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高考数学总复习经典测试题解析版2.2 函数的单调性与最值


2.2 函数的单调性与最值
一、选择题 1.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(|x|)<f(1)的实数 x 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

解析: ∵f(x)在 R 上为减函数且 f(|x|)<f(1), ∴|x|>1,解得 x>1 或 x<-1.

答案: D 2.函数 y=-x +2x-3(x<0)的单调增区间是( A.(0,+∞) C.(-∞,0)
2

) B.(-∞,1] D.(-∞,-1]

解析: 二次函数的对称轴为 x=1,又因为二次项系数为负数,拋物线开口向下,对称轴 在定义域的右侧,所以其单调增区间为(-∞,0). 答案: C 3.函数 y=2x -(a-1)x+3 在(-∞,1]内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,则 a 的值 是( ) A.1 B.3 C.5 D.-1 a-1 解析 依题意可得对称轴 x= =1,∴a=5. 4 答案 C
?-x+3-3a x< ? 4. 已知函数 f(x)=? x ? ?a
2



x

(a>0, 且 a≠1)是(-∞, +∞)上的减函数,

则 a 的取值范围是(

).

? 2? A.?0, ? ? 3?
C.(2,3)

?1 ? B.? ,1? ?3 ? ?1 2? D.? , ? ?2 3?
2 化简得 0<a≤ . 3

? ?0<a<1, 解析 由 f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,可得? 0 ?f =a ≤3-3a. ?

答案 A

5. 若函数 y=ax 与 y=- 在(0, +∞)上都是减函数, 则 y=ax +bx 在(0, +∞)上是( A.增函数 C.先增后减 B.减函数 D.先减后增

b x

2

)

解析:∵y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数, ∴a<0,b<0,∴y=ax +bx 的对称轴方程 x=- <0, 2a ∴y=ax +bx 在(0,+∞)上为减函数. 答案:B 6 .设函数 y = f(x) 在 ( -∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K ,定义函数 fK(x) =
? ?f x ? ?K,f ?
2 2

b x

b

,f x

K,

x >K,
).

取函数 f(x)=2

- |x|

1 ,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间为 2

(

A.(-∞,0) C.(-∞,-1) 1 解析 f (x)= 2 1 ? ?2 ,2 ≤2 ?1 1 ? ?2,2 >2
-|x| -|x| -|x|

B.(0,+∞) D.(1,+∞)

?

?1? ,x≤-1或x≥1, ? ? 2? ? ? ? 1 f (x)=? 2 1 ? ?2,-1<x<1.
|x|

f (x)的图象如上图所示,因此 f (x)的单调递增区间为(-∞,-1).
答案 C 7.已知函数 f(x)=x -2ax +a,在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)= 间(1,+∞)上一定( A.有最小值 C.是减函数 ). B.有最大值 D.是增函数
2

1 2

1 2

f x 在区 x

解析 由题意 a<1,又函数 g(x)=x+ -2a 在[ |a|,+∞)上为增函数,故选 D. 答案 D

a x

二、填空题 8.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是_______.
?-x +3x ? 解析:y=-(x-3)|x|=? 2 ? ?x -3x
2

x x



? 3? 作出该函数的图像,观察图像知递增区间为?0, ?. ? 2? ? 3? 答案:?0, ? ? 2?
9.已知函数 f(x)=2ax +4(a-3)x+5 在区间(-∞,3)上是减函数,则 a 的取值范围是 ________. 解析 ①当 a=0 时,f(x)=-12x+5 在(-∞,3)上为减函数;②当 a>0 时,要使 f(x) 3-a 2 =2ax +4(a-3)x+5 在区间(-∞,3)上是减函数,则对称轴 x= 必在 x=3 的右边,
2

a

3-a 3 即 ≥3,故 0<a≤ ;③当 a<0 时,不可能在区间(-∞,3)上恒为减函数.综合知:a a 4

? 3? 的取值范围是?0, ?. ? 4? ? 3? 答案 ?0, ? 4 ? ?
2 2

10.若 f(x)为 R 上的增函数,则满足 f(2-m)<f(m )的实数 m 的取值范围是________. 解析:∵f(x)在 R 上为增函数,∴2-m<m . ∴m +m-2>0.∴m>1 或 m<-2. 答案:(-∞,-2)∪(1,+∞)
? a- x+4a x , ? 11. 已知 f(x)=? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值 ?logax x ? 范围是________. 解析 ∵当 x≥1 时,y=logax 单调递减,∴0<a<1; 1 而当 x<1 时,f(x)=(3a-1)x+4a 单调递减,∴a< ; 3 1 又函数在其定义域内单调递减,故当 x=1 时,(3a-1)x+4a≥logax,得 a≤ , 7 1 1 综上可知, ≤a< . 7 3 1 1 答案 . ≤a< 7 3 ? ?e -2,x≤0, 12.已知函数 f(x)=? ?2ax-1,x>0 ?
-x 2

(a 是常数且 a>0).对于下列命题:

①函数 f(x)的最小值是-1; ②函数 f(x)在 R 上是单调函数;

?1 ? ③若 f(x)>0 在? ,+∞?上恒成立,则 a 的取值范围是 a>1; ?2 ?
④对任意的 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f?

?x1+x2?<f x1 +f x2 . ? 2 ? 2 ?

其中正确命题的序号是__________(写出所有正 确命题的序号). 解析 (数形结合法)根据题意可画出草图,由图象可知,①显然正确;函数 f(x)在 R 上不 1 ?1 ? 是单调函数,故②错误;若 f(x)>0 在? ,+∞?上恒成立,则 2a× -1>0,a>1,故③ 2 2 ? ? 正确;由图象可知在(-∞,0)上对任意的 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? 故④正确.

?x1+x2?<f x1 +f x2 成立, ? 2 ? 2 ?

答案 ①③④ 【点评】 采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解, 此题充分体现了数形结合法的直观 性与便捷性. 三、解答题 13.求函数 y=a1-x (a>0 且 a≠1)的单调区间. 解析:当 a>1 时,函数 y=a1-x 在区间[0,+∞)上是减函数,在区间(-∞,0]上是增函 数; 当 0<a<1 时,函数 y=a1-x 在区间[0,+∞)上是增函数,在区间(-∞,0]上是减函数. 1 1 14.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0).
2 2 2

a x

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; ?1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在? ,2?上的值域是? ,2?,求 a 的值. 2 ? ? ?2 ? 解析 (1)证明:方法一:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0. ?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x2-x1>0, ∵f(x2)-f(x1) =? - ?-? - ? = - =

?a x2? ?a x1? x1 x2
a x

x1x2

∴f(x2)>f( x1),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 1 1 ?1 1? 方法二:∵f(x)= - ,∴f′(x)=? - ?′= 2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.

x ?a x? ?1 ? ?1 ? ?1 ? (2)∵f(x)在? ,2?上的值域是? ,2?,又 f(x)在? ,2?上单调递增, ?2 ? ?2 ? ?2 ? 1 1 2 ? ? ∴f? ?= ,f(2)=2,∴a= . 5 ?2? 2

15.已知 f(x)=

x

x-a

(x≠a).

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. (1)证明 任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= - = x1+2 x2+2 x1+

x1

x2

x1-x2 x2+

.

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2),∴f( x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设 1<x1<x2,则

x1 x2 a x2-x1 f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a x1-a x2-a
∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 在(1,+∞)内恒成立,∴a≤1.综上知 0 <a≤1. 16.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3.
2

解析 (1)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.

f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.
∴f(x2)>f(x1).即 f(x)是 R 上的增函数. (2) ∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴原不等式可化为 f(3m -m-
2

2)<f(2), 4? 4 ? 2 ∵f(x)是 R 上的增函数 ,∴3m -m-2<2,解得-1<m< ,故解集为?-1, ?. 3? 3 ?


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