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2015届高考一轮复习课时提升作业(人教A版数学理):3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数]


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课时提升作业(十七)
一、选择题 1.(2013?银川模拟)已知命题 p:“sinα =sinβ ,且 cosα =cosβ ”,命 题 q:“α =β ”,则命题 p 是命题 q 的 ( (A)必要不充分条件

(B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2.(2013?南平模拟)若 cosα =-错误!未找到引用源。,且角α 的终边 经过点 P(x,2),则 P 点的横坐标 x 是 ( (A)2 3 错误!未找到引用源。 到引用源。 (C)-2 错误!未找到引用源。 到引用源。 3.若α =m?360°+θ ,β =n?360°-θ (m,n∈Z),则α ,β 终边的位置关 系是 ( (A)重合 (C)关于 x 轴对称 (B)关于原点对称 (D)关于 y 轴对称 ) (D)-2 错误!未找 ) (B)±2 错误! 未找 )

4.(2013?漳州模拟)点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运 动
2? 错误!未找到引用源。到达 P′点,则 P′点的坐标为( 3

)

1 3 , ) 2 2 1 3 ? ) ? C ? (? , 2 2

? A ? (?

3 1 , ? ) 2 2 3 1 ? D ? (? , ) 2 2

? B ? (?

5.若一扇形的圆心角为 72°,半径为 20cm,则扇形的面积为 (A)40π cm2 (C)40 cm2 (B)80π cm2 (D)80 cm2
sin? 1 ? sin 2? ?

(

)

6. 若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上 , 则 ( ) (B)2 (D)0 )

1 ? cos 2? 的值等于 cos?

(A)-2 (C)-2 或 2

7.已知 sinx=2cosx,则 sin2x+1= (

?A?

6 5

? B?

9 5

?C?

4 3

? D?

5 3

8.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长 ,则其圆心角的弧度 数为 ( )

?A?

? 3

? B?

2? 3

?C?

3

?D?

2

9.已知 sinα +cosα = 找到引用源。
1 ? tan? = 1 ? tan? 15 ? B? ? 7

7 错误!未找到引用源。,0<α <π ,则错误!未 13

(

)

?A?

15 7

?C? ?

17 7

? D?

17 7

10.(能力挑战题)已知角α 的终边上一点的坐标为(sin 错误! 未找到引

用源。,cos 错误!未找到引用源。),则角α 的最小正值为

(

)

?A?

11? 6

? B?

5? 6

?C?

? 3

? D?

? 6

二、填空题 11.(2013 ?厦门模拟 ) 若角 θ 的终边在射线 y=-2x(x<0) 上 , 则 cos θ = .

12.在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角α ,β ,它们的 终边都在第一象限内,并且分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A 点的 纵坐标为
10 错误!未找到引用源。,B 点的纵坐标为错误!未找到引 10

用源。, 则 tanα =

,tanβ =

.
??cos?x,x>0, 4 则 f(- 错误! 3 ? ?f ? x ? 1? ? 1,x ? 0,

13.若函数 f(x)=错误!未找到引用源。? ? 未找到引用源。)的值为 .

14.(2013?枣庄模拟)已知 tanα =-错误!未找到引用源。,α 是第二象 限角,则 sinα -cosα 的值为 三、解答题 15.( 能力挑战题 ) 已知角 α 终边经过点 P(x,- 2 错误!未找到引用 源。)(x≠0),且 cosα =
3 错误!未找到引用源。x.求 6

.

sinα +错误!未找到引用源。的值.

答案解析
1.【思路点拨】先验证 p 能否推出 q,再判断 q 能否推出 p.

【解析】选 A.若“sinα=sinβ,且 cosα=cosβ”,则α=β+2kπ(k∈ Z) ,未必有“α=β ”;反之,若“α=β”,必定有“sinα=sinβ,且 cos α=cosβ”, 即 p 与 q 满足 p ? 不充分条件. 2.【解析】选 D.由 cosα=3 错误!未找到引用源。<0,又点(x,2)在 2

q 但 q ? p, 所以命题 p 是命题 q 的必要

α的终边上,故角α为第二象限角,故 x<0.
? r ? x 2 ? 4,? x x2 ? 4 ?? 3 , 2

∴4x2=3x 2+12,∴x2=12,∴x=-2 错误!未找到引用源。或 x=2 错误!未 找到引用源。(舍). 3.【解析】选 C.由已知得,α的终边与θ终边相同,而β的终边与-θ的 终边相同,θ与-θ关于 x 轴对称,故α,β终边关于 x 轴对称. 4.【解析】选 A.如图所示, 由题意可知∠POP′= ∴∠MOP′= , ∴OM=错误!未找到引用源。,MP′=错误! 到引用源。, ∴P′(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。). 故选 A. 5.【解析】选 B.72°=
2? , 5 ? 3 2? , 3

未找

∴S 扇形=错误!未找到引用源。αR2=错误!未找到引用源。×错误!未 找到引用源。×202=80π(cm2).

6.【解析】选 D.原式=

sin? sin? ? , cos? cos?

由题意知角α的终边在第二、四象限, sinα与 cosα的符号相反,所以 原式=0. 7.【思路点拨】由 sinx=2cosx 可得 tanx,将所求式子弦化切代入求解. 【解析】选 B.由 sinx=2cosx 得 tanx=2, 而 sin2x+1=2sin2x+cos2x=错误!未找到引用源。
? 2tan 2 x ? 1 2 ? 4 ? 1 9 ? 2 ? . tan 2 x ? 1 2 ?1 5 2sin 2 x ? cos 2 x sin 2 x ? cos 2 x

8.【解析】选 C.由题意可知,圆内接正三角形边长 a 与圆的半径之间关 系为 a= 3 错误!未找到引用源。r,∴ ? ? ?
a r 3r ? 3. r

9.【思路点拨】把 sinα,cosα看成两个未知数,仅有 sinα+cosα=错 误!未找到引用源。
7 是不够的,还要运用 sin2α+cos2α=1 组成一个 13

方程组,解出 sinα,cosα的值,然后弦化切代入求解即可. 【解析】选 C.由条件结合平方关系式可得
?sin 2 ? ? cos 2? ? 1, ? ? 7 ?sin? ? cos? ? . 13 ?
7 ? sin? ? cos? ? , ? ? 13 可得 ? 错误!未找到引用源。又∵0<α<π, ?sin?cos? ? ? 60 . ? 169 ?

∴sinα>0,cosα<0,解得 sin? ?

12 5 , cos? ? ? , 13 13

12 1 ? (? ) 12 1 ? tan? 5 ? ? 17 . 故 tan? ? ? .? ? 5 1 ? tan? 1 ? (? 12 ) 7 5

【一题多解】 本题还可用如下解法:sinα+cosα=错误! 未找到引用源。 两边平方可得: 1+2sinαcosα=
49 , 169 120 , 169 289 . 169

所以 2sinαcosα= ?

故(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα= 因 0<α<π,且 sinα+cosα=

7 ,则α 必为钝角(否则值大于等于 1), 13

故 sinα-cosα>0,sinα-cosα=错误!未找到引用源。.
17 ? 1 ? tan? cos? ? sin? 17 则有 ? ? 13 ? ? . 7 1 ? tan? cos? ? sin? 7 13 ? 10.【解析】选 C.∵sin >0,cos 错误!未找到引用源。>0, 6

∴角α的终边在第一象限,
? 3 y 6 ? 2 ? 3, ∴ tan? ? ? 1 x sin ? 6 2 ? ∴角α的最小正值为 . 3 cos

11.【解析】由已知得角的终边落在第二象限, 故可设角终边上一点 P(-1,2),则 r2=(-1)2+22=5,∴r= 5, 此时 cos? ? 答案: ?
?1 5 ?? . 5 5

5 5

12.【解析】由条件得 sinα=

1 1 sinβ= , . 10 5 2 7 3 ,同理可得 cosβ= ,因此 tan 5 2 10

∵α为锐角,∴cosα>0 且 cosα= α= , tanβ= 错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。
1 7 1 7 1 3

13.【解析】由已 知得 f(-错误!未找到引用源。)=f(-错误!未找到 引用源。+1)+1 =f(-错误!未找到引用源。)+1=f(-错误!未找到引用源。+1)+2 =f(错误!未找到引用源。)+2 =-cos 错误!未找到引用源。+2=错误!未找到引用源。+2=错误!未找 到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 14.【解析】∵tanα= ? ,?
3 4

3 4

sin? 3 ?? , cos? 4

∴sinα=- cosα.又 sin2α+cos2α=1, ∴错误!未找到引用源。cos2α+cos2α=1,∴cos2α= 引用源。. 又α为第二象限角,∴cosα=-错误!未找到引用源。, ∴sinα=错误!未找到引用源。, ∴sinα-cosα= ? ? . 答案:错误!未找到引用源。 15.【思路点拨】利用三角函数定义先确定 P 到原点的距离 r,再代入三
3 5 4 5 7 5 16 错误!未找到 25

角函数公式可解. 【解析】∵P(x,- 2 )(x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r=错误!未找到引用源。 x 2 ? 2, 又 cosα= ∴cosα=
x x ?2
2

3 x, 6

?

3 x. 6

∵x≠0,? x ? ? 10,?r ? 2 3. 当 x=错误!未找到引用源。时,P 点坐标为(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。), 由三角函数的定义,有 sin? ? ?
? sin? ?
6 1 , ? ? 5, 6 tan?

1 6 6 5? 6 ?? ? 5?? ; tan? 6 6 1 6 5? 6 当x ? ? 10时,同理可求得sin? ? ? . tan? 6

【变式备选】已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0),求α的三角函数值. 【解析】因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0),所以, r=错误!未找到引用源。|a|,x=a,y=2a, 当 a>0 时,sinα= ? cosα= ?
x r
y r 2a 2a 2 5 ? ? ; 5 5a 5a

a 5 tanα=2. ? ; 5 5a
y r 2a 2a 2 5 ? ?? ; 5 5 a ? 5a

当 a<0 时,sinα= ? cosα= ?
x r

a 5 tanα=2. ?? ; 5 ? 5a
2 5 5 , cosα= , 5 5

综上,角α的三角函数值为 sinα=

tanα=2 或 sinα=-

2 5 5 cosα=- , tanα=2. , 5 5

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