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余弦定理教案


教案设计: 余弦定理
【 教材 】 湘教版必修 4 第 9 页至 12 页. 【教学对象】 高二(上)学生 【学情分析】 学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题, 了解三角形边角之间存在着一 定的数量关系,这为本节课的学习奠定了基础。对于正弦定理解决已知两边及 夹角问题学生有一定的求知欲,这就促使学生去探索如何求解该类问题. 【教学目标】 知识与技能 (1)掌握余弦定理的证明方法,牢记公式. (2)掌握余弦定理公式的变式,会灵活应用余弦定理. 过程与方法 (1)使学生经历公式的推导过程,培养严谨的逻辑思维. (2)培养学生数形结合的能力. (3)培养学生的问题解决能力. 情感态度价值观 经历余弦定理的推导过程, 感受数学思维的严谨美, 通过比较余弦定理公式 感受数学公式的对称美,通过比较勾股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关 系. 【教学重点】 余弦定理推导 【教学难点】 余弦定理推导及应用 【教法学法】 教法: 一、情景教学法:创设问题情境,以学生感兴趣的,并容易理解的情景为开端,让学生在 各自熟悉的场景中轻松、愉快地学习. 二、启发性教学法:启发性原则是永恒的。让学生成为课堂上行为的主体. 三、师生互动的探究教学法:充分给学生提供交流与归纳的空间,使整个数学活 动生动活泼和富有个性的学习. 学法: 根据新课程理念,结合学生自身年龄特点和思维特点,让学生通过分组讨论,

汇报交流,归纳总结等方式进行学习.

【教学过程设计】 一、 教学流程设计 (一)情景引入 千岛湖中三个岛屿的距离问题抽象为已知三角形两 边及夹角求第三边问题 回顾正弦定理及正弦定理可解决的两类问题 以锐角三角形为例,通过作高的方法研究三边存在 的关系 学生自行探索钝角三角形三边之间的关系 总结、得出余弦定理 学生自行探索钝角三角形中边角关系

(二)探索新知

(三)自主探究

(四)剖析定理

学生比较余弦定理与勾股定理之间的关系 余弦定理公式在结构上有怎样的特点 利用定理可解决已知两边及夹角求第三边的问题

(五)问题解决

利用余弦定理解决引入中的距离问题

(六)公式变形

用三边表示某角余弦值,即用余弦定理解决已知三 边求角的问题

(七)例题探究

公式的灵活应用,已知三角形三边如何求最大角

(八)总结归纳

结合正弦定理分析已知哪些条件可求解某三角形

1

(九)习题巩固 二、教学过程设计 教学 环节 教 学 内

巩固对余弦定理的认识, 达到灵活应用公式的目的



教师 学生 活动 活动

设 意

计 图

千岛湖位于我国浙江省淳安县,因湖内有 星罗棋布的一千多个岛屿而得名,现有三个岛 教师 介绍 屿 A、B、C,岛屿 A 与 B 之间的距离因 AB 之间 千岛 (一) 有另一小岛而无法直接测量,但可测得 AC、BC 湖风 景 的距离分别为 6km 和 4km,且 AC、BC 的夹角为 区, 情 120 度 , 问 岛 屿 AB 的 距 离 为 多 少 ? 并提 景 出问 题 引
岛屿 C 岛屿 A

学生 欣赏 风景 并思 考问 题

通过实例创设 情境,引发学 生对本节课的 兴趣, 同时抽象出数 学问题,提出 已知三角形两 边及夹角如何 求第三边的数 学问题,顺利 引入新课。


岛屿 B

(1)已有的正弦定理可否解决该问题 (2) 已知两边及夹角求第三边,当夹角为多少 (二) 探 索 新 知 度时我们可以求出?(勾股定理) (3) 以锐角三角形为例探索三角形如何求出第 教师 C 以直 三边 角三 角形 为出 D B A 发点 2 2 逐步 ?a2 ? CD ? BD 引导 2 2 ? (b sin A ) ? ( c ? b co s A ) 学生 以勾股定理为 出发点,以锐 角三角形为例 引导学生如何 推倒第三边, 同时为自行推 倒钝角三角形 第三边作铺垫

C

b

A

cD

a

B

学生 在教 师指 引下 思考 问题

? b 2sin 2 A ? c 2 ? b 2 co s A ? 2 b c co s A

2

? b 2 ? c 2 ? 2 b c co s A
2

同理:

2 2 2 b ? a ? c ? 2a c co s B 2 c 2 ? a 2 ? b ? 2a b co sC

(三) (1) 学生自行探索是否钝角三角形中也有这样 自 主 探 究 的边角关系 (2)得出余弦定理
c = a + b - 2abcosC
a = b + c - 2bccosA
2 2 2

2

2

2

b = a + c - 2accosB

2

2

2

学生 自行 教师 探索 引导 钝角 学生 三角 如何 形中 探索 三边 的关 系

体现新课标教 师引导学生主 体的新理念, 让学生自主去 发现、推导定 理

(四) (1)勾股定理与余弦定理有怎样的联系 定 理 剖 析

教师 (2) 余弦定理公式在结构形式上有怎样的特点 引导 学生 (3) 利用余弦定理可解决已知两边及夹角求第 学生 比较 分析 异同 三边的问题 发现

通过比较让学 生体会由特殊 到一般的关系

(五) 问 题 解 决

千岛湖中岛屿 AB 之间的距离可由余弦定理 求得:
AC
2
2

? A B ? B C ? 2 A B ? B C cos B
2 2

? 6 ? 3 .4 ? 2 ? 6 ? 3 .4 co s 1 2 0
2

o

? 6 7 .9 6

(六) 公 式 变 形

A C ? 8 .2 4

Km

教师 呼应 “千岛湖” 讲解 求距离这一部 如何 学生 分,解答学生 由余 听讲 心中的疑惑, 弦定 思考 弥合学生心中 理求 的 “缺口” 让 , ab 他们体会到余 之间 弦定理的威 距离 力。

将余弦定理公式作变形得:
cosA = b
2

+ c

2

- a

2

2bc
a
2

cosB =

+ c

2

- b

2

2ac

教师 引导 讲解

学生 听讲 思考

通过变式可以 由三边求出三 个角

cosC =

a

2

+ b

2

- c

2

2ab

3

(七) 例 题 探 究

例 已知三角形的三边长分别为已知△ABC 的 三边为 7 、2、1,求该三角形的最大内角

教师 引导 解 : 不 妨 设 三 角 形 的 三 边 分 别 为 什么 样的 a= 7 ,b=2,c=1 则最大内角为∠A,由余弦定理 内角 2 最大 2 2 得 1 +2 -? 7?
cosA = 2 ? 2 ?1 = ? 1 2

学生 思考 并动 手尝 试

通过设计问 题,让学生灵 活掌握公式并 培养学生的问 题解决能力

故最大角 ? A = 120 ? 教师 引导 1.余弦定理可以解决两类问题 总结 (八) (1)已知两边及夹角求第三边的问题 本节 内容 (2)已知三边求角的问题 归 并结 合正 纳 弦定 2.结合正弦定理判断在三角形的六个元素中 理探 总 (三角及三边) 是否可以由任意三个元素求出 索解 三角 另外三个元素 结 形问 题

学生 体会 如何 用正 余弦 定理 解三 角形

通过归纳能突 破公式字面意 义的局限性, 建立起较高层 次的有意义条 件反射,而不 是机械的记忆 公式。

家庭作业: (九) 作 业 巩 固 2. 数学探究——判断三角形形状 在三角形 ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,判定 三角形 ABC 的形状 1. 牛刀小试 已知 b=4,c=8,C=60°求边 a. 由浅入深的练 教师 学生 习能够强化本 布置 认真 节 课 所 学 知 作业 纪录 识。 并作 并思 数学探究旨在 相关 考问 培养学生的问 提示 题 题解决能力和 数学探究能力

4

【板书设计】

余弦定理
一、引入 三、公式变形 六、小结与作业

二、余弦定理

四、例题

本教学设计的创新之处
1. 目标创新
(1)理解余弦定理公式的适用条件,即已知两边及夹角求第三边的问题和已 知三边求角的问题. (2)培养学生数形结合的数学素养;培养学生的问题解决能力和数学探究能 力. (3)让学生感受数学的严谨美以及公式的对称美.

2. 教法创新
采用三种不同的教法,最大限度地调动学生的积极性,提高课堂效率.

3. 数学创新
设计了运用余弦定理来解决实际问题解决的例子, 为学生提供运用余弦定 理来研究等三角形形状的探究问题,以培养学生的问题解决能力和数学探究能 力,体现了现代数学教育的价值取向.

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