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第十章 10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理


§ 10.1
知识梳理:

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.分类加法计数原理:完成一件事,可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种方法,在 第二类办法中有 m2 种方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种方法,那么完成这件事共有 N =m1+m2+…+mn 种方法(也称加法原理). 2.分步乘法计数原理:完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可,做第一步有 m1 种方法, 做第二步有 m2 种方法, …… ,做第 n 步有 mn 种方法,那么完成这件事共有 N = m1×m2×…×mn 种方法(也称乘法原理). 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的 区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可 以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成 了,这件事才算完成. 课前检测: 1.三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢,经过 3 次传递后,毽子 又被踢回给甲.则不同的传递方式共有( A.5 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 ) 答案 B

解析 传递方式有甲→乙→丙→甲;甲→丙→乙→甲. 2.(2013· 山东)用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( A.243 B.252 C.261 D.279 答案 B )

解析 由分步乘法计数原理知,用 0,1,…,9 十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数 为 9× 10× 10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为 9× 9× 8=648.则组成有重复数字的 三位数的个数为 900-648=252.故选 B. 3.(2013· 福建)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数 对(a,b)的个数为( ) A.14 B.13 C.12 D.10 答案 B

解析 当 a=0 时,关于 x 的方程为 2x+b=0,此时有序数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2) 均满足要求; 当 a≠0 时 Δ=4-4ab≥0, ab≤1 此时满足要求的有序数对为(-1, -1), (-1,0), (-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).综上,满足要求的有序数对共

有 13 个,故选 B. 4. 用数字 2,3 组成四位数, 且数字 2,3 至少都出现一次, 这样的四位数共有________个. (用 数字作答) 答案 14

解析 数字 2,3 至少都出现一次,包括以下情况: “2”出现 1 次,“3”出现 3 次,共可组成 C1 4=4(个)四位数. “2”出现 2 次,“3”出现 2 次,共可组成 C2 4=6(个)四位数. “2”出现 3 次,“3”出现 1 次,共可组成 C3 4=4(个)四位数.综上所述,共可组成 14 个这样的四位数. 5.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则报名方法的种数为________.五名 学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),获得冠军的可能性有_____种.答案 45 54

解析 报名的方法种数为 4× 4× 4× 4× 4=45(种).获得冠军的可能情况有 5× 5× 5× 5=54(种). 应用示例: 题型一 分类加法计数原理的应用 例 1 高三一班有学生 50 人,男生 30 人,女生 20 人;高三二班有学生 60 人,男生 30 人, 女生 30 人;高三三班有学生 55 人,男生 35 人,女生 20 人. (1)从高三一班或二班或三班 中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中,或从高 三三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法? 思维点拨 按班级分类. 解 (1)完成这件事有三类方法: 第一类, 从高三一班任选一名学生共有 50 种选法; 第二类,

从高三二班任选一名学生共有 60 种选法;第三类,从高三三班任选一名学生共有 55 种选 法,根据分类加法计数原理,任选一名学生任学生会主席共有 50+60+55=165(种)选法. (2)完成这件事有三类方法:第一类,从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法;第二类, 从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法;第三类,从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法.综上知,共有 30+30+20=80(种)选法. 思维升华 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,重点在于抓住题目中的关键词

或关键元素、关键位置.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完 成这件事情的任何一种方法必须属于某一类. 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? 解 方法一 按个位数字分类,个位可为 2,3,4,5,6,7,8,9,共分成 8 类,在每一类中满足条

件的两位数分别有 1 个,2 个,3 个,4 个,5 个,6 个,7 个,8 个,则共有 1+2+3+4+ 5+6+7+8=36 个.

方法二 按十位数字分类,十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8,共分成 8 类,在每一类中满足条件的 两位数分别有 8 个,7 个,6 个,5 个,4 个,3 个,2 个,1 个,则共有 8+7+6+5+4+3 +2+1=36 个. 题型二 分步乘法计数原理的应用 例 2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目, 在下列情况下各有多少种不同的报名方法? (不一定六名同学都能参加) 且每人至多参加一项; 解 (1)每人恰好参加一项,每项人数不限; (2)每项限报一人,

(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.

(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有 3 种不同选法,由分步乘法计数原

理,知共有选法 36=729(种). (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有 6 种选法,第 二个项目有 5 种选法,第三个项目只有 4 种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法 6× 5× 4=120(种). (3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步乘 法计数原理,得共有不同的报名方法 63=216(种). 思维升华 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有

先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都 完成了,才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完 成. 已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},若 a,b,c∈M,则: (1)y=ax2+bx+c 可以表示多少个不同的二次函数; (2)y=ax2+bx+c 可以表示多少个图像开口向上的二次函数. 解 (1)a 的取值有 5 种情况,b 的取值有 6 种情况,c 的取值有 6 种情况,因此 y=ax2+bx

+c 可以表示 5× 6× 6=180(个)不同的二次函数. (2)y=ax2+bx+c 的图像开口向上时,a 的取值有 2 种情况,b、c 的取值均有 6 种情况,因 此 y=ax2+bx+c 可以表示 2× 6× 6=72(个)图像开口向上的二次函数. 题型三 两个原理的综合应用 例 3 如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一

条棱上的两端异色,如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色方法总数. 思维点拨 染色问题是常见的计数应用问题,可从选颜色、选顶点进行分类、分步,从不

同角度解决问题. 解 方法一 可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两

顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥 S—ABCD 的顶点 S、 A、B 所染的颜色互不相同,它们共有 5× 4× 3=60(种)染色方法. 当 S、A、B 染好时,不妨设其颜色分别为 1、2、3,若 C 染 2,则 D 可染 3 或 4 或 5,有 3 种染法;若 C 染 4,则 D 可染 3 或 5,有 2 种染法;若 C 染 5,则 D 可染 3 或 4,有 2 种染 法. 可见, 当 S、 A、 B 已染好时, C、 D 还有 7 种染法, 故不同的染色方法有 60× 7=420(种). 方法二 以 S、A、B、C、D 顺序分步染色. 第一步,S 点染色,有 5 种方法; 第二步,A 点染色,与 S 在同一条棱上,有 4 种方法; 第三步,B 点染色,与 S、A 分别在同一条棱上,有 3 种方法; 第四步,C 点染色,也有 3 种方法,但考虑到 D 点与 S、A、C 相邻,需要针对 A 与 C 是 否同色进行分类,当 A 与 C 同色时,D 点有 3 种染色方法;当 A 与 C 不同色时,因为 C 与 S、B 也不同色,所以 C 点有 2 种染色方法,D 点也有 2 种染色方法.由分步乘法、分类 加法计数原理得不同的染色方法共有 5× 4× 3× (1× 3+2× 2)=420(种). 方法三 按所用颜色种数分类. 第一类,5 种颜色全用,共有 A5 5种不同的方法; 第二类,只用 4 种颜色,则必有某两个顶点同色(A 与 C,或 B 与 D),共有 2× A4 5种不同的 方法; 第三类,只用 3 种颜色,则 A 与 C、B 与 D 必定同色,共有 A3 5种不同的方法. 由分类加法计数原理,得不同的染色方法种数为 A5 5+2× A4 5+A3 5=420. 思维升华 (1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步. (2)分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准是关键. (3)分步要做到“步骤完整”,步步相连能将事件完成. (4)较复杂的问题可借助图表完成. 如图,正五边形 ABCDE 中,若把顶点 A、B、C、D、E

染上红、黄、绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共 有( ) B.27 种 C.24 种 D.21 种 答案 A

A.30 种

解析 由题意知本题需要分类来解答,首先 A 选取一种颜色,有 3 种情况.如果 A 的两个 相邻点颜色相同,有 2 种情况;这时最后两个点也有 2 种情况;如果 A 的两个相邻点颜色 不同,有 2 种情况;这时最后两个点有 3 种情况. ∴方法共有 3(2× 2+2× 3)=30 种. 课堂小结: 方法与技巧 1.分类加法和分步乘法计数原理,区别在于:分类加法计数原理针对“分类” 问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原 理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 2.分类 标准要明确,做到不重复不遗漏. 3.混合问题一般是先分类再分步. 4.要恰当画出示 意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律. 失误与防范 1. 切实理解“完成一件事”的含义, 以确定需要分类还是需要分步进行. 2. 分 类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准 确分步. 3.确定题目中是否有特殊条件限制. 课后作业:1、预习 2、册子:


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