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2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)


第二章
统计
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

众数:在一组数据中,出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数.

中位数:将一组数据按大小依次排列, 把处在最中间位置的一个数据(或最中 间两个数据的平均数)叫做这组数据的 中位数.

平均数: 一组数据的算术平均数,即

x=

1 ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) n

众数、中位数、平均数都是描述一组 数据的集中趋势的特征数,只是描述的角 度不同,其中以平均数的应用最为广泛.

练习: 在一次中学生田径运动会上, 参加男子跳高的17名运动员的成绩如下 表所示:
成绩(单 位:米)

1.50 2

1.60 3

1.65 2

1.70 3

1.75 4

1.80 1

1.85 1

1.90 1

人数

分别求这些运动员成绩的众数,中位数与 平均数

解:在17个数据中,1.75出现了4次,出现的 次数最多,即这组数据的众数是1.75. 上面表里的17个数据可看成是按从小到大 的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的 一个数据,即这组数据的中位数是1.70; 这组数据的平均数是

答:17名运动员成绩的众数、中位数、平均数 依次是1.75(米)、1.70(米)、1.69(米).

二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系

频率 组距

1、众数在样本数据的频率分布 直方图中,就是最高矩形的 中点的横坐标。

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

O

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

月平均用水量(t)

2、在样本中,有50%的个体小于或等于 中位数,也有50%的个体大于或等于中位 数,因此,在频率分布直方图中,中位数 左边和右边的直方图的面积应该相等,由 此可以估计中位数的值。

频率 组距

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)

说明:

2.02这个中位数的估计值,与样本 的中位数值2.0不一样,这是因为样本数 据的频率分布直方图,只是直观地表明 分布的形状,但是从直方图本身得不出 原始的数据内容,所以由频率分布直方 图得到的中位数估计值往往与样本的 实际中位数值不一致.

频率 组距

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1

3.平均数 频率分布直方图中每个小矩形的 面积与小矩形底边中点的横坐标之积 相加,就是样本数据的估值平均数. 0.25×0.04+0.75×0.08+ 1.25×0.15+ 1.75×0.22+2.25×0.25+ 2.75×0.14+ 3.25× 0.06+3.75×0.04 4.25×0.02 =2.02(t). 平均数是2.02.
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)

思考7:从居民月均用水量样本数据可知,该样本的众数 是2.3,中位数是2.02,平均数是2.02,这与我们从样本 频率分布直方图得出的结论有偏差,你能解释一下原因吗? 频率分布直方图损失了一些样本数据,得到的是一个 估计值,且所得估值与数据分组有关. 注:在只有样本频率分布直方图的情况下,我们可以按 上述方法估计众数、中位数和平均数,并由此估计总体 特征.

众数、中位数、平均数的 简单应用 例 某工厂人员及工资构成如下:
人员 经理 周工资 2200
人数 合计



管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 250 220 200 100 6
1500

1
2200

5
1100

10

1

23
6900

2000 100

(1)指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均 数 (2)这个问题中,工资的平均数能客观地反映该厂 的工资水平吗?为什么?

分析:众数为200,中位数为220,
平均数为300。

因平均数为300,由表格中所列 出的数据可见,只有经理在平均数以 上,其余的人都在平均数以下,故用 平均数不能客观真实地反映该工厂的 工资水平。

三种数字特征的优缺点
特征数 众数 中位数 平均数 优 点 缺 点
体现了样本数据的最大 无法客观反映总体 特征 集中点 不受少数极端值的影响 不受少数极端值的 影响有时也是缺点 与每一个数据有关,更 受少数极端值的影 能反映全体的信息. 响较大,使其在估 计总体时的可靠性 降低.

课后活动
1、预习下一节内容。 2、完成《创新设计》“当堂检测”部分. 3、P81 1(1)(2)(3)


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