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2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及详细参考答案


年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案 2011 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案
(考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.

1. 设数列 {an } 满足 a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, an = an?1 + an

? 2 ? an ?3 , n = 4,5,... , 则 a2011 = .答案:8041.

由题意, a 2 ? a1 = 3 , a 3 ? a 2 = 5 ,且 an ? an ?1 = an ? 2 ? an ?3 (n ≥ 4). ∴ a 2 n ? a 2 n ?1 = 3 , a 2 n +1 ? a 2 n = 5(n ∈ N * ) .∴ a 2 n +1 ? a 2 n ?1 = 8 , ∴ a2011 = ∑ (a2 k +1 ? a2 k ?1 ) + a1 = 1005 × 8 + 1 = 8041 .
k =1 1005

2. 不等式 sin 2 x + a cos x + a 2 ≥ 1 + cos x 对一切 x ∈ R 成立,则实数 a 的取值

范围为

.答案: a ≥ 1 或 a ≤ ?2 .

由题意, a cos x + a 2 ≥ cos 2 x + cos x ,即 cos 2 x + (1 ? a ) cos x ? a 2 ≤ 0 对 ?x ∈ R 成立.令 f ( t ) = t 2 + (1 ? a ) t ? a 2 (?1 ≤ t = cos x ≤ 1).
2 ? f (1) ≤ 0, ? ? ?1 + (1 ? a ) ? a ≤ 0, ?? ∴? 解得 a ≤ ?2或a ≥ 1 . 2 ? f ( ?1) ≤ 0. ?1 ? (1 ? a ) ? a ≤ 0. ? ?

3. 已知定义在正整数集上的函数 f ( n) 满足以下条件: (1) f ( m + n ) = f ( m ) + f ( n ) + mn ,其中 m, n 为正整数;
(2) f (3) = 6 .则 f (2011) =

.答案:2023066. ① ② ③

在(1)中,令 n = 1 得, f (m + 1) = f (m ) + f (1) + m . 令 m = n = 1 得, f (2) = 2 f (1) + 1 .

令 m = 2, n = 1 ,并利用(2)得, 6 = f ( 3) = f ( 2 ) + f (1) + 2 . 由③②得, f (1) = 1, f ( 2 ) = 3 .代入①得, f ( m + 1) ? f ( m ) = m + 1. ∴ f (2011) = ∑ [ f (k + 1) ? f (k )] + f (1) = ∑ (k + 1) + 1
k =1 k =1

2010

2010

= 1 + 2 + ? ? ? + 2011 =

2011 × 2012 = 2023066 . 2
1

4. 方程 L x ? 1 ? 2 L ? 2011 = 2011 一共有 方程 x ? 1 = 1 的所有解为 x = 0或 ± 2 ; 方程 x ? 1 ? 2 = 2 的所有解为 x = ±1或 ± 5 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 3 = 3 的所有解为 x = ±3或 ± 9 ; 方程 方程

个解.答案:4.

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 = 4 的所有解为 x = ±6或 ± 14 ;
x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 = 5 的所有解为 x = ±10或 ± 20 ;

一般地,方程 L x ? 1 ? 2 L ? n = n( n ≥ 2) 的所有解为
x=± n(n ? 1) n(n + 3) 或± . 2 2

5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体, 则该正方 体的棱长最大等于 .答案:11 厘米.

设正方体的棱长为 a ,因为正方体的对角线长不大于球的直径, 所以, 3a ≤ 20(a ∈ N * ) ,即 a ≤
20 3(a ∈ N * ) ,∴ a ≤ 11 ,即 amax = 11 . 3
2

6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y = x (? 2 ≤ x ≤ 2 ) 绕 y 轴旋转而构成的.请

问能接触到杯底的球的半径最大是

.答案:

1 2

.

过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为 r ,

? x 2 + ( y ? r )2 = r 2 ? 由? ? x 2 (1 ? 2r + x 2 ) = 0 . 2 y=x ? ?
1 由题意,方程 x 2 + 1 ? 2r = 0 没有非零实数解.∴ x 2 = 2r ? 1 ≤ 0 ? r ≤ . 2 1 1 1 7. 计算: + + ... + = _____ . sin 45° sin 46° sin 46° sin 47° sin 89° sin 90° 1 答案: . sin1°

2

1 1 sin ( ( n + 1) ° ? n° ) = ? sin n° sin ( n + 1) ° sin1° sin n° sin ( n + 1) ° = =

1 sin ( n + 1) ° cos n° ? cos ( n + 1) ° sin n° ? sin1° sin n° sin ( n + 1) °

1 × ?cot n° ? cot ( n + 1) °? . ? sin1° ?
1 1

原式 =

k = 45

∑ sin1° ( cot k ° ? cot(k + 1)°) = sin1° ( cot 45° ? cot 90°) = sin1° .

89

1

8. 10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子, 要求每种颜色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的 发帽子的方法共有 种.答案:1530.

推广到一般情形,设 n 个学生按题设方式排列的方法数为 a n , 则 a 3 = 6 , a 4 = 18 , a n+1 = 2a n + 6(n ≥ 3) . 从而, a n+1 + 6 = 2(a n + 6 ) ? a n = (a3 + 6 ) × 2 n ?3 ? 6 .∴ a10 = 12 × 2 7 ? 6 = 1530 .
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1. (本小题满分 16 分)若 n 是大于 2 的正整数,求

1 1 1 + + ... + 的最小值. n +1 n + 2 2n

1 1 1 37 解:当 n = 3 时, + + = . 4 5 6 60 1 1 1 37 假设 n = k (k ≥ 3) 时, + + ... + ≥ . k +1 k + 2 2k 60 1 1 1 1 1 则当 n = k + 1 时, + + ... + + + k +2 k +3 2k 2 k + 1 2 k + 2 1 1 1 1 1 1 = + + ... + + + ? k +1 k + 2 2k 2k + 1 2k + 2 k + 1 1 1 1 1 1 = + + ... + + ? k +1 k + 2 2k 2k + 1 2k + 2 1 1 1 37 > + + ... + ≥ . k +1 k + 2 2k 60 37 因此,所求最小值为 . 60 2. (本小题满分 20 分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把 线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少? 解:令 a, b 和 c 为一个三角形的三边,则 a+b>c, b+c>a 和 c+a>b.不妨设开

始时的线段为区间[0, 1],并且随机选取的两点为 x 和 y ,其中 0<x<y<1.

3

? x + ( y ? x) > 1 ? y ? ? ? x + (1 ? y ) > y ? x ? ? ? ?( y ? x ) + (1 ? y ) > x ?

?y>

1 2

, 1 2 ,

?y?x< ?x < 1 2 .

如下图所示, “成功”的区域是由不等式 y >

1 2

,y?x<

1 2

和 x<

1 2

围成的

1 1 三角形,面积为 ,而整个区域的面积为 (因为 y>x). 2 8

1? ? × ? 1 2? 2 2? ∴ P(成功) = = . 1 2

1?1

(1 × 1)

4

答:得到的三条新线段能构成三角形的概率是

1 . 4

3. (本小题满分 20 分)数列 a0 , a1 ,..., an ,... 满足 a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0 ,当 n ≥ 3 时

有 an =

2 n (a0 + a1 + ... + an ? 2 ) . 证明:对所有整数 n ≥ 3 ,有 an > . n ?1 10

证法 1: 证明: 由已知得 (n ? 1)an = 2(a0 + a1 + ... + an ? 2 ) , 在上式中以 n + 1 代替 n 得 到 nan +1 = 2(a0 + a1 + ... + an ?1 ) ,两式相减得 nan +1 ? (n ? 1)an = 2an ?1 ,此式对所有整 数 n ≥ 3 均成立.设 bn =
an ,则 n(n + 3)bn +1 = (n ? 1)(n + 2)bn + 2(n + 1)bn ?1. n+2

由 于 n(n + 3) = (n ? 1)(n + 2) + 2(n + 1) , 故 bn +1 应 在 bn 与 bn ?1 之 间 . 由 于

4

2 1 1 1 1 , 故 b3 = , b4 = . 因 此 当 n ≥ 3 时 , 均 有 bn ∈ [ , ] , 故 3 5 9 9 5 n+2 n an = (n + 2)bn ≥ > ,证毕. 9 10 a3 = 1, a4 =
证法 2:证明:用归纳法证明加强命题:an ≥ 1° 当 n = 3, 4 时, a3 = 1 ≥ n+2 (n ≥ 3). 10

5 2 6 ,a = ≥ .结论成立. 10 4 3 10

2° 假设当 n-1 时结论成立,当 n + 1 时, an + 1 = = > = = > 2 (a + a1 + … + an-1) n 0 2 (1 + a3 + a4 + … + an-1) n 2 5 6 n+1 (1 + + + … + ) n 10 10 10 (n + 6)(n-3) 2 (1 + ) 20 n 2 n 2 + 3n + 2 n 20 n+3 . 10 n+2 (n ≥ 3) 成立. 10

所以结论对 n + 1 时亦成立. 由归纳法原理及 1°, 2° 可知 an ≥ 因此 an ≥

n+2 n > (n ≥ 3) 成立. 10 10

从而本题得证.

5


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