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函数模型及其应用ppt课件-数学高一上必修1第三章3.2人教版


第三章

函数的应用
3.2.1-3.2.2

3.2 函数模型及其应用
几类不同增长的函数模型和函数模型的应用实例

学习目标
1.利用函数图象及数据表格,比较指数函数, 对数函数及幂函数的增长差异. 2.结合实例体会直线上升,指数爆炸,对数增 长等不同增长的函数模型的意义. 3.了解一次函数、二次函数、幂函数的广泛应 用并求解实际问题. 4.能够利用指数(或对数)函数模型解决实际问 题.

几种不同增长的函数模型
实例1 假设你有一笔资金用于投资,现在有三种投资 方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前

一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回

报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?

思路分析:
1.依据什么标准来选取投资方案?日回报效益,

还是累计回报效益?
2.如何建立日回报效益与天数的函数模型? 设第x天所得回报是y元,则
?

注意x与 y的意义

? y ? 40(x ? N ) 进行描述; 方案一可以用函数

方案二可以用函数 y ? 10x(x ? N )进行描述; 方案三可以用函数 y ? 0.4 ? 2
x ?1

(x ? N ) 进行描述.

?

根据函数 性质判断 3.三个函数模型的增减性如何?

4.要对三个方案作出选择,就要对它们的增长
情况进行分析,如何分析?

三种方案所得回报的增长情况
x/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 30 方案 一 增加量 y/元 /元 40 40 0 40 0 40 0 40 0 40 0 40 0 40 0 40 0 40 0 … … 40 0 方案 二 增加量 y/元 /元 10 20 10 30 10 40 10 50 10 60 10 70 10 80 10 90 10 100 10 … … 300 10 方案 三

y/元
0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8 … 214 748 364.8

增加量/元

0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 … 107 374 182.4

120 100

y

y=10x
80 60

y=0.4×2x-1

40
20

y=40

函数图象是 分析问题的 好帮手

O

2

4

6

8

10

12

x

读图和用图
由表和图可知, 方案一的函数是常数函数, 方案二、方案三的函数都是增函数,但二者增长 情况很不相同. 可以看到,尽管方案一、方案二在第1天所得 回报分别是方案三的100倍和25倍,但它们的增长

量固定不变,而方案三是“指数增长”,其“增
长量”是成倍增加的,从第7天开始,方案三比其 他两个方案增长得快得多.这种增长速度是方案一、 方案二所无法企及的,

从每天所得回报看,

在第1~3天,方案一最多,
在第4天, 方案一和方案二一样多,方案三最少, 在第5~8天,方案二最多, 第9天开始 ,方案三比其他两个方案所得回报多得 多;到第30天,所得回报已超过2亿元.

下面再看累计的回报数:
回报/元 方案 天 数

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

一 二 三

40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8

结论:投资1~6天,应选择方案一;投资7天,应选择 方案一或方案二;投资8 ~ 10天,应选择方案二; 投资11天(含11天)以上,应选择方案三.

例2:某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备 制定一个激励销售人员的奖励方案: 在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励, 且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的 增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金 不超过利润的25%, 现有三个奖励模型: y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x,

其中哪个模型能符合公司的要求?

两个要求 思路分析: 某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行

奖励时,奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利
润的25%,由于公司总的利润目标为1 000万元,所以

人员销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是,只需在区间[10,1 000]上,检验三个模型是否
符合公司要求即可.

思考: 1.x的取值范围,即函数的定义域. 2.通过图象说明选用哪个函数模型?为什么?

解:借助计算器或计算机作出函数 y ? 5, y ? 0.25x
y ? log7 x+1,y=1.002x 的图象.

y
8

y=0.25x

7 6
5 4 3 2 1

y=1.002x y =5
y=log7x+1

O

200

400

600

800

1000

x

观察图象发现,在区间[10 ,1 000]上,模型y=0.25x,

y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方,只有模
型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方,这说明只有按模

型y=log7x+1 进行奖励时才符合公司的要求,下面通过
计算确认上述判断.

首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元 .

对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上递增,而
且当x=20时,y=5,因此,当x>20时,y>5,所以该模型不符 合要求; 对于模型 y=1.002x ,由函数图象,并利用计算器,可 知在区间(805,806)内有一个点x0满足 1.002x0 ? 5, 由于 它在区间[10,1 000] 上递增,因此当x>x0时,y>5,所以该 模型也不符合要求; 对于模型 y=log7x+1 ,它在区间[10,1 000]上递增,而 且当x=1 000时,y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总 数不超过5万元的要求.

计算按模型y=log7x+1奖励时, 奖金是否不超过利润的25%,

即当x∈[10,1 000]时,是否有
y log7 x ? 1 ? ? 0.25 x x

成立

如何判断该 式是否成立

令 f (x) ? log7 x+1-0.25x,x ?[10,1 000] 由图象可知它是递减的, 因此 f (x) ? f (10) ? ?0.3167 ? 0,
log 7 x ? 1 ? 0.25 所以,当 x ? [10,1 000] 时, x

构造函数

利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象

即 log7 x ? 1 ? 0.25x

说明按模型 y ? log7 x ? 1奖励,奖金不会超过利润的25%

综上所述,模型 y ? log7 x ? 1 确实能符合公司要求.

探究: 指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较
1.列表并在同一坐标系中画出下面这三个函数的图象(a=2).
x y=2x
0.2 1.149 0.6 1.516 1.0 2 1.4 2.639

y
5

y=x2 y=2x

y=x2
y=log2 x
x
1.8 3.48 2 3.24 0.84 8

0.04
-2.322
2.2

0.36
-0.737
2.6 3.0

1
0

1.96
0.485
3.4 10.55 6 11.56 1.766 …

4
3 2 1

y=log2x

y=2x
y=x2 y=log2 x

4.595
4.84 1.138

6.063
6.76 1.379

8
9 1.58 5


… …

o

1

2

x

差异明显

y 23

y=2x

y=x2

2.结合函数的图象找出其交点坐标.
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

16

B

y=2x
y=x2

1 2 4 8 16
0 1 4 9 16

32
25

64
36

128
49

256
64




从图象看出 y=log2 x的图象与另

外两函数的图象没有交点,且总在另
外两函数图象的下方,y=x2的图象与 16).

4

A

y=log2x

1 y=2x 的图象有两个交点(2,4)和(4, o 1 2 3 4

x

3.根据图象,分别写出使不等式log2 x<2x<x2和 log2 x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.

使不等式 log2 x<2x<x2 的x的取值范围是(2,4);
使不等式 log2 x < x2< 2x的x取值范围是 (0,2)∪(4,+∞).

结合上述探究,你有什么收获?分别就指数函数 和幂函数,对数函数与幂函数作出比较. 指数函数和幂函数举例:
x
0 10 20 30 40 50

y=2x 1 1 024 y=x2 x
0 100 60

1.05×106
400 70 1.18×1021 4 900

1.07×109
900 80 1.21×1024 6 400

1.10×1012
1 600 … … …

1.13×1015
2 500

y=2x 1.15×1018 y=x2
3 600

图象为

y
1.13×1015

y=2x

上升快 慢明显 不同
1.10×1012

y=x2
50 100

o

x

总结提高
1)在区间(0,+∞)上,y= ax(a>1), y=logax(a>1) 和 y=xn(n>0)都是增函数. 2)随着x的增大,y= ax(a>1)的增长速度越来越快,会 远远大于y=xn(n>0)的增长速度. 3)随着x的增大,y=logax(a>1) 的增长速度越来越慢, 会远远小于y=xn(n>0)的增长速度.

因此总会存在一个x0,当x>x0 时,就有logax<xn<ax.

模型的应用实例
到目前为止,我们已经学习了哪些常用函数? 一次函数 y ? ax ? b(a ? 0 ) 二次函数 现实中经常遇到一 幂函数型的应用问

y = ax + bx + c
x

2

(a≠0) 次函数、二次函数、

指数函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1)

题,如何利用我们
所学的知识来解决 呢?

对数函数 y ? loga x(a ? 0,且a ? 1)
幂函数 y = x a

例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系

如图所示
v/(km·h-1) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 O

1

2

3

4

5

t/h

(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实 际含义. (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前 的读数为2 004 km,试建立行驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相应 的图象. 五个矩形 解:(1)阴影部分的面积为 的面积和

50 ?1 ? 80 ?1 ? 90 ?1 ? 75?1? 65?1 ? 360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程

为360km.

(2)根据图示,可以得到如下函数解析式

?50t ? 2 004, ?80(t ? 1) ? 2 054, ? ? s ? ?90(t ? 2) ? 2 134, ?75(t ? 3) ? 2 224, ? ? ?65(t ? 4) ? 2 299,

0 ? t ? 1, 1 ? t ? 2, 2 ? t ? 3, 3 ? t ? 4, 4 ? t ? 5.

分段 函数

这个函数的图象如图所示.

s
2 400

2 300 2 200 2 100
2 000

O

1

2

3

4

5

t

【总结提升】

使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下:
实际问题
抽象概括

数学模型
推 理 演 算

实际问题 的解

还原说明

数学模型 的解

例2.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固

定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价
与日均销售量的关系如下表所示:
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 280 12 240

日均销售量(桶) 480

440 400 360 320

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价
才能获得最大利润? 能看出数据变

化的规律吗?

解:根据表可知,销售单价每增加1元,日均销售量就 减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润 为y元,而在此情况下的日均销售量就为 480-40(x-1)=520-40x(桶) 由于x>0,且520-40x>0,即0<x<13,于是可得 y=(520-40x)x-200
分析表格, 找出规律, 设出变量, 建立关系 式

=-40x2+520x-200, 0<x<13.
易知,当x=6.5时,y有最大值.

二次函数求 最值

所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的 利润.

【总结提升】 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c (a≠0) (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k (a≠0) (3)两点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 具体用哪种形式可根据具体情况而定.

例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高 (cm)
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (kg)

⑴根据上表提供的数据,能否建立恰当的函数模 型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性

体重y kg与身高x cm的函数关系?试写出这个函
数模型的解析式.

⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍
为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这一地区一名

身高为175 cm,体重为78 kg的在校男生的体重
是否正常?

分析:(1)根据上表的数据描点画出图象(如下)

根据散点 图选择合 适的函数 模型

(2)观察这个图象,发现各点的连线是一条向上

弯曲的曲线,根据这些点的分布情况,我们可以
考虑用函数y=a?bx来近似反映.
解:⑴将已知数据输入计算机,画出图象;
x y ? a ? b 进行拟合. 根据图象,选择函数

如果取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25) 70 ? 7.9 ? a ? b ? x 得 ? 代入函数 y ? a ? b 160 47.25 ? a ? b ? ? 由计算器得 a ? 2, b ? 1.02 从而函数模型为 y ? 2 ?1.02 .
x

将已知数据代入所得函数关系式,或作出所得

函数的图象,可知此函数能较好地反映该地区
未成年男性体重与身高的关系.

所以,该地区未成年男性体重关于身高的函数
关系式可以选为 y ? 2 ?1.02x.

175 y ? 2 ? 1.02 ⑵将x=175代入 y ? 2 ?1.02 得
x

由计算器计算得 y≈63.98, 由于
78 ? 1.22 ? 1.2 63.98

所以,这个男生偏胖.

动笔练一练
1.一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图 所示,那么图象所对应的函数模型是 ( A ) A.一次函数模型 y

B.二次函数模型
C.幂函数模型

O

x

D.对数函数模型
【解析】观察得图象是一条直线,所以是一次函数模型.

2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客

运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y万元与
营运年数x(x∈N)的关系为y=-x2+12x-25,则每辆

客车营运多少年可使其营运总利润最大( D )
A.2 B.4 C.5 D.6

【解析】y=-x2+12x-25=-(x-6)2+11,所以x=6时, 可使其营运总利润最大.

3.一民营企业生产某种产品,根据市场调查和预 测,其产品的利润(y)和投资(x)的算术平方根成 正比,其关系如图所示,则该产品的利润表示为
5 x (x ? 0) 投资的函数解析式f(x)=_____________. 4

【解析】由题设可知 f ? x ? ? k x,

y
3.75

根据图象知f(9)=3.75,
所以得 3.75 ? k 9,
5 k? , 4 5 f ?x? ? x ? x ? 0? . 4

o

所以

9

x

4.邮局规定,邮寄包裹,在5千克内每千克5元,超 过5千克的超出部分按每千克3元收费,邮费与邮寄

包裹重量的函数关系式为____.

( x ? 5) ?5 x f(x)= ? ? 25 ? 3( x ? 5)

( x>5)

5.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4 个……现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的

个数y与x的函数关系式是( D )
A.y=2x B.y=2x-1 C.y=2x D.y=2x+1

【解析】分裂一次后由2个变成2×2=22(个),分裂两
次后4×2=23(个),……,分裂x次后y=2x+1(个).

6.从2013年起,在20年内某海滨城市力争使全市

工农业生产总产值翻两番,如果每年的增长率都
是8%,则达到翻两番目标的最少年数为( C ) A.17 B.18 C.19 D.20

【解析】设2013年该市工农业总产值为a,达到翻两 番目标最少需n年,则翻两番后变为4a,由 a(1+8%)n≥4a,得(1+8%)n≥4(n∈N*), 所以n≥log1.084≈18.01,又因为n∈N*, 所以n=19.

小 结
实际问题
抽象概括

数 学 模 型
推 理 演 算

实际问 题的解

还原说明

数学模 型的解

1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决 实际问题的方法 (1)根据题意选用恰当的函数模型来描

述所涉及的数量之间的关系.
(2)利用待定系数法,确定具体函数模型. (3)对所确定的函数模型进行适当评价. (4)根据实际问题对模型进行适当修正.

2.函数应用的基本过程 (1)收集数据. (2)作出散点图.

(3)通过观察图象判断问题所适用的函数模型.
(4)用计算器或计算机的数据拟合功能得出具 体的函数解析式.

(5)用得到的函数模型解决相应的问题.

课后练一练

请同学们独立完成配套课后练习题。

下课!
谢谢同学们!


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