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【创新方案】2015届高考数学二轮复习专题讲解课件:专题6 第1讲 算法、复数、推理与证明(选择、填空题型)


创新方案系列丛书

第一讲

算法、复数、推理与证明
(选择、填空题型)
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1.(2014· 福建高考)阅读如图所示的程序框图,运行相 应的程序,输出的n的值为 ( )

A. 1

B.2

r />
C.3

D. 4
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解析:选B

当n=1时,21>12成立,当n=2时,22>22

不成立,所以输出n=2,故选B.

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2.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图,若输入 的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=( )

20 A. 3

7 B.2

16 C. 5

15 D. 8
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3 3 第一次循环:M= 2 ,a=2,b= 2 ,n=

解析:选D

8 3 8 2;第二次循环:M= 3 ,a= 2 ,b= 3 ,n=3;第三次循 15 8 15 15 环:M= 8 ,a=3,b= 8 ,n=4,则输出M= 8 ,选D.

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3.(2014· 山东高考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a -i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=( A.5-4i
解析:选D (2+i)2=3+4i.

) D.3+4i

B.5+4i

C.3-4i

根据已知得a=2,b=1,所以(a+bi)2=

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4.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设复数z1,z2在复平面内的 对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i
解析:选A 由题意可知z2=-2+i,所以z1z2=(2+

)

i)· (-2+i)=i2-4=-5.

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5.(2014· 陕西高考)观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数 (F) 5 6 6 顶点 数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 ________.
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解析:三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2; 立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F+V-E=2. 答案:F+V-E=2

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1.程序框图的逻辑结构 顺序结构、条件结构和循环结构. 2.复数z=a+bi(a,b∈R)的分类 (1)z是实数?b=0; (2)z是虚数?b≠0; (3)z是纯虚数?a=0,且b≠0. 3.共轭复数 复数a+bi(a,b∈R)的共轭复数是a-bi(a,b∈R).
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4.复数的四则运算法则 (1)(a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i; (2)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i; ac+bd bc-ad (3)(a+bi)÷ (c+di)= 2 2+ 2 2 i(a,b,c,d∈R, c +d c +d c+di≠0).

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5.两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程: 实验、观察 ―→ 概括、推广 ―→ 猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程: 实验、观察 ―→ 联想、类推 ―→ 猜测新的结论

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热点一

算法问题 (1)判断程序框图的功能,如T1; (2)根据程序框图求解输出结果问题,如

命题角度

T2; (3)根据程序框图填写或选取判断条件,

如T3.

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1.阅读如图所示的程序框图,若输入的k=10,则该算法 的功能是( )

A.计算数列{2n-1}的前10项和 B.计算数列{2n-1}的前9项和 C.计算数列{2n-1}的前10项和 D.计算数列{2n-1}的前9项和

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2.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图,如果 输入的x,t均为2,则输出的S=( )

A. 4

B.5

C. 6

D. 7

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3.程序框图如图,如果程序运行的结果为S=132,那 么判断框中可填入( )

A.k≤10 C.k≤11

B.k≥10 D.k≥11

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[自主解答] 1.由程序框图可知:输出S=1+2+22+…

+29,所以该算法的功能是计算数列{2n-1}的前10项和. 2.在循环体部分的运算为:第一步,M=2,S=5,k =2;第二步,M=2,S=7,k=3.故输出结果为7. 3.输出的S值是一个逐次累积的结果,第一次运行S= 12,k=11;第二次运行S=132,k=10,如果此时输出结 果,则判断框中的k的最大值是10. [答案] 1.A 2.D 3.A

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识别程序框图应注意的问题 对于循环结构的框图的识图问题,应明确循环结构的 框图的特征,明确框图中变量的变化特点,根据框图中的 条件决定是否执行框图中的运算,从而确定程序运行的结 果.

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热点二 复数的概念与运算

(1)考查复数的概念及运算,如T1;

命题角度

(2)考查复数的几何意义,如T2; (3)考查复数代数形式的四则运算,如 T3.

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1.(2014· 江西高考) z 是z的共轭复数,若z+ z =2,(z- z )i=2(i为虚数单位),则z=( )

A.1+i C.-1+i

B.-1-i D.1-i

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2.(2014· 蒲阳模拟)如图,在复平面内,复数z1,z2对 应的向量分别是 A. 2 C. 2 2 ,则|z1+z2|=( B.3 D. 3 3
3

)

(

2i 3.(2014· 安徽高考)设 i是虚数单位,复数i + = 1+i ) A. - i B.i C.-1 D. 1

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[自主解答] 1.设z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,又z + z =2,即(a+bi)+(a-bi)=2,所以2a=2,解得a=1.又 (z- z )i=2,即[(a+bi)-(a-bi)]· i=2,所以bi2=1,解得b =-1.所以z=1-i. 2.由图知, =(-2,-1), =(0,1),根据复数 的几何意义可知,z1=-2-i,z2=i,所以z1+z2=-2,从 而|z1+z2|=2.故选A. 2i 3 3.i + =-i+i(1-i)=1. 1+i [答案] 1.D 2.A 3.D

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题1中条件不变, z 对应的点在第几象限?

解:由例题可知,z=1-i,∴ z =1+i,因此 z 对应的点在 第一象限内.

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复数运算的技巧 复数代数形式的运算类似于多项式的运算,加法类似 于合并同类项,乘法类似于多项式乘多项式,除法类似于 分母有理化(实数化),分子、分母同乘分母的共轭复数.

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热点三

推理与证明

命题角度

(1)归纳等式或不等式,如T1;

(2)类比过程或类比结论,如T2.

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x 1.(2014· 陕西高考)已知f(x)= ,x≥0,若 f1(x)= 1+x f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+, 则f2014(x)的表达式 为 . 2.(2014· 贵州六校联考)在平面几何中:△ABC的∠C AC AE 的内角平分线CE分AB所成线段的比为BC=BE.把这个 结论类比到空间:在三棱锥ABCD中(如图)面DEC平分 二面角ACDB且与AB相交于E,则得到类比的结论是 ________________.

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x ? x ? 1+x x ? ? [自主解答] 1.由f1(x)= ?f (x)=f ?1+x? = x 1+x 2 ? ? 1+ 1+x x 1+2x x x = ;又可得f3(x)=f(f2(x))= = ,故可猜 x 1+2x 1+3x 1+ 1+2x x 想f2 014(x)= . 1+2 014x 2.由类比推理的概念可知,平面中线段的比可转化为 AE S△ACD 空间中面积的比,由此可得:EB= . S△BCD
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合情推理的解题思路 (1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把 它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结 论. (2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推 理过程,然后通过类比,推导出类比对象的性质. (3)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.

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热点四 程序框图与其他数学知识的交汇

程序框图是高考考查算法最为重要的考查 内容,常与其他数学知识交汇命题,多以 选择题、填空题形式出现,属中、低档题. (1)程序框图与函数交汇命题; 命题角度 (2)程序框图与数列交汇命题; (3)程序框图与线性规划交汇命题; (4)程序框图与三角函数交汇命题; (5)程序框图与在概率统计交汇命题.

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[例 ] (1)(2014· 湖南高考)执行如图所示的程序框图,如 )

果输入的t∈[-2,2],则输出的S属于(

A.[-6,-2] C.[-4,5]

B.[-5,-1] D.[-3,6]

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(2)(2014· 陕西高考)根据如图所示的框图,对大于2的 整数N,输出的数列的通项公式是( )

A.an=2n B.an=2(n-1) C.an=2n D.an=2n-1
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(3)(2014· 四川高考)执行如图所示的程序框图,如果输 入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为( )

A. 0 C. 2

B.1 D.3
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(4)(2014· 大连模拟)执行如图所示的程序框图,若输入 的x∈[0,π],则输出y的取值范围是( )

A.[0,1]
? C.? ?- ? ? 2 ? , 1 ? 2 ?

? B.? ? ?

? 2 ? , 1 ? 2 ?

D.[-1,1]
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[师生共研] (1)由程序框图可得S= 其值域为(-2,6]∪[-3,

? ? 2 ?2t +1-3,t∈[-2,0?, ? ? ? ?t-3,t∈[0,2],

-1]=[-3,6],故选D. (2)由程序框图可知:a1=2×1=2,a2=2×2=4,a3= 2×4=8,a4=2×8=16,归纳可得:an=2n,故选C. (3)当
?x≥0, ? ? ?y≥0, ? ?x+y≤1 ?

时,由线性规划的图解法知,目标函

数S=2x+y的最大值为2,否则,S的值为1.所以输出的S的 最大值为2.
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(4)根据条件结构的条件,可知y为sin x,cos x的最大 值,在同一坐标系中,画出y=sin x,y=cos x的图象,可 知y的取值范围为[0,1],故选A. [答案] (1)D (2)C (3)C (4)A

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解决算法的交汇性问题的方法 (1)读懂程序框图、明确交汇知识; (2)根据给出问题与程序框图处理问题; (3)注意框图中结构的判断.

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1.执行如图所示的程序框图,输出的k值是( )

A. 4 C. 6

B.5 D. 7
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解析:选B 开始将n=5代进框图,5为奇数.∴n= n 3×5+1=16,此时k=1.此后n为偶数,则代入n= 2 中,因 此,当k=1时,n=16;当k=2时,n=8;当k=3时,n= 4;当k=4时,n=2;当k=5时,n=1,输出k=5.故选B.

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2.图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩 茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为A1,A2,…, A14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一 个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是( )

图(1)

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图(2) A. 7 C. 9 B.8 D.10

解析:选D 从算法流程图可知,该图是统计成绩大于 或等于90分的考试次数.从茎叶图可知输出的结果为10.
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