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宁夏银川一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)


宁夏银川一中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=() A.[﹣1,2] B.[﹣2,﹣1] C.[﹣1,1] D.[1,2] 2. (5 分)已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=() A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i 3. (5 分)下列命题中的假命题是() A.?x∈R,2
1﹣x 2

D.﹣3+4i

>0
x

B. ?x∈(0,+∞) ,2 > C. ?x0∈R,当 x>x0 时,恒有 1.1 <x α D.?α∈R,使函数 y=x 的图象关于 y 轴对称
x 4

4. (5 分)已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1) ,且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=() A.﹣ B. 0
x

C. 3

D.

5. (5 分)在下列区间中,函数 f(x)=e +4x﹣3 的零点所在的区间为() A.(﹣ ,0) B.(0, ) C. ( , ) D.( , )

6. (5 分)若 A. B.



,则 sinθ=() C. D.

7. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣2, 0]时,f(x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1) 恰有 3 个不同的实根,则 a 的取值范围是() A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1, ) D.( ,2)
x

8. (5 分)已知单位向量 的夹角为 β,则 cosβ=()



的夹角为 α,且 cosα= ,向量



A.

B.

C.

D.

9. (5 分)函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 的值分别是()

<φ<

)的部分图象如图所示,则 ω,φ

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)设 f(x)=

,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围

为() A.[﹣1,2]

B.[﹣1,0]

C.[1,2]

D.[0,2]

11. (5 分)若﹣ =() A.

<β<0<α<

,cos(

+α)= ,cos(



)=

,则 cos(α+



B.

C.

D.

12. (5 分)已知函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)与 g(x)=x +ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞, ) B.(0, ) C.(﹣ , ) D.(﹣ , )

2

x

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分) ( +2x)dx=.

14. (5 分)已知点 P(﹣1,﹣1)在曲线 y=

上,则曲线在点 P 处的切线方程为.

15. (5 分) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8, AD=5, 的值是.

=3



?

=2, 则

?

16. (5 分)已知函数 f(x)=cosx?sinx,给出下列五个说法: ①f( )= ;

②若 f(x1)=﹣f(x2) ,则 x1=﹣x2; ③f(x)在区间[﹣ , ]上单调递增; 个单位可得到 y= cos2x 的图象;

④将函数 f(x)的图象向右平移 ⑤f(x)的图象关于点(﹣ 其中正确说法的序号是.

,0)成中心对称.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)如图,在△ ABC 中, ∠B= (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. ,AB=8, 点 D 在边 BC 上, 且 CD=2,cos∠ADC= .

18. (12 分)已知函数 f(x)= x ﹣ (m+3)x +(m+6)x,x∈R. (其中 m 为常数) (1)当 m=4 时,求函数的极值点和极值; (2)若函数 y=f(x)在区间(0,+∞)上有两个极值点,求实数 m 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; .

3

2

(Ⅱ)求函数 f(x)在区间

上的值域.

20. (12 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 acosC﹣ (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ ABC 的周长的取值范围.

=b.

21. (12 分)已知函数 f(x)=(x ﹣3x+3)?e 定义域为[﹣2,t](t>﹣2) ,设 f(﹣2)=m, f(t)=n. (Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f(x)在[﹣2,t]上为单调函数; (Ⅱ)求证:n>m; (Ⅲ)求证:对于任意的 t>﹣2,总存 x0∈(﹣2,t) ,满足 确定这样的 x0 的个数. ,并

2

x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修 4-1;几何证明选讲. 22. (10 分)如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (Ⅰ)求证:AB 为圆的直径; (Ⅱ)若 AC=BD,求证:AB=ED.

选修 4-4;坐标系与参数方程. 23.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 数方程为 (φ 为参数) ,曲线 C2 的参

(a>b>0,φ 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 时,

中,射线 l:θ=α 与 C1,C2 各有一个交点.当 α=0 时,这两个交点间的距离为 2,当 α= 这两个交点重合. (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 α= 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=﹣

时,l 与 C1,C2 的交点为

A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.

选修 4-5;不等式选讲. 24.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x) = ,

(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若?x∈R,f(x﹣1)≤f(x) ,求实数 a 的取值范围.

宁夏银川一中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=() A.[﹣1,2] B.[﹣2,﹣1] C.[﹣1,1] D.[1,2] 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中不等式的解集确定出 A,再由 B,求出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得: (x+1) (x﹣2)≥0, 解得:x≤﹣1 或 x≥2,即 A=(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) , ∵B=[﹣2,2) , ∴A∩B=[﹣2,﹣1]. 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=() A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i

D.﹣3+4i

考点: 复数相等的充要条件. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,计算求得 z 的 值. 解答: 解: ∵复数 z 满足 (3+4i) z=25, 则 z= = = =3

﹣4i, 故选:A. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题.

3. (5 分)下列命题中的假命题是() A.?x∈R,2
1﹣x

>0
x

B. ?x∈(0,+∞) ,2 > C. ?x0∈R,当 x>x0 时,恒有 1.1 <x α D.?α∈R,使函数 y=x 的图象关于 y 轴对称 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 由指数函数的定义域和值域判断 A; 对 x 分类讨论判断 B; 由指数函数爆炸性判断 C; 举例说明 D 正确. 解答: 解:由指数函数的定义域和值域可知,?x∈R,2 当 0<x<1 时, 2 >1, ∴?x∈(0,+∞) ,2 >
x x x 1﹣x x 4

>0,选项 A 为真命题; . 当 x>1 时, .

, 有

. 当 x=1 时,

,命题 B 为真命题;
4

∵y=1.1 为底数大于 1 的指数函数,y=x 为幂函数, x 4 ∴?x0∈R,当 x>x0 时,恒有 1.1 >x ,选项 C 为假命题; α 当 α 为偶数时,函数 y=x 是偶函数,其图象关于 y 轴对称,选项 D 为真命题. 故选:C. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了学生对教材基础知识的掌握程度,是基 础题.

4. (5 分)已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1) ,且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=() A.﹣ B. 0 C. 3 D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (2 ﹣3 )⊥ ,可得(2 ﹣3 )? =0,解出即可. 解答: 解: ∵(2 ﹣3 )⊥ , ∴(2 ﹣3 )? =2(2k﹣3)﹣6=0, 解得 k=3. 故选:C. 点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系,属于基础题. 5. (5 分)在下列区间中,函数 f(x)=e +4x﹣3 的零点所在的区间为()
x

=(2k﹣3,﹣6) ,

A.(﹣ ,0)

B.(0, )

C. ( , )

D.( , )

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 分别计算出 f(0) 、f(1) 、f( ) 、f( )的值,判断它们的正负,再结合函数零点 存在性定理,可以得出答案. 0 1 解答: 解:∵f(0)=e ﹣3=﹣2<0 f(1)=e +4﹣3>0 ∴根所在的区间 x0∈(0,1)排除 A 选项 又∵ ∴根所在的区间 x0∈(0, ) ,排除 D 选项 最后计算出 得出选项 C 符合; 故选 C. 点评: e=2.71828…是一个无理数,本题计算中要用到 求. 等的值,对计算有一定的要 , ,

6. (5 分)若 A. B.



,则 sinθ=() C. D.

考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 结合角的范围,通过平方关系求出二倍角的余弦函数值,通过二倍角公式求解即可. 解答: 解:因为 所以 cos2θ=﹣ 所以 1﹣2sin θ=﹣ , 所以 sin θ=
2 2

, =﹣ ,







所以 sinθ= . 故选 D. 点评: 本题考查二倍角的正弦,同角三角函数间的基本关系,注意角的范围,考查计算能 力.

7. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣2, 0]时,f(x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1) 恰有 3 个不同的实根,则 a 的取值范围是() A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1, ) D.( ,2)
x

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 作图题;函数的性质及应用. 分析: 作出在区间(﹣2,6]内函数 f(x)的图象,将方程的根的个数化为函数图象交点的 个数. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(x)的图象关于 y 轴对称, ∵对 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2) , ∴f(x)是周期函数,且周期为 4; ∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( ) ﹣1, ∴其在区间(﹣2,6]内的图象如右图, ∴在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实根可转 化为,函数 f(x)的图象与 y=loga(x+2)的图象有且只有三个不同的交点, 则 loga(2+2)<3,且 loga(6+2)>3 解得,a∈( 故选 D. ,2) .
x

点评: 本题通过分析可得函数 f(x)的性质,并由这些性质根据图象变换作出其图象,将 方程问题化为图象交点问题,属于中档题.

8. (5 分)已知单位向量 的夹角为 β,则 cosβ=() A. B.



的夹角为 α,且 cosα= ,向量



C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积的运算性质即可得出. 解答: 解:向量 ∵ = = + ﹣9 = = =9+2﹣9× =8. , = = , =3. .

∴cosβ=

=

=



故选:B. 点评: 本题考查了数量积的运算性质、向量的夹角公式,属于基础题.

9. (5 分)函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 的值分别是()

<φ<

)的部分图象如图所示,则 ω,φ

A.

B.

C.

D.

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值,求出函数的周期 T= 解得 ω=2. 由函数当 x= 此即可得到本题的答案. 解答: 解:∵在同一周期内,函数在 x= ∴函数的周期 T 满足 = 由此可得 T= ﹣ = , 时取得最大值,x= 时取得最小值, 时取得最大值 2, 得到 +φ= +kπ (k∈Z) , 取 k=0 得到 φ=﹣ =π, . 由

=π,解得 ω=2,

得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+φ)

又∵当 x= ∴2sin(2? ∵

时取得最大值 2, +φ)=2,可得 +φ= +2kπ(k∈Z)

,∴取 k=0,得 φ=﹣

故选:A. 点评: 本题给出 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求函数的表达式.着重考查了三角函数的图 象与性质、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换等知识,属于基础题.

10. (5 分)设 f(x)=

,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围

为() A.[﹣1,2]

B.[﹣1,0]

C.[1,2]

D.[0,2]

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 当 a<0 时,显然 f(0)不是 f(x)的最小值,当 a≥0 时,解不等式:a ﹣a﹣2≤0, 得﹣1≤a≤2,问题解决. 解答: 解;当 a<0 时,显然 f(0)不是 f(x)的最小值, 当 a≥0 时,f(0)=a , 由题意得:a ≤x+ +a, 解不等式:a ﹣a﹣2≤0,得﹣1≤a≤2, ∴0≤a≤2, 故选:D. 点评: 本题考察了分段函数的问题,基本不等式的应用,渗透了分类讨论思想,是一道基 础题.
2 2 2

11. (5 分)若﹣ =() A.

<β<0<α<

,cos(

+α)= ,cos(



)=

,则 cos(α+



B.

C.

D.

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 观察已知角与所求角之间的关系得到 α+ 一个三角函数值,利用两角差的余弦公式解答. 解答: 解:∵若﹣ <β<0<α< ,cos( +α)= ,cos( ﹣ )= , =( +α)﹣( ﹣ ) ,只要再求出另

∴sin( ∴cos(α+ ( ﹣

+α)=

,sin(



)= ﹣

, )]=cos( ; +α)cos( ﹣ )+sin( +α)sin

)=cos[( )=)=

+α)﹣(

故选 C. 点评: 本题考查了三角函数求值中角的等价变换以及两角和与差的三角函数公式的运用, 本题关键是发现 α+ =( +α)﹣( ﹣ ) .

12. (5 分)已知函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)与 g(x)=x +ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞, ) B.(0, ) C.(﹣ , ) D.(﹣ , )

2

x

2

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 e ﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根,函数 h(x)=e ﹣ ﹣ln(﹣x+a)为增 函数,由此能求出 a 的取值范围. 解答: 解:由题意可得: 存在 x0∈(﹣∞,0) ,满足 x0 +e ﹣ =(﹣x0) +ln(﹣x0+a) , 即 e ﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根, ∵当 x 趋近于负无穷大时,e ﹣ ﹣ln(﹣x0+a)也趋近于负无穷大, 且函数 h(x)=e ﹣ ﹣ln(﹣x+a)为增函数, ∴h(0)= ﹣lna>0, ∴lna<ln , ∴0<a< , ∴a 的取值范围是(0, ) , 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是函数的图象和性质,函数的零点,函数单调性的性质,函数的 极限,是函数图象和性质较为综合的应用,难度大. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分) ( +2x)dx=1+ln2.
x x0 x0 2 x0 2 x0 x

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 找出被积函数的原函数,然后代入上下限计算. 解答: 解: ( +2x)dx=[ln(x+1)+x ]
2

=1+ln2;

故答案为:1+ln2. 点评: 本题考查了定积分的运算,熟练找出被积函数的原函数是求定积分的关键.

14. (5 分)已知点 P(﹣1,﹣1)在曲线 y=

上,则曲线在点 P 处的切线方程为 y=2x+1.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 将点 P 代入曲线方程,求出 a,再求函数的导数,求出切线的斜率,由点斜式方程即 可得到切线方程. 解答: 解:由于点 P(﹣1,﹣1)在曲线 y= 则﹣1= 即有 y= ,得 a=2, , 上,

导数 y′=

=



则曲线在点 P 处的切线斜率为 k=

=2.

即有曲线在点 P 处的切线方程为:y+1=2(x+1) , 即 y=2x+1. 故答案为:y=2x+1. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程,考查直线方程的形式,以及运算能力,属于基 础题.

15. (5 分) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8, AD=5, 的值是 22.

=3



?

=2, 则

?

考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由 ?

=3

,可得

=

+



=



,进而由 AB=8,AD=5,

=3



=2,构造方程,进而可得答案. =3 = , ﹣ ,

解答: 解:∵ ∴ = + ,

又∵AB=8,AD=5, ∴ 故 ? ? =( =22, + ) ?( ﹣ )=| |﹣
2

?



|

| =25﹣

2

?

﹣12=2,

故答案为:22. 点评: 本题考查的知识点是向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算,其中根据已知 得到 = + , = ﹣ ,是解答的关键.

16. (5 分)已知函数 f(x)=cosx?sinx,给出下列五个说法: ①f( )= ;

②若 f(x1)=﹣f(x2) ,则 x1=﹣x2; ③f(x)在区间[﹣ , ]上单调递增; 个单位可得到 y= cos2x 的图象;

④将函数 f(x)的图象向右平移 ⑤f(x)的图象关于点(﹣

,0)成中心对称.

其中正确说法的序号是①④. 考点: 命题的真假判断与应用;正弦函数的对称性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用三角公式和三角函数的图象和性质分别进行判断即可. 解答: 解:f(x)=cosx?sinx= ①∵f(x)的周期是 π, ∴f( )=f(160π+ )=f( )= ,正确; ,为奇函数.

②由 f(x1)=﹣f(x2)=f(﹣x2) ,知 x1=﹣x2+2kπ 或 x1=π﹣x2+2kπ,k∈Z;所以②错误.

③令 在每一个闭区间 ]?

,得 上单调递增,但[﹣ ,故函数 f(x)在[﹣ 个单位可得到 , ,

,由复合函数性质知 f(x)

]上不是单调函数;所以③错误.

④将函数 f(x)的图象向右平移

,所以④正确; ⑤函数的对称中心的横坐标满足 2x0=kπ,解得 则点(﹣ ,0)不是其对称中心.所以⑤错误. ,即对称中心坐标为 ,

故答案为①④. 点评: 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,利用三角函数的图象和性质是解 决三角函数题目的关键. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)如图,在△ ABC 中, ∠B= (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. ,AB=8, 点 D 在边 BC 上, 且 CD=2,cos∠ADC= .

考点: 余弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,∵cos∠ADC= , ∴sin∠ADC= = = = , × ﹣

则 sin∠BAD=sin(∠ADC﹣∠B)=sin∠ADC?cosB﹣cos∠ADC?sinB= = .

(2)在△ ABD 中,由正弦定理得 BD=

=



在△ ABC 中,由余弦定理得 AC =AB +CB ﹣2AB?BCcosB=8 +5 ﹣2×8×

2

2

2

2

2

=49,

即 AC=7. 点评: 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键, 难度不大. 18. (12 分)已知函数 f(x)= x ﹣ (m+3)x +(m+6)x,x∈R. (其中 m 为常数) (1)当 m=4 时,求函数的极值点和极值; (2)若函数 y=f(x)在区间(0,+∞)上有两个极值点,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)根据到导数和函数的极值的关系即可求出. (2)y=f(x)在区间(0,+∞)上有两个极值点,等价于 f′(x)=0 在(0,+∞)有两个正根, 问题得以解决. 解答: 解:函数的定义域为 R (1)当 m=4 时,f(x)= x ﹣ x +10x, ∴f′(x)=x ﹣7x+10,令 f′(x)>0,解得 x>5 或 x<2.令令 f′(x)<0,解得 2<x<5 列 表 x (﹣∞,2) 2 (2,5) 5 (5,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↗ ↘ ↗ .
2 3 2 3 2

所以函数的极大值点是 x=2,极大值是
2

;函数的极小值点是 x=5,极小值是

(2)f′(x)=x ﹣(m+3)x+m+6,要使函数 y=f(x)在(0,+∞)有两个极值点,则



解得 m>3. 故实数 m 的取值范围为(3,+∞) 点评: 本题主要考查了导数和函数的极值的关系,以及函数的零点和方程的关系,属于基 础题.

19. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;



(Ⅱ)求函数 f(x)在区间

上的值域.

考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域;正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数 f(x)展开再整理,可将函数化简 为 y=Asin(wx+ρ)的形式,根据 T= 求出 x 的值即可得到对称轴方程. (2)先根据 x 的范围求出 2x﹣ 进而得到函数 f(x)在区间 解答: 解: (1)∵ = = = ∴周期 T= 由 ∴函数图象的对称轴方程为 sin2x+(sinx﹣cosx) (sinx+cosx) = 的范围,再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值, 上的值域. 可求出最小正周期,令 ,

(2)∵ 因为 递减, 所以当 又∵ 所以函数 f(x)在区间

,∴ 在区间

, 上单调递增,在区间 上单调

时,f(x)取最大值 1, ,当 上的值域为 时,f(x)取最小值 . ,

点评: 本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式,以及正弦函数的基本性质﹣﹣最 小正周期、对称性、和单调性.考查对基础知识的掌握情况.

20. (12 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 acosC﹣ (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ ABC 的周长的取值范围. 考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题;三角函数的求值;解三角形.

=b.

分析: (1)根据正弦定理化简题中等式,得 sinAcosC﹣ sinC=sinB.由三角形的内角和定 理与诱导公式,可得 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入前面的等式解出 cosA=﹣ , 结合 A∈(0,π)可得角 A 的大小; (2)根据 A= 且 a=1 利用正弦定理,算出 b= sinB 且 c= sinC,结合 C= ﹣B 代

入△ ABC 的周长表达式, 利用三角恒等变换化简得到△ ABC 的周长关于角 B 的三角函数表达 式,再根据正弦函数的图象与性质加以计算,可得△ ABC 的周长的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵acosC﹣ =b,

∴根据正弦定理,得 sinAcosC﹣ sinC=sinB. 又∵△ABC 中,sinB=sin(π﹣B)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴sinAcosC﹣ sinC=sinAcosC+cosAsinC, 化简得﹣ sinC=cosAsinC,结合 sinC>0 可得 cosA=﹣ ∵A∈(0,π) ,∴A= (Ⅱ)∵A= ∴根据正弦定理 ,a=1, ,可得 b= = = sinB,同理可得 c= sinC, ;

因此,△ ABC 的周长 l=a+b+c=1+ =1+ =1+ [sinB+sin( ( sinB+ ﹣B)]=1+ cosB)=1+ ∈( ,

sinB+ [sinB+( sin(B+ )

sinC cosB﹣ sinB)] ) .

∵B∈(0, ∴sin(B+

) ,得 B+ )∈(

,1],可得 l=a+b+c=1+ ].

sin(B+

)∈(2,1+

]

即△ ABC 的周长的取值范围为(2,1+

点评: 本题已知三角形的边角关系式,求角 A 的大小,并在边 a=1 的情况下求三角形的周 长的取值范围.着重考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和函数的值域与 最值等知识,属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=(x ﹣3x+3)?e 定义域为[﹣2,t](t>﹣2) ,设 f(﹣2)=m, f(t)=n. (Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f(x)在[﹣2,t]上为单调函数; (Ⅱ)求证:n>m; (Ⅲ)求证:对于任意的 t>﹣2,总存 x0∈(﹣2,t) ,满足 确定这样的 x0 的个数. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 压轴题. 分析: (Ⅰ) 首先求出函数的导数, 然后根据导数与函数单调区间的关系确定 t 的取值范围, (Ⅱ)运用函数的极小值进行证明, (Ⅲ)首先对关系式进行化简,然后利用根与系数的关系进行判定. x 2 x 解答: (Ⅰ)解:因为 f′(x)=(2x﹣3)e +(x ﹣3x+3)e , 由 f′(x)>0?x>1 或 x<0, 由 f′(x)<0?0<x<1, ∴函数 f(x)在(﹣∞,0) , (1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减, ∵函数 f(x)在[﹣2,t]上为单调函数, ∴﹣2<t≤0, (Ⅱ)证:因为函数 f(x)在(﹣∞,0)∪(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减, 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值 e, 又 f(﹣2)=13e <e, 所以 f(x)在[﹣2,+∞)上的最小值为 f(﹣2) , 从而当 t>﹣2 时,f(﹣2)<f(t) , 即 m<n, (Ⅲ)证:因为 ,
﹣2

2

x

,并


2



即为 x0 ﹣x0= 令 g(x)=x ﹣x﹣
2

, , =0 在(﹣2,t)上有解并讨论解的

从而问题转化为证明方程 g(x)= 个数,

因为 g(﹣2)=6﹣ (t﹣1) =﹣ g(t)=t(t﹣1)﹣ =

2

, ,

所以当 t>4 或﹣2<t<1 时,g(﹣2)?g(t)<0, 所以 g(x)=0 在(﹣2,t)上有解,且只有一解, 当 1<t<4 时,g(﹣2)>0 且 g(t)>0, 但由于 g(0)=﹣ <0,

所以 g(x)=0 在(﹣2,t)上有解,且有两解, 2 当 t=1 时,g(x)=x ﹣x=0, 解得 x=0 或 1, 所以 g(x)=0 在(﹣2,t)上有且只有一解, 2 当 t=4 时,g(x)=x ﹣x﹣6=0, 所以 g(x)=0 在(﹣2,t)上也有且只有一解, 综上所述,对于任意的 t>﹣2,总存在 x0∈(﹣2,t) ,满足 ,

且当 t≥4 或﹣2<t≤1 时,有唯一的 x0 适合题意, 当 1<t<4 时,有两个 x0 适合题意. 点评: 本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算 能力. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修 4-1;几何证明选讲. 22. (10 分)如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (Ⅰ)求证:AB 为圆的直径; (Ⅱ)若 AC=BD,求证:AB=ED.

考点: 圆周角定理;与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ)证明 AB 为圆的直径,只需证明∠BDA=90°; (Ⅱ)证明 Rt△ BDA≌Rt△ ACB,再证明∠DCE 为直角,即可证明 AB=ED. 解答: 证明: (Ⅰ)∵PG=PD,∴∠PDG=∠PGD, ∵PD 为切线,∴∠PDA=∠DBA, ∵∠PGD=∠EGA, ∴∠DBA=∠EGA,

∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BDA, ∴∠NDA=∠PFA, ∵AF⊥EP, ∴∠PFA=90°. ∴∠BDA=90°, ∴AB 为圆的直径; (Ⅱ)连接 BC,DC,则 ∵AB 为圆的直径, ∴∠BDA=∠ACB=90°, 在 Rt△ BDA 与 Rt△ ACB 中,AB=BA,AC=BD, ∴Rt△ BDA≌Rt△ ACB, ∴∠DAB=∠CBA, ∵∠DCB=∠DAB, ∴∠DCB=∠CBA, ∴DC∥AB, ∵AB⊥EP, ∴DC⊥EP, ∴∠DCE 为直角, ∴ED 为圆的直径, ∵AB 为圆的直径, ∴AB=ED.

点评: 本题考查圆的切线的性质,考查三角形全等的证明,考查直径所对的圆周角为直角, 属于中档题. 选修 4-4;坐标系与参数方程. 23.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 数方程为 (φ 为参数) ,曲线 C2 的参

(a>b>0,φ 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 时,

中,射线 l:θ=α 与 C1,C2 各有一个交点.当 α=0 时,这两个交点间的距离为 2,当 α= 这两个交点重合. (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 α= 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=﹣

时,l 与 C1,C2 的交点为

A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 考点: 参数方程化成普通方程;圆与圆锥曲线的综合.

专题: 压轴题. 分析: (I)有曲线 C1 的参数方程为 (φ 为参数) ,曲线 C2 的参数方程为

(a>b>0,φ 为参数) ,消去参数的 C1 是圆,C2 是椭圆,并利用.当 α=0 时, 这两个交点间的距离为 2,当 α= 时,这两个交点重合,求出 a 及 b. 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=﹣ 时,

(II)利用 C1,C2 的普通方程,当 α=

l 与 C1,C2 的交点为 A2,B2,利用面积公式求出面积. 解答: 解: (Ⅰ)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 α=0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0) , (a,0) , 因为这两点间的距离为 2,所以 a=3 当 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1) (0,b) ,

因为这两点重合 所以 b=1. (Ⅱ)C1,C2 的普通方程为 x +y =1 和 当 时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 .
2 2

. ,

与 C2 交点 B1 的横坐标为 当

时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,

B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此四边形 A1A2B2B1 为梯形. 故四边形 A1A2B2B1 的面积为 .

点评: 此题重点考查了消参数,化出曲线的一般方程,及方程的求解思想,还考查了利用 条件的其交点的坐标,利用坐标准确表示出线段长度进而求其面积. 选修 4-5;不等式选讲. 24.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x) = ,

(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若?x∈R,f(x﹣1)≤f(x) ,求实数 a 的取值范围. 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 a=1 时,求出函数的表达式,根据函数的奇偶性即可求出求不等式 f(x)> 1 的解集; (2)作出函数 f(x)的图象,根据条件若?x∈R,f(x﹣1)≤f(x) ,利用数形结合即可求实 数 a 的取值范围.

解答: 解: (1)当 a=1 时,



又函数 f(x)为奇函数,故根据图象,不等式 f(x)>1 的解集为: (4,+∞) .

(2)当 x≥0 时,f(x)=



由 f(x)是奇函数,∴作出 f(x)的图象, ∵?x∈R,f(x﹣1)≤f(x) ,∴f(x﹣1)的图象恒在 f(x)图象的下方, 即将 f(x)的图象往右平移一个单位后恒在 f(x)的下方, ∴﹣3a +1≥3a ,解得 a 即 ,
2 2 2



点评: 本题主要考查分段函数的应用,利用数形结合以及函数奇偶性的对称性是解决本题 的关键.综合性较强,难度较大.


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