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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 椭圆的几何性质及应用学案 理


第五十一课时

椭圆的几何性质及应用 课前预习案

考纲要求 熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质. 基础知识梳理 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a

2 b2





焦点坐标

F1(

), F2 (c,0)

F1(0,c), F2 (



对称性 顶点坐标

关于 x,y 轴成轴对称,关于原点成中心对称.

A1(-a,0),A2( B1(

)

A1(

),A2(0,-a) )

),B2(0,-b)

B1(-b,0),B2(
| x |?

范围 长轴、短轴

| x |? a, | y |?

, | y |? 长轴 A1A2 的长为 短轴 B1B2 的长为

长轴 A1A2 的长为 短轴 B1B2 的长为

离心率

椭圆的焦距与长轴长的比 e=

预习自测 1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A. )

1 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2
1

2. 椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1的离心率为(



A.

3 2

B.

3 4

C.

2 2

D.

2 3

3. (2013 年广东高考) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

1 ,则 C 的方程是 ( 2



x2 y2 ? ?1 A. 3 4

x2 y2 B. ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 C. 4 2

x2 y2 ? ?1 D. 4 3

4.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程 是 5. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 大值为 . .

x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 OP ? FP 的最 4 3

课堂探究案 典型例题 考点 1 根据几何性质求方程

【典例 1】求满足下列条件的椭圆方程: 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

3 ,且经过点 M (4,1) ; 2

【变式 1 】( 1 )已知椭圆 C : 为 (2)已知椭圆 C :

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . 椭圆标准方程 2 a b 2 2
.

x2 y 2 6 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3
.

的面积为

5 2 .椭圆标准方程为 3

考点 2

椭圆的范围

【典例 2】如图,点 A、B 分别是椭圆 上,且位于 x 轴上方, PA ? PF . (1)求点 P 的坐标;

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆 36 20

2

(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小 值.

【变式 2】(1)已知 P 是椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 上一点,则 P 到点 M (1,0) 的最大值为____.

( 2)设 M 是椭圆 于 .

???? ? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 上的动点, A1 和 A2 分别是椭圆的左、右顶点,则 MA1 ? MA2 的最小值等 4 3

考点 3

椭圆离心率的求解

x2 y 2 【典例 3】(1)(2012 高考新课标)设 F1 、 F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直 a b
线x?

3a ? 上一点, ?F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( ) 2 1 2 ? ? A. B . C. D. 2 3 ? ?

(2)(2012 高考江西)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2, a 2 b2

若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

D.

5-2

【变式 3】(1)直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 离心率为( A. ) B.

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的 a 2 b2

2 5 5

1 2

C.

5 5
2

D.

2 3

(2)已知关于 x 的一元二次方程 ax ? 2bx ? c ? 0 有两个不同的实根,则椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2
3

离心率的取值范围是( A. (0,



5 ?1 ) 2

B. (

5 ?1 ,1) 2

C. (

5?2 ,1) 2

当堂检测 1.如果方程 x 2 ? my2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 m 的取值范围是( ) A.(0,+ ? ) B.(0,2) C.(1,+ ? ) D.(0,1)

x2 y2 ? ? 1 过点(-2, 3 ),则其焦距为( ) 2.若椭圆 16 b 2
A.2 5 B.2 3 C. 4 3 D. 4 5

课后拓展案 A 组全员必做题

1.与椭圆 9x ? 4 y ? 36 有相同焦点,且短轴长为 4 5 的椭圆方程是(
2 2

)

A.

x2 y 2 ? ?1 25 20

B.

x2 y 2 ? ?1 20 25

C.

x2 y 2 ? ?1 20 45

D.

x2 y 2 ? ?1 80 85

2.已知 F 1 、 F2 是椭圆 为( ) A. 8

x2 y2 M 、 N 两点,则 ?MNF2 的周长 + =1 的两个焦点,过 F 1 的直线与椭圆交于 16 9
B. 16 C. 25 D. 32

3.椭圆的对称轴在坐标轴上,长轴是短轴的 2 倍,且过点 (2,1) ,则它的方程是_____________.

x2 y 2 ? ? 1 焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 PF1 ? 4 ,则 PF2 ? _______ , ?F1PF2 的大小 4. 椭圆 9 2
为___________

B 组提高选做题 1.(2013 年福建高考)椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c .若 a2 b2

直线 y ? 3( x ? c) 与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率 等于__________
4

x2 y 2 1 2.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F (c, 0) ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根 2 a b
分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) ( A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 内 C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外 ) B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

3.[2012· 北 京 ) 已 知 椭 圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 一 个 顶 点 为 A(2, 0) , 离 心 率 为 .直线 2 a b 2

与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. y ? k ( x ?1 ) (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为

10 时,求 k 的值. 3

参考答案 预习自测 1.D 2.A 3.D

x2 y 2 ? ? 1; 4. 16 4
5.6. 典型例题 【典例 1】

x2 y 2 ? ?1; 20 5
x2 y 2 x2 y 2 ? 1. ? ? 1 ;(2) ? 5 5 4 3 3
3 5 3) ;(2) 15 . 2 2

【变式 1】(1)

【典例 2】(1) P ( ,

【变式 2】(1)3;(2)-1. 【典例 3】(1)C;(2)B 【变式 3】(1)A;(2)A. 当堂检测
5

1.D 2.C A 组全员必做题 1.B 2.B 3.

y 2 x2 x2 y 2 ?1. ? ? 1或 ? 17 17 8 2 4
2? 3

4.

B 组提高选做题 1. 3 ? 1 2.A

x2 y 2 ? ? 1 ;(2) ?1 . 3.(1) 4 2

6


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