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离散型随机变量均值的探究教学


2014 年第 1 期                  中学数学月刊                · 2 5 ·

离散型随机变量均值的探究教学
汪本旺   周月琴   ( 浙江省安吉孝丰高级中学   3 1 3301 ) 函数等    离散型随机变量的均值 相 对 于 方 程 、 高中核心知识而言 , 与其关联的知识不是很多 , 因 此, 在中

学教材中显得比较 “ 孤立 ” 然而这一知识 . 点内涵丰富 , 在 概 率 论、 统 计 学、 金融学等领域有 着广泛的应用 . 高中学习离散型随机变量的均值 , 主要是掌握随机变 量 的 均 值 与 算 术 平 均 值 、 样本 均值的区别 , 会计算离散型随机变量的均值 , 并应 用它去解决生活中的实际问题 . 人 教 A 版选修 2 ?3 离散型随机变量的均值内 容的学习 , 是探究式教学的好素材 . 教学设计的共 识是 : 不能直接告诉学生均值计算公式 , 而是在教 师的引导下 , 通过比较及合情推理归纳出结论 , 获 得均值计算公式 . 教学设计的难点是如何突破学 生的探究难点 — — — 概率的介入 ( 离散型随机变量 的均值是概率意义下的均值 )以 及 随 机 变 量 的 均 值与算术平均值 、 样本均值的区别 . 笔者结合自己 的两次和同事一次 课 堂 教 学 实 践 , 从概率论与数 理统计的发展史和 学 生 数 学 学 习 的 认 知 角 度 , 探 讨离散型 随 机 变 量 均 值 的 探 究 教 学 中 的 四 个 问 题: 如 何 引 起 学 生 对 新 知 识 的 共 鸣? 适 合 学 生 探 究的 起 点 是 什 么? 如 何 处 理 学 生 遇 到 的 探 究 难 点?探究式教学的思考 . 启动学生思维 1   创设情境 , 任何抽象的理论知识或方法的学习都要从学 习概念开始 , 良好 的 概 念 引 入 方 法 对 后 续 的 教 学 有极大的帮 助 . 数 学 概 念 一 般 用 精 炼、 严 密、 抽象 的数学语言来表述 , 理解起来也就相对较难 . 这也 反映出理解数学概念对于教学的重要性 . 所以 , 数 学教师需要熟练掌 握 数 学 概 念 的 引 入 方 法 . 数学 概念的有效引入 , 可以将学生思维带到某一概念 的相关数学情境中 , 能有效地加深学生对数学概 念理解与掌 握 . 据 此, 笔 者 采 用 游 戏 引 入. 以下是 笔者的教学片段 . 师: 同学们 , 我们来看下面一个游戏 : 现有甲 、 乙两个实力相当的赌徒 , 同时分别掷骰子 , 各押赌 注 32 个金币 , 规定谁先掷出 3 次 “ 6 点 ”就算赢对 方. 赌博进行了一段时间 , 甲赌徒已掷出了 2 次 “ 6 点” ,乙赌徒也掷出了 1 次 “ , 此时发生意外 , 6 点” 赌博中断 . 两人应该怎么分这 64 个金币呢? 学生小 组 间 激 烈 地 争 论 着 这 个 问 题 , 各执一 词, 情 绪 高 涨. 这时笔者已经将学生从“ 要 我 学” 被动的学习 情 绪 激 发 到 “ 我 要 学 ”的 积 极 主 动 的 学习欲望上来 , 学生能够自觉地参与到课堂教学 的过程中去 . 美国心理学家布鲁纳认为教学过程是一种提 出问题 、 解决问题的持续不断的活动 . 本节课的探 究问题是离散型随 机 变 量 的 均 值 如 何 表 示 , 随机 变量的均值与算术 平 均 值 、 样本均值的区别以及 两个随机变量具有线性关系时它们的均值具有什 么关系? 其 中 均 值 公 式 中 概 率 的 介 入 、 三种均值 的区别是探究的难 点 . 笔者和同事在离散型随机 变量均值的探究教学的一次教学中分别采用如下 两种设计思路 : 设计 1   探究的起点是给出计算样本均值在 生活中的例子 , 帮助学生回忆联想样本均值公式 : 一般 地 , 若 取 值 为 狓1 , …, 狓2 , 狓 狀 的频率分别为 …, 则其平均数为 狓1犳1 +狓2犳2 + … + 犳1 , 犳2 , 犳 狀, 然后通过类比迁移到离散型随机变量的 均 狓 犳狀 , 狀 值上 . 接着给出掷一枚质地均匀的骰子 , 通过这个 例子以及计算样本 均 值 的 引 例 , 让学生比较三者 间的区别 . 设计 2   探究的起点 是 依 据 人 教 版 选 修 2 ?3 教材中混合糖果的 例 子 , 让学生体会三种价格糖 即是三种糖果 果所占混合 糖 果 的 权 重 3 ,2 ,1 , 6 6 6 在混合糖果中所占 的 概 率 , 然后让学生写出任取 一种糖果的单价这个随机变 量 的 分 布 列 , 并 把 18 × 3 2 1 犡 = 18 ) + 24 × + 36 × 改写成 18 ×犘( 6 6 6 由特殊到一 犡 =24 ) 犡 =36 ), + 24 ×犘( + 36 ×犘( 般归纳出均值公式 , 并以掷一枚质地均匀的骰子 为例加深学生的理 解 . 最后让学生通过这个例子 比较三个均值间的区别 . 2   离散型随机变量均值的探究起点 均值理 论 从 产 生 到 完 备 经 历 了 几 个 世 纪 , 凝 聚了不同民族 、 不同时期的数学家和经济学家的 心血 . 如今进行学生“ 再 创 造 ”学 习 时 , 在没有教

· 2 6 ·                  中学数学月刊               2014 年第 1 期 师的引导下 , 概率介入均值中他们是很难理解的 . 这样的 “ 突然一跳 ”作为学 生的 探 究 起 点 , 难度很 大, 不免给学生造成此内容好像是 “ 帽子里跳出的 兔子 ” 因此 , 探究 的 起 点 应 从 学 生 熟 悉 的 公 式 或 . 概念开始 . 上述两种教学设计的主要区别是探究的起点 不同 , 但不同的起 点 都 是 为 了 让 学 生 体 会 离 散 型 随机变量的均值是 概 率 意 义 下 的 均 值 , 突破概率 的介入以及三种均 值 区 别 这 个 难 点 . 从教学实践 来看 , 设计 1 中通 过 必 修 3 中 的 例 子 帮 助 学 生 回 顾联想样本均值公 式 , 然后通过类比推理出随机 变量均值公式 , 最后通过一个简单例子去比较三 种均值的区别与联系 . 教学过程很流畅 , 给人感觉 很符合学生的认知 过 程 . 但 课 后 就 有 学 生 问: “ 类 比推理是我们学习 的 一 个 薄 弱 环 节 , 我们怎么想 到把样本均值中的频数 类 比 到 概 率 上 呢? ”知 识 的遗忘而 没 有 一 点 提 示 导 致 学 生 失 去 探 究 的 兴 趣. 设计 2 通过计算混合糖果的平均价格 , 把三种 价格糖果所占的混合糖果的权重理解为三种糖果 在混合糖果中的概 率 , 然后让学生写出任取一种 糖果的单价这个随 机 变 量 的 分 布 列 , 最后由特殊 到一般 归 纳 出 均 值 公 式 . 这种设计避免了设计 1 中的进行类比这个难点 , 但是学生又有新的疑问 : “ 三种价格糖果所 占 的 混 合 糖 果 的 权 重 怎 么 就 能 理解成三种糖果在混合糖果中的概率呢?如果这 样理解的话 , 样本 均 值 和 随 机 变 量 均 值 不 就 没 有 什么区别了吗? ” 从学生 的 反 应 可 以 看 出 , 这两种教学设计的 起点都能够符合学生的认知观 . 但是 , 在探究过程 中学生在合情推理时不是那么容易归纳出随机变 量的均值 ,觉 得 “ 概 率 的 介 入 ”不 是 那 么 的 “ 合 情” , 即使部分同 学 推 理 出 随 机 变 量 的 均 值 公 式 , 但是在三种均值的 理 解 上 又 有 难 点 . 那么如何设 计探究过程突破这个难点呢? — — 概率的介入 3   突破探究的难点 — 针对上 面 两 种 教 学 设 计 , 笔者在第二次教学 中做了相应修改 , 下面是笔者的教学片断 : 问题 1   甲 、 乙两名同学进行射击比赛 , 成绩 如下 ( 单位 : 环) :
甲 乙 5 4 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 甲 频率 乙 频率 5 0. 05 4 0. 03 6 0. 17 6 0. 19 7 0. 33 7 0. 29 8 0. 37 8 0. 39 9 0. 06 9 0. 07 10 0. 02 10 0. 03

乙两人谁的成绩更稳定?    甲 、 问题 3   下 面 是 甲 、 乙两名同学以往射击比 赛的成绩 , 犡1 为甲同学 , 犡2 为乙同学 :
犡1 犘 犡2 犘
5 0. 05 4 0. 03 6 0. 17 6 0. 19 7 0. 33 7 0. 29 8 0. 37 8 0. 39 9 0. 06 9 0. 07 10 0. 02 10 0. 03

乙两人谁的成绩更稳定?    甲 、 学生活动 ( 合 作 交 流, 问题 1 , 问 2 容 易 解 决, 题 3 无从下手 ) , 略. 教师点 评   问 题 1 中 的 均 值 我 们 称 为 算 术 平均 值 : 若 取 值 为 狓1 , …, 则其平均数为 狓2 , 狓 狀,

狓1 +狓2 + … +狓 狀 ; 问题 2 中的均值称为样本均 狀 …, 值: 若 取 值 狓1 , 狓2 , 狓 犳2 , 狀 的 频 率 分 别 为 犳1 ,
…, 则其平均数为 狓1犳1 +狓2犳2 + … +狓 犳 犳狀 . 狀, 狀 师: 同学们 , 问题 1 与问题 2 、 问题 2 与问题 3 的数据有什么区别?你能类比问题 1 、 问题 2 的均 值计算公式去解决问题 3 吗? ( 学生活动 , 小组讨论交流 ) 生 1: 问题 1 中每个击中环数出现的次数都是 问题 2 中每个击中环数出现的次数不是 1 并且 1, 都不相同 , 问题 3 中 每 个 击 中 环 数 出 现 的 次 数 是 不固定的 . 生 2: 问题 1 中每个击中环数出现的频率都是 1 , 问题 2 中每个击中环数出现的频率都不相同 , 6 问题 3 中每个击中环数出现的概率不相同 . 师: 同学都发现这三个表格区别就是一个是 频率一个是概率 , 那么频率能否用概率代替呢? 生 3: 必修 3 中提到当 实 验 次 数 趋 于 无 穷 时 , 事件发生的频率趋 于 一 个 稳 定 的 值 , 这个值就是 这个事件发生的概率 . 教师点 评   如 果 问 题 2 中 这 两 位 同 学 进 行 无数次实验后 , 样本均值狓1犳1 +狓2犳2 + … +狓 犳狀 狀 中的频率 就 分 别 趋 于 一 个 固 定 值 , 即 概 率. 因 此, 我们 此 时均值就改写为狓1狆1 +狓2狆2 + … +狓 狆狀 . 狀 把这个均值称为随机变量的均值 . 概念生成 ( 学生归纳 ) : 若随机变量 犡 的 分 布 列如下表 :

乙两人谁的成绩更稳定?    甲 、 问题 2   甲 、 乙两名同学进行了 100 次射击 , 成绩如下 :

2014 年第 1 期                  中学数学月刊                · 2 7 ·
犡 犘 狓1 狆1 狓2 狆2
… …

狓 狀
狀 狆

究完成 . 4   探究式教学反思 ( “ 再创造 ”式探究 1) 学生在学习时 , 总会有这样的疑问 , 数学家是 怎么发 现 这 些 知 识 的 . 这 也 给 我 们 一 个 启 示 :数 学“ 再创造 ”的方法是设计探究 教 学 的 一 种 途 径 . 教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工 作, 而不是把现成的知识灌输给学生 . 由于数学内 容掩盖了数学艰辛 的 发 展 历 程 , 一方面 , 需要让 学生体验火热的思考 , 另一方面 , 不可能让学生完 整经历数学漫长而曲折的历程 . 因此“ 再 创 造 ”应 使学生体验到 : 如果当时有幸具备了我们现在的 知识 , 他们是怎样创造出来的 . 随机变量的均值的 探究教学 , 学生从已有的均值知识开始 , 经历探究 频率改写成概率的 “ 迷途 ” , 然后在教师的引导下 , 发现了两者之间可以转化 , 随机变量的均值的 “ 再 创造 ”过程耐人寻味 . ( 符合学生的 2 )三个 认 知 层 次 要 环 环 相 扣 , 认知规律 张熊飞教 授 在 《 诱 思 探 究 学 科 教 学 论 》提 出 学生的认知 过 程 : “ 观察( 探 索) — 思维( 研 究) — 迁移 ( 运用 ) ” 笔者设计了 “ 以引例奠定基础 — 思 . 考探究 、 总结规律 — 学以致用 、 提升能力 ” 三个认 知层次 . 在第一个认知层次中 , 为学习新知识做好 准备 ; 在 第 二 个 认 知 层 次 中, 更是把“ 思 考 探 究” 作为学生学习的主 要 方 法 , 在教学过程中以学生 的感悟 、 探 索 为 主, 教 师 引 导 学 生 主 动 参 与, 自主 合作完成学习任务 ; 在第三个认知层次中 , 要求学 生亲身体验练习 , 巩固对定义和性质的理解 , 达到 学有所用 . 这样就做到了环环相扣 , 前一个认知层 次为后一个奠定基 础 , 后一个认知层次是对前一 个的深入和升华 . 在教学活动中 , 给学生 “ 犯错误 、 逐步成长 、 独立自主 ”的机会 , 这样学生就能不断 地“ 修正自己 、 展示自己 、 完善自己 ” . ( 创造高效课堂 3 )合理设置导向性信息 , 每个有效的活动都要坚持落实在教师导向性 信息诱导下学生真 正 地 学 , 都要有明确的目标导 向; 让学生清楚地知道自己在这一活动中究竟 “ 学 什么?怎么动? ”以具体 、 扼 要、 明确的学习任务 驱动学生的该项学 习 活 动 . 笔者深深感受到探究 性学习中学生在教 师 设 置 的 导 向 性 信 息 下 , 独立 地发现问 题 、 获 得 自 主 发 展 的 魅 力. 在学习活动 中, 学生收获了知识 , 培养了能力 , 增强了信心 , 这 才是真正的高效课堂 .

犡)    则称 犈( =狓1狆1 +狓2狆2 + … +狓 狆狀 为离 狀 散型随机变量 犡 的均值或期望 .
教师点评   这 个 均 值 公 式 是 有 分 布 列 前 提 下得到的 , 因此应注意到狆 …, 犻=1 , 狀; 2, 狆1 犻 ≥ 0, +狆2 + … +狆 狀 =1 . 师: 你能根据上面三个问题中的均值计算公 式比较 , 说出随机变量的均值与算术平均值 、 样本 均值的区别与联系吗?你能举例说明它们可以相 同的吗? ( 学生活动 , 合作交流 ) 生 4: 期望的计算是从概 率 分 布 出 发 , 因而它 是概率意义下的平 均 值 . 随机变量取每个值时概 率不同导致期望 不 同 于 初 中 所 学 的 算 术 平 均 值 . 对于确定的随机现 象 , 随机变量的均值是确定的 常数 , 不依赖于样本的抽取 . 而样本均值是一个随 机的数值 , 它随着样本抽取不同而变化 . 生 5: 问题 2 、 问题 3 中样本均值和期望就是 一样的 , 都是确定常数 . 生 6: 随机掷一枚质地均 匀 的 骰 子 , 所得骰子 的点数 犡 的分布列 :
犡 犘
1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6

犡 可能取值的算术平均值 等 于 随 机 变    此时 , 量 犡 的期望 3 . 5.
师: 将所得点数的 2 倍加 1 作为得分数 , 即犢 试求 犢 的期望 . = 2犡 + 1 , ( 学生活动 , 略) 师: 比较随机 变 量 犡, 你能发现什 犢 的 均 值, 么规律吗? 生 7: 犈( 犢) 犡) = 2 犈( +1. 则 犈( 与 犈( 师: 若随机变量犢 = 犪 犡+ 犫, 犡) 犢) 满足什么关系? 生 8: 犈( 犢) 犡) =犪犈 ( +犫. 从这我们也可以看出探究难点 “ 概率的介入 ” 的认知困难 , 在学 生 已 有 的 旧 知 识 的 基 础 上 及 教 师的引导 下 以 问 题 的 形 式 吸 引 学 生 关 注 主 要 对 象, 排除不利概括的 “ 干扰 ”因 素 , 完 成 探 究 任 务, 是一种教学策略 . 从教学过程可以看出 , 引导学生 思考三个问题中数 据 的 区 别 时 , 必然关注到频率 与概率的区别 , 去理解频率与概率的意义 , 这正是 学生由样本均值类 比 到 期 望 的 难 点 , 跨过这个难 点, 后面所有的问 题 基 本 上 学 生 都 能 很 自 然 地 探


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