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上海延安中学2012学年度高一年级第二学期期末考试数学试卷


上海市延安中学 2012 学年度第二学期期末考试(高一数学) (考试时间:90 分钟 满分:100 分)

班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题(本大题共 45 分,每小题 3 分) 1、在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? ?4 ,则 a4 =___________. 2、在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? ?4 ,则 a4 =___________. 3、函数 y ? sin ? x 的最小正周期为___________. 4、函数 y ? sin x cos x cos 2 x 的值域为___________. 5、等差数列 1,5,

, 2013 的各项的和为___________.

6、若公比为 100 的等比数列 {an } 的每一项均为正数,则 {lg an } 是公差为___________的等 差数列. 7、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ,则该数列的通项公式 an =___________. 8、设 3sin x ? cos x ? 2sin( x ? ? ) ,其中 0 ? ? ? 2? ,则 ? 的值为___________. 9、函数 y ? cos(

?
2

? x) 的单调增区间是___________.

10、函数 y ? arccos3x 的反函数的值域为___________. 11、方程 sin 2 x ?

1 的解集为___________. 2

12、已知 tan x ? 2 ,且 x ? (?? , ? ) ,则 x =___________. 13 、 若 等差 数 列 {an } 的 公 差 d ? 0 , 且 a2 、 a5 、 a14 恰 成 公 比 为 q 的 等 比数 列 , 则

q =___________.
14、已知 f (k ) ? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ?

? 2k (k ? N *) ,则 f (k ?1) ? f (k) =___________.

15、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n3 ,则

1 (a1 ? a10 ) ?10 的值为___________. 2

二、选择题(本大题共 12 分,每小题 3 分) 16、在等差数列 {an } 中,已知 ak ? 1 , ak ?1 ? sin 2 ? ,则 ak ?2 =( )

(A) cos 2 ?

(B) ? cos 2 ?

(C) cos 2?

(D) ? cos 2? . )

17、 记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 如果已知 a5 ? a21 的值, 我们可以求得 ( (A) S23 的值 (B) S24 的值 (C) S25 的值 (D) S26 的值. ) (D)33. )

18、一个公比为 2 的等比数列的前 5 项的和为 1,则其前 10 项的和为( (A)30 (B)31 (C)32

19、在数列 {an } 中,已知 a3 ? 1 , a5 ? 3 , a7 ? 9 ,则 {an } 一定( (A)是等差数列 (B)是等比数列 (C) 不是等差数列 )

(D) 不是等比数列.

20、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? (A)此数列一定是等差数列

(an ? 1)2 ,那么( 4

(B)此数列一定是等比数列 (D)以上说法都不正确.

(C)此数列不是等差数列,就是等比数列 三、简答题(本大题共 40 分) 21、 (本题 8 分)已知 cos 2? ? ?

4 ? , 0 ? ? ? . (1)求 tan ? 的值; (2)求 tan 4? 的值. 5 2

22、 (本题 8 分) 试用数学归纳法证明:对任意正整数 n ,都有 13 ? 23 ?

? n3 ? (1 ? 2 ?

? n)2 .

23、 (本题 8 分)在 ?ABC 中,已知 a ? 4 , c ? 5 ,且 S?ABC ? 6 ,求 b .

24 、 ( 本 题 8 分 ) 设 {an } 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前 n 项 和 , 满 足
2 a22 ? a32 ? a42 ? a5, S7 ? 7 .

(1)求数列 {an } 的通项公式(6 分) ) ; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn (2 分).

25、 (本题 8 分) 已知数列{an } 的每一项都为正数,a1 ? 的正整数 s, t , p, q ,都有

1 4 ,a2 ? , 且对满足 s ? t ? p ? q 2 5

a p ? aq as ? at 1 ? an . 记 bn ? . ? 1 ? an (1 ? as )(1 ? at ) (1 ? a p )(1? aq )

(1)证明:数列 {bn } 是等比数列(5 分) ; (2)求数列 {an } 的通项公式(3 分).

上海市延安中学 2012 学年度第二学期期末考试(高一数学) (考试时间:90 分钟 满分:100 分)

班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题(本大题共 45 分,每小题 3 分) 1、在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? ?4 ,则 a4 =_____-16______. 2、在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? ?4 ,则 a4 =______-16_____. 3、函数 y ? sin ? x 的最小正周期为______2_____. 4、函数 y ? sin x cos x cos 2 x 的值域为______ [? 5、等差数列 1,5,

1 1 , ] _____. 4 4

, 2013 的各项的和为______507528_____.

6、 若公比为 100 的等比数列{an } 的每一项均为正数, 则 {lg an } 是公差为______2_____的等 差数列. 7、 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n2 , 则该数列的通项公式 an =_____ 4n ? 2, n ? N * ____. 8、设 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ? ) ,其中 0 ? ? ? 2? ,则 ? 的值为______

11 ? _____. 6

9、函数 y ? cos(

?
2

? x) 的单调增区间是_____ [2k? ?

?
2

, 2 k? ?

?
2

], k ? Z ______.

10、函数 y ? arccos3x 的反函数的值域为______ [? , ] _____.

1 1 3 3

11、方程 sin 2 x ?

1 ? 5? or x ? k? ? , k ? Z } _____. 的解集为______ {x | x ? k? ? 2 12 12

12、已知 tan x ? 2 ,且 x ? (?? , ? ) ,则 x =______ arctan 2 or arctan 2 ? ? _____. 13 、 若 等差 数 列 {an } 的 公 差 d ? 0 , 且 a2 、 a5 、 a14 恰 成 公 比 为 q 的 等 比数 列 , 则

q =_____3_____.
14、已知 f (k ) ? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ?

? 2k (k ? N * ) ,则 f (k ?1) ? f (k) =__ 3(k ? 1) __.

15、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n3 ,则

1 (a1 ? a10 ) ?10 的值为_____1360____. 2

二、选择题(本大题共 12 分,每小题 3 分) 16、在等差数列 {an } 中,已知 ak ? 1 , ak ?1 ? sin 2 ? ,则 ak ?2 =( (A) cos 2 ? (B) ? cos 2 ? (C) cos 2? D ) (D) ? cos 2? . C )

17、 记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 如果已知 a5 ? a21 的值, 我们可以求得 ( (A) S23 的值 (B) S24 的值 (C) S25 的值

(D) S26 的值. D (D)33. C ) )

18、一个公比为 2 的等比数列的前 5 项的和为 1,则其前 10 项的和为( (A)30 (B)31 (C)32

19、在数列 {an } 中,已知 a3 ? 1 , a5 ? 3 , a7 ? 9 ,则 {an } 一定( (A)是等差数列 (B)是等比数列 (C) 不是等差数列 D )

(D) 不是等比数列.

20、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? (A)此数列一定是等差数列

(an ? 1)2 ,那么( 4

(B)此数列一定是等比数列 (D)以上说法都不正确.

(C)此数列不是等差数列,就是等比数列 三、简答题(本大题共 40 分) 21、 (本题 8 分)已知 cos 2? ? ?

4 ? , 0 ? ? ? . (1)求 tan ? 的值; (2)求 tan 4? 的值. 5 2

(1)? ? (0,

?

3 sin 2? ) ? 2? ? (0, ? ) ? sin 2? ? 1 ? cos 2 2? ? ,从而 tan ? ? ?3 2 5 1 ? cos 2?
sin 2? 3 2 tan 2? 24 ? ? ? tan 4? ? ?? 2 cos 2? 4 1 ? tan 2? 7

(2) tan 2? ?

22、 (本题 8 分) 试用数学归纳法证明:对任意正整数 n ,都有 1 ? 2 ?
3 3

? n3 ? (1 ? 2 ?

? n)2 .

(1)当 n ? 1 时,左边= 13 ? 1 ,右边= 12 ? 1 ,等式成立. (2)假设当 n ? k (k ? N * , k ? 1) 时,等式成立,即 13 ? 23 ? 则当 n ? k ? 1 时,

? k 3 ? (1 ? 2 ?

? k )2 ,

(1 ? 2 ?

? k ? k ? 1) 2 ? (1 ? 2 ?

? k ) 2 ? 2(k ? 1)(1 ? 2 ? ? k ) ? (k ? 1) 2 1? k ? 13 ? 23 ? ? k 3 ? (k ? 1)(2 ? ? k ? k ? 1) ? 13 ? 23 ? 2

? k 3 ? (k ? 1)3

等式也成立. 从而(1) (2)可知等式对任意正整数 n 均成立.

23、 (本题 8 分)在 ?ABC 中,已知 a ? 4 , c ? 5 ,且 S?ABC ? 6 ,求 b .

2S 1 2?6 3 4 S?ABC ? ac sin B ? sin B ? ?ABC ? ? ,从而 cos B ? ? 1 ? sin 2 B ? ? 2 ac 4?5 5 5
当 cos B ?

4 4 2 2 2 2 时,由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 4 ? 5 ? 2 ? 4 ? 5 ? ? 3 5 5 4 4 2 2 2 2 时,由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 4 ? 5 ? 2 ? 4 ? 5 ? ? 73 5 5

当 cos B ? ?

24 、 ( 本 题 8 分 ) 设 {an } 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前 n 项 和 , 满 足
2 a22 ? a32 ? a42 ? a5, S7 ? 7 .

(1)求数列 {an } 的通项公式(6 分) ) ; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn (2 分).
2 2 2 2 2 2 2 2 (1)设公差为 d ? 0 ,则由 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a2 ? (a2 ? d ) ? a4 ? (a4 ? d ) ,化简 2 2 可得 2(a2 ? a4 ) ? 2d (a2 ? a4 ) ? 0 ? (a2 ? a4 )(a2 ? a4 ? d ) ? 0 , 又d ? 0, 故 a2 ? a4 ? 0 ,

1? 从 而 a2 ? a4 ? d ? 0 , 又 S7 ? 7 a4 ? 7 ? a4 ?1. 从 而 a3 ? a2 ? d ? ?a .进而 4 ? d ? a4 ? a3 ? 2 ,故数列 {an } 的通项公式为 an ? 1 ? (n ? 4) ? 2 ? 2n ? 7, n ? N * .
(2)数列 {an } 的前 n 项和 Sn ?

?5 ? 2n ? 7 ? n ? n 2 ? 6n, n ? N * . 2 1 4 ,a2 ? , 且对满足 s ? t ? p ? q 2 5

25、 (本题 8 分) 已知数列{an } 的每一项都为正数,a1 ?

的正整数 s, t , p, q ,都有

a p ? aq as ? at 1 ? an . 记 bn ? . ? 1 ? an (1 ? as )(1 ? at ) (1 ? a p )(1? aq )

(1)证明:数列 {bn } 是等比数列(5 分) ; (2)求数列 {an } 的通项公式(3 分). (1)证法一: 由已知

a2 ? an a1 ? an?1 1 4 ,代入 a1 ? , a2 ? 可得 ? 2 5 (1 ? a2 )(1 ? an ) (1 ? a1 )(1 ? an?1 )

4 ? 5an 1 ? 2an?1 2a ? 1 1 3 3 1 ? ? 5? ? 6? ? ? ? 1 ? an?1 ? n 9(1 ? an ) 3(1 ? an?1 ) 1 ? an 1 ? an?1 1 ? an?1 1 ? an an ? 2

2an ? 1 b 1 ? an ?1 1 ? an an ? 2 1 ? an 1 ? an 1 ? an 1 ? ? ? ? ? ? 由定义对任意的 n ? N * , n ?1 ? bn 1 ? an ?1 1 ? an 1 ? 2an ? 1 1 ? an 3(1 ? an ) 1 ? an 3 an ? 2 1?
从而数列 {bn } 是以 证法二:

1 为公比的等比数列. 3

1 ? bp 1 ? bq 1 ? bs 1 ? bt ? ? 1 ? bp 1 ? bq 1 ? an 1 ? bn 1 ? bs 1 ? bt 由 bn ? 代入已知可得 , ? an ? ? 1 ? bs 1 ? bt 1 ? bp 1 ? bq 1 ? an 1 ? bn (1 ? )(1 ? ) (1 ? )(1 ? ) 1 ? bs 1 ? bt 1 ? bp 1 ? bq
整理得到 (

1 ? bp 1 ? bq 1 ? bs 1 ? bt ? )(1 ? bs )(1 ? bt ) ? ( ? )(1 ? bp )(1 ? bq ) ? bs ? bt ? bp ? bq , 1 ? bs 1 ? bt 1 ? bp 1 ? bq

即对满足 s ? t ? p ? q 的正整数 s, t , p, q ,均有 bs ? bt ? bp ? bq ,符合等比数列性质,又通过 取特殊值可得

1 bn?1 b2 1 ? ? . 从而数列 {bn } 是以 为公比的等比数列. 3 bn b1 3

证法三:数学归纳法(略)

1 1? n 1 ? a1 2 ? 1 ,从而 b ? ( 1 )n ? a ? 1 ? bn ? 3 ? 1 , n ? N * ? (2)经计算 b1 ? n n 1 ? a1 1 ? 1 3 3 1 ? bn 3n ? 1 2


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