ? f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求证: 0 ? 84.已知函数 f ? x ? ?

f ? x2 ? 1 ? ? ? ln 2 x1 2

2 ? a ln x ? 2?a ? 0 ? . x

(1)若对于 ?x ? ?0,??? 都有 f ?x ? ? 2?a ? 1?成立,试求 a 的取值范围;
?1 (2)记 g ?x ? ? f ?x ? ? x ? b?b ? R ? ,当 a ? 1 时,函数 g ?x ? 在区间 e , e 上有两个零点,

?

?

求实数 b 的取值范围.
3 85. 设 f ?x? ? ax ? bx ? c 为奇函数, 其图象在点 ?1, f ?1?? 处的切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂

直,导函数 f ?? x ? 的最小值为-12. (1)求 a, b, c, 的值; (2)求函数 f ?x ? 的单调递增区间,极大值和极小值,并求函数 f(x)在 ?? 1,3? 上的最大值 与最小值. 86.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? a .
3 2

(1)求函数 f(x)的单调增区间. (2)对任意 a ? 3 ,使得 f(1)是函数 f(x)在区间 [1, b](b ? 1)上的最大值,求实数 b 的 取值范围. 87.设函数 f ( x) ?

ax (a ? 0) x ?b
2

(1)若函数 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值-2,求 a, b 的值. (2)若函数 f ( x) 在区间(-1,1)内单调递增,求 b 的取值范围. 88.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 a ?

1? a ? 1 (a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 2 (2)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.
89.已知函数 g ? x ? ? a ln x, f ? x ? ? x ? x ? bx .
3 2

(1)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上不是单调函数,求实数 b 的范围; (2)若对任意 x ??1, e? ,都有 g ? x ? ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(3)当 b ? 0 时,设 F ? x ? ? ?

? f (? x) x ? 1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上 ? g ( x) x ? 1

是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而 且此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明利用. 90.设函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2ln( x ? 1)
2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间;

(2) 当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时, 是否存在整数 m, 使不等式 m ? f ( x) ? ?m2 ? 2m ? e2 恒成立? 若存在,求整数 m 的值;若不存在,请说明理由; (3)关于 x 的方程 f ( x) ? x2 ? x ? a 在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数 a 的取值范围。

1 e

四、新添加的题型 91.设函数 f(x)=

1 3 2 x -ax(a>0) ,g(x)=bx +2b﹣1. 3

(1)若曲线 y=f(x)与 y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同的切线,求实数 a,b 的值; (2)当 b=

1? a 时,若函数 h(x)=f(x)+g(x)在区间(﹣2,0)内恰有两个零点, 2

求实数 a 的取值范围; (3)当 a=1,b=0 时,求函数 h(x)=f(x)+g(x)在区间[t,t+3]上的最小值. n+1 * 92.已知函数 f(x)=x (n∈N )的图象与直线 x=1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线 与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2014x1+log2014x2+?+log2014x2013 的值为( ) A.﹣1 B.1﹣log20142013 C.﹣log20142013 D.1 93.已知函数 f ( x) ? x 3 ? x ? (1)判断

x.

f ( x) 的单调性; x

(2)求函数 y ? f ( x) 的零点的个数;

ax 2 ? ax 1 (3)令 g ( x) ? ? ln x ,若函数 y ? g ( x) 在(0, )内有极值,求实数 a 的取 e f ( x) ? x
值范围. 94.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? 2x ?1 , 3 2

(1)求函数 f ( x) 的极值; (2)若对 ?x ? [?2,3] ,都有 s ≥ f ( x) 恒成立,求出 s 的范围; (3) ?x0 ? [?2,3] ,有 m ≥ f ( x0 ) 成立,求出 m 的范围; 95.曲线 y ? x ? 1 在点 (?1, 0) 处的切线方程为(
3

) D. 3 x ? y ? 3 ? 0

A. 3 x ? y ? 3 ? 0

B. 3 x ? y ? 3 ? 0

C. 3 x ? y ? 0

96.已知函数 f ( x) ? ln x ( x ? 0) ,函数 g ( x) ? (1)当 x ? 0 时,求函数 y ? g ( x ) 的表达式;

1 ? af ?( x)( x ? 0) f ?( x)

(2)若 a ? 0 ,函数 y ? g ( x ) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 ,求 a 的值;

2 7 x ? 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的面积. 3 6 97.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千 1 3 米/小时)的函数解析式可以表示为: y ? x 3 ? x ? 8 (0 ? x ? 120) ,已知甲、 128000 80
(3)在(2)的条件下,求直线 y ? 乙两地相距 100 千米 (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 98. 若实数 x0 满足 f ( x0 ) ? x0 , 则称 x ? x0 为 f ( x) 的不动点. 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx ? 3 , 其中 b 为常数. (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若存在一个实数 x0 ,使得 x ? x0 既是 f ( x) 的不动点,又是 f ( x) 的极值点.求实数 b 的值; 99.已知曲线 y ? x ? x ? 2 在点 P 0 处的切线 l1 平行直线 4 x ? y ? 1 ? 0 ,且点 P 0在
3

第三象限. (1)求 P 0 的坐标;

l 的方程. (2)若直线 l ? l1 , 且 l 也过切点 P 0 ,求直线
100.如图所示,已知抛物线拱形的底边弦长为 a ,拱高为 b ,其面积为____________.

参考答案 1.B 【解析】 试 题 分 析 : 函 数 的 定 义 域 为 (0,??) , 所 以 k ? 1 ? 0 即 k ? 1 ,

f ?( x) ? 2 x ?

1 4x2 ?1 1 1 ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ? (不在定义域内舍) , 2 2 2x 2x
1 1 ? ( k ? 1, k ? 1) 即 k ? 1 ? ? k ? 1 , 2 2

由于函数在区间 (k-1, k+1) 内不是单调函数, 所以 解得 ?

1 3 3 ? k ? ,综上得 1 ? k ? ,答案选 B. 2 2 2

考点:函数的单调性与导数 2.C 【解析】 试题分析:由图象可知 f(x)的图象过点(1,0)与(2,0) , x1 , x2 是函数 f(x)的极值 点,因此 1 ? b ? c ? 0 ,8 ? 4b ? 2c ? 0 ,解得 b ? ?3 ,c ? 2 ,所以 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2 x , 所 以 f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 2 , x1 , x2 是 方 程 f ?( x) ? 3x 2 ? 6x ? 2 ? 0 的 两 根 , 因 此

x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ?

2 4 8 2 2 2 ,所以 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 ? x2 ? 4 ? ? ,答案选 C. 3 3 3

考点:导数与极值 3.D 【解析】 试题分析: 由导函数的图象可知其值大于 0 且先增大后减小, 可知原函数的图象是由平缓到 陡峭再到平缓,因此答案选 D. 考点:导数的几何意义 4.A 【解析】
x 1? 1 2? f ??x ? ? e ? f ?x ? ? e 2 e ? f ??x ? ? f ?x ? ? ? f ?x ? 2? 2 ? ? 试题分析:设 g ? x ? ? x ,则 g ?? x ? ? ,由 x 2 x 2 ? ? ? ? e2 ?e2 ? ?e2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? f ?x ? 于 f ?? x ? ? , 2 x 2 x

? g ??x ? ? 0 在 R 上 恒 成 立 , 因 此 g ? x ? ?
g ?ln 4 ? ? f ?ln 4 ? e
ln 4 2

f ?x ? e
x 2

在 R 上 是 增 函 数 ,

?

2 e ln 2

f ?x ? 2 ? ? 1 ,由 f ?x ? ? e 2 ,得 g ? x ? ? x ? 1 ,? g ?x ? ? g ?ln 4? , 2 e2
x

由于 g ?x ? 在 R 上是增函数,? x ? ln 4 ,故答案为 A. 考点:1、构造新函数;2、函数的单调性与导数的关系. 5.C 【解析】 试题分析:构造函数 g(x)=

f ( x) xf '( x ) ? f ( x ) (x>0) ,则 g'(x)= x x2

由已知,x>0 时 g'(x)<0,即 g(x)在(0,+∞)上为减函数 2 0.2 而 0.2 <1<2 <2<log25 0.2 2 故 g(log25)<g(2 )<g(0.2 ) 即 c<a<b 考点:利用导数研究函数性质,指数与对数运算

6.D. 【解析】 试题分析:令 g ( x ) ? 调递减, ∴当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? f (2) ? 0 ,再由奇函数的性质可知当 x ? ?2 时, f ( x) ? 0 , ∴不等式 x 2 f ( x) ? 0 的解集为 (??, ?2)

f ( x) xf '(x) ?f (x) ( x ? 0) ,∴ g '( x ) ? ?0 ,即 g ( x) 在 (0, ??) 上单 x x2

(0, 2) .

考点:1.奇函数的性质;2.利用导数判断函数的单调性. 7.A 【解析】 试题分析:由已知得, f ' ( x) ? 2 x ? b ,函数 f ( x) ? x2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切 线 斜 率 为 k?
'

f ( 1 ? )

故 b ?1 , 所 以 ? 2b , ? 3

f ( x) ? x2 ? x , 则

1 ? f ( n)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? 1? ? ? ,所以 Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? …+( ? ,故 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?( n 1 ) ?n n 1

S2014 =

2014 . 2015

考点:1、导数几何意义;2、裂项相消法求和. 8.B 【解析】 试题分析:令 m ? 所以 m ?
1

? f ?x?dx ,则 f ?x? ? x
1 0
1 1

2

? 2? f ?x ?dx ? x 2 ? 2m ,
1 0
1

1 1 2 2 ? ? ? ? ? ? f x dx ? x ? 2 f x dx dx ? x ? 2 m dx ? x 2 dx ? 2m ? ? 2m , ? ? ?0 ?0 ? ?0 ? ? 0 0 ? 3 1 1 1 所以 m ? ? ? ? f ? x ?dx ? ? 0 3 3

?

?

? ?

考点:定积分的应用. 9.D 【解析】 试题分析:由图象可知,曲线 C2 与 C1 的图象低,不妨设 x ? 1 ,由图象可知当 x ? 1 时,

1 ?1 1 e ? e ? ?1 ? ? ? e?2 ? e ? ? 2 ? , 令 g ? x ? ? ex ? e? x , 则 g ? x ? 为 偶 函 数 , 又 因 为 ? 2 2

g ' ? x ? ? e x ? e? x ?
偶函数的性质可知

e2 x ? 1 ,当 x ? 0 时, g ' ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,有 ex

?1 ? ?2 ,故选 D.

考点:函数的图像与性质. 10.D

【解析】 试题分析:求导函数可得 f( ' x) ? 0 有两个根 ' x) ? x2 ? ax ? 2b ,依题意知,方程 f(

x1、x2 ,且 x1 ? (? 2, 0),x2 ? (0, 2),
? 2 ? a ? b>0 ? 等价于 f( 满足条件的(a,b)的平 ' ? 2)>0,f( ' 0)<0,f( ' 2)>0 .∴ ?b<0 ? 2 ? a ? b>0 ?
面区域为图中阴影部分,三角形的三个顶点坐标为 A( ? 2, 0),B(0, ? 2),C (2, 0) ,

b?2 2?0 2 ? 表示(a,b)与点(1,2)连线的斜率,由图可知故 A 点的斜率为 ,过 B a ?1 1? 2 3 2?2 2?0 b?2 ? 4 ,过 C 点的斜率为 ? ?2 , ∴ 点的斜率为 的取值范围为 a ?1 1? 0 1? 2 2 ( ? ?, ? 2] [ , ? ?) .故选 D. 3
考点:利用导数研究函数的单调性. 11.C 【解析】 试 题 分 析 :

sin 2t ? ? cos xdx ? ? sin x |t0 ? ? sin t 且 t ∈ ( 0 , π ), 所 以
0

t

? sin 2t ? ? sin t ? 2 cos t ? ?1 1 2? ? cos t ? ? ? t ? .故选 C. 3 2
考点:1.定积分计算;2.三角函数值. 12.A 【解析】
' 试 题 分 析 : y ' ? 6x 2 ? 12 ? 6( x ? 2 )(x ? 2 ), 令 y ? 0, 则 x ?

2 , (? 2舍去) 当

x ? ?1时,y ? 10 , x ? 2时y ? ?8 2 ,当 x ? 3时,y ? 18, 比较三个数的大小,最大
的是最大值,最小的是最小值,所以答案为 A

考点:函数的导数与最值 13.B 【解析】 试题分析: 1 ? S1 ?

1 3 2 1 3 1 3 7 2 x |1 ? ? 2 ? ? 1 ? ? 3 ; S 2 ? ln x |1 ? ln 2 ? ln1 ? ln 2 ? 1 ; 3 3 3 3

2 ? e 2 ? e ? 3 ,所以 S2 ? S1 ? S3 S3 ? e x |1

考点:定积分 14.A 【解析】 试题 分析:因 为 f( ? x )?

1 2 x

(1)= ,g ( ? ) x ? ax , 则 f′

a ?1

1 , g′ ( 1 ) =a ,又曲 线 2

1 (1, 1) 处的切线相互垂直, 所以 f′ (1) ?g′ (1) =-1, 即 a ? ?1 , f ? x ? ? x , g ? x ? ? xa a 在点 P 2
所以 a=-2.故选 A. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 15.A 【解析】 试 题 分 析 : 函 数

f ?x ? ?

1 2 x ? cos x 4



f ?? x ? ?

x ? sin x 2



f ??? x ? ?

?x ?x ? ? sin ?? x ? ? ?? ? sin x ? ? ? f ??x ? , 2 ?2 ?

故 f ?? x ? 为 奇 函 数 , 故 函 数 图 象 关 于 原 点 对 称 , 排 除 B, D ,

? ? 1 ?? ? 1 ? f ?? ? ? ? ? sin ? ? ? 0 ,故 C 不对,答案为 A. 6 12 2 ?6? 2 6
考点:函数图象的判断. 16.A 【解析】 试 题 分 析 : 函 数

f ?x ? ?

1 2 x ? cos x 4



f ?? x ? ?

x ? sin x 2



f ??? x ? ?

?x ?x ? ? sin ?? x ? ? ?? ? sin x ? ? ? f ??x ? , 2 ?2 ?

故 f ?? x ? 为 奇 函 数 , 故 函 数 图 象 关 于 原 点 对 称 , 排 除 B, D ,

? ? 1 ?? ? 1 ? f ?? ? ? ? ? sin ? ? ? 0 ,故 C 不对,答案为 A. 6 12 2 ?6? 2 6
考点:函数图象的判断. 17.B

【解析】 试题分析:由定积分的几何意义,得 S ? 考点:定积分的应用. 18.A
2 3 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 ?1 ( 0 x -x )dx=

? 3x
0

2

2

2 ? x3 |0 ? 23 ? 0 ? 8 ,故答案为 B.

1 1 1 ?1- ?1= ,故选 A。 3 4 12

19.B 【解析】

? f ?? x ?x ? f ? x ? f ?x ? ? f ?x ? ? ? 0 恒成立,因此 试题分析:由于 f ?x ? ? xf ??x ? , ? 在R上 ? ? 2 x x ? x ?
时单调递减函数,

?

f ?3? f ?1? ? ,即 3 f ?1? ? f ?3? ,故答案为 B 3 1

考点:函数的导数与单调性的关系 20.D 【解析】 试题分析: 由定积分的几何意义, 得围成的面积 故答案为 D 考点:定积分的几何意义 3 21.16000cm 【解析】 试题分析:设箱底边长为 xcm,结合题意可得容积 V(x)= (60x ﹣x ) (0<x<60) .再用 导数工具研究 V(x)在区间(0,60)上的单调性,可知当 x=40 时 V(x)达到最大值.由 此得到本题答案. 解:设箱底边长为 xcm,则箱高 h=
2 2 3 2 3

?

2

1 2

1 1 dx ? ln x |2 ? ln 4 ? 2 ln 2 , 1 ? ln 2 ? ln x 2 2



∴箱子容积 V(x)=x h= (60x ﹣x ) (0<x<60) . 求导数,得 V′(x)=60x﹣ x , 令 V′(x)=60x﹣ x =0,解得 x=0(不合题意,舍去) ,x=40, ∵x∈(0,40)时,V′(x)>0;x∈(40,60)时,V′(x)<0 ∴V(x)在区间(0,40)上为增函数,区间(40,60)上为减函数 由此可得 V(x)的最大值是 V(40)=16000. 3 故答案为:16000cm . 点评:本题以一个实际问题为例,求铁箱的容积最大值.着重考查了函数模型及其应用和利 用导数研究函数的单调性、求最值等知识,属于中档题. 22.
2 2

【解析】 试题分析:设底边边长为 a,高为 h,利用体积公式 V=Sh 得出 h,再根据表面积公式得 S= ,最后利用导函数即得底面边长.

解:设底边边长为 a,高为 h, 则 V=Sh= ∴h= a ?h, = ,
2

则表面积为

=









可得



即 a= 故答案为

. .

点评:本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等 式等基础知识,考查运算求解能力,考查转化思想.属于基础题. 23. cm.

【解析】 试题分析:设出圆锥的高,求出底面半径,推出体积的表达式,利用导数求出体积的最大值 时的高即可. 解析:设圆锥的高为 h cm, ∴V 圆锥= π (400﹣h )?h, ∴V′(h)= π (400﹣3h ) .令 V′(h)=0, 得h= 当 0<h< 当 ∴当 h= 故答案为:
2 2 2

,∴h=

(cm)

时,V′>0;

<h<20 时,V′<0, 时,V 取最大值. cm.

点评:本题考查旋转体问题,以及利用导数求函数的最值问题,考查计算能力,是中档题. 24.6 【解析】 试题分析: f ?( x) ? ( x ? c) 2 ? x ? 2( x ? c) ? 3x 2 ? 4cx ? c 2 ,因为函数在 x ? 2 处有极大值, 所以 f ?(2) ? 0 且 2 ? ? 考点:导数与极值 25. y? ? ? cos(2 ? x) 【解析】 试题分析:令 u ? 2 ? x ,则 y? |x ? y? |u ?u? |x ? [cos(2 ? x)]? (?1) ? ? cos(2 ? x) 考点:复合函数求导 26.0 【解析】 试题分析:求导 y ? ? 2 x ?

? 4c ,解得 c ? 6 . 2?3

a , y? |x ?1 ? 2 ? a ? 2 ,得 a ? 0 . x2

考点:导数的几何意义. 27.-2 【解析】 试题分析:由已知,f '(x)=cosx+2f '(0) 令 x=0,得 f '(0)=1+2f '(0) ,可得 f '(0)=-1 于是 f(x)=sinx-2x,f '(x)=cosx-2 所以 f '(

? ? )=cos -2=-2 2 2

考点:三角函数的导数,导数的性质 28.2 【解析】 试题分析:方法一:利用导数研究函数单调性,其关系式 C ?

20t ,求导可得 t ?4
2

C'?

2 0? 2? t ?? 2 ?t?

?t 2 ? 4?

2

,当 t ? ? 0, 2? 时, C ' ? 0 ,函数递增,当 t ? ? 2, ?? ? , C ' ? 0 ,函

数递减,可知,当 t ? 2 时,函数取最大值,故填 2 . 方法二:对于解析式 C ?

20t 20 20 20 4 ? 2 ? ? ? 5 ,当 t ? 时取得最值,此时 4 t t ?4 t ?4 t? 4 2 t? t t t
2

t ? 2 ,故填 2 .
考点:均值不等式的应用问题. 29.5 【解析】 试题分析: 由题意先解出土地占用费与运费关于车站距离的函数, 将费用之和关于车站距离

的函数关系式建立起来,再用基本不等式求解. 解:设仓库建在离车站 d 千米处, 由已知 y1=2= ,得 k1=20,∴y1= ,

y2=8=k2?10,得 k2= , ∴y2= d, ∴y1+y2= 当且仅当 + = ≥2 =8.

,即 d=5 时,费用之和最小.

故应填 5. 点评:本题考查选定系数法求解析式,此法的特点是相关函数的解析式的形式已知.求最值 时用到了基本不等式求最值. 30. d.

【解析】 试题分析: 据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽 x 的积成正比 (强度系数为 k, k>0) 建立起强度函数, 求出函数的定义域, 再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的 值. 2 解:如图所示,设矩形横断面的宽为 x,高为 y.由题意知,当 xy 取最大值时,横梁的强 度最大. 2 2 2 ∵y =d ﹣x , 2 2 2 ∴xy =x(d ﹣x ) (0<x<d) . 2 2 令 f(x)=x(d ﹣x ) (0<x<d) , 2 2 得 f′(x)=d ﹣3x ,令 f′(x)=0, 解得 x= 当 0<x< 因此,当 x= 故答案为: 或 x=﹣ (舍去) . <x<d 时,f′(x)<0,

时,f′(x)>0;当

时,f(x)取得极大值,也是最大值. d.

点评:考查据实际意义建立相关的函数,再根据函数的特征选择求导的方法来求最值. 31.9 万件. 【解析】 试题分析:求出函数的导函数,由导函数等于 0 求出极值点,结合实际意义得到使该生产厂 家获取最大年利润的年产量. 解:由
2

,得:y =﹣x +81,



2

由﹣x +81=0,得:x1=﹣9(舍) ,x2=9.

当 x∈(0,9)时,y >0,函数 当 x∈(9,+∞)时,y <0,函数 所以当 x=9 时,函数有极大值,也就是最大值,为




为增函数, 为减函数, (万元) .

所以使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件. 故答案为 9 万件. 点评:本题考查了函数在某点取得极值的条件,考查了运用导函数判断原函数的单调性,此 题是基础题. 32.32 米,16 米. 【解析】 试题分析:要求材料最省,则要求新砌的墙壁总长最短,设场地宽为 x 米,则长为 米,

因此新墙壁的周长, 利用基本不等式可求周长的最小值, 从而可求砌壁所用的材料最省时堆 料的长和宽. 解:设场地宽为 x 米,则长为 则 L′=2﹣ . 米,因此新墙总长为 L=2x+ (x>0) ,

令 L′=0 得 x=±16,又 x>0, ∴x=16,则当 x=16 时,Lmin=64, ∴长为 =32(米) .

故堆料场的长为 32 米,宽为 16 米时,砌墙所用的材料最少. 故答案为:32 米,16 米. 点评:本题重点考查函数模型的构建,考查基本不等式的运用,解题的关键是求出新的墙壁 的周长. 33.300. 【解析】 试题分析:先根据题意得出总成本函数,从而写出总利润函数,它是一个分段函数,下面求 其导数 P′(x) ,令 P′(x)=0,从而得出 P 的最大值即可. 解析:由题意,总成本为 C=20000+100x.

∴总利润为:P=R﹣C=



P′=



令 P′=0,即可得到正确答案,即 x=300. 故答案:300. 点评:本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、导数的知识解决实际问 题的能力.

34.115 【解析】 试题分析:本题是营销问题,基本等量关系:利润=每件利润?销售量,每件利润=每件售价 ﹣每件进价.再根据所列二次函数求最大值. 解:利润为 S(x)=(x﹣30) (200﹣x) 2 =﹣x +230x﹣6000,S′(x)=﹣2x+230, 由 S′(x)=0 得 x=115,这时利润达到最大. 故答案为:115. 点评:本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的性质进行实际应用.此题 为数学建模题,借助二次函数解决实际问题. 35.ln2. 【解析】 试题分析:对函数求导,先有导函数为奇函数可求 μ ,利用导数的几何意义设切点,表示 切线的斜率,解方程可得. 解析:∵f(x)=e + ∴f′(x)=e ﹣
x x





由于 f′(x)是奇函数,∴f′(﹣x)=﹣f′(x)对于 x 恒成立,则 μ =1, ∴f′(x)=e ﹣ 又由 f′(x)=e ﹣
2x x x x

. = ,
x x

∴2e ﹣3e ﹣2=0 即(e ﹣2) (2e +1)=0, x 解得 e =2,故 x=ln2. 故答案:ln2. 点评: 本题主要考查函数的导数的定义及导数的四则运算及导数的运算性质、 函数的奇偶性、 导数的几何意义:在某点的导数值即为改点的切线斜率,属于基础知识的简单运用,难度不 大. 36.a≥1 【解析】 试题分析:可对两个集合进行化简,解出两个不等式用参数表示的集合,再由 M?P 这个关 系比较两个集合中的元素所满足的属性, 分类讨论得出参数所满足的不等式, 解出参数的取 值范围 解:由于 f(x)<0 等价于(x﹣1) (x﹣a)<0 又 ,故 f (x)>0 等价于


当 a<1 时,集合 P 无解,不满足题意, 当 a=1 时,两集合都是空集,符合题意 当 a>1 时,集合 M={x|1<x<a},P={x|x≠1},符合题意

综上得 a≥1 故答案为 a≥1 点评:本题考查导数的除法法则,集合中的参数的范围求法,解题的关键是正确求出函数的 导数,对两个集合进行化简,再分类讨论求解参数范围,本题是一个综合性较强的题,尤其 是对集合包含关系的理解,易漏掉空集的情况,导致解题答案不完整 37. 【解析】 试题分析:先对函数进行求导,求出在 x=1 处的导数值即为切线的斜率值,从而写出切线方 程,然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积. 解:∵y= x +x,∴y'=x +1∴f'(1)=2 在点(1, )处的切线为:y=2x﹣ 与坐标轴的交点为: (0, ) , ( ,0) S= 故答案为: . 点评:本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率.属 基础题. 38. 【解析】 试题分析:设切点为(x0,y0) ,由于 y′=2ax,利用导数的几何意义可得 k=2ax0=1,又由于 点(x0,y0)在曲线与直线上,可得 ,即可解出 a. ,
3 2

解:设切点为(x0,y0) ,∵y′=2ax,∴k=2ax0=1,① 又∵点(x0,y0)在曲线与直线上, 即 ,②

由①②得 a= . 故答案为 . 点评:熟练掌握导数的几何意义、切线的方程等是解题的关键. 39.2x﹣y+1=0. 【解析】 试题分析:先求曲线 的导数,因为函数在切点处的导数就是切线的斜率,求出斜率,

再用点斜式写出切线方程,再化简即可. 解: 的导数为 y′= ,

∴曲线

在点(﹣1,﹣1)处的切线斜率为 2,

切线方程是 y+1=2(x+1) , 化简得,2x﹣y+1=0 故答案为:2x﹣y+1=0. 点评:本题主要考查了函数的导数与切线斜率的关系,属于导数的应用. 40.﹣4. 【解析】 试题分析:要求某点处函数的导数,应先求函数解析式 f(x) ,本题求函数解析式 f(x)关 键求出未知 f′(1) . 2 解:f'(x)=2x+2f'(1)?f'(1)=2+2f'(1) ,∴f'(1)=﹣2,有 f(x)=x ﹣4x,f' (x)=2x﹣4,∴f'(0)=﹣4. 点评:本题考查导数的运算,注意分析所求. 41. 【解析】 试题分析:利用导数的运算法则和导数公式进行求导. 解:因为 y=(1﹣ ) (1+ )=1﹣ = ,

所以



故答案为:



点评:本题主要考查导数的计算以及导数的四则运算法则,比较基础. 42. 【解析】 试题分析:设切点,求出切线斜率,利用切点在直线上,代入方程,即可得到结论. 解:设切点为(x0,y0) ,则 ∵y′=(lnx)′= ,∴切线斜率 k= , ?x0=1,∴x0=e,

又点(x0,lnx0)在直线上,代入方程得 lnx0= ∴k= = .

故答案为: . 点评:本题考查切线方程,考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于中档题. 43.y=0. 【解析】

试题分析:先求出函数 y=x 的导函数,然后求出在 x=0 处的导数,从而求出切线的斜率, 利用点斜式方程求出切线方程即可. 3 2 解:∵y′=(x )′=3x , 2 ∴k=3?0 =0, 3 ∴曲线 y=x 在点(0,0)切线方程为 y=0. 故答案为:y=0. 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 考查运算求解能力, 属于基础题. 44. 【解析】 试题分析:根据导数的运算法则可得答案. 解:∵ ∴y'= =

3

故答案为: 点评:本题主要考查导数的运算法则.属基础题.求导公式一定要熟练掌握. ﹣2 ﹣3 ﹣4 45.﹣x ﹣4x ﹣3x . 【解析】 试题分析:利用导数的运算法则即可得出. 解:y= +
﹣1

+

=x +2x +x ,
﹣2 ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣4

﹣1

﹣2

﹣3

∴y′=(x +2x +x )′=﹣x ﹣4x ﹣3x . ﹣2 ﹣3 ﹣4 故答案为﹣x ﹣4x ﹣3x . 点评:熟练掌握导数的运算法则是解题的关键. 46. 4 ln 2 【解析】
' t 试题分析:由题意可得: s ? 2 ln 2 ,所以当 t ? 2 时瞬时速度为 s ' |t ?2 ? 22 ln 2 ? 4 ln 2

考点:导数的几何意义. 47. y ? x ? 1 【解析】 试 题 分 析 : 将 f ( x) ? x ln x 求 导 得 f ?( x) ? l n x? 1 , 设 切 点 为 ( x0 , y0 ) , l 的 方 程 为

y ? y0 ? (ln x0 ? 1)( x ? x0 ) ,因为直线 l 过点 (0,?1) ,所以 ?1 ? y0 ? (ln x0 ? 1)(0 ? x0 ) .又 y0 ? x0 ln x0 , 所 以 ?1 ? x0 ln x0 ? ? x0 (ln x0 ? 1),? x0 ? 1, y0 ? 0 . 所 以 切 线 方 程 为
y ? x ?1 .

考点:导数的应用. 48. [?3,0]

【解析】 试题分析:函数 ( f x) ? x ? a x ?1 ? ?
3

? x3 ? ax ? a,x ? 1
3 1 ? x ? ax ? a,x<

, f( ? x) ??

?3x 2 ? a,x ? 1
2 ?3x ? a,x<1

,∵

f(x)在[0,+∞)上单调递增, 当 x ? 1 时, f( ? x) ? 3x2 ? a ? 0 ,∴ a ? ?3 ;当 0 ? x<1 时, f( 0] . ? x) ? 3x2 ? a ? 0 ,∴ a ? 0 .综上可得, ?3 ? a ? 0 ,故答案为: [?3, 考点:1.带绝对值的函数;2.函数单调性的判断与证明. 49. e
2

? e?

2

【解析】
2 ( x ? ) 试题分析:令 t ? sinx ? cosx? 2 sin ,则 t ?[? 2,2 ] ,且 sin2 x ? t ? 1 ,则

?

4

1 y? ( f x ) ? et ? ( t2 ?1 ) , ∵ y? ? et ? t>0 在 t ?[? 2,2 ] 时 恒 成 立 , 故 2 1 y ? e t ? (t 2 ? 1 ) 在 t ?[? 2,2 ] 上为增函数,故函数 f(x )的最大值与最小值的差是 2 1 1 y | t= 2 ? y | t=? 2 ? (e 2 ? ) ? (e ? 2 ? ) ? e 2 ? e? 2 ,故答案为: e 2 ? e? 2 . 2 2
考点:函数的最值及其几何意义. 50. e 4 【解析】 试题分析:

?

b

e

2 ln b ? 2 ln e ? 6 ,解得 b ? e 4 =2 ln x | b e =2 x

考点:定积分 51. ?1,0? 【解析】 试 题 分 析 : 设 P 点 的 坐 标 ?x0 , y0 ? , 求 导 得 y? ? 4 x ?1 由 导 数 的 几 何 意 义
3

3 y? |x?x0 ? 4x0 ?1 ? 3 ,解得 x0 ? 1

y0 ? 14 ?1 ? 0 ,故 P 点坐标为 ?1,0? .
考点:导数的几何意义.
n ? ? 1? ?x ? n ? 52.

ex

【解析】
x 试 题 分 析 : 观 察 各 个 式 子 , 发 现 分 母 都 是 e , 分 子 依 次 是

? ?x ?1?, ?x ? 2?,??x ? 3?, ?x ? 4??? ,前边是 ?? 1?n

括号里是 x ? n ,故 f n

n ? ? 1? ?x ? n ? . ?x ? ?

ex

考点:归纳推理的应用. 53. a ?

1 3

【解析】 试题分析:解: f ?x? ? x3 ? 3ax?a ? R? ,则 f ??x ? ? 3x 2 ? 3a ,若直线 x ? y ? m ? 0 对任 意 m ? R 都 不 是 曲 线 y ? f ?x ? 的 切 线 , 则 直 线 的 斜 率 为 -1 , f ??x ? ? 3x 2 ? 3a 与 直 线

x ? y ? m ? 0 没有交点,又抛物线开口向上则必在直线的上面,即最小值大于直线斜率,
当 x ? 0 时取最小值,? ?3a ? ?1 ,解得 a ?

1 1 ,故实数 a 的取值范围是 a ? . 3 3

考点:1、导数的计算;2、导数的几何意义. 54.3 【解析】 试题分析:把( 1 , 3 )代入直线 y ? kx ? 1 中,得到 k=2 ,求导得: y? ? 3x ? a ,所以
2

y? |x?1 ? 3 ? a ? 2 ,解得 a=-1,把(1,3)及 a=-1 代入曲线方程得:1-1+b=3,则 b 的值为 3.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 55.3 【解析】 试题分析:把( 1 , 3 )代入直线 y ? kx ? 1 中,得到 k=2 ,求导得: y? ? 3x ? a ,所以
2

y? |x?1 ? 3 ? a ? 2 ,解得 a=-1,把(1,3)及 a=-1 代入曲线方程得:1-1+b=3,则 b 的值为 3.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 56.3 【解析】 试题分析:

?

2 0

(2 ? 1 ? x )dx ? ? ( x ? 1)dx ? ?
0

1

2

1

1 1 (3 ? x)dx ? ( x 2 ? x) ? (3x ? x 2 ) ? 3 , 2 2 0
1

1

2

故答案为 3. 考点:定积分运算. 57.18 【解析】
2 试 题 分 析 : f ??x? ? 3x ? 2ax ? b 在 x ? 1 处 有 极 值 10 , ? f ??1? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ①

f ?1? ? 1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ② , 联 立 ① ② 得 a ? 4 或 a ? ?3 , 当 a ? ?3 时 , b ? 3 , 得
2 f ??x? ? 3 x2 ? 2x ?1 ? 3?x ?1? ? 0 ,函数 f ?x ? 单调递增,没有极值,舍去,当 a ? 4 时,

?

?

b ? ?11 ,符合题意,? f ?2? ? 23 ? 4 ? 22 ?11? 2 ? 42 ? 18 ,故答案为 18
考点:利用函数的极值求参数的值 58.1 或 2. 【解析】 试题分析:因为当 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? 1? | x ? 3 | ,所以当 1 ? x ? 2 时, 2 ? 2 x ? 4 ,则

1 1 3 1 f (2 x) ? (1 ? 2 x ? 3 ) ,此时当 x ? 时,函数取得极大值 ;当 2 ? x ? 4 时, 2 c c c x f ( x) ? 1? | x ? 3 | ,此时当 x ? 3 时,函数取得极大值 1 ;当 4 ? x ? 8 时, 2 ? ? 4 ,则 2 f ( x) ?

x x f ( x) ? cf ( ) ? c(1 ? ? 3 ) ,此时当 x ? 6 时,函数取得极大值 c .又因为函数的所有极 2 2

1 3 1 c ?1 大值点均在同一条直线上, 所以点 ( , ) , 由共线定理知, c ? , (3,1) , (6, c ) 共线, 3 2 c 3 2 解得 c ? 1 或 c ? 2 .故应填 1 或 2. 1?
考点:三点共线;利用导数研究函数的极值. 59.3. 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? 7a ,所以 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ;又因为函数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10,所以 f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 f (1) ? 1 ? a ? b ? a 2 ? 7a ? 10 ; 所 以 a 2 ? 8a ? 12 ? 0 , 解 得 a ? ?2, b ? 1 或
a ? ?6, b ? 9 .
当 a ? ?2, b ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 4x ? 1 ? (3x ? 1)(x ? 1) ,当
' 2

1 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 3

' 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值, 与题意不符; 当 a ? ?6, b ? 9 时,

f ' ( x) ? 3x 2 ? 12x ? 9 ? 3( x ? 1)(x ? 3) , 当 x ? 1 时 , f ' ( x) ? 0 ; 当 3 ? x ? 1 时 , f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,符合题意.所以 a ? b ? ?6 ? 9 ? 3 .故应
填 3. 考点:利用导数研究函数的极值. 60. (Ⅰ) f (3e) ? f (2e ? 1) ; (Ⅱ) {1} 【解析】

试题分析: ( Ⅰ ) 当 a ? 0 时 , f ( x) ?

x , 易 证 f ( x ) 在 (e, ??) 上 是 增 函 数 , 而 ln x

3e ? 2e ? e ? 2e ? 1 ? e , 所以 f (3e) ? f (2e ? 1) ; (Ⅱ) 函数 f ( x ) 的图象总在函数 F ( x ) 的
图象的上方等价于 f ( x) ? F ( x) 恒成立,即

x?a ? x 在 (0,1) (1, ??) 上恒成立,① 当 ln x

0 ? x ? 1 时,ln x ? 0 ,则

x?a ? ln x

x ? a ? x ? x ln x 通过构造函数求得当 0 ? x ? 1 时 x?a ? ln x x

( x ? x ln x) ? 1 恒 成 立 , 所 以 a ? 1 ; ② 当 x ? 1 时 , ln x ? 0 , 则

? a ? x ? x ln x ,通过构造函数求得当 x ? 1 时 ( x ? x ln x) ? 1恒成立,所以 a ? 1 ,由
①及②得: a ? 1 ,故所求 a 值的集合为 {1} . 试题解析: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x ) ?

ln x ? 1 x , f ?( x) ? ln 2 x ln x

当 x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (e, ??) 上是增函数 而 3e ? 2e ? e ? 2e ? 1 ? e ,? f (3e) ? f (2e ? 1) (Ⅱ)函数 f ( x ) 的图象总在函数 F ( x ) 的图象的上方等价于 f ( x) ? F ( x) 恒成立,

x?a ? x 在 (0,1) (1, ??) 上恒成立. ln x x?a ? x ? a ? x ? x ln x ① 当 0 ? x ? 1 时, ln x ? 0 ,则 ln x
即 令 g ( x) ? x ? x ln x , g ?( x) ?

2 x ? 2 ? ln x 2 x



再令 h( x) ? 2 x ? 2 ? ln x , h?( x) ?

1 1 ? ? x x

x ?1 x

当 0 ? x ? 1 时, h ?( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 (0,1) 上递减, ∴ 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 , ∴ g ?( x) ? ∴ a ?1 ② 当 x ? 1 时, ln x ? 0 ,则

h( x ) 2 x

? 0 ,所以 g ( x) 在 (0,1) 上递增, g ( x) ? g (1) ? 1 ,

x?a ? ln x

x ? a ? x ? x ln x ? a ? g ( x)

由①知,当 x ? 1 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 在 (1,??) 上递增

∴ 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 , g ?( x) ?

h( x ) 2 x

?0

∴ g ( x) 在 (1,??) 上递增, ∴ g ( x) ? g (1) ? 1 ∴ a ?1 由①及②得: a ? 1 ,故所求 a 值的集合为 {1} . 考点:1.导数与函数的单调性;2.转化与化归的思想;3.不等式恒成立问题 61. (1) a ≥ 【解析】 试题分析: (1)若可导函数 f ?x ? 在指定的区间 D 上单调递增(减) ,求参数问题,可转化 为 f ??x ? ? 0 或f ??x ? ? 0 恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到. (2)已知 可导函数的极值求函数解析式的步骤一、求导数 f ?( x) ;二、求方程 f ?( x) ? 0 的根;三、 检查 f ?( x) 与方程 f ?( x) ? 0 的根左右值的符号,如果左正右负,那么 f ( x) 在这个根处取 得极大值,如果左负右正,那么 f ( x) 在这个根处取得极小值,四、再根据所给的极值,列 出方程(或方程组)求出参数即可; (3)导数的几何意义的应用. 试题解析: (1) f ( x) ? ?3x ? 2ax ,要使 f ( x) 在(0,1)上单调递增,
/ 2
2 / 则 x ∈(0,1)时, f ( x) ≥0 恒成立.∴ ?3x ? 2ax ≥0,即当 x ∈(0,1)时, a ≥

3 3 ;(2) ≤ a ≤ 3 . 2 2

?

?

3 x 2

恒成立. ∴a≥

3 3 ? ∞) . ,即 a 的取值范围是[ , 2 2
/ 2 /

4分

(2)由 f ( x) ? ?3x ? 2ax ,令 f ( x) =0,得 x =0,或 x =

2 a .∵ a >0,∴当 x 变化时, 3

f / ( x) 、 f ( x) 的变化情况如下表:
x
(-∞, 0) 0 (0, 0 + 极 小 值

2 a) 3

2 a 3
0

( -

2 a ,+∞) 3

f / ( x)
f ( x)

极大值

∴y 极小值=

f (0) =b=1,y 极大值=

8 3 4 2 a + a ? a 2 +1= 31 . f ( a) = 27 9 3 27

∴b=1, a =1.故

f ( x ) = ? x3 ? x 2 ? 1 .

9分

(3)当 x ∈[0,1]时,tanθ = f / ( x) ? ?3x 2 ? 2ax .由θ ∈[0,

? / ],得 0≤ f ( x) ≤1, 4

即 x ∈[0,1]时,0≤ ?3x 2 ? 2ax ≤1 恒成立.当 x =0 时, a ∈R. 当 x ∈(0,1]时,由 ?3x 2 ? 2ax ≥0 恒成立,由(2)知 a ≥ 由 ?3x 2 ? 2ax ≤1 恒成立, a ≤ 综上,

3 . 2

1 1 3 (3 x + ) ,∴ a ≤ 3 (等号在 x = 时取得) . 2 x 3

3 ≤a≤ 3 . 2

14 分

考点:函数的极值,单调性与导数,函数导数的几何意义. 62. (1) a ? 【解析】 试题分析: :利用导数的几何意义求曲线在点 A ?1, f (1) ? 处的切线方程,注意这个点的切点. (2)对于恒成立的问题,常用到以下两个结论: (1)a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max , (2)

3 (2) a ? 1. (3)证明见解析 4

a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min
(3)证明不等式,注意应用前几问的结论. 试题解析: (1)函数的定义域为 ? 0, ?? ? , 所以 f ?1? ? 1 ? a
'

f ?( x) ?

1 ?a x

又切线 l 与直线 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直, 从而, 1 ? a ?

3 解得 , 4

a?

3 4

' (2)若 a ? 0 ,则 f ? x ? ?

1 ? a ? 0, 则 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数 x

而 f ?1? ? 1 ? a, f ? x ? ? 0 不成立,故 a ? 0. 若 a ? 0 ,则当 x ? ? 0,

? ?

1 1 1? ?1 ? ' ' ? 时, f ? x ? ? x ? a ? 0 ;当 x ? ? , ?? ? 时, f ? x ? ? x ? a ? 0. a? ?a ?

所以 f ? x ? 在 ? 0, ? 上是增函数,在 ? , ?? ? 上是减函数, a a

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

所以 f ? x ? 的最大值为 f ?

?1? ? ? ? ln a. ?a?

要使 f ? x ? ? 0 恒成立,只需 ? ln a ? 0 ,解得 a ? 1. (3)由(2)知,当 a ? 1 时,有 f ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,且 f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函 数, f ?1? ? 0 所以 ln x ? x ? 1 在 x ? ? 0,1? 上恒成立 . 令x?

n n n 1 ? ?1 ? ? , ,则 ln n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

令 n ? 1, 2,3......n, 则有

ln

1 1 2 1 n 1 ? ? , ln ? ? ,......, ln ?? . 2 2 3 3 n ?1 n ?1

以上各式两边分别相加,得 ln

1 2 n 1 ? ?1 1 ? ln ? ...... ? ln ? ? ? ? ? ...... ? ?. 2 3 n ?1 n ?1 ? ?2 3

即 ln

1 1 1 1 1 ? ?1 1 ? ? ? ? ? ...... ? ? , 故 ln ? n ? 1? ? 2 ? 3 ? ...... ? n ? 1 . n ?1 n ?1 ? ?2 3

考点: (1)求切线方程; (2)函数在闭区间上恒成立的问题; (3)不等式证明. 63. (1)2x-2y-3=0;(2)递增区间(0,

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ) ,递减区间( ,+ 2a 2a

∞) ; (3)ln(-a)<-2b. 【解析】 试题分析: (1)a=b=1 时,直接求导数,可得 f '(1)和 f(1)的值,利用点斜式可写 出切线方程; (2)a<0 时,根据 b 的范围和导函数值的符号,可求出相应单调区间; (3) 由题意知函数 f(x)在 x=2 处取得最大值,得到 a 与 b 的等量关系式,然后比差,再利用 函数的思想,得出 ln(-a)与-2b 的大小. 试题解析: (1)a=b=1 时, f ( x) ? ∴ f (1) ? ?

1 2 1 x ? x ? ln x , f ?( x) ? x ? 1 ? , 2 x
2分 3分

1 , k ? f ?(1) ? 1 , 2

故 f(x)点(1,f(1) )处的切线方程是 2x-2y-3=0. (2)由 f ?x? ?

ax 2 ? bx ? 1 a 2 . x ? bx ? ln x ,x ? ?0 , ? ?? ,得 f ?( x) ? x 2

(1)当 a=0 时, f ?( x) ? ①若 b≤0,

1 ? bx . x

由 x>0 知 f ?( x) ? 0 恒成立,即函数 f(x)的单调递增区间是(0,+∞) . 5分 ②若 b>0,

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . b b 1 1 即函数 f(x)的单调递增区间是(0, ) ,单调递减区间是( ,+∞) . b b
当0 ? x ? 7分 (2)当 a<0 时, f ?( x) ? 0 ,得 ax2 ? bx ? 1 ? 0 ,

由△=b -4a>0 得 x1 ?
2

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a . ,x2 ? 2a 2a

显然, x1 ? 0 ,x2 ? 0 , 当 0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f(x)的单调递增, 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递减,

所以函数 f(x)的单调递增区间是(0,

b ? b 2 ? 4a ) , 2a
9分

单调递减区间是(

b ? b 2 ? 4a ,+∞) . 2a

综上所述: 当 a=0,b≤0 时,函数 f(x)的单调递增区间是(0,+∞) ; 当 a=0,b>0 时,函数 f(x)的单调递增区间是(0, ) ,单调递减区间是( ,+∞) ;

1 b

1 b

当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间是(0,

b ? b 2 ? 4a ) , 2a
10 分

单调递减区间是(

b ? b 2 ? 4a ,+∞) . 2a

(3)由题意知函数 f(x)在 x=2 处取得最大值. 由(2)知,

b ? b 2 ? 4a 是 f(x)的唯一的极大值点, 2a



b ? b 2 ? 4a =2,整理得-2b=-1-4a. 2a

于是 ln(?a) ? (?2b) ? ln(?a) ? (?1 ? 4a) ? ln(?a) ? 1 ? 4a 令 g ( x) ? ln x ? 1 ? 4 x( x ? 0) ,则 g ?( x) ?

1 ?4. x

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 1 ,当 x ? (0 , ) 时, g ?( x) ? 0 ,g(x)单调递增; 4 4

当 x ? ( ,? ?) 时, g ?( x) ? 0 ,g(x)单调递减.

1 4

因此对任意 x>0,g(x)≤ g ( ) ? ln

1 4

1 ? 0 ,又-a>0, 4

故 g(-a)<0,即 ln(-a)+1+4a<0,即 ln(-a)<-1-4a=-2b, ∴ ln(-a)<-2b. 14 分 考点:利用导数研究函数性质,不等式 64. (1)m=n=2; (2)增区间是(0,1) ,减区间是(1,+∞) ; (3)见解析. 【解析】 试题分析: (1)曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程是 y= 2 ,表明 f(1)= 2 , e e 且 f '(1)=0,得到方程组,求出 m,n 的值; (2)结合(1) ,进一步讨论 f '(x)的符 x (1 ? e ? 2 ) , 号,确定 f(x)的单调区间; (3)将 g ( x) ? 1 ? e?2 转换为 1 ? x ? x ln x ? ln(x ? 1) 证明 1-x-xlnx≤ 1 ? e?2 且 试题解析: (1)由 f ( x) ? 由已知得 f ?(1) ? 又 f (1) ?

x ? 1 即可. ln( x ? 1)

m ln x ? n m ? nx ? mx ln x 得 f ?( x) ? (x ? 0) . ex xe x

m?n ? 0 ,解得 m=n. e

n 2 ? ,即 n=2, e e

∴ m=n=2.

2 (1 ? x ? x ln x) , xe x ? ?) , 令 p( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0 ,
(2)由 (1)得 f ?( x) ? 当 x∈(0,1)时,p(x) ;当 x∈(1,+∞)时,p(x)<0, 又 e x ? 0 ,所以当 x∈(0,1)时,f '(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,f '(x)<0, ∴ f(x)的单调增区间是(0,1) ,f(x)的单调减区间是(1,+∞) .??8 分

ln(x ? 1) ? ?) , (1 ? x ? x ln x) , x ? (0 , x x (1 ? e ? 2 ) , 于是对任意 x>0, g ( x) ? 1 ? e?2 等价于 1 ? x ? x ln x ? ln(x ? 1) ? ?) , 由(2)知 p( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0 ,
(3)证明:由已知有 g ( x) ?

? ?) . ∴ p?( x) ? ? ln x ? 2 ? ?(ln x ? ln e?2 ) , x ? (0 ,
易得当 x ? (0 ,e?2 ) 时, p?( x) ? 0 ,即 p( x) 单调递增;

当 x ? (e?2 , ? ?) 时, p?( x) ? 0 ,即 p ( x) 单调递减. 所以 p(x)的最大值为 p(e?2 ) ? 1 ? e?2 ,故 1 ? x ? x ln x ≤ 1 ? e?2 . 设 q( x) ? x ? ln(1 ? x) ,则 q?( x) ?

x ?0, x ?1
x ? 1. ln( x ? 1)

? ?) 时, q( x) 单调递增, q( x) ? q(0) ? 0 . 因此,当 x ? (0 , ? ?) 时, q( x) ? x ? ln(1 ? x) ? 0 ,即 故当 x ? (0 ,
∴ 1 ? x ? x ln x ≤ 1 ? e?2 <

x (1 ? e ? 2 ) . ln(x ? 1)

∴ 对任意 x>0, g ( x) ? 1 ? e?2 . 考点:利用导数研究函数性质,不等式 65. (1)见解析; (2){1}. 【解析】 试题分析: (1)先判断 f(x)的单调性,根据“f(x)前有一个零点” ,找到关于 a 的等式, 化简整理可得需证结论; (2)根据(1) ,只需 f(x)的最小值不小于 0 即可. 试题解析: (1)证明: 由 f ( x) ? e x ? ax ? 1,得 f ?( x) ? e x ? a . 由 f ?( x) >0,即 e x ? a >0,解得 x>lna,同理由 f ?( x) <0 解得 x<lna, ∴ f(x)在(-∞,lna)上是减函数,在(lna,+∞)上是增函数, 于是 f(x)在 x=lna 取得最小值. 又∵ 函数 f(x)恰有一个零点,则 f ( x)min ? f (ln a) ? 0 , 即 eln a ? a ln a ? 1 ? 0 . 化简得: a ? a ln a ?1 ? 0 , 即a ln a ? a ?1, 于是ln aa ? a ?1 , ∴ a a ? e a ?1 . (2)解:由(1)知, f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值 f (ln a ) , 由题意得 f (ln a ) ≥0,即 a ? a ln a ? 1 ≥0, 令 h(a) ? a ? a ln a ? 1 ,则 h?(a) ? ? ln a , 由 h?(a) ? 0 可得 0<a<1,由 h?(a) ? 0 可得 a>1. ∴ h(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即 h(a)max ? h(1) ? 0 , ∴ 当 0<a<1 或 a>1 时,h(a)<0, ∴ 要使得 f(x)≥0 对任意 x∈R 恒成立,a=1 ∴ a 的取值集合为{1} 考点:导数,函数的零点,恒成立问题

66. (1) ? 【解析】

3 1 ; ( 2) a ? 1 ; (3) m ? . 4 2

1 1 1 时, f ( x) ? ln x ? x 2 ? x ,可以通过导数判断 f ( x ) 的单调 4 2 2 3 性, 已知 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增, 在 (1, ??) 上单调递减, 从而 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ? , 4 a 此即为最大值; ( 2 )由题意可得 F ( x) ? ln x ? , x ? (0,3] ,则问题等价于在 (0,3] 上, x 1 1 2 F '( x) max ? 恒成立,即 a ? (? x0 (3)问题 ? x0 ) max 在 x0 ? (0,3] 上恒成立,∴ a ? 1 ; 2 2
试题分析: (1)当 a ? b ? 等价于方程 x 2 ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解,构造函数 g ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx ,
2

考虑通过判断其单调性,从而可得 g ( x)min ? 0 ,可进一步设函数 h( x) ? 2 ln x ? x ? 1 , 由

h( x) 是增函数,可知 h( x) ? 0 至多有一解,又由 h(1) ? 0 ,故 g ( x) 的极小值点即为 x ? 1 ,



m ? m 2 ? 4m 1 ? 1 ,解得 m ? . 2 2
1 时, 2

试 题 解 析 :( 1 ) 依 题 意 , 知 f ( x) 的 定 义 域 为 (0, ??) , 当 a ? b ?

f ( x) ? ln x ?
x ?1,

1 1 1 ?( x ? 2)( x ? 1) 1 2 1 , 令 f ?( x) ? 0 , 解 得 x ? x , f ?( x) ? ? x ? ? x 2 2 2x 4 2

∴当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调 递减, ∴ f ( x) 的极大值为 f (1) ? ? (2) F ( x) ? ln x ? ∴ a ? (?

3 ,此即为最大值; 4

x ?a 1 a , x ? (0,3] ,则有 k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? ,在 x0 ? (0,3] 上恒成立, x x0 2

1 1 2 1 1 2 ? x0 取得最大值 ,∴ a ? ; x0 ? x0 ) max , x0 ? (0,3] ,当 x0 ? 1 时, ? x0 2 2 2 2
2

(3)∵方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,∴ x 2 ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解, 设 g ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx ,则 g ?( x) ?
2

2 x 2 ? 2mx ? 2m , x

令 g ?( x) ? 0 , x 2 ? mx ? m ? 0 ,

m ? m 2 ? 4m m ? m 2 ? 4m ? 0 (舍去), x2 ? ∵ m ? 0, x ? 0 ,∴ x1 ? , 2 2

当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减, 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上单调递增, 当 x ? x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x) 取最小值 g ( x2 ) , 则?
2 ? ? g ( x2 ) ? 0 ? x2 ? 2m ln x2 ? 2mx2 ? 0 即? , 2 ? g ( x ) ? 0 x ? mx ? m ? 0 ? ? 2 ? 2 2

∴ 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0 ,∵ m ? 0 ,∴ 2 ln x2 ? x2 ? 1 ? 0(?) , 设函数 h( x) ? 2 ln x ? x ? 1 ,∵当 x ? 0 时, h( x) 是增函数,∴ h( x) ? 0 至多有一解,

∵ h(1) ? 0 ,∴方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即

m ? m 2 ? 4m 1 ? 1 ,解得 m ? . 2 2

考点:1.通过导数判断函数的单调性;2.恒成立问题. 67. (1) f ( x) 的单调递减区间为 (0, 2) ,单调递增区间为 (2, ??) ; (2)2 【解析】 试题分析: (1)先求导函数 f ?( x) ?

a(2 ? x) ,令 f ' ( x) ? 0 ,解不等式并和定义域求交集, 3 x

得递增区间;令 f ' ( x) ? 0 ,解不等式并和定义域求交集,得递减区间; (2)本题考查导数 的几何意义,该类问题的关键是设切点 ( x0 , y0 ) ,利用切点在曲线 y ? f ( x) 上,切点在切线 ( 3 )求得 g ?( x) ? ln x ? 1 ? a ,令 x ? y ? 1 ? 0 上,以及 f ' ( x0 ) ? 1 联立求参数 a 的值;

g ' ( x ) ? 0,得 x ? e a ?1 ,讨论根与定义域的位置关系,当 e a ?1 ? 1 和 e a ?1 ? e 时,函数 g ( x)
在定义域 ?1, e? ,利用单调性求最值,当 1 < e 号,判断函数大致图象,并求得最值. 试题解析: (1) f ?( x) ?
a ?1

< e 时,将定义域分段,分别讨论导函数符

a(2 ? x) , (x ? 0) , x3

1分

在区间 (??, 0) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 . 所以, f ( x) 的单调递减区间是 (??, 0) 和 (2, ??) ,单调递增区间是 (0, 2) . 3分

a ( x0 ? 1) ? ? y0 ? x 2 0 ? ? (2)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ? x0 ? y0 ? 1 ? 0 ? a (2 ? x ) 0 ? ?1 3 x ? 0 ?
解得 x0 ? 1, a ? 1 . (3) g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) ,则 g ?( x) ? ln x ? 1 ? a , 解 g ?( x) ? 0 ,得 x ? e a ?1 , 当e
a ?1

6分 7分

? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递增函数,
8分

所以 g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae . 当e
a ?1

? e ,即 a ? 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递减函数,
9分

所以 g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 . 当1 < e
a ?1

< e ,即 1 ? a ? 2 时, g ( x) 的最大值为 g (e) 和 g (1) 中较大者;

g (e) ? g (1) ? a ? e ? ae ? 0 ,解得 a ?
所以, 1 ? a ?

e , e ?1

e 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae , e ?1

e ? a ? 2 时, g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 . 11 分 e ?1 e 综上所述,当 0 ? a ? 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae , e ?1 e 当a ? 时, g ( x) 的最大值为 g (1) ? 0 . 12 分 e ?1
考点:1、导数在单调性上的应用;2、利用导数求函数的极值、最值;3、导数的几何意义. 68. (1) f ( x) 的单调递减区间为 (0, 2) ,单调递增区间为 (2, ??) ; (2)2 【解析】
' 试题分析: (1)当 a ? 1 时,先求导函数 f ( x) ,解不等式 f '( x) ? 0 并和定义域求交集得函

数 f ( x) 的递增区间,解不等式 f '( x) ? 0 并和定义域求交集得函数 f ( x) 的递减区间; (2) 若函数 f ( x) 在区间(0,1)上无零点相当于对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立或者 f ( x) ? 0 恒 成立,则可转化为求函数 f ( x) 的最值.显然当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,当 a ? 0 时,

先求得 f '( x) ? a ?

2 ax ? 2 2 2 ? ,令 f ' ( x) ? 0 得, x ? ,分别讨论 x ? 与定义域(0,1) a a x x

的位置关系,研究函数 f ( x) 的大致形状,从而求其最值,若最小值大于 0 则恒正,若最大 值小于 0 则 恒负. 试题解析: (1)当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x , f '( x) ? 1 ? 由 f '( x) ? 0 得 x ? 2 ,由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 故 f ( x) 的单调递减区间为 (0, 2) ,单调递增区间为 (2, ??) (2)若函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上无零点,则 对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立或者 f ( x) ? 0 恒成立. 由 x ? (0,1) ,得 x ? 1 ? 0 , ?2 ln x ? 0 , 故若 a ? 0 , f ( x) ? a( x ? 1) ? 2ln x ? 0 恒成立;
a a a a 若 a ? 0 , ?x0 ? ( ) ? (0,1) , f ( x0 ) ? f [( ) ] ? a[( ) ? 1] ? 2 ln( )

2 x?2 ? x x

5分

1 e

1 e

1 e

1 e

1 ? a( )a ? a ? 0 e
所以, 函数 f ( x) ? 0 在区间 (0,1) 上不可能恒成立, 故要使函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上无零点, 只要对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立. (后续步骤分为解法一和解法二) 解法一: 8分

2 ax ? 2 ? , x x 2 2 2 当 a ? 2 ,即 0 ? ? 1 时,由 f '( x) ? 0 得 x ? ,由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? , a a a 2 2 即 f ( x) 在区间 (0, ) 上单调递减,在区间 ( ,1) 上单调递增; a a 2 2 2 2 此时 f ( x) min ? f ( ) ? a ( ? 1) ? 2 ln ? 2 ? a ? 2 ln , a a a a 2 2 2?a ? 0 ,故 g (a) ? g (2) ? 0 , 构造 g ( a ) ? 2 ? a ? 2 ln , g '(a ) ? ?1 ? ? a a a f '( x) ? a ?
所以当 a ? 2 时, f ( x)min ? 0 ,即对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 不恒成立,舍去; 10 分 当 a ? 2 ,即

2 2 2 ? 1 时,由 f '( x) ? 0 得 x ? ,由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? , a a a

即 f ( x) 在区间 (0,1) 上单调递减,故 f ( x) ? f (1) ? 0 , 满足对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立, 综上, a ? 2 ,即 a 的最大值为 2. 解法二: 12 分

由对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立可得对 ?x ? (0,1) , a ?

2 ln x 恒成立. x ?1

2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ? ? 2 ln x 2 ln x x ? 令 g ( x) ? , g '( x ) ? x ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 x ?1
令 h( x ) ? 2 ? 即 h( x ) ? 2 ?

2 2 2 2 ? 2x ? 2 ln x ,由 h '( x) ? 2 ? ? ? 0 得 h( x) 在区间 (0,1) 上单调递增, x x x x2

h( x ) 2 ? 2 ln x ? h(1) ? 0 ,从而 g '( x) ? ? 0, x ( x ? 1) 2

即 g ( x) 在区间 (0,1) 上单调递减, 由罗比达法则知 lim

2ln x (2ln x) ' 2 ? lim ? lim ? 2 ,即 g ( x) ? 2 , x ?1 x ? 1 x ?1 ( x ? 1) ' x ?1 x
2 ln x 恒成立,可得 a ? 2 ,即 a 的最大值为 2 x ?1
12 分

若对 ?x ? (0,1) , a ?

考点:1、导数在单调性上的应用;2、利用导数求函数的极值、最值. 69. (1) b ? 1 ; (2) a 的取值范围是 ? 2 ? 1, 2 ? 1 【解析】 试题分析: (1)求 b 的值,由已知曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率为 0 ,由导 数的几何意义可知,函数 f ? x ? ? a ln x ? 对函数 y ? f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ?

?

?

?1, ?? ? .

?

?

1? a 2 x ? bx 在点 ?1, f ?1? ? 处的导数值为 0 ,因此 2

a ? ?1 ? a ? x ? b ,令 f ? ?1? ? 0 即可求出 b 的值; (2)若 x a 存在 x ??1, ?? ? ,使得 f ? x ? ? ,求 a 的取值范围,这是存在性问题,只要求出函数 a ?1 1? a 2 x ? x ,可 f ? x ? 的最小值即可,由(1)知 b ? 1 ,代入 f ? x ? 中得, f ? x ? ? a ln x ? 2
用导数法求最小值,故对函数 y ? f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ?

? x ? 1? ? ??1 ? a ? x ? a ? ?
x

(a ? 1) ,可

对参数 a 分类讨论,确定最小值,进而可求出 a 的取值范围. 试题解析: (Ⅰ) f ? ? x ? ?

a ? ?1 ? a ? x ? b , x

2分

由曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率为 f ? ?1? ? 0 ,得 f ? ?1? ? 0 , 即 a ? ?1 ? a ? ? b ? 0 , b ? 1 . ( Ⅱ ) 由

?

?

3分 4分

b ?1
2



x ??1, ???



.

f ?? x? ?

?1 ? a ? x ? x ? a ? ? x ? 1? ? a ??1 ? a ? x ? a ? ? (a ? 1) ? ?1 ? a ? x ? 1 ? x x x
a a 2a ? 1 ?1 ? . 且 1? a 1? a 1? a

5分 7分

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? ①当 a ?

1 a ? 1 ,在 ?1, ?? ? 上, f ? x ? 为增函数, 时, 2 1? a a ?a ? 1 ?1 ? , ? f ? x ? ?min ? f ?1? ? 1 ? 2 2 ?a ? 1 a 2 ? 令 ,即 a ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 . 2 a ?1 1 a ? 1, ②当 ? a ? 1 时, 2 1? a a a a x (1, ) ( , ? ?) 1? a 1? a 1? a

9分

f ? ? x?
f ? x?

?


0
极小值

?


? f ? x ??

min

a a2 a a ? a ? ?f? ? a ln ? ? ? ? 1 ? a 2 ?1 ? a ? a ?1 a ?1 ? 1? a ?
11 分

不合题意,无解. ③当 a ? 1 时,在 ?1, ?? ? 上, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为减函数,

? f ? x ??
f ?1? ?

max

? f ?1? ?

1? a ?a ? 1 ?1 ? 2 2
13 分 14 分

?a ? 1 a ? 恒成立,则符合题意. 2 a ?1

综上, a 的取值范围是 ? 2 ? 1, 2 ? 1

?

?

?1, ?? ? .

考点:导数的几何意义,利用导数求最值. 70.此轮船以 20 公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小. 【解析】 试题分析:根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键.建立起函数的模型之后,根据 函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题,充分发挥导数的工具作用. 3 解:设船速度为 x(x>0)时,燃料费用为 Q 元,则 Q=kx ,

由 6=k?10 可得 ∴总费用

3

,∴

, ,

,令 y′=0 得 x=20, 当 x∈(0,20)时,y′<0,此时函数单调递减, 当 x∈(20,+∞)时,y′>0,此时函数单调递增, ∴当 x=20 时,y 取得最小值, 答:此轮船以 20 公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小. 点评:本题考查函数模型的应用,考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法.建立起函 数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题,体现了转化与化归的思想. 71.在离点 B 距离为 的点 M 处修筑公路至 C 时,货物运费最省.

【解析】 试题分析:由已知,我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费,进而得到由 A 到 C 的总运 费, 利用导数法,我们可以分析出函数的单调性,及函数的最小值点,得到答案. 解: 设 M 为 AB 上的一点, 且 MB=x, 于是 AM 上的运费为 2 (50﹣x) , MC 上的运费为 4 , 则由 A 到 C 的总运费为 p(x)=2(50﹣x)+4 (0≤x≤50) . p′(x)=﹣2+ 令 p′(x)=0,解得 x1= 当 x< 故当 x= , ,x2=﹣ (舍去) . 时,p′(x)>0,

时,p′(x)<0;当 x> 时,p(x)取得最小值.

即在离点 B 距离为

的点 M 处修筑公路至 C 时,货物运费最省.

点评:本题考查的知识点是导数在最大值最小值问题中的应用,函数最值的应用,其中根据 已知条件求出函数的解析式,并确定函数的单调性是解答本题的关键. 3 2 72. (1)y=﹣2x +33x ﹣108x﹣108. (2)售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. 【解析】 试题分析: (1)根据题中条件:“若已知 与 成正比”可设

,再依据售价为 10 元时,年销量为 28 万件求得 k 值,从而得出年 销售利润 y 关于 x 的函数关系式. (2)利用导数研究函数的最值,先求出 y 的导数,根据 y′>0 求得的区间是单调增区间, y′<0 求得的区间是单调减区间,从而求出极值进而得出最值即可.

解: (1)设



∵售价为 10 元时,年销量为 28 万件; ∴ ∴
2

,解得 k=2. =﹣2x +21x+18.
3 2 2

∴y=(﹣2x +21x+18) (x﹣6)=﹣2x +33x ﹣108x﹣108. 2 2 (2)y'=﹣6x +66x﹣108=﹣6(x ﹣11x+18)=﹣6(x﹣2) (x﹣9) 令 y'=0 得 x=2(∵x>6,舍去)或 x=9 显然,当 x∈(6,9)时,y'>0 当 x∈(9,+∞)时,y'<0 3 2 ∴函数 y=﹣2x +33x ﹣108x﹣108 在(6,9)上是关于 x 的增函数; 在(9,+∞)上是关于 x 的减函数. ∴当 x=9 时,y 取最大值,且 ymax=135. ∴售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. 点评:本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、导数的知识解决实际问 题的能力.属于基础题. 73.当高为 10,最大容积为 19600. 【解析】 试题分析:首先分析题目求长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的 高为多少时,容器的容积最大.故可设容器的高为 x,体积为 V,求出 v 关于 x 的方程,然 后求出导函数,分析单调性即可求得最值. 解:根据题意可设容器的高为 x,容器的体积为 V, 3 2 则有 V=(90﹣2x) (48﹣2x)x=4x ﹣276x +4320x, (0<x<24) 2 求导可得到:V′=12x ﹣552x+4320 2 由 V′=12x ﹣552x+4320=0 得 x1=10,x2=36. 所以当 x<10 时,V′>0, 当 10<x<36 时,V′<0, 当 x>36 时,V′>0, 所以,当 x=10,V 有极大值 V(10)=19600,又 V(0)=0,V(24)=0, 所以当 x=10,V 有最大值 V(10)=19600 故答案为当高为 10,最大容积为 19600. 点评: 此题主要考查函数求最值在实际问题中的应用, 其中涉及到由导函数分类讨论单调性 的思想,在高考中属于重点考点,同学们需要理解并记忆. 74.0 【解析】 试题分析:由 f1(x)=sinx,fn+1(x)=fn′(x) ,利用导数的运算法则可得 f2(x)=f1′(x) =(sinx)′=cosx,f3(x)=﹣sinx, f4(x)=﹣cosx,f5(x)=sinx,?,于是 fn+4(x)=fn(x) .即可得出. 解:∵f1(x)=sinx,又 fn+1(x)=fn′(x) , ∴f2(x)=f1′(x)=(sinx)′=cosx,f3(x)=﹣sinx, f4(x)=﹣cosx,f5(x)=sinx,?, ∴fn+4(x)=fn(x) . 而 f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,

∴f1(x)+f2(x)+?+f100(x)=25?0=0. 点评:利用导数的运算法则得出其周期是解题的关键. 75.4x﹣4y﹣1=0. 【解析】 试题分析:根据导数的几何意义可知在 x 处的导数等于切线的斜率 1,建立等式关系,求出 切点的横坐标,代入函数关系式,求出切点坐标,最后利用点斜式方程写出切线方程即可. 解:设切点坐标为 M(x0,y0) ,则切线斜率为 2x0, 又直线 PQ 的斜率为 kPQ= ∵切线与直线 PQ 平行, ∴2x0=1,∴x0= , ∴切点为( , ) ,切线斜率为 1. ∴切线方程为 y﹣ =x﹣ 即 4x﹣4y﹣1=0. 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 以及两条直线平行的判定等基础 题知识,考查运算求解能力,属于基础题. 76.2x﹣y﹣1=0 和 4x+y+4=0. 【解析】 2 试题分析:欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在切点(x0,x0 )处 的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.最后结合切线过点(﹣ ,﹣2) 即可求出切点坐标,从而问题解决. 解:设直线的斜率为 k,直线与抛物线相切的切点坐标为(x0,y0) , 则直线方程为 y+2=k(x+ ) , ∵y′=2x, ∴k=2x0,又点(x0,x ∴x +2=2x0(x0+ ) , )在切线上, =1,

∴x0=1 或 x0=﹣2, ∴直线方程为 y+2=2(x+ )或 y+2=﹣4(x+ ) , 即为 2x﹣y﹣1=0 和 4x+y+4=0. 点评: 本小题主要考查导数的概念、 导数的几何意义和利用导数研究曲线上某点切线方程的 能力,考查运算求解能力.属于基础题. 77.见解析 【解析】 试题分析:分别利用导数的公式求函数的导数. 解: (1) .

(2) (3)y'=(2sinxcosx)'=2cosxcosx﹣2sinxsinx=2cos2x. (4) .



点评:本题主要考查导数的运算,要求熟练掌握常见函数的导数公式和导数的运算法则. 78. (1)最小值为 f (2) ? 2 ? 6ln 2 ,最大值为 f (4) ? 12(1 ? ln 2) ; (2) 0 ? a ?

1 . 8

【解析】 试题分析: (1)求导,利用单调性即可得 f ( x) 在[1,4]上的最值; (2)若 f ( x) 在定义域内 既有极大值又有极小值,即 f ' ( x) ? 0 在 (0,??) 有两个不等根.即 2 x 2 ? x ? a ? 0 在 (0,??) 有两 不等实根.由此即可得实数 a 的取值范围.
6 3 试题解析: (1) f ' ( x) ? 2x ? 1 ? , 令 f ' ( x) ? 0 ? x1 ? 2, x2 ? ? (舍) , x 2 所以 f ( x) 在[1,2]单调递减,在[2,4]上单调递增.

∴ f ( x) min ? f (2) ? 2 ? 6 ln 2, f (1) ? 0, f (4) ? 12 ? 6 ln 4 ? 0 ∴ f ( x)max ? f (4) ? 12 ? 6 ln 4 ? 12(1 ? ln 2) (2)若 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,即 f ' ( x) ? 0 在 (0,??) 有两个不等根. 即 2 x 2 ? x ? a ? 0 在 (0,??) 有两不等实根. 令 g ( x) ? 2 x 2 ? x ? a ,则 ? 考点:导数的应用. 79. (1) f ? x ? min ? ?

?? ? 0 1 ?0?a? . 8 ? g (0) ? 0

1 ; (2) ?1 ? k ? 1 . 2e

【解析】 试题分析: (1)由已知显然该函数是偶函数,所以只需研究当 x ? 0 时的函数最值,由于函 数是对数函数,可用导数法求最值,因此对函数求导,令 f ' ? x ? ? 0 ,判断导数在定义域内 的符号确定单调性,从而可得函数的最值; ( 2 )由( 1 )作出函数 f ? x ? 的图像,方程

f ? x ? ? kx ?1 无实数解时,由图像可知,求出相切时 k 的值,结合图象可确定 k 的范围.
试题解析: (1)∵f(x)为偶函数,∴我们先求其在(0,+∞)内的最值. 求导得: f ? (x)=x(2lnx+1), 知: x∈(0, e ? 2 )时, f ? (x)<0 ? f(x)单调递减;x∈(e ? 2 ,+∞)时, f ? (x)>0
1 1

令 f ? (x)=0 ? 2lnx+1=0 ? x=e ? 2 ,由此易
1

?f(x)单调递增.
1 故 f(x)在[0,+∞)上的最小值 f(x)min=f(e ? 2 )=- 1 . 2e

再由 f(x)为偶函数,其图像关于 y 轴对称即知:f(x)min=- 1 为所求. 2e (2)由(1)知:f(x)的图像大致如右图所示,由图像知:当求出直线 y=kx-1 与 f(x)的图像相切时,其斜率 k 的值后,便可求得该直线与 f(x)的图像无交点,即 方程 f(x)=kx-1 无实数解时,其斜率 k 的取值范围. 我们先考虑 x>0 的情况. 设切点为(x0, y0) ,x0>0? k 切=x0(2ln x0+1)?切线方程为:y=x0(2ln x0+1)x+y0 2 -x0 (2ln x0+1) , 2 2 2 因该切线与 y=kx-1 重合,故 x0 (2ln x0+1)=1 ?2x0 ln x0=1-x0 .此即 2 f(x0) = 2 1-x0 . (※) 2 在同一坐标系内,作出函数 y=2f(x), x>0, 与 y=1-x 的图像,可知它们的交点为(1, 0) .故方程(※)的解为:x0=1 ?k 切=1;?x>0 时,k≥1,直线 y=kx-1 与 f(x)的 图像有交点(即原方程有解) . 再根据 f(x)的图像的对称性易知:k≤-1 时,直线 y=kx-1 与 f(x)的图像也有交点. 故-1<k<1 时,直线 y=kx-1 与 f(x)的图像无交点,即方程 f(x)=kx-1 无实数解. y
1 e
O -1 1

x

考点:利用导数研究函数的单调性、极值、等性质,确定函数的图象,方程根的取值. 80. (Ⅰ) f ( x) 在 ? 0, 【解析】

? ? ?

?

? ? a ?1 ? a ?1 单调递增,在 ? ? , ?? ? ? ? ? 单调递减;(Ⅱ) (-?, -2] . 2a ? 2a ? ? ?

(x) ? 试题分析: (Ⅰ) f ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax= ,当 a ? 0 时, f( ? x)>0 ,故 f ( x) x x

(0, ? ?) 上单调递增;当 a ? ?1 时, f( (0, ? ?) 上单调递减; 在 ? x)<0 ,故 f ( x) 在
当 ?1<a<0 时,令 f( ? x) ? 0 ,解得 x ?

?

a ?1 a ?1 (0,? ) ,f(x)在 上单调递增, 2a 2a

( ? 在

a ?1 (0, ? ?) 上单调递减, , ? ?) ,( f x )在 上单调递减. (Ⅱ) x1 ? x2 ,而 a< ? 1 2a

从而 ?x1,x2 ? (0, ? ?),( | f x1) ?( f x2) ? 4 x1 ? x2 | 等价于 ?x1,x2 ? (0, ? ?),( f x2) ? 4x2 ? ( f x1) ? 4x1 ,由此能示出 a 的取值范围. 试题解析:解:(1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) . f ?( x) ?

a ?1 2ax2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a …0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 单调递增; 当 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 单调递减; 当 ?1 ? a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?

a ?1 . 2a

即 x ? ? 0,

? ? ?

? ? ? ?

? ? a ?1 ? a ?1 时, f ?( x) ? 0 ; x ? ? ? , ?? ? ? ? ? 时, f ?( x) ? 0 . ; 2a ? 2 a ? ? ? ? ? ? a ?1 ? a ?1 单调递增,在 ? ? , ?? ? ? ? ? ? 单调递减; 2a ? 2a ? ?

故 f ( x) 在 ? 0,

( 2 ) 不妨设 x1 ? x2 , 而 a ? ?1 , 由( 1 )知 f ( x) 在 (0, ??) 单调 递减, 从而对 任意

x1、x2 ? (0, ??) , 恒 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) …4 x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) …4( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 4 x1 … f ( x2 ) ? 4x2
令 g ( x) ? f ( x) ? 4 x ,则 g ?( x) ? 即 g ?( x) ?

a ?1 ? 2ax ? 4 x

等价于 g ( x) 在 (0, ??) 单调递减,

?4 x ? 1 (2 x ? 1) 2 ? 4 x 2 ? 2 (2 x ? 1) 2 a ?1 ? 2ax ? 4 ? 0 ,从而 a ? ? ? ?2, x 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1

故 a 的取值范围为 ? ??, ?2?. 另解: a ? ( 则 ? ? ( x) ?

?4 x ? 1 ) min 2x2 ? 1

设 ? ( x) ?

?4 x ? 1 , 2 x2 ? 1

?4(2 x 2 ? 1) ? (?4 x ? 1) ? 4 x 8 x 2 ? 4 x ? 4 8 x 2 ? 4 x ? 4 4(2 x ? 1)( x ? 1) ? ? ? (2 x 2 ? 1)2 (2 x 2 ? 1)2 (2 x 2 ? 1)2 (2 x 2 ? 1) 2
1 2

当 x ? (0, )时,? ?( x) ? 0, ? ( x)为减函数 , x ? ( , ??)时,? ?( x) ? 0, ? ( x)为增函数 。 ∴ ? ( x) min ? ? ( ) ? ?2

1 2

1 2

-2]. ∴ a的取值范围为(-?,

考点:1.利用导数求闭区间上函数的最值;2.利用导数研究函数的单调性. 81. (1) f ( x) 的单调递增区间是 (1, ? ?) , f ( x) 的单调递减区间是 (??, 1) (2)

0? k ?e;

(3)证明见解析 【解析】 试题分析: (1)函数 y ? f ?x ? 在某个区间内可导,则若 f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区间内

单调递增, 若 f ??x ? ? 0 , 则 f ?x ? 在这个区间内单调递减; 若可导函数 f ?x ? 在指定的区间 D 上单调递增(减) ,求参数问题,可转化为 f ??x ? ? 0 或f ??x ? ? 0 恒成立,从而构建不等式, 要注意“=”是否可以取到.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有 两种处理方法:一是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是分离参数,再去求函数的最 值来处理,一般后者比较简单.对于恒成立的问题,常用到两个结论: (1) (2) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min ; (3)掌握不等式 a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max , 的一些放缩问题. 试题解析:解: (1)由 k ? e 得 f ( x) ? e x ? ex ,所以 f ?( x) ? e x ? e .??2 分

?

?

? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1, 1) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递减区间是 (??,
(2)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立. 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x

1] 时, f ?( x) ? ex ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . ①当 k ? (0,
此时 f ( x) 在 [0, ? ?) 上单调递增.故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.

, ? ?) 时, ln k ? 0 . ②当 k ? (1
当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, ln k )

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . 由此可得,在 [0,

?1 ? k ? e . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1, 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .
(3)

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? ex ? e? x ,

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2 ,

? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 , F(2)F(n ? 1) ? e n?1 ? 2 ,? F(n)F(1) ? e n?1 ? 2 ,
由此得, [ F (1) F (2)

F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)] [ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
n ?1

故 F (1) F (2) ??? F (n) ? (e

? 2) 2 (n ? N * ) .
2

n

考点:1、利用导数求函数的单调区间;2、恒成立的问题;3、证明不等式. 82. (Ⅰ) f ? x ? ? 4x ?12x ? 9x ? 2 ; (Ⅱ) t ? ?
3

1 9 时有最小值 ? , t ? 3 时有最大值 2 4

10. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)欲求实数 a、b 的值,利用 f(x)在 x=1 处的切线方程为 3x+y-6=0,结合 导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决; (Ⅱ)求导数,确定 f(x)在[

1 1 ,2]上的最小值为 2,由 f(x)≥t2-2t-1 对 x∈[ ,2]恒成 4 4

立,则 t2-2t-1≤2,求出 t 的范围,从而可求函数 g(t)=t2+t-2 的最值.
2 试题解析: 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? 9 ,根据题意得 ?

? ? f ?1? ? 3 ? ? f ? ?1? ? ?3

即?

?a ? b ? 9 ? 2 ? 3 ?a ? 4 3 2 ,解得 ? ,所以 f ? x ? ? 4x ?12x ? 9x ? 2 . ?b ? 12 ?3a ? 2b ? 9 ? ?3
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ? ? x ? ? 12x ? 24x ? 9, 解 f ? ? x ? ? 0 得 x1 ? 列表得: x

1 3 , x2 ? 2 2

1 4

?1 1? ? , ? ?4 2?
+

1 2
0 极大值

?1 3? ? , ? ?2 2?
-

3 2
0 极小值 2

?3 ? ? ,2? ?2 ?
+

2

f ? ? x?
f ? x?
57 16
2

11 2

4

所以 f ? x ?min ? 2 ? t ? 2t ?1 ,解得 ?1 ? t ? 3 , 所以函数 g ?t ? ? t ? t ? 2 在 ?1 ? t ? 3 上,
2

当t ? ?

1 9 时有最小值 ? ,当 t ? 3 时有最大值 10. 2 4

考点:1.导数在最大值、最小值问题中的应用;2.利用导数研究曲线上某点切线方程. 83. (1) a ? ?4 ; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)已知原函数的值为正,得到导函数的值非负,从而求出参量的范围; (2)利用韦达定理,对所求对象进行消元,得到一个新的函数,对该函数求导后,再对导 函数求导,通过对导函数的导导函数的研究,得到导函数的最值,从而得到原函数的最值,

即得到本题结论. 试题解析:解: ( 1 ) f ? ? x ? ? 2x ?

a 2 x2 ? 2 x ? a , f ?? x? ? ? 0 在 [1, ??) 上 恒 成 立 x ?1 x ?1

a ? ?2x2 ? 2x ?a ? ?2 ?12 ? 2, a ? ?4
(2) f ? ? x ? ?

2 x2 ? 2 x ? a ? 0 ? 令g ? x ? ? 2 x 2 ? 2 x ? a在 ? ?1, ?? ? 上有解 x ?1

? ? ? ? 4 ? 8a ? 0 ? ? ? 9 ? ?1? ? 0 ? 1 ? 0?a? ? 2
2 ?2x12 ? 2x1 ? a ? 0, x1 ? x2且x1 ? x2 ? ?1, 2x2 ? 2x2 ? a ? 0

1 1 ? 2a 1 1 ? 2a 1 x1 ? ? ? , x2 ? ? ? ?? ? x2 ? 0 2 2 2 2 2
?
2 2 x 2 ? ? 2 x 2 ? 2 x ? ln ? x ? 1? f ? x2 ? x2 ? ? 2 x2 ? 2 x2 ? ln ? x2 ? 1? ? 1 ? ? 令k ? x ? ? x ?? ? ,0? x1 ?1 ? x2 ?1 ? x ? 2 ?

k?? x? ?

x2

? x ? 1?

2

? 2 ln ? x ? 1? , k ?? ? x ? ?

2x2 ? 6x ? 2

? x ? 1?

3

? 1? ? k ?? ? ? ? ? ?4 ? 2?

? 1 ? k ?? ? 0 ? ? 2 ? 存在x0 ? ? ? , 0 ? 使k ?? ? x ? ? 0 ? 2 ?

? 1? ? 1 ? k ? ? 0 ? ? 0, k ? ? ? ? ? 1 ? 2ln 2 ? 0 ? k ? x ? 在 ? - , 0 ? 上递减 ? 2? ? 2 ?

f ? x2 ? 1 ? 1? k ? 0? ? k ? x ? ? k ? ? ? ?0 ? ? ? ? ln 2 . x1 2 ? 2?
考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.利用导数求闭区间上函数的最值. 84. (1) 0 ? a ?

2 2 ; (2) 1 ? b ? ? e ? 1 e e

【解析】 试题分析: (1)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法:一 是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是分离参数,再去求函数的最值来处理,一般后 者比较简单; (2)解决类似的问题时,注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时,要先 求函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 内使 f ??x ? ? 0 的点,再计算函数 y ? f ?x ? 在区间内所有使

f ??x ? ? 0 的点和区间端点处的函数值,最后比较即得; (3)函数 y ? f ?x ? 在某个区间内可
导,则若 f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区间内单调递增,若 f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区间内 单调递减. 试题解析:解:(1) f ?? x ? ? ? 由 f ??x ? ? 0 ,解得 x ? 所以 f ?x ? 在区间 ?

2 a ax ? 2 ? ? . x2 x x2

2 2 ;由 f ??x ? ? 0 ,解得 0 ? x ? a a

? 2? ?2 ? ,?? ? 上单调递增,在区间 ? 0, ? 上单调递减. ? a? ?a ?

所以当 x ?

2 ?2? 时,函数 f ?x ? 取得最小值, ymin ? f ? ? a ?a?

因为对于 ?x ? ?0,??? 都有 f ?x ? ? 2?a ? 1?成立 所以只需满足 f ?

?2? ? ? 2?a ? 1? 即可 ?a?



2 2 2 2 ? a ln ? 2 ? 2?a ? 1?,即 a ln ? a ,解得 0 ? a ? 2 e a a a

所以 a 的取值范围是 ? 0, ? 依题意得 g ? x ? ? 则 g ?? x ? ?

? ?

2? e?

2 ? ln x ? x ? 2 ? b ,其定义域为 ?0,??? x

x2 ? x ? 2 ,由 g ??x ? ? 0 ,解得 x ? 1 x2

由 g ??x ? ? 0 解得 0 ? x ? 1 所以函数 g ?x ? 在区间 ?0,1? 上为减函数,在区间 ?1,??? 上为减函数,又因为 函数 g ?x ? 在区间 e , e 上有两个零点,
?1

?

?

? g e ?1 ? 0 2 ? 所以 ? g ?e ? ? 0 ,解得 1 ? b ? ? e ? 1 . e ? g ?1? ? 0 ?
考点:1、恒成立的问题;2、函数的导数与单调性关系;3、函数零点的个数. 85. (1) a ? 2, b ? ?12, c ? 0 ;(2)当 x ?

? ?

2 时, f ?x ? 取得最小值为 ? 8 2 ,当 x ? 3 时,

f ?x ? 取最大值 1
【解析】 试题分析: (1)已知函数的奇偶性求参数的值一般思路:利用函数的奇偶性的定义转化为

f ?? x? ? ? f ?x? ,从而建立方程,使问题获解,但是在解决选择题,填空题时,利用定义
去做相对麻烦,因此为使问题解决更快,可采用特值法; (2)利用导数的几何意义求曲线在 点 ?1, f ?1?? 处的切线方程,注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率; (3)函数

y ? f ?x ? 在某个区间内可导, 则若 f ??x ? ? 0 , 则 f ?x ? 在这个区间内单调递增, 若 f ??x ? ? 0 ,
则 f ?x ? 在这个区间内单调递减; (4)解决类似的问题时,注意区分函数的最值和极值.求 函数的最值时, 要先求函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 内使 f ??x ? ? 0 的点, 再计算函数 y ? f ?x ? 在区间内所有使 f ??x ? ? 0 的点和区间端点处的函数值,最后比较即得. 试题解析:解: (1)? f ?x ? 为奇函数,? f ?? x ? ? ? f ?x ? 即 ? ax3 ? bx ? c ? ?ax3 ? bx ? c ,? c ? 0

? f ??x ? ? 3ax2 ? b 的最小值为-12,? b ? ?12
又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为

1 6

因此 f ??1? ? 3a ? b ? ?6 ,故 a ? 2, b ? ?12, c ? 0

f ?x? ? 2x3 ?12x , f ??x? ? 6x2 ?12 ? 6 x ? 2 x ? 2
列表如下

?

??
?

?
?
?
单调递增

x
f ?? x?
f ? x?

?? ?,? 2 ?
?
单调递增

? 2
0
极大值

??
?

2, 2

2
0
极小值

2, ??

?

单调递减

所以 f ?x ? 的单调递增区间为 ? ?,? 2 ,

?

f ?x ? 的极大值为 f ? 2 ? 8

?

?

? 2 ,极小值 f ? 2 ? ? ?8
2 ,??

??

2

又 f ?? 1? ? 10, f ?3? ? 18 , 所以当 x ?

2 时,f ?x ? 取得最小值为 ? 8 2 , 当 x ? 3 时, f ?x ?

取最大值 1. 考点:1、奇函数的应用;2、求曲线的切线方程;3、求函数在闭区间上的最值. 86. (1)详见解析; (2) (1,1 ? 3] . 【解析】 试题分析: (1)求导数, 利用导数大于 0, 求函数 f (x)的单调增区间; (2) 无论 ? 还是 ?

2a ? b, 3

2a ? b ,只需 f(1)≥f(b)就能使得 f(1)是函数 f(x)在区间[1,b](b>1)上 3 2 a) 3

的最大值,即可求实数 b 的取值范围.
2 试题解析:解: (1) f ?( x ) ? 3x ? 2ax ? 3x ( x ?

当 a ? 0 , f ?( x) ? 0 ,函数递增区间是 ( ??, ??)

2 a ),(0, ??) 3 2a , ??) 当 a ? 0 ,递增区间是 ( ??,0),( ? 3 2 (2)因为 a ? ?3 ,所以 ? a ? 2 3 2a 2a ? b ,还是 ? ? b ,只需 f (1) ? f (b) 就能使得 f ?1? 是函数 f ? x ? 在区间 所以无论 ? 3 3
当 a ? 0 ,递增区间是 ( ??, ?

?1, b? ?b ? 1? 上的最大值,
3 2 化简得 b ? ab ? a ? 1 ? 0

令 g (a) ? (b ? 1)a ? b ? 1,
2 3

b ? 1,? g (?3) ? ?3(b2 ? 1) ? b3 ? 1 ? 0

(b ? 1)(b2 ? 2b ? 2) ? 0,1 ? b ? 1 ? 3
所以 b 的取值范围是 (1,1 ? 3] . 考点:1.利用导数求闭区间上函数的最值;2.利用导数研究函数的单调性. 87. (1) a ? 4, b ? 1 ; (2) [1, ??) . 【解析】 试题分析: ( 1 )由 题 知 f ?( x) ?

a(b ? x 2 ) , 函 数 f ( x) 在 x ? ?1 处 取 得 极值 -2 , 所 以 ( x 2 ? b) 2

f (?1) ? ?2, f ?(?1) ? 0 ,解方程即可求出 a , b 的值;
(2)函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,即 f ?( x) ? 0 在区间 (?1,1) 恒成立,因为 a ? 0 , 所以 b ? x 2 ? 0 即 b ? x 2 在区间 (?1,1) 恒成立,所以 b ? [ x2 ]max ,进而求出 b 的取值范围. 试题解析: (1)由题知 f ?( x) ?

a(b ? x 2 ) ( x 2 ? b) 2

因为函数 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值-2,所以 f (?1) ? ?2, f ?(?1) ? 0 即?

? f ?(?1) ? 0 ?a ? 4 ?? ? f (?1) ? ?2 ?b ? 1

(2)函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,即 f ?( x) ? 0 在区间 (?1,1) 恒成立, 因为 a ? 0 , 所以 b ? x 2 ? 0 即 b ? x 2 在区间 (?1,1) 恒成立, 所以 b ? [ x2 ]max , ( x2 ? b)2 ? 0 ,
2 因为 x ? (?1,1) ,所以 0 ? x ? 1

所以 b 的取值范围为 [1, ??) 考点:函数的极值;函数的单调性. 88. (1)当 a ? 0 时,此时函数 f(x) 在(1,+ ? ) 上是增函数;在(0,1)上是减函数; 当a ?

1 时,此时函数 f(x) 在(0,+ ? ) 是减函数; 2

当 a <0 时, f(x) 在(1,+ ? ) 上是增函数;在(0,1)上是减函数;

1 1 1 ( -1, 时, f(x) 在(1, -1) 上是增函数;在(0,1)和 + ?) 上是减函数; a 2 a 11 (2)实数 b 取值范围是 [ , ?? ) 。 4
当 0<a <
' 【解析】 (1)原函数的定义域为(0,+ ? ) ,因为 f ( x) ?

1 1 ? a -ax 2 +x+a-1 ? a- 2 = ,所 x x x2


' 当 a ? 0 时, f ( x) ?

x-1 x-1 ' ,令 f ( x ) ? 2 >0 得 x>1 ,所以此时函数 f(x) 在(1,+ ? ) 上是 2 x x

增函数;在(0,1)上是减函数;

1 1 - ? x 2 +x+ -1 -x 2 +2x-1 ( 2 - x-1) 1 ' 2 ? ? ? 0 ,所以此时函数 f(x) 在 当 a ? 时, f ( x) ? 2 2 2x2 2x2 x2 (0,+ ? ) 是减函数;

当 a <0 时,令 f ' ( x) =

-ax 2 +x+a-1 1 ,此 >0 得 -ax 2 +x-1+a>0 ,解得 x>1或x< -1 (舍去) 2 a x

时函数 f(x) 在(1,+ ? ) 上是增函数;在(0,1)上是减函数;

当 0<a <

-ax 2 +x+a-1 1 1 时,令 f ' ( x) = >0 得 -ax 2 +x-1+a>0 ,解得 1<x< -1 ,此时函数 2 2 a x

1 1 ( -1, + ?) 上是减函数; f(x) 在(1, -1) 上是增函数;在(0,1)和 a a


-ax 2 +x+a-1 1 1 <a <1 时,令 f ' ( x) = >0 得 -ax 2 +x-1+a>0 ,解得 -1<x<1 ,此时函数 2 2 a x

1 1 (1, ( -1, f(x) 在 1)上是增函数;在(0, -1 )和 + ?) 上是减函数; a a
当 a ? 1 时,由于

-ax 2 +x+a-1 1 -1 ? 0 ,令 f ' ( x) = >0 得 -ax 2 +x-1+a>0 ,可解得 0 ? x ? 1 , a x2

此时函数 f(x) 在(0,1)上是增函数;在(1,+ ? ) 上是减函数。

1 时,f(x) 在 (0, 1) 上是减函数, 在 ( 1, 2) 上是增函数, 所以对任意 x1 ? (0, 2) , 4 1 1 有 f(x1 ) ? f(1)=- , 又 已 知 存 在 x2 ??1,2? , 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所 以 ? ? g ( x2 ) , 2 2
(2) 当a ?

x2 ??1,2? ,
9 9 1 2 2 即 存 在 x ??1, 2? , 使 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 ? ? , 即 2bx ? x ? , 即 2b ? x ? 2 ? 2 2 x 11 17 [ , ], 2 4 11 11 11 所以 2b ? ,解得 b ? ,即实数 b 取值范围是 [ , ?? ) 。 4 2 4
89. (1) ? 16 ? b ? ?5 ;(2) a ? ?1 ;(3)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上是否 存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此 三角形斜边中点在 y 轴上 【解析】 试题分析: (1)若可导函数 f ?x ? 在指定的区间 D 上单调递增(减) ,求参数问题,可转化 为 f ??x ? ? 0 或f ??x ? ? 0 恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到,若不是单 调函数,则不恒成立; (2)含参数不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法:一

?

?

是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是分离参数,再去求函数的最值来处理,一般后 者比较简单,常用到两个结论: ( 1 ) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max , (2)

a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min .(3)与函数有关的探索问题:第一步:假设符合条件的
结论存在;第二步:从假设出发,利用题中关系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或 不存在;第四步:给出明确结果;第五步:反思回顾,查看关键点. 试题解析:解: (1)由 f ?x? ? x3 ? x 2 ? bx 得 f ??x ? ? 3x 2 ? 2 x ? b ,因 f ?x ? 在区间 ?1,2 ?上不上单调函数 所以 f ??x ? ? 3x 2 ? 2 x ? b 在 ?1,2 ?上最大值大于 0,最小值小于 0

1? 1 ? f ??x ? ? 3x 2 ? 2 x ? b ? 3? x ? ? ? b ? 3? 3 ?

2

? f ??x ?max ? 16 ? b ,? ?16 ? b ? ?5 ?? ? ? ? f x ? 5 ? b min ?
由 g ?x? ? ? x ? ?a ? 2?x ,得 ?x ? ln x ?a ? x ? 2 x
2 2

? x ? ?1, e?,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0
?a ?

? x2 ? 2x ? x2 ? 2x 恒成立,即 a ? ? ? x ? ln x ? ? x ? ln x ? ? min
x2 ? 2x ?x ? 1??x ? 2 ? 2 ln x ? , ?x ? ?1, e?? ,求导得 t ??x ? ? x ? ln x ?x ? ln x ?2

令 t ?x ? ?

当 x ? ?1, e? 时, x ? 1 ? 0,0 ? ln x ? 1, x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,从而 t ??x ? ? 0

? t ? x ?在 ?1, e? 上是增函数,?tmax ?x? ? t ?1? ? ?1
? a ? ?1

?? x3 ? x 2 , x ? 1 由条件, F ?x ? ? ? ?a ln x, x ? 1
假设曲线 y ? F ?x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧
3 2 不妨设 P?t , F ?t ???t ? 0? ,则 Q ? t , t ? t ,且 t ? 1

?

?

? ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,?OP ? OQ ? 0

? ?t 2 ? F ?t ??t 3 ? t 2 ? ? 0

?*?

是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 是否有解 ①当 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为? ?t 2 ? ? t 3 ? t 2 t 3 ? t 2 ? 0 ,化简 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无 解; ②当 t ? 1 时,方程 ?*? 为 ? t 2 ? a ln t t 3 ? t 2 ? 0 ,即 设 h?t ? ? ?t ? 1?ln t ?t ? 1? ,则 h??t ? ? ln t ? ? 1 显然,当 t ? 1 时, h??t ? ? 0 ,即 h ?t ? 在 ?1,??? 上为增函数

?

??

?

?

?

1 ? ?t ? 1? ln t a

1 t

? h?t ?的值域为 ?h?1?,??? ,即 ?0,??? ,? 当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解
? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在 y 轴上 考点:1、利用导数求参数取值范围;2、恒成立的问题;3、探究性问题 90. (1)函数 f ( x) 的递增区间是 (0, ??) ;减区间是 (?1, 0) ; (2)存在整数 m ? ?1 ,使不 等式 m ? f ( x) ? ?m2 ? 2m ? e2 恒成立; (3) 实数 m 的取值范围是 1 ? 2 ln 2 ? a ? 2 ? 2 ln 3 . 【解析】 试题分析: (1) 先求出函数的定义域, 再求出其导函数, 令导函数大于 0 得到函数的增区间, 考虑自变量取值最后得到单调区间即可; ( 2 ) 根 据 ( 1 ) 求 出 函 数 的 最 值 , 不 等 式 m ? f ( x) ? ?m ? 2m ? e 恒 成 立 意 味 着
2 2

f ( x) m a x ? ?m2 ? 2m ? e 2 , f ( x) min ? m ,求出解集得到 m 的整数解即可;
( 3 ) 在 [0,2] 上 , 由 f ( x) ? x ? x ? a 和 条 件 f ( x) ? x ? 2 x ? 2ln( x ? 1) 相 等 得 到
2 2

x 2 ? x ? a ? x 2 ? 2x ? 2 ln(1 ? x) , 即 x ? a ? 2ln(1 ? x) ? 0, x ?[0, 2] , 然 后 令
g ( x) ? x ? a ? 2ln( x ? 1), 求 出 其 导 函 数 , 由 g ' ( x) ? 0 得 1 ? x ? 2 ; 由 g ' ( x) ? 0 得

0 ? x ? 1 ;所以 g ( x) 在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,得到 g (0) 和 g (2) 都大于
等于 0, g (1) 小于 0,列出不等式组,求出解集即可得出实数 a 的取值范围. 试题解析: (1)由 1 ? x ? 0 得函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) ,

f ' ( x) ? 2 x ? 2 ?
'

2 2 x( x ? 2) ? 。 x ?1 x ?1
'

由 f ( x) ? 0 得 x ? 0; 由 f ( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 0.

? 函数 f ( x) 的递增区间是 (0, ?? );减区间是 (?1, 0) ;
(2)由(Ⅰ)知,f(x)在 [ ? 1, 0]上递减,在 [0, e ? 1]上递增;

1 e

? f ( x)min ? f (0) ? 0
1 1 1 f ( ? 1) ? 2 ? 1, f (e ? 1) ? e 2 ? 3, 且 e 2 ? 3 ? 2 ? 1, e e e 1 ? x ? [ ? 1, e ? 1]时, f ( x)max ? e2 ? 3 e
又 不等式 m ? f ( x) ? ?m2 ? 2m ? e2 恒成立,? ?

??m2 ? 2m ? e2 ? f ( x)max ?m ? f ( x)min

??m2 ? 2m ? e 2 ? e 2 ? 3 ?m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ??1 ? m ? 3 即? ? ?? ?? ? ?1 ? m ? 0 ?m ? 0 ?m ? 0 ?m ? 0

m 是整数,? m ? ?1
? 存在整数 m ? ?1 ,使不等式 m ? f ( x) ? ?m2 ? 2m ? e2 恒成立
(3)由 f ( x) ? x2 ? x ? a 得 x ? a ? 2 ln(1? x ) ? 0, x ? [0, 2]
' 令 g ( x) ? x ? a ? 2 ln( x ? 1),则 g ( x) ? 1 ?

2 x ?1 ? , x ? [0, 2] 1? x x ?1

由 g ( x) ? 0 ? 1 ? x ? 2; g ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1
' '

? g ( x) 在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增
方程 f ( x) ? x ? x ? a 在[0,2]上恰有两个相异实根
2

? 函数 g ( x) 在 [0,1) 和 (1, 2]上各有一个零点,

? g (0) ? 0 ??a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? ? ? g (1) ? 0 ? ?1 ? a ? 2 ln 2 ? 0 ? ?a ? 1? 2 ln 2 ? 1? 2 ln 2?a ? 2? 2 ln 3 ? g (2) ? 0 ? 2 ? a ? 2 ln 3? 0 ?a ? 2? 2 ln 3 ? ? ?
? 实数 m 的取值范围是 1 ? 2 ln 2 ? a ? 2 ? 2 ln 3
考点:利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;函数与方程的综合运用.

?1 3 t ? t ? 1, t ? (??, ?2) [1, ??) ? 1 1 1 ?3 91. (1)a= ,b= ; (2) (0, ) ; (3)[h(x)]min= ? . 3 3 3 5 ?? , t ? [?2,1) ? ? 3
【解析】试题分析: (1)求出 f'(x) ,g'(x) ,由题意得 f(1)=g(1) ,且 f'(1)=g' (1) ,解该方程组即可; ( 2 )记 h( x )= f ( x )+ g ( x ) ,当 a = 1- 2b 时, h ( x)=

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ,利用导数可研究其单调性、极值情况,由函数在(-2,0)内有 3 2
两零点可得端点处函数值及极值符号,由此得一不等式组,解出即可; (3)a=1,b=0 时, h(x)=f(x)+g(x)=

1 3 x ? x ? 1 ,由(2)可知,函数 h(x)的单调区间及极值点, 3

按照在区间[t,t+3]内没有极值点,一个极值点,两个极值点分类讨论,结合图象及函数 的单调性即可求得其最大值 试题解析: (1)因为 f(x)=
2

1 3 x ? ax ,g(x)=bx2+2b﹣1, 3

所以 f′(x)=x ﹣a,g′(x)=2bx. 因为曲线 y=f(x)与 y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同切线, 所以 f(1)=g(1) ,且 f′(1)=g′(1) . 即

1 -a=b+2b-1,且 1﹣a=2b, 3 1 1 ,b= . 3 3 1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a>0) , 3 2

解得 a=

(2)当 a=1﹣2b 时,h(x)=
2

所以 h′(x)=x +(1﹣a)x﹣a=(x+1) (x﹣a) . 令 h′(x)=0,解得 x1=﹣1,x2=a>0. 当 x 变化时,h′(x) ,h(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,﹣1) ﹣1 (﹣1,a) a (a,+∞) h′(x) + 0 ﹣ 0 + h(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数 h(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1) , (a,+∞) ,单调递减区间为(﹣1,a) . 故 h(x)在区间(﹣2,﹣1)内单调递增,在区间(﹣1,0)内单调递减.

? h ( ?2) ? 0 ? 从而函数 h(x)在区间(﹣2,0)内恰有两个零点,当且仅当 ? h ( ?1) ? 0 ? h (0) ? 0 ?

? 8 ? ? 3 ? 2(1 ? a ) ? 2a ? a ? 0 ? 1 ? 1 1? a ?a?a ?0 即 ?? ? 解得:0<a< . 3 2 ? 3 ??a ? 0 ? ?

所以实数 a 的取值范围是(0,

1 ) . 3 1 3 x ? x ? 1. 3

(3)当 a=1,b=0 时,h(x)=

所以函数 h(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1) , (1,+∞) ,单调递减区间为(﹣1,1) . 由于 h(-2)=-

5 5 ,h(1)=- ,所以 h(﹣2)=h(1) . 3 3

①当 t+3<1,即 t<﹣2 时, [h(x)]min=h(t)=

1 3 t -t-1 3 5 . 3 1 3 t -t-1. 3

②当﹣2≤t<1 时,[h(x)]min=h(1)=-

③当 t≥1 时,h(x)在区间[t,t+3]上单调递增,[h(x)]min=h(t)= 综上可知,函数 h(x)在区间[t,t+3]上的最小值为

?1 3 t ? t ? 1, t ? (??, ?2) [1, ??) ? ?3 [h(x)]min= ? . ?? 5 , t ? [?2,1) ? ? 3
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的零点;利用导数求闭区间上函数的最值 92.A 【解析】 n+ 1 * 试题分析:∵ f ( x ) = x ( n ∈ N ) , n * ∴ f′ ( x) = ( n+ 1) x ( n∈ N ) , 则 f′ ( 1) = n+ 1, f( 1) = 1, ∴ 在 P 处 的 切 线 方 程 为 y- 1= ( n+ 1) ( x- 1) , 当 y= 0 时 , 解 得 x=

n , n ?1

即 xn=

n , n ?1

∴ log 2 0 1 4 x 1 + log 2 0 1 4 x 2 + ? + log 2 0 1 4 x 2 0 1 3 = log 2 0 1 4 ( x 1 ?x 2 ? x 2 0 1 3 ) = log 2 0 1 4 (

1 2 2013 ? ? ...... ? ) 2 3 2014

=log2014(

1 )=-1, 2014

故选:A. 考点:对数的运算及其性质,导数的应用 93. (1)单调递增;(2)2; (3) a ? e ? 【解析】 试题分析: (1)首先表示出函数的解析式 ? ? x ? ? x ? 1 ?
2

1 ?2 e

1 ,然后根据导数判断单调性即 x

可; (2)首先确定函数的定义域,并利用导数研究函数 f ( x) ? x 3 ? x ? 数的特殊值,由函数的零点存在性定理可判断零点的个数;

x 的单调性,结合函

ax 2 ? ax 首先确定函数 g ( x) ? ? ln x 的定义域,化简其解析式并求其导数,根据可导函 f ( x) ? x
数极值存在的条件将问题转化为 y ? g ( x ) 的导数在(0, )内有零点,然后再用一元二次 方程根的分布理论去求解. 试题解析: (1)设 ? ?x ? ?

1 e

f ?x ? 1 ? x2 ?1 ? , ?x ? 0? x x

? ' ?x ? ? 2 x ?

1 2 x3

? 0 ,所以 y ? ? ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增;

由(1)知: ? ?1? ? ?1 , ? ?2? ? 3 ?

1 ? 0 且 y ? ? ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增, 2

所以 y ? ? ?x ? 在 ?1,2? 上有一个零点, 又 f ?x? ? x3 ? x ? x ? x? ?x? ,显然 x ? 0 是 f ?x ? ? 0 的一个零点, 所以 y ? f ?x ? 在 ?0,??? 上有两个零点;

ax2 ? ax ax 2 ? ax a ? ln x , ? ln x ? ? ln x = 3 因为 g ( x) ? x ?1 x ?x f ( x) ? x
所以 g ?x ? ?
'
2

?a 1 x 2 ? ?2 ? a ?x ? 1 , ? ? ?x ?1?2 x ?x ?1?2 x

设 h ? x ? ? x ? (2 ? a ) x ? 1 ,

则 h ? x ? ? 0 有两个不同的根 x1 , x2 ,且一根在 ? 0, ? 内, 不妨设 0 ? x1 ?

? ?

1? e?

1 ,由于 x1 ? x2 ? 1 ,所以, x2 ? e e

由于 h ? 0 ? ? 1 ,则只需 h ? ? ? 0 ,即 解得 a ? e ?

?1? ?e?

1 1 ? ? 2 ? a ? ? 1 ? 0, 2 e e

1 ?2 e

考点:函数的单调性、零点存在的判断以及性质的综合应用. 94. (1)极大值是 【解析】 试题分析: (1)利用导数求函数的极值即:先求函数 f ( x) ? 再列表观察; 由题意可得: 只要满足 s ? f max 即可, 利用导数求函数的极值, 进而比较得出函数的最大值; 由题意可得: 只要满足 s ? f min 即可, 利用导数求函数的极值, 进而比较得出函数的最小值. 试题解析: (1) f ?( x) ? x ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ,解得 x1 ? 2, x2 ? ?1 ,
2

13 7 13 7 ,极小值是 ? ; ( 2) s ? ; (3) m ? ? . 6 3 6 3
1 3 1 2 x ? x ? 2 x ? 1 的导数, 3 2

x
f ?( x) f ( x)

(??, ?1)
正 递增

?1
0

(?1, 2)
负 递减

2 0

(2, ??)


13 6

?

7 3

递增

13 7 ,极小值是 ? . 6 3 1 1 1 1 (2)因为 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 1 ,所以 f (?2) ? , f (3) ? ? , 3 2 3 2 13 1 1 因此由(1)可知:函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 1 在区间 [?2,3] 的最大值是 ,最小值 6 3 2 7 是? , 3 13 所以 s ? . 6 1 1 13 7 由(2)得:函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 1 在区间 [?2,3] 的最大值是 ,最小值是 ? , 3 2 6 3
因此函数的极大值是 所以 f ?x ? ? ??

7 ? 7 13? , ? ,所以 m ? ? . 3 ? 3 6?

考点:函数的极值问题以及恒成立问题. 95.B 【解析】 试题分析:? y ? x3 ? 1,? y ' ? 3x 2 ,? y ' | x ?1 ? 3 ,? 曲线 y ? x ? 1 在点 (?1, 0) 处的切线
3

的斜率 k ? 3 ,

? 切线方程为 3 x ? y ? 3 ? 0 .
考点:导数的几何意义. 96. (1) y ? g ( x) ? x ? 【解析】 试题分析: (1)对 x 的取值分类讨论,化简绝对值求出 f
'

a 7 ; (2) a ? 1 ; (3) ? ln 3 ? 2 ln 2 . x 24

? x? 得到 x ? 0 和 x ? 0 导函数相

等,代入到 g ? x ? 即可; (2)根据基本不等式得到 g ? x ? 的最小值即可求出 a ; (3)根据(2) 知 g ? x? ? x ?

1 ,首先联立直线与函数解析式求出交点,利用定积分求出直线与函数图像 x

围成的区域的面积即可. 试题解析: (1)∵ f ( x) ? ln x ,

1 x 1 1 当 x ? 0 时, f ( x) ? ln( ? x) , f ?( x) ? ? (?1) ? . ?x x a ∴当 x ? 0 时,函数 y ? g ( x) ? x ? . x a (2)∵由(1)知当 x ? 0 时, g ( x) ? x ? , x
∴当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x , f ?( x) ? ∴当 a ? 0, x ? 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x ? ∴函数 y ? g ( x ) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 a , ∴依题意得 2 a ? 2 ∴ a ? 1 . 8分

4分

a 时取等号.

2 7 3 ? ? y ? x? x1 ? ? x2 ? 2 ? ? ? ? 3 6 2 ? ,? (3)由 ? 解得 ? 5 y2 ? ?y ? x ? 1 ? y ? 13 ? ? 2 1 ? ? 6 x ? ?
∴直线 y ?

2 7 x ? 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的面积 3 6
13 分

2 ? 2 7 7 1 ? ? ln 3 ? 2 ln 2 S ? ? 3 ?( x ? ) ? ( x ? ) ?dx = 24 6 x ? 2? 3

考点:导数及函数单调性、定积分的应用. 97. (1)17.5; (2)以 80 千米/小时的速度匀速行驶时耗油最少,最少为 11.25 升. 【解析】 试题分析:利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中 的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后利用基本不等式求解; (2) 在求所列函数的最值时, 若用基本不等式时, 等号取不到时, 可利用函数的单调性求解; (3) 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常 用于比较数的大小或证明不等式, 解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点, 选择好利 用基本不等式的切入点. 试题解析: (1)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗油 (

100 ? 2.5 小时, 40
4分

2分

1 3 ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 128000 80

答当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油 17.5 升 (2)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了

5分

100 小时,设油耗为 h( x) 升, x 1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8) ? ? x ? ? 依题意得 h( x) ? ( ( 0 ? x ? 120 ) 7 128000 80 x 1280 x 4
分 方法一则 h?( x) ?

x 800 x3 ? 803 ? ? 640 x 2 640 x 2

( 0 ? x ? 120 )

8分

令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 80 ,列表得

x
h?( x)

(0,80) -

80 0

(80,120] +

h( x )





所以当 x ? 80 时, h( x) 有最小值 h(80) ? 11.25 . 方法二 h( x) ?

11 分 8分

1 2 800 15 1 2 400 400 15 x ? ? ? x ? ? ? 1280 x 4 1280 x x 4
10 分

? 33

1 2 400 400 15 x ? ? ? =11.25 1280 x x 4

当且仅当

1 2 400 400 x ? ? 时成立,此时可解得 x ? 80 1280 x x

11 分

答: 当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升.12 分 考点:基本不等式及函数模型的应用. 98. (1)当 b ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) ,当 b ? 0 时, f ( x) 的单调递增区

间为 (??, ? ? ) , ( ? , ??) ; (2) b ? ?3 . 【解析】 试题分析: (1)首先求出函数的导函数 f ?( x) ? 3x2 ? b ,然后根据 b 的取值范围讨论导数 的正负进而得出函数的单调区间; (2)由题意可得: ?
2 ?3x0 ?b ?0 ,解方程组可得 b ? ?3 . 3 x ? bx ? 3 ? x 0 0 ? 0

b 3

b 3

试题解析: (1)因 f ( x) ? x 3 ? bx ? 3 ,故 f ?( x) ? 3x2 ? b . 当 b ? 0 时,显然 f ( x) 在 R 上单增; 当 b ? 0 时,由知 x ? 3分

1分

?

b b 或x?? ? . 3 3

5分

所以,当 b ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) ; 当 b ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (??, ? ? ) , ( ? , ??)
2 ?3x0 ?b ?0 3 ,于是 2x0 ? x0 ? 3 ? 0 , 3 x ? bx ? 3 ? x 0 0 ? 0

b 3

b 3

6分

(2)由条件知 ?

8分

2 即 ( x0 ? 1)(2x0 ? 2x0 ? 3) ? 0 ,解得 x0 ? 1

11 分 12 分

从而 b ? ?3 . 考点:函数性质的综合应用. 99. (1) (- 1,-4) ;(2) x ? 4 y ? 17 ? 0 . 【解析】

试题分析: (1)根据曲线方程求出导数,因为已知直线 4 x ? y ? 1 ? 0 的斜率为 4,根据切 线与已知直线平行得到斜率都为 4,所以令导数等于 4 得到关于 x 的方程,求出方程的解, 即为 p0 的横坐标,又因为切点在第三象限,所以即可写出满足条件的切点坐标; (2)直线 l1 的斜率为 4,根据垂直两直线的斜率之积等于 ?1 ,可得直线 l 的斜率为 ? 知切点的坐标,即可写出直线 l 的方程. 试题解析:由 y ? x ? x-2 ,得 y? ? 3x ? 1 ,
3 2
2 由 l1 平行直线 4 x ? y ? 1 ? 0 得 3x ? 1 ? 4 ,解之得 x ? ?1 .

1 ,又由(1)可 4

2分

当 x ? 1 时, y ? 0 ; 又∵点 P 0 在第三象限,

当 x ? -1 时, y ? -4 .

4分

∴切点 P 1,-4) 0 的坐标为 (- (2)∵直线 l ? l1 , l1 的斜率为 4,

6分 ∴直线 l 的斜率为 ?

1 , 4

8分

∵ l 过切点 P 0 ,点 P 0 的坐标为 (-1,-4) ∴直线 l 的方程为 y ? 4 ? ? 即 x ? 4 y ? 17 ? 0 考点:利用导数研究曲线方程. 100.

1 ( x ? 1) 4
12 分

11 分

2 ab 3
4b 2 x 所以函数与 x 轴围 a2

【解析】 试题分析:建立如图所示的坐标系:所以设抛物线的方程为 y ? ? 成的部分的面积为 s ?

?

a 2 a ? 2

(?

a 4b 2 ab ? 4b 3 ? 2 ,所以阴影部分的面积为 x ) dx ? ? x | ? ? a ? 2 2 a 3 ? 3a ? ?2

ab ?

ab 2ab ? . 3 3

考点:定积分的应用.


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