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物理竞赛复赛模拟卷及答案


物理竞赛复赛模拟卷
1.试证明:物体的相对论能量 E 与相对论动量 P 的量值之间有如下关系:
2 E 2 ? p 2 c 2 ? E0

3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的

最小速度为多少?如果速度较大而产生光反射,且在原速度方向和反方向可以观察到光。问 这种光的频率与简正

频率相差多少?氢原子的质量为 1.67×10-27kg,电离能

E ? 13.6eV ? 2.18?10?18 J 。

2.

在用质子 (1 P) 轰击固定锂 (3 Li) 靶的核反应中, (1)计算放出α 粒子的反应能。 (2) 4. 如图 11-136 所示,光滑无底圆筒重 W,内放两个重量均为 G 的光滑球,圆筒半径 为 R,球半径为 r,且 r<R<2r,试求圆筒发生倾倒的条件。

1

7

如果质子能量为 1 兆电子伏特, 问在垂直质子束的方向观测到α 粒子的能量有多大?有关原
1 子核的质量如下: 1 7 H ,1.007825; 4 2 He ,4.002603; 3 Li ,7.015999.

p2

? ?
p3

p1

r O 1
A

O2
B

G
图 11-136

图 51-21

1

5. 两个完全相同的木板,长均为 L,重力均为 G,彼此以光滑铰链 A 相连,并通过光滑 铰链与竖直墙相连,如图(甲)所示。为使两木板达水平状态保持平衡,问应在何处施加外 力?所施加的最小外力为多大?
L,G 1 L,G

7. 一平直的传送带以速度 v=2m/s 匀速运行, 传送带把 A 点处的零件运送到 B 点处, A、 B 两点之间相距 L=10m,从 A 点把零件轻轻地放到传送带上,经过时间 t=6s,能送到 B 点, 如果提高传送带的运动速率,零件能较快地传送到 B 点,要让零件用最短的时间从 A 点传 送到 B 点处,说明并计算传送带的运动速率至少应多大?如要把求得的速率再提高一倍,
2 则零件传送时间为多少( g ? 10m / s )?

A
(甲) 1

2

F1

G

(乙)

x 2
A
B
' F 1 G

F

8. 一物体以某一初速度 v0 开始做匀减速直线运动直至停止, 其总位移为 s, 当其位移为

(丙)

2/3s 时,所用时间为 t1;当其速度为 1/3v0 时,所用时间为 t2,则 t1、t2 有什么样的关系?
v
v0 D

6. 如图 11-505 所示,屋架由同在竖直面内的多根无重杆绞接而成,各绞接点依次为 1、

2??9,其中绞接点 8、2、5、7、9 位于同一水平直线上,且 9 可以无摩擦地水平滑动。各 绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示, 绞接点 3 承受有竖直向下的 压力 P/2,点 1 承受有竖直向下的压力 P,求绞接点 3 和 4 间杆的内力。

1 v0 3

O
图 12-31

B C
t 2 t1

A
t

p 3 2
P

1

4

6 9

l l

8
l

2

5
l l
图 11-505

7

l

2

9.一根长为 1m 具有小内截面的玻璃管,两端开口,一半埋在水中。在上端被覆盖后,

12.(1)用折射率为 2 的透明物质做成内半径、外半径分别为 a、b 的空心球,b 远大 于 a,内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积 为多大?(注意:被吸收掉的光束的横截面积,指的是原来光束的横截面积,不考虑透明物 质的吸收和外表面的反射。 )图 33-114 所示是经过球心的截面图。 (2)如果外半径 b 趋于 a 时,第(1)问中的答案还能成立?为什么?

把玻璃管提升起来并取出水面。问玻璃管内留下的水柱高度为多少。

b 10. 静止的原子核衰变成质量为 m1,m2,m3 的三个裂片,它们的质量损为Δ m。若三裂片 a

中每两片之间速度方向的夹角都是 120°,求每个裂片能量。

13.真空中有一个半径为 R 的均匀透明球,今有两束相距为 2d(d≤R)对称地(即两光束 与球的一条直径平行并且分别与其等距离)射到球上,试就球的折射率 n 的取值范围进行讨 论 (1)n 取何值时两束光一定在球内相交? 11.玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度,内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液 体,即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为 n1,液体对绿光的 折射率为 n2。当容器壁的内、外半径之比 r:R 为多少时,在容器侧面能看到容器壁厚为零? (2)n 取何值时两束光一定在球外相交? (3)如果 n、d、R 均已给定,如何判断此时两束光的交点是在球内还是在球外。

i1 B
A O n2 n1

d

O

i2
C
D

d

?

i

3

14.一点电荷+q 和半径为 a 的接地导体的球心相距为 h,求空间的电势分布。
?q

1.试证明:物体的相对论能量 E 与相对论动量 P 的量值之间有如下关系:
2 E 2 ? p 2 c 2 ? E0

2 2 2 2 证明: E ? p c ? mc

?

?

2

? ?m?c ?
2 2 m0 c

2

? m2c 2 c 2 ?? 2 ?

?

?

1?
2 4 2 ? m0 c ? E0

?

2

?c ?? ?
2 2

c2

2 4 m0 c ? 2 c 2 ?? 2 2 ? ?c

?

?

2 2 2 2 2 2 2 2 ? E ? p c ? E0 读者可试为之,从 E ? E0 入手证明它等于 p c 。

2. 15.电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面的半径为 R,CD 为通过半球顶点 C 与球心 O 的轴线,如图 41-91。P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧,离 O 点距离相等的两点,已知 P 点的 电势为 Up,试求 Q 点的电势 UQ。

在用质子 (1 P) 轰击固定锂 (3 Li) 靶的核反应中, (1)计算放出α 粒子的反应能。 (2)

1

7

如果质子能量为 1 兆电子伏特, 问在垂直质子束的方向观测到α 粒子的能量有多大?有关原 子核的质量如下: 1 H ,1.007825; 2 He ,4.002603; 3 Li , 7.015999. 解: (1)核反应方程如下:
7 3 4 4 Li ?1 1 P ?2 He ? 2 He

1

4

7

p2

? ?

p1

静质量 动 能

M0 E0

M1 E1

M3 E3

M2 E2
p3

图 51-21

由总质量和总能量守恒:

M0 ?

E0 E3 E1 E2 ? M1 ? 2 ? M2 ? 2 ? M3 ? 2 2 c c c c

由反应能 Q 的定义得:

Q ? ( E2 ? E3 ) ? ( E0 ? E1 )

? [(M 0 ? M1 ) ? (M 2 ? M 3 )]c 2
? [(7.015999? 1.007825 ) ? 2 ? 4.002603 ] ? 931.5

? 17.35 (兆电子伏特)
2 ?27 8 2 [其中:1u ? c ? (1.66 ?10 千克) ? (2.997925?10 米 / 秒)

? 931.5 ?106 兆电子伏特
4

=931.5 兆电子伏特]

(2) 设锂靶是静止的, 根据动量守恒, 可知, 反应所产生的两个相同的α 粒子 ( 2 He 核) , 应沿入射质子的方向对称分开,如图 51-21 所示。

4

2 M 1 M 2 E1 E 2 ? M2 ? ? M1 ? ?? cos ? ?1 ? M ? ?E2 ? ? ?1 ? M ? ? E1 ? M3 3 ? 3 ? ? ?

将上式中质量数改为质量比得 由动量守恒定律有
2 A1 A2 E1 E 2 ? ? A2 ? A1 ? Q?? cos ? ?1 ? A ? ?E2 ? ? ?1 ? A ? ? E1 ? A3 3 ? 3 ? ? ?

p1 ? p 2 ? p3
矢量 p1 , p 2 , p 3 合成的三角形,两底角皆为θ ,又因 M 2 ? M 3 ,因而有

其中 A1 ? 1 , A2 ? A3 ? 4 ,代入上式:

E2 ? E3
已知反应能 Q=17.35 兆电子伏特,且

3 Q ? 2 E2 ? E1 ? E1 E 2 c o ? s 4

Q ? E2 ? E3 ? E1 其中 E1 ? 1 兆电子伏特,可得
所以

3 2 E2 ? Q ? E1 4 co? s ? E1 E 2
3 2 ? 9.175 ? 17.35 ? ?1 4 ? 0.0825 ? 1? 9.175

1 E2 ? E3 ? (Q ? E1 ) 2

1 ? ? (17.35 ? 1) 2
=9.175(兆电子伏特) 即反应所生成的α 粒子其能量为 9.175 兆电子伏特。 α 粒子飞出方向与入射质子的方向之间的夹角为θ ,因此
2 2 P32 ? P s 1 ?P 2 ? 2 p1 p2 c o ?
2 由于 P ? 2ME ,得:

所以

? ? 85?16?
4

由此可知,在垂直于质子束的方向上观察到 2 He 的能量近似就是 9.175 兆电子伏特。
3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的

最小速度为多少?如果速度较大而产生光反射,且在原速度方向和反方向可以观察到光。问 这种光的频率与简正频率相差多少?氢原子的质量为 1.67×10-27kg,电离能

M 3 E3 ? M1E1 ? M 2 E2 ? 2M1M 2 E1 E2 c o ? s
代入反应能 Q 的定义式:

E ? 13.6eV ? 2.18?10?18 J 。
1 1 解:处于基态的氢原子能量为 E1 ? ? E?12 ,第二激发能量为 E2 ? ? E? 22 . 被氢原子吸收

Q ? E2 ? E3 ? E1

的最小能量子为
1 3 ?18 2 ? 2 ? E ? 1.16 ? 10 ?E ? E2 ? E1 ? E 11 J 4 2

?

?

5

我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数值的最小速度。如果碰撞是完全非弹性的,则
? . 碰撞中能量损失最大,碰撞后的速度将是 2 初动能和末动能之差为

解:根据物体平衡条件,列出以下方程: 选择两个小球作为研究对象,则在竖直方向上有 N-2G=0 (1)

m? 2 ? 2

2m(? ) 2 2 2

?

m? 2 4

以整体为研究对象,若翻倒必以 A 为轴逆时针方向旋转,在临界态下对 A 的力矩和为 零。此时,系统受力情况为:两物体的重力,桌面对球支持力 N,筒的重力 W,它们对 A 的力矩不为零,桌面对筒的支持力过 A 点,力矩为零,故有

这个值应等于最小的能量子
m? 2 ?E ? 4

M A ? N ?2R ? r ? ? Gr ? G?2R ? r ? ? WR ? 0
将 1 式代入 2 式有

(2)

因此

? ? 4?E m ? 6.26 ? 104 m s
在非弹性碰撞后,两个原子的速度为
? ? 3.13 ? 10 4 m s 2

2G?2R ? r ? ? WR
G R ? W 2?R ? r ? G R ? 若该圆筒倾倒必须有 W 2?R ? r ? 。

本题第二间的解答与多普勒效应有联系。对于比光速小很多的速度,相对速度之比给 出频率相对变化的极好近似。故有 讨论: (1)从答案中可以看出,当 G 大 W 小,r 与 R 很接近,就容易倾倒,这也符合 重心高、支面小稳度就小的结论。

6.26?10 : 3 ?10 ? 2.09?10 ? 2.09?10
4 8

?4

?20

0

(2)如果是一个有底圆筒,则在没有其他力推它的情况下,就绝不会倾倒。请同学们 想一想,这是为什么?

两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率 4. 如图 11-136 所示,光滑无底圆筒重 W,内放两个重量 5. 两个完全相同的木板,长均为 L,重力均为 G,彼此以光滑铰链 A 相连,并通过光滑 均为 G 的光滑球,圆筒半径为 R,球半径为 r,且 r<R<2r,试 求圆筒发生倾倒的条件。 分析:如果对两个小球和无底圆筒分别隔离分析受力再列
图 11-136

r O 1
A

O2
B

铰链与竖直墙相连,如图 11-245(甲)所示。为使两木板达水平状态保持平衡,问应在何 处施加外力?所施加的最小外力为多大? 分析:要使两板均处于平衡状态,外力只能作用在板 2 上,作用点应位于铰链 A 与板 2 的重心之间,以便使板 1 的右端受到向上的作用力,方可使板 1 也处于平衡状态。为使作用
6

G

方程组,较复杂,采取整体法较好。

力最小,外力应与木板垂直。 解:如图 11-245(乙) 、 (丙)所示。为使板 1 达水平平衡状态,其右端 A 应受到向上 的 F1 作用, F1 的施力物体是板 2 左端。根据力矩平衡条件有
1 F1 L ? G ? L 2
F1 ? 1 G 2

绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示, 绞接点 3 承受有竖直向下的 压力 P/2,点 1 承受有竖直向下的压力 P,求绞接点 3 和 4 间杆的内力。

p 3 2
P
L,G 1 L,G

1

4

6 9

l l

A
(甲) 1

2

解之得

8
l

2

隔离木板 2,其左端受到 F1 ' (与 F1 为作用力的反作用力)及重 力 mg 作用,为使板 2 呈水平且平衡,外力 F 的作用点应在 F1 ' 和 G 的作用点之间。设 F 作用点距 A 为 x,选 F 作用点 B 为转轴,根据力 矩平衡条件有
?1 ? F1 x ? G? L ? x ? ?2 ?
F1 ? 1 G 2 代入上式得

F1

5
l l
图 11-505

7

l

G

(乙)

x 2
A
B
' F 1 G

F

解: 由于点 9 可沿水平方向无摩擦滑动,故屋架在点 9 处所受外力只可能沿竖直方向, 设为 N9。由于屋架所受外力 N9、P/2 和 P 均沿竖直方向,则屋架在点 8 所受的外力也只可 能沿竖直方向,设其为 N9。 以整个屋架为对象,列各外力对支点 8 的力矩平衡方程,有

(丙) 图 11-245



1 ?1 ? G ? x ? G? L ? x ? 2 ?2 ?
x? 1 L 3 3 G 2

P ?l ?
N9 ?

P ? 2l ? N 9 ? 4l 2
P 2

N9

T

45?
图 11-506

T25

解之得

所以

板 2 所受合力应为 0,有

F ? F1 ? G ?

N9 的方向竖直向上。又由整个屋架的受力平衡关系应有

点评:本题着重领会由结果或效果反推原因的思想方法, F1 和 F 的方向及作用点均由 此方法推出。本题两次使用隔离法。 所以
6. 如图 11-505 所示,屋架由同在竖直面内的多根无重杆绞接而成,各绞接点依次为 1、

N8 ? N9 ? P ?

P 2

N8 ? P ?

P ? N9 ? P 2

N8 的方向竖直向上。 2??9,其中绞接点 8、2、5、7、9 位于同一水平直线上,且 9 可以无摩擦地水平滑动。各
7

假设将绞接点 5、6、7、9 这部分从整个屋架中隔离出来,则这部分受到杆 15、杆 47、 杆 36 的作用力,这几个作用力均沿与杆 15 平行的方向,设其以一个力 T 表示,则这个力 T 也必与杆 15 方向平行。此外,这部分还受到杆 25 的作用,设其为 T25,显然 T25 的方向应 沿水平方向;这部分还受到支持力 N9 的作用。这样,这部分就等效为受 T、T25 和 N9 三个 故得

T24 ?

2 P 2

2 P 即杆 24 中的内力为张力,其大小为 2
最后以点 4 为研究对象, 它受到与之相连的三根杆的三个力的作用。 此三力应互相平衡。

力的作用而平衡。则表示此三力的矢量构成一个封闭三角形,由前述此三力的方向关系可以 现以 T42、T47、T43 表示这三个力,由于 T42 的方向是确定的(杆 42 的内力为张力,则 T42 确定,这一三角形只能是如图 11-506 所示的三角形,由此三角形可见, 必沿由点 4 指向点 2 的方向) ,而 T47、T43 又只能沿对应杆的方向,则此三力只可能取如图

T25 ? N 9 ?

P 2

11-508 所示的方向。由点 4 在水平方向的受力平衡,应有

T13

杆 25 对点 5 的作用力方向水平向左,可见杆 25 中的内力为张力。 又假设取绞接点 8 为研究对象, 它受到支持力 N8 和杆 82 对它的作用力 T82 和杆 81 对它 的作用力 T81,由于此三力平衡,则 N8 与 T82 的合力必沿杆 81 的方向,可见应有 所以

T42 cos 45? ? T47 cos 45?
T47 ? T42

45? 4 45?
T42
图 11-508

由点 4 在竖直方向的平衡,应有

T47

T82 ? N8 ? P
且 T82 的方向应水平向右,即杆 82 的内力为张力。 再假设取绞接点 2 为研究对象,由以上分析知,其左、右两水平杆对它的作用力均为拉 力,其大小分别为 P 和 P/2。而另外只有杆 24 能对点 2 提供水平方向的分力,则为使点 2 在水平方向受力平衡,杆 24 作用于点 2 的力必沿由 2 指向点 4 的方向,进而为使点 2 在竖 直方向上受力平衡, 则杆 12 对点 2 的作用力必沿竖直向下的 方向。 综合上述可得点 2 的受力如图 11-507 所示。由图知
P

T43 ? T42 sin 45? ? T47 sin 45? ? 2T42 sin 45?
=P 即杆 43 中的内力为张力,大小为 P。 7. 一平直的传送带以速度 v=2m/s 匀速运行, 传送带把 A 点处的零件运送到 B 点处, A、 B 两点之间相距 L=10m,从 A 点把零件轻轻地放到传送带上,经过时间 t=6s,能送到 B 点, 如果提高传送带的运动速率,零件能较快地传送到 B 点,要让零件用最短的时间从 A 点传

2

T24

45? p 2
T12

送到 B 点处,说明并计算传送带的运动速率至少应多大?如要把求得的速率再提高一倍,
2 则零件传送时间为多少( g ? 10m / s )?

P T24 cos 45 ? ? P 2
?

图 11-507

分析:零件在传递带上加速运动,当零件与传送带的速度相等时,就与传送带一起作匀 速运动,这就说明了传送带的速度大,它加速的时间长,由于传送带的长度一定,只要零件
8

在这有限的长度内一直是加速的, 在此加速过程中得到的最大速度也就是传送带要使零件一 直加速具有的最小速度, 若传送带的速度再加大, 也不能使零件运送的时间变短。 反过来看, 若是零件以一定的初速度滑上传送带,它在传送带上运动的时间有一个最大值和最小值,显 然,最小值就是它在传送带一直是加速的,而最大值就是零件在传送带上一直是减速的,同 样地,减速过程中对于传送带的速度也有一个临界值,当传送带小于这个临界值时,零件到 达传送带另一端的时间不会变。这两个临界值是值得注意的。 解:零件的初速度为零,放在传送带上,受到传送带对它的滑动摩擦力,提供它作加速

速度和加速的距离一定,故运行的时间也就一定了,还是 2 5 s。
8. 一物体以某一初速度 v0 开始做匀减速直线运动直至停止, 其总位移为 s, 当其位移为

2/3s 时,所用时间为 t1;当其速度为 1/3v0 时,所用时间为 t2,则 t1、t2 有什么样的关系? 解法一:设物体的加速度为 a(大小) ,由速度公式得

1 v0 ? v0 ? at2 3

v
v0 D

有 运动所需要的外力,即 f ? ?m g ? m a, a ? ?g 。若零件一直是加速,到达 B 点的速度为 v t , 根据位移公式得

t2 ?

2v0 3a

(1)

1 v0 3

O

B C
t 2 t1

A
t

由题意可知

L?

vt t 2 ,
vt ? 2 L 2 ? 10 ? m / s ? 3.6m / s ? 2m / s t 6 。

2 1 2 s ? v0 t1 ? at1 3 2

且 此两式联立得

s?

2 v0 2a

显然这是不可能的,当零件与传送带的速度相等时,它们之间的滑动摩擦力消失,零件
L? v v2 2a ? t

v ? 与传送带一起作匀速运动,由题意可知 a

,代入数据后解得 a ? 1m / s 。
2

2 2v0 at ? 2v0t1 ? ?0 3a 2 1

要使零件能较快地从 A 点到达 B 点,则零件在 A、B 之间应该一直加速,也就是零件 到达 B 点时的速度 v Bm ? v带 ,而 解之得

v20 v0 ? 3 t1 ? a
T? v0 a ,因此有 t1 ? T ,由此知 t1 只能取

vBm ? 2aL ? 2 ?1?10m / s ? 2 5m / s , v带 ? v Bm ? 2 5m / s 。
t min ? 2L ? 2 5s v Bm

因为该物体运动的总时间

故最短的时间

若传送带的速率提高一倍,则零件传送的时间不变,这是因为零件一直是加速的,由于加
9

t1 ?

v0 ?

v20 3 ? 3 ? 3 ? v0 a 3 a

(2)

比较(1) 、 (2)式可知

t1 ? t 2

P0 ?

P0 L ? h?g 2?L ? h ?

(2)

解法二:物体在 t1 时间内的位移为

3 3 其中 ? ? 10 kg / m 为水的密度。解此方程,得出 h ? 0.475 m ? 47.5cm. 这从物理上看是可

s1 ?
物体在 t 2 时间内的位移为

2 s 3

(3)

接受的数值。
10.静止的原子核衰变成质量为 m1,m2,m3 的三个裂片,它们的质量损为Δ m。若三裂片

中每两片之间速度方向的夹角都是 120°,求每个裂片能量。

?1 ? 2 v0 ? ? v0 ? 2 4v0 8 3 ? ? s2 ? ? ? s 2a 9a 9

2

解: 由题建立如下坐标系图(51-1) (9) 原子核衰变释放能量:

?E ? ?mc2
?E ? 1 1 1 m1?12 ? m2 ? 2 2 ? m3 ?3 2 2 2 2

比较(3) 、 (4)式可知 S1 ? S 2 ,因而其对应的时间应满足 t1 ? t 2 。 解法三:根据题意作出物体的 v -t 图像如图 12-31 所示,显然,当经过时间 t 2 时,发生 由能量守恒知:

由轴方向动量守恒得:

2 s 的位移早已超过 3 。原因是,根据图中 ?ABC ~ ?ADO ,由此可知, ?ABC 表示的位移为 1 8 s s 9 ,即在 t 2 时间内发生的位移为 9 ,所以, t1 ? t 2 。
9.一根长为 1m 具有小内截面的玻璃管,两端开口,一半埋在水中。在上端被覆盖后,

P2 sim60 ? P3 sim60 ? 0


?

?

y m 1 ?1
120?
? O 120

P2 ? P3
x

又由 y 轴方向动量守恒得:

120?

把玻璃管提升起来并取出水面。问玻璃管内留下的水柱高度为多少。 解:埋入水中后,玻璃管中水柱为 0.5m。取出水面时,有一小部分水流出。如留下的 水柱高度为 h,水管内的空气压强可用玻意耳-马略特定律算出: ∴ ∴

P2 sim30 ? P3 sim30 ? P 1 ?0
P2 ? P3 ? 2P 1
P 1 ? P2 ? P 3
Ek ? P2 2m
2 P2 P P2 1 ? 2 ? 3 2m1 2m2 2m3

?

?

? m3 3

m 2 ?2

图 51-1

P?

P0V P0 ?L / 2?A P0 L ? ? ?L ? h?A 2?L ? h? V1

(1)



式中 L=1m,A 为玻璃管的截面。 玻璃管外的压强等于玻璃管内水柱和空气的压强之和。
10

?m c2 ?


2 ?P 1 (

1 1 1 ? ? ) 2m1 2m2 2m3

sin i2 1 ? ? n1 sin 90
设此时容器内壁半径为 r0 ,在直角三角形 BCO 中, sin i2 ? r0 / R 。当 r ? r0 时,C 处不 可能发生临界折射,即不可能看到壁厚为零;当 r ? r0 时,荧光液体中很多点发出的光都能



2?mc2 ? m1m2 m3 P ? m1 ? m2 ? m2 ? m3 ? m1 ? m3
2 1



E k1 ?

2 P 1

2m1

?

?m c m2 m3 m1m2 ? m2 m3 ? m1m3

2

在 C 处发生临界折射,所以只要满足

Ek 2

?m c2 m1m3 P2 ? 2 ? 2m2 m1m2 ? m2 m3 ? m1m3

r / R ? 1 / n1
即可看到壁厚为零。 (2)当 n1 = n2 时 此时荧光液体发出的光线将直线穿过容器内壁,只要在 CB 及 其延长线上有发光体,即可看到壁厚为零,因此此时应满足的条件

Ek 3

P32 ?m c2 m1m2 ? ? 2m3 m1m2 ? m2 m3 ? m1m3

A
E r0 O

B

r1

C
D

11.玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度,内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液 体,即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为 n1,液体对绿光的 折射率为 n2。当容器壁的内、外半径之比 r:R 为多少时,在容器侧面能看到容器壁厚为零? 分析: 所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零” ,是指眼在容器截面位置看到绿光从 C 点处沿容器外壁的切线方向射出,即本题所描述为折射角为 90°的临界折射,因为题中未 给出 n1 、 n2 的大小关系,故需要分别讨论。 解: (1)当 n1 ? n2 时 因为是要求 r : R 的最小值,所以当 n1 < n2 时,应考虑的是图 33-104 中 ABCD 这样一种临界情况,其中 BC 光线与容器内壁相 切,CD 光线和容器外壁相切,即两次都是临界折射,此时应该有 仍然是

i2

r / R ? 1 / n1
图 33-105

(3)当 n1 > n2 时

因为 n1 > n2 , 所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为 90 ? 的临界折射, 因此当 r ? r0 时,所看到的壁厚不可能为零了,当 r ? r0 时,应考虑的是图 33-105 中 ABCD 这样一种临界情况,其中 AB 光线的入射角为 90°,BC 光线的折射角为 r1 ,此时应该有

i1 B
A O n2 n1
图 33-104

i2
C
D

sin 90? n1 ? sin r1 n2
在直角三角形 OBE 中有

sin r1 ? OE / OB

因为图 33-104 和图 33-105 中的 i 2 角是相同的,所以 OE ? r0 ,即

sin 90? n1 ? r0 / r n2
11



r0 ?

R n1 代入,可得当

由折射定律

sin i ? ns i n r R ? nb sin r
sin r? a b ,n ? 2

r / R ? 1 / n2
所以

时,可看到容器壁厚为零。
i ? 90 ? A

上面的讨论,图 33-104 和图 33-105 中 B 点和 C 点的位置都是任意的。故所得条件对眼 的 12.(1)用折射率为 2 的透明物质做成内半径、外半径分别为 a、b 的空心球,b 远大 于 a,内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此 球时被吸收掉的光束横截面积为多大? (注意: 被吸收掉的光 束的横截面积, 指的是原来光束的横截面积, 不考虑透明物质 的吸收和外表面的反射。 )图 33-114 所示是经过球心的截面 图。
图 33-114 a b

又因为 所以

b

r

B

R ? na ? 2a
S ? ?R 2 ? 2?a 2

a
O

即被吸收掉的光束横截面积为 2?a 。
2

图 33-116

(2) 在 b 趋于 a 达到一定程度时, 从第 (1) 问的结果可知, 当 b 减小到 b ? na ? 2a 时,
? ?b 2 ? 2?a 2 , 即入射到此空心球上的全部光线都将被吸收掉, 此时极限光线的入射角 i ? 90 ,

而 R=b,如图 33-116 所示。如果 b 再减小,则入射到此空心球上的全部光线仍将被吸收掉, 此时极限入射光线 (即入射角 i ? 90 ) 的折射线并不与内球表面相切,
?

i ? 90 ?

(2)如果外半径 b 趋于 a 时,第(1)问中的答案还能成立?为什么? 分析: (1)如图 33-115 所示,不被 a 球吸收的极限光线是与 a 球相切的光线 AB,因此 被吸收掉的光束横截面积应该是以 R 为半径的一个圆盘,面积为 S ? ?R 。利用折射定律和
2

所以被吸收光束截面积为 2?a 的结论不再成立。被吸收光束截面积
2 2 2 此时为 ?b ? 2?a ,参见图 33-117 所示。

b

r

a

相关几何关系式不难求出 R 而得解。 (2)在 b 趋于 a 的过程中,当 b 减小到一定程度时,入射 到 b 球面上的所有光线折射后可能都会与 a 球面相交,此时如 果 b 再度减小,则依据第(1)问计算出的结果就不能成立。 解: (1)如图 33-115 所示,CO 为穿过球心的光线,与 CO 相距为 R 的光线在 b 球面折射后折射光线 AB 恰好与 a 球相切,则有
R ? b sin i
i A

讨论: (1)本题第(1)问可以改为求经过空心球折射后的光束
E

图 33-117

R

C

b i

r

B

在球右边形成的出射光束的截面积大小是多少的问题。 从左边平行入

a
O

?

D F

R?

射到空心球的光束只有 AE 区域间的光线经外球面折射后能够从右半球折射出来,如图
? 33-115 所示。 与 a 球相切的光线 AB 光 b 球于 D, 过 E 点的光线入射角为 90 , 因折射率为 2 ,

图 33-115

? 所以该折射光线的折射角为 45 ,即折射光线刚好交于 b 球于 F 点。设 ?DOF ? ? ,D 到直

线 OF 的距离为 R ? ,且

R? ? b s i n ?,

2 而出射光束截面积 S ? ? ?R? 。由几何关系易知 ? ? 2r ? r ? ,

12



? ? 2 arcsin

a a ? arcsin( n) b b ,所以可求出 S ? 。

r?

1 i 2

(2)如果把问题改为空心球的内表面没有涂上吸光物质,而要求进入球内空心部分的 光束在球壳外的截面积大小是多少。因为距中心光线 CO 越远的光线,在两球面上的入射角 越大, 因此抓住经外球面折射后的光线在内球面上的入射角刚好等于光从介质进入空气的临 界角这条特殊光线来考虑,如图 33-118 所示。设 ? 角为光由介 质射入空气的临界角,在Δ ABO 中,有
sin r sin(? ? ? ) 1 ? ? a b nb ,

又由折射定律有

n0 s i n r ?sin i
由上两式解得

n0 ? 2 c o r s
i
A

? B r
i

又由图中的几何关系可以得到

C

D

O

cor s?

?R ?

R ? R2 ? d 2 R2 ? d 2
2

? ?d

2

又由 sin i ? n sin r ,由图可知 AD ? b sin i 。利用以上几个关

图 33-118

?

2 2 系式可得 AD ? a ,故所求射入球内空心部分的光束在球外的截面积 S ?? ? ?AD ? ?a

R ? R2 ? d 2 2R
1 d2 2 ? 2 1? 2 2 R

点评:从本例的解答中可看出,正确分析和作出边界光线是解决问题的关键。边界光线是 随着具体问题的不同而改变的,要注意针对具体问题灵活把握。 13.真空中有一个半径为 R 的均匀透明球,今有两束相距为 2d(d≤R)对称地(即两光束 与球的一条直径平行并且分别与其等距离)射到球上,试就球的折射率 n 的取值范围进行讨 论 (1)n 取何值时两束光一定在球内相交? (2)n 取何值时两束光一定在球外相交? (3)如果 n、d、R 均已给定,如何判断此时两束光的交点是 在球内还是在球外。
图 33-123

?

n0 ?

1 d2 2 ? 2 1? 2 2 R

d 由上式可见,对于某一个确定的比值 R ,为使两光线刚好交于球面,球的折射率有一

个确定的值 n0 与之对应。这样,我们可以假想,若球的实际折射率 n 不等于 n0 时,则两光
d d O

?

线进入球内时的情况与前面图示的情况有所不同,即两光线不是交于球面上。当 n ? n0 时, 两光线将比图示情况偏折得更厉害 (图中角 r 将更小) , 两光线的交点必在球内; 当 n ? n0 时, 两光线将比图示情况偏折得少一些(图中的角 r 将大一些) ,两光线的交点必在球外。
d d 0 ? ?1 R 若以 R 作为一个变量来讨论上述问题,由于 ,故由此确定的 n0 的范围是
13

i

分析:设当球的折射率为 n0 时,两束光刚好交于球面上,如图 33-123 所示。令光线射 入球中时的入射角为 i,折射角为 r,则由图中的几何关系有

2 ? n0 ? 2 。
d 解: (1)当 n ? 2 时,对于任何 R 来说,都有 n ? n0 ,即不管球的半径和两光线间的距

由球面上 U=0,即 r=a 处。U=0,有

q a 2 ? h 2 ? 2r a h co? s

?

q? a 2 ? h? 2 ? 2ah? c o ? s

离如何,两光线都必定在球内相交。
d (2)当 n ? 2 时,对于任何 R 来说,都有 n ? n0 ,即不管球的半径和两光线间的距离

上式含有参量 q? 与 h? ,因而问题化成能否找到两个参量 q? 和 h? ,使上式对于任意的 ? 都 能满足。两边平方

如何,两光线都必定在球外相交。
? 2 ? ?n ? 2 ? 2 1? d ? ? 0 R2 ? ? ? 的大小即可 (3)对于任意给定的 n、R 和 d,则只需比较 n 与 n0

q 2 a 2 ? h 2 ? 2q 2 ah?h c o ? s ? q? 2 a 2 ? h 2 ? 2q? 2 ahc o ? s

?

?

?

?

?q

确定两光线的交点是在球内还是在球外: 当 n ? n0 时,两光线的交点在球内; 当 n ? n0 时,两光线的交点在球面上; 当 n ? n0 时,两光线的交点在球外; 14.一点电荷+q 和半径为 a 的接地导体的球心相距为 h,求空间的电势分布。 分析:此处是电荷与导体上的感应电荷共同作用的情况,此处导体是一导体球,而非平 板。我们自然地猜想,球上的感应电荷可否用像电荷等效替代?若可以,该电荷应在何处? 解:在导体球面上,电力线与球面正交,从电力线会聚的趋势(如图 41-85(a) )来看, 感应电荷与-电荷 ? q? 相当。据对称性, ? q? 应在 z 轴上,设其距球心 h? 。如图 41-85(b) 。 点电荷+q 与像电荷 ? q? 在 P 点的电势为

要使此式对任意 ? 都成立,必须

q 2 a 2 ? h 2 ? q? 2 ? a 2 ? h 2

?

?

?

?

q 2 h? ? q? 2 h
图 41-85(a)

得出 q? 和 h?
Z ?q

a2 h? h

a q? ? ? q h

P r? ? q? ? h? r0 O

h

r

h? ? h

q? ? ?q

图 41-85(b)

? q q? U ? k? ? ? 2 2 s r 2 ? h? 2 ? 2rh? c o ? s ? r ? h ? 2ah c o ?

? ? ? ?
14

从上式可以看出球面的电势相当于单独的一个点电荷 q 在球心的电势。实际上,由于球 其中第一组解像电荷在球内,其对球外空间作用与感应电荷相同。第二组解像电荷就在 q 处,其对球内空间作用与感应电荷相同(第二组解并非其他书上所说的毫无意义,这一结 果有很好的应用。虽然它看起来显而易见) 。 球外空间电势为
? ? ? ? q q ? ? U ? K? ? ? 2 2 2 s ?h? 2 ? h ? r ? 2rh c o ? 2 a ? ? ? r ? 2hr c o ? s? ? ? ?a? ? ?

表面带电总量为零,这一点是显而易见的。
2 如果 q 移到无限远,即 h ? ? ,同时增大 q,使在球心处的电场 E0 ? kq / h 保持有限。

这时,像电荷 ? q? 的

h? ?

a2 3 2 h 无限趋近球心,但 q?h? ? a q / h 保持有限,因而像电荷 q? 和 ? q?

在球心形成一个电偶极子,其偶极矩为
? a3 ? ? ? P ? q ?h? ? E0 ? 4?? 0 a 3 E0 k 。

球内空间电势为零。 讨论:若导体球绝缘,并且原来不带电,则当导体球放在点电荷 q 的电场中时,球将感 应等量的正负电荷,球外空间的电场由点电荷 q 及球面上的感应正负电荷共同产生。这时感 应电荷的贡献,除了负电荷根据上面的讨论可由球内 Z 轴上的象 ? q? 代替外,还应有一个感 应正电荷的像 q? ,为了保持球面等势,这个像的位置位于球心。那么

? E 无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场 0 可看作是均匀的。因此
? 一个绝缘的金属球在匀强电场 E0 中受到感应后,它的感应电荷在球外空间的作用相当于一
a3 ? E0 个处在球心,电偶极矩为 K 的偶极子。

15.电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面的半径为 R,CD 为通过半球顶点 C 与球心 O 的轴线,如图 41-91。P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧,离 O 点距离相等的两点,已知 P 点的 电势为 Up,试求 Q 点的电势 UQ。 分析:本题关键是将其转化为空间对称情形,而后用电势叠加原理求解。 解:设想一匀匀带电、带电量也是 q 的右半球,与题中所给的左半球组成一个完整的均 匀带电球面,由对称性可知,右半球在 P 点的电势
U 'p

? q q? q? ? U ? K? ? r ? r ? r? ? ? 0 ? ?
对于球面上任意一点
q q? ? r r?

而 r0 ? a ,所以
U ?K q? q ? K ? 常数 a h
15

等于左半球在 Q 点的电势,即

U 'p ? U 0

(1)

所以

U p ? U Q ? U p ? U 'p

(2)



U p ? U 'p

正是两个半球同时存在时 P 点的电势。 因为均匀带电球壳内部各处电势都相

2q 等,其值等于 R ,k 为静电力恒量,所以得 k U p ? U 'p ? k 2q R

(3)

由(2)、(3)两式得

UQ ? k

2q ?U p R

16


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