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简谐振动


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机械振动----简谐振动
1.机械振动
(1)定义:物体(或物体的一部分)在某一________位置附近的往复运动,叫机械振动,简 称振动。 (2)特征:第一,有一个“中心位置”,即_______位置,也是振动物体静止时的位置; 第二,运动具有__________

2.弹簧振子

>(1)弹簧振子:弹簧振子是指_______和_______所组成的系统,是一种__________模型。 (2)振子模型:有水平弹簧振子和竖直弹簧振子。如图所示,图甲中球与杆之间的摩擦可 以______,且弹簧的质量与小球的质量相比可以______。

3. 弹簧振子的位移—时间图象
(1)建立坐标系 以小球的 __________ 为坐标原点,沿着 __________ 方向建立坐标轴。小球在平衡位置 ________时它对平衡位置的位移为正,在________时为负(以水平弹簧振子为例)。 (2)位移——时间图象 横坐标表示振子振动的__________,纵坐标表示振子相对__________的位移。 (3)物理意义:反映了振子的________随_______的变化规律。

4.简谐运动及其图象
1.简谐运动 (1)定义:如果质点的位移与时间的关系遵从________函数的规律,即它的振动图象(x- t 图象)是一条________曲线,这样的振动叫做简谐运动。 (2)特点:①简谐运动是最_______、最_______的振动。 ②简谐运动的位移随时间按正弦规律变化,所以它不是 __________运动,是变力作用下 的__________运动。 2.简谐运动的图象 (1)形状:正(余)弦曲线,如图所示。

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(2)物理意义:表示振动的质点在不同时刻偏离__________的位移,是位移随时间的变化 规律。 (3)获取信息:从图象上可直接看出不同时刻振动质点的__________大小和方向。

5.描述简谐运动的物理量
1.振幅 (1)定义:振动物体离开平衡位置的__________,用 A 表示,单位:m。 (2)物理意义:表示振动的_______,是标量。 2.全振动 (1)振子以相同的速度相继通过__________所经历的过程,即一个完整的振动过程。 (2)不管以哪里作为开始研究的起点,弹簧振子完成一次全振动的时间总是________的。 3.周期和频率 (1)周期:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的________,用 T 表示,单位:s。 (2)频率:单位时间内完成全振动的__________,用 f 表示,单位:Hz。 (3)周期 T 与频率 f 的关系:T=__________ (4)物理意义: 周期和频率都是表示物体__________的物理量, 周期越小, 频率________, 表示物体振动越快。 4.相位 用来描述周期性运动在各个时刻所处的__________。其单位是________(或度)。

6.简谐运动的表达式
1.简谐运动的一般表达式 x=_____________ 式中:A 是振幅,T 是周期,φ 0 是初相位。 2.相位差 对两个简谐运动 x1=A1sin(ω t+φ 1)和 x2=A2sin (ω t+φ 2),Δ φ =__________,即 是两振动的相位差。

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能力提升----简谐运动
1.简谐运动的运动学方程 位移用时间的正弦(或余弦)函数表示的振动 简谐运动的速度、加速度分别为

x = A cos(?t ? ?0 )

v =- ? A sin(?t ? ? 0 )

a =- ? 2 A cos(?t ? ?0 )
2.简谐振动的动力学特征 (1)回复力:物体离开平衡位置时所受到的指向平衡位置的力称为回复力. 每当振动物体离开平衡位置时,就会受到将物体拉回平衡位置回复力作用,回复力是 以力的效果命名的力, 它是由振动物体所受的各种性质的力沿着振动方向的合力来充当. 平 衡位置就是回复力为零的位置. (2)简谐运动的动力学定义 物体受到与位移反向、大小与位移大小成正比的回复力作用维持的振动为简谐运动 F =- kx 受力特征 或动力学特征

a =-

k x m

3.参考圆 任何一个简谐运动,都可以看作是某一个匀速圆周运动的参考点在某一直径上的投影, 参考点的运动轨迹就是参考圆,参考点在直径上投影的点的轨迹即表示简谐运动. 简谐运动显然不是匀速运动,也不是匀加速运动,讨论起来不是那么方便.为此,我 们引入一个相关的匀速圆周运动.以平衡位置 O 为中心而以振幅 A 为半径作圆,这圆就称 为参考圆.设想有另一质点在参考圆上以角速度 ? 做匀速圆周运动,它在开始时与 O 的连 线跟 x 轴夹角为 ? . 那么, 在时刻 t , 参考圆上的质点与 O 的连线跟 x 轴夹角就成为 ?t + ? , 它在 x 轴上的投影点的坐标为

x = A cos(?t ? ? )
这正是简谐振动方程.

(? =
2

k ) m

参考圆上的质点的线速度 v = A? ,其方向与参 考圆相切.这个线速度在 x 轴上的投影是

v =- ? A sin(?t ? ? )
这也就是简谐振动的速度.

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参考 圆上 的质 点的加 速 度是 向心 加速 度 A? 2 ,它 在

x 轴 上 的投 影是 a = - ? 2

A c o s( ?t ? ? )
这也就是简谐振动的加速度. 4.简谐运动的周期 利用参考圆得到的简谐运动的加速度 a =- ? 2

x ,又已知 a =-

k x ,对比两式有 m

?2 =

m k 2? .因为 ? = ,所以有 T = 2? ,这就是简谐运动的周期公式. m T k

式中 k 为回复力与位移的比值, m 为振子的质量. 单摆的振动周期

T = 2?

l g

l 为摆长, g 为重力加速度.

5.简谐运动的能量 以弹簧振子为例,动能、势能分别为

1 1 m v2 = m ? 2 A 2 sin 2 (?t ? ? ) 2 2 1 2 1 E p = kx = k A 2 cos2 (?t ? ? ) 2 2 k 1 因为 ? 2 = ,所以又 E p = m ? 2 A 2 cos2 (?t ? ? ) m 2 1 1 E = EK + EP = m ? 2 A2 = k A2 机械能为 2 2

EK =

机械能守恒,动能和势能不停地相互转化.

二、阻尼振动 1.阻尼振动

受迫振动和共振

振幅逐渐减小的振动称为阻尼振动,阻尼振动不是简谐运动. 2.受迫振动和共振 在周期性驱动外力作用下的振动. 例如, 扬声器的发音、 机器及电机运转引起的振动. 由 于外力对物体做功,使振动系统在振动中损失的能量得到补充.当驱动力的频率(周期) 跟振动系统的自由振动频率(周期)相等时,受迫振动的振幅最大,这种现象叫共振.驱 动力的频率与物体的固有频率相差越大,振幅越小.

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【典型例题】
例 1.劲度系数 k =600N/m 的轻质弹簧下端与质量 M =2kg 的物块相连,物块与质量 ,取 g =10m/s2. m =1k 的铁球用细线相连(如图所示) (1) 要使物块与铁球在振动过程中始终保持相对静止,该系统振幅的最大值多大? (2) 若系统以振幅 A =0.02m 上下振动,求振动过程中细线上张力如何变化? 【分析与解】 (1)若要铁球与物块在振动过程中能始终保持相对静止(即细线始终能保持伸直状态) , 则系统在振动过程中的加速度值不能大于 g =10m/s2.

弹簧的最大拉长量 可知振幅的最大值为

Fmax = 2(m ? M ) g =60N F xmax = max =0.1m k Am a = x xmax - l 0 =0.05m
l0 =
(m ? M ) g =0.05m k

(1)设弹簧被拉长 l 0 时振动系统处在平衡位置,即有 kl0 = ( M ? m) g 由此可得

考察系统从最低点向上运动的过程中细线的张力如何变化. 当 系 统 相 对 平 衡 位 置 向 下 的 位 移 为 A 时 , 系 统 向 上 的 加 速 度 为 a1 =

k (l 0 ? A) ? (m ? M ) g =4m/s2 m?M 这时细线中张力为 T1 = m( g ? a1 ) =14N
当系统向上通过平衡位置时,加速度为零,这时细线中张力为 T0 = mg =10N 当系统达到最高点,即向上的位移为 A 时,加速度向下,大小 a2 = a1 这时细线中张力为 T2 = m( g ? a2 ) =6N 根据上述分析与计算可知:对小球而言,它沿竖直方向上下做简谐运动的恢复力与位 移大小关系是 F = kx ,且回复系数为 k =600N/m. 另外对小球来说,它做简谐运动的回复力是细线对它的拉力与重力的合力,取竖直向 上为正方向,则 F = T - mg = ? kx 由此可得

T = mg - kx

(式中 x 是铁球相对于平衡位置的位移,小球在平衡位置下方时, x 为负值;小球在平衡 位置上方时, x 为正值) 例 2.如图所示,质量相等的物块 A 和 B 粘贴在一起与劲度系数为 k 的弹簧组成的弹 性振子,在光滑的水平台面上做简谐运动,系统总能量为 E0 ,周期为 T0 .若物块 A 、 B 在 从左向右通过平衡位置 O 时突然分离.试求 B 与 A 分离后, A 跟弹簧组成的振动系统总能 量 E 、周期 T 多大? 【分析与解】

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物块 A 、 B 在从左向右通过平衡位置 O 时,系统的能量 全部转化为动能, A 、 B 质量相等,分离时速度最大且相等, 所以 B 与 A 分离后振动系统的能量 E = 度向右做匀速运动) 设 A 、 B 的质量均为 m . A 、 B 粘贴在一起时,振动周期 T0 = 2?

1 E0 . ( B 以最大速 2

2m k

B 与 A 分离后,振子的周期为 T = 2?
可见

m k

T=

A 、 B 分离前

2 T0 =0.71 T0 2 2 E0 1 E0 = kA02 ,即 A0 = 2 k
1 E = kA 2 ,即 2
A=

A 、 B 分离后
由此可知, A =

E0 2E = k k

例 3.在两个向相反方向转动的小轴上,水平地放一块匀质木板,木板质量为 m ,两 轴心相距 2l (如图所示) .木板与轴之间的动摩擦因数为 ? ,如果使木板的重心偏离两轴 的中心位置,试分析木板的运动情况. 【分析与解】 设木板质量为 m ,由于木板在竖直方向无运动,所以有 N1 + N 2 = mg 因为木板在水平方向无转动,故所受合力矩为零.当木板 重心从两轮中间左移 x 时,对 O 点应该有 N1 (l ? x) = N 2 (l ? x) 解得

2 A0 =0.71 A0 2

N1 =

l?x mg 2l

N2 =

l?x mg 2l x

木板所受合力为

F = f1 - f 2 = ? ( N1 ? N 2 ) =
(方向与位移 x 方向相反)

?mg
l

可见木板沿水平方向做简谐运动. a =
2 由 a =? x 得

F ?gx = m l

?=

?g 2? l 故运动周期为 T = = 2? ? l ?g

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例 4.如图所示的系统中,动滑轮、细绳及两弹簧的质量均可忽略,其余各量在图中标 出,试求悬挂物体上、下振动的周期.

例 5.如图所示,质量为 m 的小球可看成质点,与劲度系数分别为 k 1 和 k 2 、原长分别 为 l1 和 l 2 的两个轻弹簧相连,两弹簧的另一端固定于相距为 L 的两支柱 A 、 B 上,整个装 置水平放置,忽略一切摩擦力.试求: (1)小球的平衡位置 (2)小球的振动周期

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例 6.如图所示装置中定滑轮质量都不计,两物体大小不计,质量分别为 m1 、m2 .m1 下 端通过劲度系数为 k 的轻质弹簧与地面相连,让 m1 偏离平衡位置一小段距离后放手,求系 统的振动周期.

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例 7.一弹簧振子,两端为质量都是 m=0.1 千克、大小不计的物体 A、B,中间是一静止 长度为 l0、劲度系数为 k0、质量可以忽略的理想弹簧,现此振子自某一高度、A 端在下,竖 直地自由下落至一水平桌面。开始下落时,A 距桌面的高度为 H=2 米,开始时弹簧无伸长 或压缩,A 与桌面发生弹性碰幢后跃离桌面,当 A 第二次接触桌面时,发现弹簧 的压缩达到最大。求: (1) 弹簧劲度系数 k0 之值。 (2) A 第二次与桌面接触时的速度。




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