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1.1.1集合的含义与表示


1.1.1

集合的含义

问题提出

“集合”是日常生活中的一个常用词.

现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.
思考 在现代数学中,集合是一种简洁、高雅的数学 语言,我们怎样理解数学中的“集合”?

我们已经接触过一些集合:

1.将下列数字填入相应的集合:

3 1.1, , 5,0, ? , ?2, 3.14, 7. 4
自然数集合 有理数集合

2.不等式的解的集合. 3.圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的 集合.

集合的定义
一般地, 我们把研究对象统称为元素, 把一些元素组成的总体叫做集合.

知识探究(一)
考察下列问题: (1)1~20以内的所有质数; (2)绝对值小于3的整数; (3)师大附中0705班的所有男同学; (4)平面上到定点O的距离等于定长的所有的点. 思考

上述每个问题都由若干个对象组成,每组对象的 全体分别形成一个集合,集合中的每个对象都称为元 素.上述4个集合中的元素分别是什么?

集合定义的理解
1.是一定范围内的确定的对象; 2.是不同的对象; 3.是这些对象的全体.

集合中元素的三个特征
(1)确定性 集合中的元素必须是确定 的.即任何一个对象都能说明它是或者不 是某个集合的元素,两种情况必居其一且 仅居其一,不会模棱两可.例如“我们班上 成绩好的同学”,“与5接近的数”等都不 能组成一个集合.

(2)互异性 一个给定的集合中的元素必须 是互不相同的.即同一元素在同一集合中,不 能重复出现.例如集合是由a,a,b这三个元素 构成的,是错误的说法. (3)无序性 在一个集合中,元素之间是平 等的,它们都充当集合中的一员,无先后次序 之说,无高低贵贱之分.例如由1,2,3构成的 集合与由3,2,1构成的集合是相同的集合.
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就成这 两个集合是相等的.

讨论1 下列对象能构成集合吗?为什么? 1.著名的科学家;

2.1,2,2,3这四个数字;
3.我们班上的高个子男生. 讨论2 集合{a,b,c,d }与{b,c,d,a}是同一个 集合吗?

常用数集及记法
N:自然数集(含0)即非负整数集 N+或N* :正整数集(不含0) Z:整数集 Q:有理数集 R:实数集

集合与元素间的关系
我们通常用大写拉丁字母A,B,C??表示集 合,用小写拉丁字母a,b,c??表示集合中的元素.

例如:1 ∈ N,-5∈ Z, ? ?Q

1.5 ∈ N,
1.5 ∈ R,

1.5 ∈ Q,
1.5 ? Z.

典例精析
例1 若M={1,3},则下列表示方法正确的是(

?M C.1 ? M
A.3 (1)3.14 (3)0 (5) 2

B.1

D.1 ? M,且3
(2) ? (6) 2

?M

C)

?M

例2 用符号“? ”或“ ? ”填空:

? N+ 3 ?Q

?Q

(4)(-2)0

?N 3 ? R

?

Q

+

例3 判断下列说法是否正确: (1){x2,3x+2,5x3-x}即{5x3x,x2,3x+2};

√ (3)若x ? Q,则x ? R; × (4)若x ∈N,则x∈N . ×
(2)若4x=3,则x ? N;
+



x=2或3

例4 若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0 的解为元素的集合为M,则M中元素的个 数为( C )

A.1 C.3

B.2 D.4

x=2或-1

例5 A={x | ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}中只有 一个元素,求a的值和这个元素. 解:A中只有一个元素,

(1)a=0,A={-1};
(2)a=0,16-16a=0,a=1,A={-2}.

课堂练习

课本第5页第1题

第2课时 集合的表示

问题提出
1.集合中的元素有哪些特征? 确定性、无序性、互异性

2.元素与集合有哪几种关系?
属于、不属于 3.用自然语言描述一个集合往往是不简明的,如 “在平面直角坐标系中以原点为圆心,2为半径的 圆周上的点”组成的集合,那么,我们可以用什么 方式表示集合呢?

1.列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在 大括号内表示集合的方法. 注意:(1)元素间要用逗号隔开; (2)不管次序放在大括号内.

例如:book中的字母的集合表示为:

{b,o,k}

2.描述法
就是用确定的条件表示某些对象是否属 于这个集合的方法.其一般形式为:

{ x | p(x)}

x为该集合的 代表元素

p(x)表示该集 合中的元素x 所具有的性质

例如:book中的字母的集合表示为:

{x|x是 book中的字母}

数集的分类
根据集合中元素个数的多少,我们将集合分为 以下两大类:

1.有限集
含有有限个元素的集合称为有限集.

2.无限集
若一个集合不是有限集,则该集合称为无限集.

典例精析
例1 求由方程 x -1=0的实数解构成的集合.
2

解:(1)列举法:{-1,1}或{1,-1}. (2)描述法:{x|x2-1=0,x∈R}. 或{x|x为方程x2-1=0的实数解}.

例2 若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的 解作为元素构成集合A,请用最简形式写 出集合A. 解:A={3,2,-1}. 例3 求不等式x-3>2的解集. 解:由x-3>2,得x>5, 所以不等式x-3>2的解集为 {x|x>5,x∈R}.

课堂练习
练习 第5页第2题. 讨论1 直线y=x上的点集如何表示? 解:A={(x,y)|y=x }.

课堂小结
1.集合的概念:一定范围内某些特定的、 不同的对象的全体构成一个集合; 2.集合的表示:列举法和描述法; 3.常用数集及其表示; 4.“∈”关系及集合的相等;

5.数集的分类.

课后作业

? 课本第11页习题1.1A组1——5题.


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