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东升学校圆锥曲线方程学生版整合


椭圆及其标准方程(1)
学习目标:
(1)掌握坐标法求椭圆的标准方程; (什么是坐标法?) (2)掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程的形式; (3)通过对同一标准方程的推导,提高运算能力. 学习过程: 课前预习。

一 课前准备: 我们画圆时需要那些工具?画椭圆需要那些工具?试试画一下 注意: 在画图时, 思考在画圆时, 不变的条件是什么?

在画椭圆时不变的条件是什么? 预习课本 P32 ~ P34 的内容,记录下疑惑之处,并思考下列问题:
1. 我们知道,到一个定点的距离等于定长的动点的轨迹是圆,那么到两个定点的距离之和 等于定长的动点的轨迹是什么? 2. 椭圆的定义:把平面内与两个定点 F 1 , F2 的距离之和等于常数(大于 迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的 3.椭圆的标准方程:
y

)的点的轨 .

,两焦点的距离( 2c )叫做

y M
O F2

F1

O

F2

x

F1 M

x

4.判断下列椭圆的焦点位置,指出焦点的坐标: (1)
2 2 x2 ? y ? 1 x 2 ? y ? 1( m ? n ? 0) 2 2 ; (2) 25x ? 16 y ? 400 ; (3) m n 16 9

答: (1) (2) (3) 二、新课导学:

1

在椭圆标准方程的推导过程中,思考以下问题: (1)如何建立适当的直角坐标系?有几种建立坐标系的方式? 答: 以线段 F1F2 的中点为原点, 线段 F1F2 所在直线为 x 轴, 建立坐标系; 也可以以线段 F1F2 的 中点为原点,线段 F1F2 所在直线为 y 建立坐标系;所以有两种建立坐标系的方法. (2)根据椭圆的定义,你能得到的等式是 . (3)在标准方程的推导过程中,引入了 b ? a ? c ,你能结合图形加以解释 b 的含义吗?
2 2 2

y

y M
O F2

y M

F1

O

F2

x

F1 M

x

F1

O

F2

x

答: (4)在椭圆的定义中,强调了 a ? c ;若 a ? c 动点的轨迹是什么?若 a ? c 呢? 答: 认真推导椭圆的标准方程,不能只看不动笔。根式如何化简,在 33 页的推导过程中,为什 么要将其中一项移到等号的另一端,能不能直接平方?感悟计算过 程,特别注意符号不要出错。 思考教材 33 页和 34 页两阴影部分的思考题。 焦点在不同的坐标轴上, 椭圆方程的形式也不一样, 怎样记忆? 和圆心在原点的圆的方程比较一下有什么不同?

方案 2:如图,焦点落在 y 轴上

试想:推断此时椭圆的标准方程又是什么? 焦 点 F1 ? 0?,???c ?、F2 ? 0?,?c ? , 焦 距 为 2c , 椭 圆 的 方 程 为
x2 y 2 ? ? 1??? a ? b ? 0? b2 a 2

2

请同学们观察归纳两个方程的特征,从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程; 令 b 2 ? a 2 ? c 2 体会数学图形和公式的对称美,简洁美 (二)知识总结 1 根据所学知识让同学们完成下表 标准方程

图 不 同 点



焦点坐标 相 同 点 定 义

a、b、c 的关系 焦点位置的判断

2

快速反应: ⑴
x2 y 2 ? ? 1 ,则 a ? 52 32 x2 y 2 ? ? 1 ,则 a ? 42 62

,b ?





,b ?



x2 y 2 ? ? 1 ,则 a ? ⑶ 9 4

,b ?



例 1:已知 a ? 4 , b ? 3 ,求焦点分别在 x、y 轴上的椭圆的标准方程. 口答:根据已知条件,求焦点分别在 x、y 轴上的椭圆的标准方程. ⑴ a ? 6, b ? 4 ; ⑵ a ? 3, b ? 1; ⑶ a ? 5, b ? 2 ;

3

⑷ a ? 3, b ? 2 . 例 2:已知 a ? 5 , c ? 3 ,求焦点分别在 x、y 轴上的椭圆的标准方程. 口答:根据已知条件,求焦点分别在 x、y 轴上的椭圆的标准方程. ⑴ a ? 6, c ? 4 ; ⑵ a ? 3, c ? 1 ; ⑶ a ? 5, c ? 2 ; ⑷ a ? 3, c ? 2 .
作业:1 已知椭圆的焦点坐标是 F 1 、 F2 的距 1 ? ?4,0? , F 2 ? 4,0? ,椭圆上的任意一点到 F

离之和是 10,求椭圆的标准方程.

2:已知椭圆的焦点坐标是 F1 ? 0, ?1? , F2 ? 0,1? ,椭圆上的任意一点到 F1 、 F2 的距离之 和是 8,求椭圆的标准方程.

3:判断下列椭圆的焦点的位置,并求出焦距与焦点坐标. ⑴
x2 y2 ? ?1 ; 100 64



x2 y 2 ? ?1; 9 25

⑶ 4 x2 ? 5 y 2 ? 20 .

4

第二课时 学习目的:学会求椭圆的标准方程 典型例题: 【例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 焦点在 y 轴上,且经过两个点 (0, 2) 和 (1, 0) ; (2) 中心在原点,且经过点 P(3, 0) , a ? 3b . 【解析】

动动手:求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两焦点坐标分别是 (?4,0) 、 (4, 0) ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离的和等于 10 ; (2)两焦点的坐标分别是 (0,?2) 、 (0, 2) ,并且椭圆经过点 ( ?

3 5 , ). 2 2

【例 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:

6 ) B ( 2 3 ,1) 、 的椭圆的标准方程; 2 3 x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 (2, ? 2) 的椭圆方程. (2) 与椭圆 13 9
(1) 求经过点 A(1, 【解析】

5

动动手:写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a ? b ? 10, c ? 2 5 ; (2) a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上.

课堂检测 1. 已知 a ? 6, c ? 1 ,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x ? y ?1 x ? y ?1 x ? y ?1 x ? y ?1 A. B. C. D. 36 35 36 25 25 36 35 36
2 x2 ? y ? 1 6 ,那么点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 2. 如果椭圆 上一点到焦点 F 1 的距离等于 100 36



) A. 8 B. 14

C. 16

D. 20

3. 椭圆


2 x2 ? y ? 1 A 、 B ,则 ?ABF2 的周长 的左、右焦点为 F 1 、 F2 ,一直线过 F 1 交椭圆于 16 9

.

4.两焦点为 (0, ?2) , (0, 2) , b ? 3 ,则椭圆的标准方程是

.

5.已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为 2.4 m ,外轮廓线上点到两个焦点距 离的和为 3m ,求这个椭圆的标准方程.

6

椭圆及其标准方程习题课(2)
学习目标:
(1)理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念; (2)掌握含参数的椭圆方程的表示、焦点等问题. 学习过程:

一、课前准备:
思考下列问题: (1)下列哪些是椭圆方程?如果是,请指出其焦点所在的坐标轴. ① 3x2 ? 4 y 2 ? 2 ; ②

y2 x2 ? ?1; 25 9



2 x2 ? y ? 1 ; 4 4



y 2 x2 ? ? ?1 . 8 3

(2)是不是 mx2 ? ny 2 ? 1 都表示椭圆?

(3)椭圆 mx2 ? ny 2 ? mn (m ? n ? 0) 的焦点是

.

(4)方程 kx2 ? 3 y 2 ? 1 的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的范围是

.

二、新课导学:
(一)对椭圆及其标准方程的理解: (1)椭圆标准方程中,哪个分母大,焦点就在相应的哪条坐标轴上; (2) a 、 b 、 c 始终满足 c ? a ? b ,焦点在 x 轴上为 (?c, 0) 、 (c, 0) ,在 y 轴上为
2 2 2

(0, ?c) 、 (0, c) ;
2 2 (3) 形如 Ax ? By ? C 的方程中,只要 A 、 B 、 C 同号( A ? B ),就表示椭圆.

(二)典型例题 【例 1】 方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求实数 m 的取值范围. m 2 (m ? 1) 2

动动手: (1)方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,求实数 m 的取值范围. m 2 (m ? 1) 2

7

(2)方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,求实数 m 的取值范围. m 2 (m ? 1) 2

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,求实数 m 的取值范围. (3)方程 m 2m ? 6

【例 2】已知椭圆 mx2 ? 3 y 2 ? 6m ? 0 的一个焦点为 (0, ?4) ,求实数 m 的值.

动动手:椭圆 x ? (m ? 2) y ? m 的一个焦点为 (? 2,0) ,求实数 m 的值.
2 2

三、总结提升:
含参数的椭圆方程的讨论,要以椭圆的标准方程为依据,在形如
2 x2 ? y ? 1 的椭圆方程中,要 m n

8

注意隐含条件 m ? 0 , n ? 0 . 四、反馈练习: 1.下列方程一定表示椭圆的是 A.
2 x2 ? y ? 1 8 2m 2

( B.



2 x2 ? y ? 1 4 2m

C.

2 x2 ? y ? 1 2 | m | 2m 2

D.

2 x2 ? y ? 1 |m| 2|m|

2. 椭圆 kx ? (k ? 2) y ? k 的焦点在 y 轴上,则的取值范围是
2 2





A. k ? ?2

B. k ? ?2

C. k ? 0

D. k ? 0

? x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 ? ∈ 3. 设 ? ∈(0, ),方程 2 sin ? cos?

.

4. 椭圆

2 x 2 ? y ? 1 ( m ? ?4) 的焦点坐标是 5? m 9? m

.

2 2 5.设 ? ? (0, ? ) ,方程 x sin ? ? y cos ? ? 1 表示椭圆,则 ? ?

.

*6.已知方程 k x ? (k ? 2k ? 2) y ? k .
2 2 2 2

(1) k 为何值时,方程表示直线? (2) k 为何值时,方程表示圆? (3) k 为何值时,方程表示椭圆?

9

2.1.1
学习目标:

椭圆及其标准方程(3)

(1)理解并熟练应用椭圆的定义; (2)使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系; (3)掌握轨迹问题的一般求法:定义法、直接法、相关点法. 学习过程:

一、课前准备: 阅读教材 P34 ~ P36 的内容,找出疑惑之处,并思考以下问题:
1.到定点 (?3, 0) 和 (3, 0) 距离之和等于 8 的点的轨迹是 点的轨迹是
2 2

;距离之和等于 6 的

.

2.把椭圆

x ? y ?1 1 1 上的每一个点的纵坐标都缩短为原来的 ,横坐标都缩短为原来的 ,则所 16 25 5 4
.

得的曲线的方程是

二、新课导学:
【例 1】已知点 A(?2, 0) , B(2, 0) ,直线 l1 过点 A ,直线 l2 过点 B ,若 l1 、 l2 的斜 率之积为 ?

3 ,求 l 、 l 的交点 P 的轨迹方程. 1 2 4

【例 2】已知两圆 A : ( x ? 1) ? y ? 1 ,
2 2

y Q
M P B A

B : ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 ,动圆 M 与圆 A 外切,与圆 B 内切,
求动圆 M 的圆心 M 的轨迹方程.

x

10

动动手:已知圆 A : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 64 ,圆 A 内一定点 B(?3, 0) ,动圆 P 过 B 点且与圆 A 内切, 求圆心 P 的轨迹方程.

【例 3】动点 P 在椭圆

2 x2 ? y ? 1 上移动,求线段 OP 的中点 M 的轨迹方程. 16 8

x2 ? y 2 ? 1 上的动点,求 AM 中点 P 的轨迹方 动动手:已知 x 轴上的一定点 A(1, ?2) , M 为椭圆 4
程.

三、总结提升:
例 1 是直接法求轨迹方程,使用这种方法时,要把动点坐标设为 ( x, y ) ,然后利用题设条件列

11

出关于 x 、 y 的关系式,化简解得轨迹方程.例 2 是利用椭圆的定义求轨迹方程,注意平面几何知 识的应用,寻找符合椭圆定义的条件,得出轨迹方程.例 3 是相关点法求轨迹方程,特点是将动点 的坐标 ( x, y ) 转移到其它点上,在利用其它 点的条件,得出动点的轨迹方程.这三种方法是求轨 迹方程的常用方法,要认真体会这些方法的运用. 四、反馈练习: 1.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ( A. y ? x B.

) D. y ? ? x

y ? ?x

C. y ? ? x

2.到两点 A(1,1) 、 B(?3,1) 距离相等的点的轨迹方程是 A. y ? 1 ? 0 B. y ? ?1 C. x ? ?1





D. x ? 1 ? 0

3.坐标系中 O 、 A 、 B 三点共线,| OA |? 2 | AB | ,点 A 在椭圆 方程是 .

2 x2 ? y ? 1 运动,则点 B 的轨迹 3 2

*4. ?ABC 的三条边 a 、 b 、 c 成等差数列,且满足 a ? b ? c , A(?1, 0) , C (1, 0) ,求顶点 B 的 轨迹方程 .

y B

5.已知点 A(?2, 0) ,点 B 是圆 F : ( x ? 2) ? y ? 36 上的
2 2

P A o F x

动点, 线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P ,求动点 P 的轨迹 方程.

作业:教材 34 页例 2 和教材 35 页例 3。教材 36 页练习 3、4

12

椭圆的简单几何性质(1)
学习目标:
(1)掌握椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点(截距)等性质. (2)会根据简单的几何性质求椭圆的标准方程或根据标准方程求 a, b, c, e .

学习重点:椭圆的简单几何性质. 学习难点:椭圆的简单几何性质的应用. 学习过程: 一、课前准备: 阅读教材 P37 ~ P 40 的内容,找出疑惑之处,并思考以下问题: 2 x2 ? y ? 1 1. 在坐标系中画出椭圆 的图形,根据图形,就它的图形范围、顶点、对称性等进行 16 9
讨论. 椭圆的长轴长为_ 焦距为
2

_,短轴长为_ .

_,顶点坐标为



,离心率为
2

x ? y ? 1 ( a ? b ? 0 )的图形位于直线 a 2 b2 2 y2 3.椭圆 x 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的对称轴有 a b
2. 椭圆 中心是 4. 椭圆 .
2

和 ,对称

围成的矩形内部.
y b B2

x 2 ? y ? 1 ( a ? b ? 0 )的顶点 a 2 b2 二、新课导学:
(一)自主学习:

.

A1 -a F1 O -b B1

A2 F2 a x

2 y2 x 椭圆的几何性质:对于椭圆 2 ? 2 ? 1 ,作出图形,观察可知: a b 1. 范围:图形位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 围成的矩形内部;即椭圆上任意一点的坐标 ( x, y ) ,都 有 | x |? a , | y |? b . 2. 对称性:椭圆是轴对称图形,对称轴是 x ? 0, y ? 0 ,也是中心对称图形,对称中心是原点. 3. 顶点: A1 (?a,0), A2 (a,0), B1 (0, ?b), B2 (0, b) . c c 4.离心率:定义椭圆的焦距与长轴长的比值 为椭圆的离心率,表示为 e ? . a a

思考:离心率的取值范围是什么?离心率刻画了椭圆的什么变化特征? 答:

(二)典型例题: 【例 1】求椭圆 36 x ? 9 y ? 324 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 【解析】
2 2

13

【例 2】若椭圆 【解析】

2 x2 ? y ? 1 2 是离心率是 ,求椭圆的方程. k ?1 4 2

动动手:椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为
【解析】

2 ,且过点 P(2, ?1) ,求椭圆方程. 2

【例 3】过椭圆

x2 ? y 2 ? 1的左焦点 F 作倾斜角为 45 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点, F 是椭圆 1 2 2

的右焦点,求 ?ABF2 的面积. 【解析】

2 x2 ? y ? 1 (a ? b ? 0) 的四个顶点顺次连结构成一个菱形, 该菱形的面积为 2 10 , a 2 b2 15 又椭圆的离心率为 ,求椭圆的方程. 5

动动手: 椭圆

【解析】

14

三、总结提升 1. 掌握椭圆的简单几何性质,特别注意 a, b, c, e 之间的关系.
2. 在椭圆的焦点不确定在哪个轴上时,要注意分类讨论.

四、反馈练习: 2 2 y2 y2 1.椭圆 x 2 ? 2 ? 1 和 x 2 ? 2 ? k (k ? 0) 具有相同的 a b a b
A.顶点 B.离心率 C.长轴 D.短轴 2.若椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的离心率为





3 ,则它的长半轴长为 2





A.2 B.1 C.1 或 3 D.1 或 2 3.已知椭圆 M 的短轴长为 6 ,一个焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9 ,则椭圆 . 4.已知椭圆短轴的一个端点与椭圆的两焦点的连线互相垂直,则此椭圆的离心率

M 的离心率等于

e?
2

.

2 x ? y ?1 的右焦点 F2 作长轴的垂线与椭圆交于第一象限的 P 点,F 1 是椭圆的左焦点, 8 6 求 ?F 1F 2 P 的外接圆方程.

5.过椭圆

【解析】

五、学后反思

15

椭圆的简单几何性质(2)
学习目标:
(1)进一步掌握椭圆的几何性质; (2)会根据椭圆的几何性质解决有关问题; (3)会求椭圆的离心率. 学习重点:椭圆的离心率. 学习难点:根据椭圆的几何性质解决有关问题. 学习过程:

一、课前准备: 阅读教材 P 40 ~ P 41 的内容,找出疑惑之处,并思考以下问题: 1. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是 2. 对于椭圆 C1 : 9x2 ? y2 ? 36 与椭圆 C2 :

. .

x y ? ? 2 ,更接近于圆的是 16 12
2 2

3. 在下列方程所表示的曲线中,关于 x 轴、 y 轴都对称的是( A. x 2 ? 4 y B. x2 ? 2xy ? y ? 0 C. x2 ? 4 y2 ? 5x
是( )

) D. 9 x 2 ? y 2 ? 4

4. 中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程
2 2 2 2 x2 ? y ? 1 x2 ? y ? 1 x2 ? y ? 1 x2 ? y ? 1 B. C. D. 81 72 81 9 81 45 81 36 二、新课导学: 【例 1】点 P 与到定点 F (2, 0) 的距离与它到定直线 x ? 8 的距离之比为 1 : 2 ,求点 P 的轨迹方程.

A.

【解析】

思考:
2 x2 ? y ? 1 的离心率是多少? 16 12 2 x2 ? y ? 1 (2)根据对称性,椭圆 上的点 P 到定 F ?(?2, 0) 的距离与到定直线 x ? ?8 的距离的比 16 12 是不是也为 1 : 2 ?

(1)椭圆

答: 动动手:点 P 到定点 F (0, ?2) 的距离与它到定直线 y ? 4 ? 0 的距离之比为 1: 2 ,求点 P 的轨迹 方程. 【解析】

16

【例 2】已知椭圆

? x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 连线所成角 ?F1 PF2 为 ,求 3 25 9

?PF1 F2 的面积. 【分析】 ?PF 1 F2 中,知道 | F 1 F2 面积为 1 | ? | PF2 |? 2a ? 10 ,而 ?PF 1 F2 |? 2c ? 8 , | PF 1 | PF | ? | PF | sin ? ,可以考虑用余弦定理得出 | PF | ? | PF | . 1 2 1 2 2 3
【解析】

x2 y2 ? ? 1 上一动点 P ,椭圆的两焦点为 F1、F2 , ?PF1 F2 的面积为 8 , 动动手: 已知椭圆 25 9
求 P 点坐标. 【分析】使用面积公式 S ? 【解析】

1 | F F | ?h ,其中 h 是动点 P 的纵坐标的绝对值. 2 1 2

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 上存在点 P 与椭圆两焦点 F1、F2 的连线使 PF 1 ? PF 2 ?0, a2 b2 求椭圆离心率 e 的取值范围.
*【例 3】椭圆

17

三、总结提升 1. 椭圆的离心率问题是一个很重要的题型,关键是要根据题目条件,正确地找出 a 、 c 的关系. 2. 椭圆的几何性质与焦点有直接的关系,在解题时,要画出示意图,利用平面几何知识和解三角
形知识求解.

四、反馈练习: 1. 椭圆两焦点间的距离等于长轴端点与短轴端点间的距离,则离心率是( B ) 5 10 2 3 A. B. C. D. 5 5 5 5 1 2. 若长轴在 y 上的椭圆的一个焦点到长轴两个端点的距离之比为 ,短轴长为 8,则椭圆的标准 4
方程是
2 2

( A ) B.

2 2 2 x2 ? y ? 1 x2 ? y ? 1 x2 ? y ? 1 C. D. 8 20 16 50 8 25 2 2 y x ? 1 的两个焦点, P 点在椭圆上满足 PF 3. 若 F1、F2 是椭圆 ? 1 ? PF 2 ,这样的 P 点有 10 5

A.

x ? y ?1 16 25

_____个.

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1、F2 ,过 F1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆与 A 、 a2 b2 B 两点,且 ?ABF2 是直角三角形,则这个椭圆的离心率为 . 2 2 x ? y ?1 5. 当 m 取何值直线 l : y ? x ? m 与椭圆 相切、相交、相离. 3 2

4. 椭圆

【解析】

五、学后反思

18

椭 圆 标 准 方 程 测试题 一选择题 1 两点坐标分别是 (?4,0) 、(4, 0) ,平面上一点 P 到两点的距离的和等于 8;则点 P 的轨迹是: (A)椭圆 (B)双曲线 (C)圆 (D)线段

2. 如果椭圆
A. 8 二.填空 1(1)

2 x2 ? y ? 1 P 到另一个焦点 F2 的距离是 上一点到焦点 F 1 的距离等于 6 ,那么点 100 36 B. 14 C. 16 D. 20

2 x2 ? y ? 1 ;焦点在 16 9

轴上,坐标是 (

) ( ) ( ) (

) ) )

(2) 25x2 ? 16 y 2 ? 400 ; 焦点在 (3) 2. 迹是
2
2 x 2 ? y ? 1( m ? n ? 0) 焦点在 m n

轴上,坐标是 ( 轴上,坐标是 (

到定点 (?3, 0) 和 (3, 0) 距离之和等于 8 的点的轨迹是 .

; 距离之和等于 6 的点的轨

3. 椭圆
周长为 4. 椭圆 三

x2 ? y ? 1 A 、 B ,则 ?ABF2 的 的左、右焦点为 F 1 、 F2 ,一直线过 F 1 交椭圆于 16 9
.
2 x 2 ? y ? 1 ( m ? ?4) 的焦点坐标是 5? m 9? m

.

解答题: 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1) 求经过点 A(1,

6 ) B ( 2 3 ,1) 、 的椭圆的标准方程; 2 3

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 (2, ? 2) 的椭圆方程. (2) 与椭圆 13 9

(3)两焦点的坐标分别是 (0,?2) 、 (0, 2) ,并且椭圆经过点 ( ?

3 5 , ). 2 2

19

(4) 中心在原点,且经过点 P(3, 0) , a ? 3b . (5) a ? b ? 10, c ? 2 5 ;

(6) a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上.

(7)方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,求实数 m 的取值范围. m 2 (m ? 1) 2

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,求实数 m 的取值范围. (8)方程 m 2m ? 6

(9)已知椭圆 mx ? 3 y ? 6m ? 0 的一个焦点为 (0, ?4) ,求实数 m 的值.
2 2

(10) 已知 B、C 是两个定点,∣BC∣=6,且△ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方程.

20

东升学校高二数学选修 1-1 学案

14

双曲线及其标准方程(1)

年级:高二 学科:数学 执笔: 审核: 学习目标: (1)初步掌握双曲线的定义; (2) 初步掌握双曲线的标准方程; (3)会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程. 学习重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程. 学习难点:双曲线的定义及标准方程的推导. 学习方法:直观发现,在与椭圆的类比中获得双曲线的知识. 学习过程:

一、课前准备: 预习课本 P 45 ~ P 47 的内容,记录下疑惑之处,并思考下列问题:
1. 椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么? 答:

2. 在椭圆的标准方程 条件的椭圆方程. 答:

x2 y2 ? ? 1 中, a , b, c 有何关系,若 a ? 3 , b ? 2 ,则 c 是多少?写出符合 a2 b2

3.把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?

二、新课导学:
(一)探究新知: 1. 动手操作

M 处,移动点 M ,则可画出一支曲线. 准备一条拉链,固定两点 F 1 、 F2 ,将一支笔放在点
这一过程中,始终有 ; | MF1 | ? | MF2 |? 2a ,如图(A)表示双曲线的一支(右支) 或 | MF2 | ? | MF 1 |? 2a 如图(B)表示双曲线的另一支(左支). 把上面两个等式合并在一起,则有 || MF1 | ? | MF2 ||? 2a (即差的绝对值).

21

2. 双曲线的定义:平面内与两定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的 3. 在双曲线标准方程的推导过程中,思考以下问题: (1)如何建立适当的直角坐标系?有几种建立坐标系的方式? 答:

)的点的 .

,两焦点的距离 F1 F2 叫做双曲线的

(2)根据双曲线的定义,你能得到的等式是 (3)在标准方程的推导过程中,引入了, b ?
2

. .

(4)在双曲线的定义中,强调了 c ? a ;若 a ? c 动点的轨迹是什么?若 a ? c 呢? 答: (5)在下列两种坐标系下,双曲线的标准方程分别是
y

y

F2
x F1 0 F2

x 0 F1

; (二) 典型例题:

.

【例 1】已知双曲线的两焦点为 F 1 (?8,0), F2 (8,0) ,双曲线上任意点到 F 1 、 F2 的距离的差 的绝对值等于 10 ,求此双曲线的标准方程. 【分析】由双曲线的标准方程知,只要求出 a , b 即可得方程. 【解析】

动动手:求解下列两题: 1.双曲线的两焦点分别为 F 1 (?3,0), F2 (3,0) , ①若 a ? 2 ,则 b ? ,②若 b ? 1 ,则 a ? . P (8,0) 2.双曲线的两焦点分别为 F1 (?10,0), F2 (10,0) ,点 在双曲线上求双曲线的标准方程. 【解析】

22

【例 2】如果方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 m 的取值范围. 2 ? m m ?1

【分析】不看表象,注重本质,该双曲线的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上. 【解析】

动动手: (1)如果方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,求 m 的取值范围. 2 ? m m ?1

(2)如果方程 【解析】

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 m 的取值范围. 2 ? m m ?1

三、总结提升
1.双曲线定义:在平面内,到两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )

0 ? a ? c )的点的轨迹叫做双曲线. PF 1 ? PF 2 ? 2a ( a 为常数
P 的轨迹是双曲线. (1)若 2a ? F 1F 2 ,则动点
P 的轨迹是以 F1 , F2 为端点的两条射线(在直线 F1 , F2 上) (2)若 2a ? F . 1F2 ,则动点
P 无轨迹. (3)若 2a ? F 1F2 ,则动点
2.双曲线的标准方程:

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0,b ? 0) 焦点 F1 (?c,0) F2 (c,0) ; a2 b2 y2 x2 (2)焦点在 y 轴上时,方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0) 焦点 F1 (0,?c) F2 (0, c) . a b 2 2 2 特别提醒: c ? a ? b . 3.求 双曲线的标准方程时,就是求系数 a 、 b ,所以,可以使用待定系数法.
(1)焦点在 x 轴上时,方程为 四、反馈练习:

23

x2 y2 x2 y2 1.椭圆 ? ? 1 和双曲线 2 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 n 的值是 ( 34 n 2 16 n
A.



?5

B.

?3

C. 5

D. 9

2. 设 F1 , F2 是双曲线 的距离为 A. 1 ( ) B.

x2 ? y 2 ? 1 的焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1 PF2 ? 900 ,则点 P 到 x 轴 4

5 5

C. 2

D.

5

3 . P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,若 F 是一个焦点,以 PF 为直径的圆与圆 a2 b2

x 2 ? y 2 ? a 2 的位置关系是
A. 内切 B. 外切 C. 外切或内切 D. 无公共点或相交
王新敞
奎屯 新疆

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4.若曲线 4 ? k 1? k

.

5.已知双曲线过 A(?7, ?6 2) , B(2 7,3) 两点,焦点在 x 轴上,试求双曲线的标准方程. 【解析】

五、学后反思

24

东升学校高二数学选修 1-1 学案

15

双曲线及其标准方程(2)

年级:高二 学科:数学 执笔: 审核: 学习目标: (1)进一步熟练双曲线的定义; (2) 熟练掌握双曲线的标准方程; (3)会根据已知条件求出双曲线的方程,会判断给定方程是椭圆还是双曲线. 学习重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程的应用. 学习难点:含参数的曲线方程的讨论. 学习方法:直观发现,在与椭圆的类比中获得双曲线的知识. 学习过程:

一、课前准备: 预习课本 P 47 ~ P 48 的内容,记录下疑惑之处,并思考下列问题: 1.填写下表,椭圆与双曲线的区别与联系(焦点在 x 轴、 y 轴的情况都有考虑) :
椭圆 定义 双曲线

方程

焦点

a, b, c
的关系 2. 过双曲线 x ? y ? 1的焦点且垂直 x 轴的弦的长度为
2 2





A. 1

B. 2

C. 2

D.

3

3. y ? 2 x ? 1的焦点为
2 2

,焦距是

.

*4.说明下列方程各表示什么曲线: (1)

( x ? 3)2 ? y 2 ? ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 ;

2 2 2 2 (2) ( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 5 ;

(3)

( x ? 3)2 ? y 2 ? ( x ? 3)2 ? y 2 ? 6 .

25

答:

二、典型例题:
【例 1】已知 B(?5, 0), C (5, 0) 是 ?ABC 的两个顶点,且 sin B ? sin C ? 迹. 【分析】用正弦定理将三角函数值的等式转化为边的等式. 【解析】

3 sin A ,求顶点 A 的轨 5

动动手:已知点 A(?2, 0) , B(2, 0) ,直线 l1 过点 A ,直线 l2 过点 B ,若 l1 、 l2 的斜 率之积为 【解析】

3 ,求 l 、 l 的交点 P 的轨迹方程. 1 2 4

【例 2】已知方程 kx ? y ? 4(k ? R) ,讨论 k 取不同实数时方程所表示的曲线.
2 2

【分析】这里讲的曲线包括前面所学的直线、圆、椭圆等;对 k 的所有值进行讨论,做到不重不 漏. 【解析】

26

动动手:若 k ? 1 ,则关于 x, y 的方程 (1 ? k ) x2 ? y 2 ? 1 ? k 2 所表示的曲线为( A. 焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 y 轴上的双曲线 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 D. 焦点在 x 轴上的双曲线



y

P

x 0 F

,0) ,动圆 P 过点 F , 【例 3】 如图, 圆 E :( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 点 F (2 且与圆 E 内切,求动圆 P 的圆心 P 的轨迹方程. 【分析】设法证明 | PF | ? | PE | 为常数. 【解析】

E M

三、总结提升:
1.含参数的双曲线方程的讨论,要以双曲线的标准方程为依据,在形如
2 x2 ? y ? 1 的双曲线方 m n

程中,有 mn ? 0 . 2. 在求例 3 这种类型的轨迹方程时,要注意双曲线的定义的使用;并把此类问题与椭圆中的同 类型问题结合起来. 四、反馈练习: 1.下列方程可以表示双曲线的是 ( )
2 x2 ? y ? 1 8 m2 2 x2 ? y ? 1 C. 2 | m | 2m 2

A.

2 x2 ? y ? 1 4 m 2 x2 ? y ? 1 D. |m| 2|m|

B.

2. 若方程 kx ? (k ? 2) y ? k 表示双曲线,则 k 的取值范围是
2 2





A. k ? ?2

B. k ? ?2

C.

?2 ? k ? 0

D. k ? 0

27

3.方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 ? 所在的象限是 ( sin ? cos?
C.第三象限 D.第四象限



A.第一象限 B.第二象限

4. 分别过点 A(?1, 0) 和 B(1, 0) 的两直线的斜率之积为 1 ,则这两直线的交点 P 的轨迹方程为 A. x 2 ? y 2 ? 1 B. x 2 ? y 2 ? 1 C. x ?
2

y2 ?1 2

D. y 2 ? x 2 ? 1

5.相距 1400 m 的两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ,已知声速是 340m / s ,建立适当坐 标系,求出炮弹爆炸点所在的曲线方程. 【解析】

五、学后反思:

28

东升学校高二数学选修 1-1 学案

16 双曲线的简单几何性质(一)
年级:高二 学科:数学 执笔: 审核: 学习目标: 理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计 双曲线的形状特征. 学习重点:双曲线的几何性质及初步运用 学习难点:双曲线的几何性质的理解掌握 学习过程:

一、课前准备: 阅读教材 P 49 ~ P51 的内容,找出疑惑之处,并思考下列问题: 1.回顾双曲线的定义、标准方程(焦点在分别在 x 、 y 轴上) 、 a , b, c 间的关系? || MF1 | ? | MF2 ||? 2a ( 0 ? 2a ?| F1F2 | )
定义
y
y

M

M

F2 x 0 F1

图象

x F1 0 F2

方程

焦点 a.b.c 的关系 2.写出满足下列条件的双曲线的标准方程: ① a ? 3, b ? 4 ,焦点在 x 轴上;②焦点在 y 轴上,焦距为 8 , a ? 2 ; 答:① ;② 3.前面我们学习了椭圆的哪些几何性质? 答: .

二、新课导学:
(一)探究新知: 双曲线的几何性质: 由椭圆的哪些几何性质出发,类比探究双曲线的几何性质:

29

2 x 2 ? y ? 1 ,讨论它的简单几何性质 a 2 b2 x2 y2 x2 ① 范围:标准方程可变为 2 ? 1 ? 2 ,得知 2 ? 1 ,即 x ? a或x ? ?a ; a b a

(1)对于双曲线

双曲线在不等式 所表示的区域内. ② 对称性:如图,双曲线关于 都对称, 是双曲线的对称中心. ③ 顶 点 : 标 准 方 程 中 , 当 y ? 0 时 x ? ?a , 当 x ? 0 时 方 程 无 实 根 ; 曲 线 与 x 轴 的 交 点 A1 (?a,0), A2 (a,0) 叫做双曲线的___ ___. A1 A2 叫做双曲线的实轴,以 B1 (0, ?b), B2 (0, b) 为端 点的线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴. 实轴与虚轴等长的双
y B2

曲线叫___ ___. ④ 离心率 e :焦距与实轴的比值; e ? . 2 2 x y ⑤ 渐近线:双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程 a b 为: . (2)你能否类比焦点在 x 轴的双曲线的几何性质说出双曲线

y x ? 2 ? 1 的几何性质吗? 2 a b
①范围:双曲线在不等式 ②对称性:双曲线关于 ③顶点坐标: ,实轴为 表示的区域内. 都对称, 长 是双曲线的对称中心. ;虚轴为 长 .

2

2

F 1 A1 0

A2

F2

x

B1

④离心率:焦距与实轴的比值; e ? ⑤渐进线方程: (二)典型例题 .



【例 1】求双曲线 9x2 ? 4 y 2 ? 36 的实轴长、虚轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程. 【分析】运用几何性质,求出 a 、 b 、 c . 【解析】

动动手:求双曲线 9 y ?16 x ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 【解析】
2 2

30

【例 2】双曲线与椭圆 【解析】

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程. 27 36

动动手:

x2 y2 ? ? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程( 25 16 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 ? ?1 A. B. 或 16 48 16 48 9 27 x2 y2 x2 y 2 y 2 x2 ? ?1或 ? ?1 ? ?1 C. D. 25 75 16 48 9 27
1.以椭圆



2. (07 四川高考)如果双曲线 的距离是 A. (
4 6 3

x2 y2 ? =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴 4 2

) B.
2 6 3

C. 2 6

D. 2 3

3.双曲线的实轴的长是 10 ,虚轴长是 8 ,焦点在 x 轴上,则标准方程是



三、总结提升: x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的性质(1) : a b (1)范围: x ? a 或 x ? ? a , y ? R . (2)对称性:关于 x 轴、 y 轴、原点对称. 0) . (3)顶点坐标:双曲线和 x 轴有两个交点 A1 (?a,0), A2 (a,0) ,焦点坐标是 (?c, (4)实轴长 2 a 、虚轴长 2 b 、焦距 2 c ;实半轴 a 、虚半轴 b 、半焦距 c .

31

(5)双曲线

x2 y2 a2 a2 ? ? 1 x ? ? 的准线方程是 ,准线到中心的距离为 . c c a2 b2

c c2 b2 (6)离心率是 e ? ? ? 1 ? 2 ( e ? 1 ) e 越大,开口越开阔; e 越小,开口越扁狭. a a2 a
四、反馈练习: 1. 双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为 A. ? 1 B. ?1 C. 2 D. ? 2 ( )

2.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ? 则双曲线的离心率 e 等于( A. 2 ? 1 ) C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 B. 2

?
2



3.若双曲线

x2 y2 3 ? ? 1 渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的焦点坐标是 4 m 2



4.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,求双曲线的方程. 【解析】

5.设 F1 , F2 是双曲线 求 ?F 1PF 2 的面积. 【解析】

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 600 , 9 16

五、学后反思:

32

东升学校高二数学选修 1-1 学案

17

双曲线的简单几何性质(二)

年级:高二 学科:数学 执笔: 审核: 学习目标:理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并 能具体估计双曲线的形状特征. 学习重点:双曲线的几何性质及初步运用. 学习难点:双曲线的几何性质的理解撑握. 学习过程:

一、课前准备:
1.回顾双曲线的范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线; 性质 双 曲 线
2 x2 ? y ? 1 a 2 b2

图像

范围

对称性

顶点

渐近线

离心率

y

0

(a?0, b ? 0)

x

y 2 x2 ? ?1 a 2 b2
(a?0, b ? 0)

y
0

x

2.已知双曲线的方程为 渐近线方程. 答:

x2 y2 ? ? 1 ,写出其顶点和焦点坐标、 实半轴长、虚半轴长、离心率、 9 14

二、新课导学:
【例 1】点 M ( x, y) 到定点 F (5,0) 距离和它到定直线 l : x ? 求点 M 的轨迹方程. 【分析】依题意列出等式,化简即得.

9 5 的距离的比是常数 , 5 3

33

【解析】

动动手:点 M (x, y) 到定点 F (c,0) 距离和它到定直线 l : x ? 点 M 的轨迹方程(设 c ? a ? b ) . 【解析】
2 2 2

a2 c 的距离的比是常数 (c ? a) ,求 c a

思考: (1)该问题中,若 c ? a ,轨迹是什么? (2)若动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离的比为 e , 则 e ? 1 时,轨迹为 ; ; .
2 2

0 ? e ? 1 时,轨迹为
试探究 e ? 1 时的轨迹是什么.

【例2】已知点 P 是等轴双曲线 x ? y ? k (k ? 0) 上的一点,求证: (1)此双曲线的离心率是 2 ,渐近线方程是 y ? ? x ; (2)点 P 到它两个焦点的距离的积等于 P 到双曲线中心 O 的距离的平方. 【证明】

34

动动手:点 A 位于双曲线 心 G 的轨迹方程. 【解析】

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上, F1 , F2 是它的两个焦点,求 ?AF 1F2 的重 a 2 b2

三、总结提升: x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的性质(二) : a b
(7) 双曲线的渐近线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 渐近线方程: a 2 b2 b x2 y2 令 2 ? 2 ? 0 (a ? 0, b ? 0) ,即 y ? ? x ; a a b 2 2 x y x y x2 y2 b ② 渐近线是 2 ? 2 ? 0 (或 y ? ? x ? ? ? 0 )的双曲线设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b a b ( ? ? 0 ), k 是待定系数.
① 双曲线 (8) 等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,即 x2 ? y 2 ? a 2 . 注:①等轴双曲线的渐近线方程为: y ? ? x .②渐近线互相垂直.
2 2 ③等轴双曲线可设为: x ? y ? ? (? ? 0) . ( ? ? 0 时焦点在 x 轴, ? ? 0 时焦点在 y 轴上) 四、反馈练习:

1.焦点为 (0, 6) ,且与双曲线 A.

x2 y 2 ? ?1 12 24

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( ) 2 y 2 x2 y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1 C. ? ? 1 D . ? ?1 B. 12 24 24 12 24 12

35

2.若 0 ? k

? a ,双曲线

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1有 ( 与双曲线 a 2 ? k b2 ? k a 2 b2
C.相同的渐近线



A.相同的虚轴

B.相同的实轴

D. 相同的焦点

3.双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为 3 4 A. B.3 C. 2 3

( D.

B )
3

x2 y 2 *4. (07 高考)设 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A , a b 使 ?F ) 1 ? 3 AF 2 ,则双曲线的离心率为( 1 AF 2 ? 90 且 AF
A.

5 2

B.

10 2

C.

15 2

D. 5

5.直线 y ? x ? 1 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,则 AB ? 2 3



6.求下列双曲线的标准方程:

5 ,虚半轴长为2; 4 (2)与椭圆 x2 ? 5 y 2 ? 5 共焦点且一条渐近线方程为 y ? 3x ? 0 .
(1)离心率为 【解析】

五、学后反思:

36

双曲线测试题 一 填空题 1 平面内到两定点 F1, F2 的距离 双曲线, 这两个定点叫做 (2) 平面内动点 P 到 的点的轨迹是双曲线。 的点的轨迹叫 ,定点间的距离叫 距离与到 是焦点, 。 )

的距离之比等于常数 e( e ?

是准线,常数 e 是双曲

线的 2、双曲线的标准方程(中心在原点的双曲线标准方程) (1)焦点在 x 轴上,
x2 a2
2

?

y2 b2
2

?1

,焦点是

,其中 c ? ,其中 c ?

(2)焦点在 y 轴上, y2 ? x2 ? 1 ,焦点是
a b

3、双曲线的几何性质 方程 范围 对称性 顶点 离心率

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a>0,b>0)

y2 a2

?

x2 b2

? 1 (a>0,b>0)

准线方程 渐近线方 程

x2 y 2 ? ?1的 4.双曲线 9 16
于 ,焦距等于

轴在 x 轴上, ,顶点坐标是

轴在 y 轴上,实轴长等于 ,焦点坐标是

,虚轴长等 准

37

线方程是

,渐近线方程是

,离心率 ,

e?

,若 。

P ( x0 , y0 ) 是双曲线上的点,则 x0 ?
二 选择题
x2 a2 ? y2 b2

y0 ?

1.双曲线

? 1(a ? 0, b ? 0) ,过焦点 F 交双曲线同一支上 A、B 两点的弦 AB 长为 m , 1

另一焦点为 F2 ,则△ ABF2 的周长为 A

( C

)

4a

B

4a ? m

4a ? 2m
)

D

4a ? 2m

3 y ? ? x 2.若双曲线的渐近线方程为 2 ,则其离心率为 (
A
13 2

B

13 3

C

13 4

D

13 13 或 2 3

x2
3.设 P 是双曲线 2 a

?

y2 ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1、 F2 9

分别是双曲线的左、右焦点。若 | PF1 |? 3 ,则 | A 1或5 三 解答题 B 6 C 7

PF2 |

等于 -( D 9

)

1 求双曲线 9x2 ? 4 y 2 ? 36 的实轴长、虚轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程.

2

已知一椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为 2

13 ,一双曲线与此椭圆有公共

焦点,且半实轴的长比椭圆的半长轴的长小 4,两曲线离心率为 方程.

3 : 7 ,求椭圆和双曲线的

38

椭圆、双曲线方程测试题 一 选择题

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( B ) 1.焦点为 (0, 6) ,且与双曲线 2 2 2 2 x y y x2 y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D . ? ?1 A. 12 24 12 24 24 12 24 12
x2 y2 ? ? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程( 25 16 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ? 1或 ? ?1 A. B. 16 48 16 48 9 27 x2 y2 x2 y 2 y 2 x2 ? ?1或 ? ?1 ? ?1 C. D. 25 75 16 48 9 27
2.以椭圆 3. 双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为 A. ? 1 B. ?1 C. 2 D. ? 2 ( )



4.双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为 3 4 A. B.3 C. 2 3

( D.

B )
3

5. 若方程 kx2 ? (k ? 2) y 2 ? k 表示双曲线,则 k 的取值范围是 ( C ) A. k ? ?2 B. k ? ?2 C. ?2 ? k ? 0 D. k ? 0 二 填空题
2 2

1 方程 mx ? ny ? 1 都表示椭圆,m、n 满足的条件是

2 椭圆 mx ? ny ? mn (m ? n ? 0) 的焦点是
2 2

.

3

方程 kx ? 3 y ? 1 的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的范围是
2 2

4.直线 y ? x ? 1 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,则 AB = 4 6 . 2 3

39



解答题

1.求下列双曲线的标准方程:

5 ,虚半轴长为2; 4 (2)与椭圆 x2 ? 5 y 2 ? 5 共焦点且一条渐近线方程为 y ? 3x ? 0 .
(1)离心率为

y 2 x2 2.在双曲线 12 ? 13 ? 1 的一支上有三个不同的点 A(x1,y1) 、B( 26 ,6) 、C(x2,y2)
与焦点 F(0,5)的距离成等差数列,求 y1+ y2 的值

40

东升学校高二数学选修 1-1 学案

抛物线及其标准方程
年级:高二 教材:选修 1-1 执笔: 审核: 学习目标: 1.掌握抛物线的定义及其标准方程; 2.会根据抛物线的标准方程,求焦点的坐标、准线方程,能画出图形; 3.会根据抛物线的焦点坐标或准线方程或用待定系数法求抛物线的标准方程. 一、课前准备 我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征:都可以看作是,在平面内在平面内与一个定点 的距离和一条定直线的距离的比是常数 e 的点的轨迹.(其中定点不在定直线上) (1)当 0 ? e ? 1 时,是椭圆; (2)当 e ? 1 时,是双曲线; 那么,当 e ? 1 时,它又是什么曲线?(预习课本 56-59 页) 二、新课导学 H (一)师生互动 M 问题探究 1: 当 e ? 1 时,即 MF ? MH ,点 M 的轨迹是什么? 可以发现,点 M 随着 H 运动的过程中,始终有 MF ? MH , 即点 M 与点 F 和定直线 l 的距离相等. 点 M 生成的轨迹是如图所示的 形状. 我们把这样的一条曲线叫做抛物线. 抛物线的定义:课本 65 页 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹 叫 .定点 F 叫做抛物线的 ;定直线 l 叫抛
H
F

y

M

物线的 问题探究 2: 如何建立适当的直角坐标系求抛物线方程? 设点 F 到定直线 M 的距离为 p . 第一步: 建系设点:

0

F

x

第二步:建立等量关系:

第三步:化简:

41

把方程 y 2 ? 2 px( p ? 0) 叫做抛物线的标准方程. 其中 p 为正常数, 表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p 的几何意义是:焦点到准线的距离. 焦点坐标为 (

p p ,0) .准线方程为 x ? ? . 2 2
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

问题探究 3: 完成下列表格

四种抛物线的对比: p 的意义:抛物线的焦点到准线的距离; 方程的特点: (1)左边是二次式; (2)右边是一次式. (二)典型例题 【例 1】 (1)已知抛物线的标准方程是 y ? 6 x ,求它的焦点坐标及准线方程;
2

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F (0, ?2) ,求抛物线的标准方程; (3)已知抛物线的准线方程为 x ? 1 ,求抛物线的标准方程; (4)求过点 A(3, 2) 的抛物线的标准方程. 【解析】

42

动动手: 1. 根据下列条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是 F (3, 0) ; (2)准线方程是 x ? 答案:

1; (3)焦点到准线的距离是 2 . 4

y

【例 2 】 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示. 卫星波束呈近似平行 状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处. 已知接收 天线的径口(直径)为 4.8m,深度为 0.5m. 建立适当的坐标系,求抛 物线的标准方程和焦点坐标. 【解析】
0 C

A

x

动动手: 2.将下列抛物线的焦点坐标和准线方程填入表中: (1) y ? 20 x
2

(2) x ?
2

1y 2

(3) 2 y ? 5x ? 0
2

(4)

B

x2 ? 8 y ? 0
焦点坐标 (1) (2) (3) (4) 准线方程

三、总结提升
1. 抛物线的定义: 2. 抛物线的标准方程有四种不同的形式:

43

每一对焦点和准线对应一种形式. 3. p 的几何意义是:焦点到准线的距离. 4. 标准方程中 p 前面的正负号决定抛物线的开口方向. 5. 根据抛物线的焦点坐标或准线方程或用待定系数法求抛物线的标准方程.

四、反馈练习 1.抛物线 y 2 ? x 的焦点到准线的距离是 1 1 A. B. 1 C. 2 D. 2 4
2.抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点坐标是 A. (0, )

( )

( ) C. (0,

a 4

B. (0,?

1 ) 4a

1) 4a
.

D. (

1 ,0 ) 4a

3.焦点 F ?3,0? 的抛物线的标准方程 4.顶点在原点,准线方程 y ? 2 的抛物线方程是

.

5.焦点到准线的距离为

2 的抛物线标准方程是 3

.

6.焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上的抛物线标准方程是

.

7.求抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 M 到它的焦点的距离是 5 , 则点 M 到准线的距离是 横坐标是 .

; 点M 的

五、学后反思

44

东升学校高二数学选修 1-1 学案

抛物线的几何性质(一)
年级:高二 教材:选修 1-1 执笔: 审核: 学习目标:1.掌握抛物线的几何性质:范围,对称轴,定点; 2.进一步掌握根据已知条件特别是利用待定系数法求抛物线的方程; 3.解决简单的问题,强化数形结合的思想,类比思想. 一、课前准备 预习课本 P60 ~ P63 的内容,并思考以下问题 (一) 圆锥曲线的统一定义 平面内,到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离比为常数 e 的点的轨迹, 当 0 ? e ? 1 时,是椭圆;当 e ? 1 时,是双曲线;当 e ? 1 时,是抛物线. (二) 抛物线的标准方程 开口向右抛物线的标准方程为 开口向抛物线的左标准方程为 开口向上抛物线的标准方程为 开口向下抛物线的标准方程为 二、新课导学 (一)体验探究 如何研究抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的几何性质?
2

; ; ; .
y

1.范围:由抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 有 2 px ? y 2 ? 0 且 p ? 0 则

x ? 0 ,所以抛物线的范围为

H

.
0 F

M

2.对称性:图像关于

轴对称.

x

3.顶点:顶点坐标为

.

4.离心率 e :抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率 . e ? ___ ___.

| AB |? 2 p ,2 p 越 5.过焦点而垂直于对称轴的弦 AB , 称为抛物线的通径, 大,抛物线张口越大.
6.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.

y A

MF ?

p ? x (其中 x0 是 M 点的横坐标). 2 0

0 B

x

45

归纳: (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线; (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; (4)抛物线的离心率 e 是确定的为1. (二)典型例题 【例 1】已知抛物线关于坐标轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (?2, ?2 2) ,求它的 标准方程. 【分析】考虑焦点在不同坐标轴的情况. 【解析】

动动手: 1. 已知点 A(?2,3) 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离是 5,则 P ? .

【例 2】斜率为 2 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 A 、 B 两点,求线段 AB 的长. 【分析】法一:直接求两点坐标,计算弦长; 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长; 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长. 【解析】

46

小结:此题的“方法二”较好的利用了两点间距离公式与一元二次方程的根与系数的关系,使得 运算得以简化. 一般地,直线 y ? kx ? b 被曲线 C 所截得的弦长,可由下面的公式求得:

d ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 (其中 x1 、 x2 是弦的两端点的横坐标) .

动动手: 1 .抛物线 y 2 ? 4 x 的弦 AB 垂直 x 轴,若 | AB |? 4 3 ,则焦点到直线 AB 的距离为 .

2 .直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是
2

.

三、总结提升
1. 掌握抛物线的几种不同的标准方程的形式,注意抛物线的离心率为常数 1 ; 2. 运用抛物线定义解题时,关键是把握好 p 的几何意义和焦点在不同坐标轴上的情况; 3. 在解有关弦长的问题时,注意解方程组和韦达定理的应用.

四、反馈练习: 2 1. 抛物线 y ? 2 x 的通径长是 ( ) 1 A. 1 B. C. 2 D. 2 2
2. 过抛物线 y ? 2 x 的焦点作倾斜角为 45 的弦 AB ,则 AB 的长度是 (
2



A. 3

B. 4

C. 2

D. 2 2

2 3. 抛物线 y ? 2 x 截直线 y ? x ? b 所得弦长为 4 ,则 b ?





A. 0

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?1

47

*4. 点 A 的坐标为 (3,1) ,若 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的一动点, F 是抛物线的焦点,则 PA ? PF 的最小值为 A. 3 ( ) B. 4 C. 5 D. 6

5. 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上,求这个三角 形的边长. 【解析】

6. 直线 y ? x ? 2 与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A 、 B 两点,求证: OA ? OB . 【证明】

五、学后反思

48

东升学校高二数学选修 1-1 学案

抛物线的几何性质(二)
年级:高二 教材:选修 1-1 执笔: 审核: 学习目标:1. 会判断直线与抛物线的位置关系; 2. 运用抛物线的几何性质解决简单的实际问题. 一.课前准备 方 程 图 形 范 围 对 称 性 焦 点 二、新课导学: (一):直线与抛物线的位置关系
2 1、判断直线 y ? x ? 2 与抛物线 y ? 4 x 的位置关系. 2 2、判断直线 y ? x ? 1 与抛物线 y ? 4 x 的位置关系.

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

x2 ? ?2 py( p ? 0)

. . .

3、判断直线 y ? 1 与抛物线 y ? 4 x 的位置关系.
2

(二)典型例题 例 1 已知抛物线的方程为 y ? 4 x ,直线 l 过定点 P(?2,1) ,斜率为 k .
2 2 (1) k 为何值时直线 l 与抛物线 y ? 4 x 只有一个公共点; 2 (2) k 为何值时直线 l 与抛物线 y ? 4 x 有两个公共点; 2 (3) k 为何值时直线 l 与抛物线 y ? 4 x 没有有公共点?

【解析】

49

动动手:过点 M (0,1) 且和抛物线 C : y 2 ? 4 x 仅有一个公共点的直线有三条,它们的方程分别 是 ; ; .

例 2 图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米. 水下降 1 米后,水面 宽多少?若在水面上有一宽为 2 米,,高为 1.6 米的船只,能否安全通过拱桥? 【分析】以拱顶为坐标原点,垂直于水面的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,求出抛物线的标 准方程. (1)问题转化为已知 y 求 x ; (2)问题转化为已知 x 求 y . 【解析】

【例 3】已知直线 l 的斜率为 k ,且经过点 P(2, 0) ,抛物线 C : y ? ?4( x ? 1) ,直线 l 与抛物线
2

C 有两个不同的交点 A 、 B . (1)求 k 的取值范围; (2)直线 l 的斜率 k 为何值时, A 、 B 与抛物线 C 的焦点的连线互相垂直?
【解析】

50

三、总结提升 解决直线与抛物线的关系问题:方程组思想,韦达定理及分类讨论的思想.
判断直线与抛物线的位置关系 把直线方程代入抛物线方程

得一元一次方程 直线与抛物线的对称轴平行 相交 (一 个 交 点 )

得一元二次方程 计算判别式

>0

<0

=0

相交

相离

相切

四、反馈练习: 1.抛物线 6 x ? ay ? 0 准线方程是 x ? ?
2

A. ? 4

B. 4

C. ?2

3 ,则 a 为 4





D. 2

51

2.动圆 M 过点 F (0, 2) 且与直线 y ? ?2 相切,则圆心 M 的轨迹方程是 ( A. y 2 ? ?8x B. y 2 ? 8 x C. x2 ? ?8 y D. x 2 ? 8 y



3. 抛 物 线 y 2 ? 2 p x 上 一 点 M 与 焦 点 F 的 距 离 | FM |? ( p ? 0) 是 .

3 p ,则点 M 的坐标 2

4. 直线 ax ? y ? 4 ? 0 与抛物线 y ? 2 px 的一个公共点是 (1, 2) , 则抛物线的焦点到此直线的距离
2

等于

.

*5、已知直线 l 与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 交于 A 、 B 两点,且 OA ? OB , OD ? l 交 l 于点 D ,
2

点 D 的坐标为 (2,1) ,求 p 的值. 【解析】

五、学后反思

52


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