当前位置:首页 >> 高中教育 >>

【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测48 抛物线]


课时限时检测(四十八) 抛物线
(时间:60 分钟 满分:80 分)命题报告 考查知识点及角度 抛物线的定义及应用 抛物线的方程及几何性质 直线与抛物线的位置关系 抛物线的综合应用问题 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 基础 4,5,7 1,2,3 题号及难度 中档 8,9 6,10 11,12 稍难

x2 y2 1.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为( ) 6 2 A.-2 B.2 C.-4 D.4 x2 y2 【解析】 因为椭圆 + =1 的右焦点为(2,0), 6 2 2 所以抛物线 y =2px 的焦点为(2,0),则 p=4. 【答案】 D 2.点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是( ) 2 2 2 A.y=12x B.y=12x 或 y=-36x 1 1 2 C.y=-36x D.y= x2 或 y=- x2 12 36 1 1 1 【解析】 将 y=ax2 化为 x2= y,当 a>0 时,准线 y=- ,由已知得 3+ =6,∴ a 4a 4a 1 1 1 1 1 1 3+ ?=6,∴a=- 或 a= (舍). =12,∴a= .当 a<0 时,准线 y=- ,由已知得? ? 4a? a 12 4a 36 12 x2 x2 ∴抛物线方程为 y= 或 y=- ,故选 D. 12 36 【答案】 D 3.(2013· 四川高考)抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- 3y=0 的距离是( ) A.2 3 B.2 C. 3 D.1 【解析】 抛物线 y2=8x 的焦点为 F(2,0), |2- 3×0| 则 d= 2 =1.故选 D. 1 +?- 3?2 【答案】 D 4.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( ) 1 1 ? ? A.? B.? ?4,-1? ?4,1? C.(1,2) D.(1,-2) 【解析】

如图,∵点 Q(2,-1)在抛物线的内部,

由抛物线的定义,|PF|等于点 P 到准线 x=-1 的距离. 过 Q 作 x=-1 的垂线 QH 交抛物线于点 K,则点 K 为取最小值时的所求点. 1 当 y=-1 时,由 1=4x 得 x= . 4 1 ? 所以点 P 的坐标为? ?4,-1?. 【答案】 A 5.(2013· 课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一 点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( ) A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 【解析】 设 P(x0,y0),则|PF|=x0+ 2=4 2,∴x0=3 2, 2 ∴y0 =4 2x0=4 2×3 2=24,∴|y0|=2 6. 1 1 ∵F( 2,0),∴S△POF= |OF|· |y0|= × 2×2 6=2 3. 2 2 【答案】 C 6.(2013· 大纲全国卷)已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的 → → 直线与 C 交于 A、B 两点.若MA· MB=0,则 k=( ) 1 2 A. B. C. 2 D.2 2 2 【解析】 抛物线 C 的焦点为 F(2,0),则直线方程为 y=k(x-2),与抛物线方程联立, 消去 y 化简得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 8 则 x1+x2=4+ 2,x1x2=4. k 8 所以 y1+y2=k(x1+x2)-4k= , k 2 y1y2=k [x1x2-2(x1+x2)+4]=-16. → → 因为MA· MB=(x1+2,y1-2)· (x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=x1x2+2(x1 +x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0, 将上面各个量代入,化简得 k2-4k+4=0,所以 k=2. 【答案】 D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7. 若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2, 则点 P 的轨迹方程是________. 【解析】 由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离,故点 P 的轨 迹是以点(0,3)为焦点,以 y=-3 为准线的抛物线,且 p=6,所以其标准方程为 x2=12y. 【答案】 x2=12y 8.(2014· 济南一中月考)若抛物线 y2=4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 3,延长 P 交抛 物线于 Q,若 O 为坐标原点,则 S△OPQ=________. 【解析】 如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),又|PF|=3,由抛物 线定义知:点 P 到准线 x=-1 的距离为 3,∴点 P 的横坐标为 2.

将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8,由图知点 P 的纵坐标 y=2 2, ∴P(2,2 2),∴直线 PF 的方程为 y=2 2(x-1).

?y=2 2?x-1?, 联立直线与抛物线的方程? 2 ?y =4x,
1 ? ?x=2, ?x=2, 解之得? 或? ?y=2 2. ?y=- 2 ? 1 1 1 3 ? 由图知 Q? |yP-yQ|= ×1×|2 2+ 2|= 2. ?2,- 2?,∴S△OPQ=2|OF|· 2 2 3 【答案】 2 2 x2 y2 9. (2013· 江西高考)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F, 其准线与双曲线 - =1 相交于 A, 3 3 B 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. p ? ?y=-2, p 2 【解析】 由于 x =2py(p>0)的准线为 y=- ,由? 2 ? ?x2-y2=3, 解得准线与双曲线 x2-y2=3 的交点为 1 1 p? 1 p? ? A?- 3+ p2 . 3+ p2,- ,B 3+ p2,- ,所以 AB=2 4 4 2 4 2 ? ? ? ? 3 由△ABF 为等边三角形,得 AB=p,解得 p=6. 2 【答案】 6 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135° 的直线, 被抛物线所截得的弦长为 8,试求该抛物线的方程. 1 【解】 依题意,设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则直线方程为 y=-x+ p. 2 设直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、D,则由抛物线定义得 |AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| p p =x1+ +x2+ , 2 2 即 x1+x2+p=8.① 1 ? ?y=-x+2p, 又 A(x ,y )、B(x ,y )是抛物线和直线的交点,由? 消去 y,
1 1 2 2

?y2=2px, ?

p2 得 x2-3px+ =0,所以 x1+x2=3p. 4 将其代入①得 p=2,所以所求抛物线方程为 y2=4x. 当抛物线方程设为 y2=-2px(p>0)时, 同理可求得抛物线方程 y2=-4x. 综上,所求抛物线方程为 y2=4x 或 y2=-4x. 11. (12 分)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程. → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值. p x- ?,与 y2=2px 联立, 【解】 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2? ? 2? 2 2 从而有 4x -5px+p =0,

5p 所以 x1+x2= . 4 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,∴p=4, 从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4 知 4x2-5px+p2=0 可化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2) =(4λ+1,4 2λ-2 2),又 y2 3=8x3, 2 所以[2 2(2λ-1)] =8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1, 解得 λ=0 或 λ=2. 12.(13 分)已知抛物线 C:x2=2py(p>0),O 为坐标原点,F 为抛物线的焦点,直线 y =x 与抛物线 C 相交于不同的两点 O、N,且|ON|=4 2. (1)求抛物线 C 的方程; → → → (2)若直线 l 过点 F 交抛物线于不同的两点 A,B,交 x 轴于点 M,且MA=aAF,MB= → bBF,对任意的直线 l,a+b 是否为定值?若是,求出 a+b 的值;否则,说明理由. ? ?y=x 【解】 (1)联立方程? 2 得 x2-2px=0,故 O(0,0),N(2p,2p),∴|ON|= 4p2+4p2 ?x =2py ? =2 2p, 由 2 2p=4 2得 p=2,∴抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)显然直线 l 的斜率一定存在且不等于零,设其方程为 y=kx+1,则直线 l 与 x 轴交点 1 ? 为 M? ?-k,0?, 记点 A(x1,y1),B(x2,y2), ? ?y=kx+1 由? 2 得 x2-4kx-4=0, ?x =4y ? ∴Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0, ∴x1+x2=4k,x1· x2=-4. 1 → → ? 由MA=aAF,得? ?x1+k,y1?=a(-x1,1-y1), kx1+1 y1 ∴a= =- , kx1 1-y1 kx2+1 同理可得 b=- , kx2 kx1+1 kx2+1? x2+x1? ∴a+b=-? =-?2+ =-1, + kx2 ? kx1x2 ? ? kx1 ? ∴对任意的直线 l,a+b 为定值-1.


相关文章:
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测3 ...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测13...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测13 导数的概念及其运算]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测13 导数的...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测15...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测15 导数的应用(二)]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测15 导数的应用...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测36...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测36 基本不等式]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测36 基本不等式]课时...
【高考讲坛】2015届高三数学(理,山东版)一轮限时检测15...
【高考讲坛】2015届高三数学(,山东版)一轮限时检测15 导数的应用(二)]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(,山东版)一轮限时检测15 导数的应用...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测40...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测40 直线、平面平行的判定及其性质]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测28...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测28 数列的概念与简单表示法]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测28 数...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测55...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测55 几何概型]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测55 几何概型]课时...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测21...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测21 简单的三角恒等变换]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测21 简单的...
【高考讲坛】2015届高三数学(理,山东版)一轮限时检测40...
【高考讲坛】2015届高三数学(,山东版)一轮限时检测40 空间几何体的表面积与体积]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(,山东版)一轮限时检测40 ...
更多相关标签: