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2011广东高考文科数学最后冲刺专题之--统计概率


2011 广东高考文科数学最后冲刺专题之 概率与统计
?x ≥ 1 ? 1.(广 东省江门市 2011 年高考一模文科 年高考一模文科)已知平面区域 D :? y ≥ 1 ,?( a , b) ∈ D ,a ? 2b ≥ 0 的概率 广 ?x + y ≤ 5 ?
A.

1 3

B.

1 6

C.

4 27

D.

1 12 1 12

2.( 月高三第二学期第一次调研文科) 2.(广东省珠海一中 2011 年 2 月高三第二学期第一次调研文科)某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音 机想收听电台整点报时,则他等待的时间短于 5 分钟的概率为 .

3. (广东执信中学 2011 年 2 月高三考试文科)在边长为 1 的正方形 ABCD 内随机取一点 P , 月高三考试文科) 则点 P 到点 A 的距离大于 1 的概率为( B ) A.

π

4

B. 1 ?

π

4

C.

π

8

D. 1 ?

π

8

4. (广东省珠海一中 2011 年 2 月高三第二学期第一次调研文科)甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如下图 月高三第二学期第一次调研文科) 所示设 s1 , s2 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, x1 , x2 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的 平均数,则有 ( B ) B. x1 = x2 , s1 > s2 D. x1 = x2 , s1 = s2 8 甲 5 7 茎 1 2 6 3 乙 8 6 7

A. x1 = x2 , s1 < s2 C. x1 > x2 , s1 > s2

8 2

5.(广东省江门市 2011 年高考一模理科 广东省江门市 年高考一模理科)某社区现有 480 个住户, 其中中等收入家庭 200 户、 低收入家庭 160 户,其他为高收入家庭。在建设幸福广东的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了 6 户,则该社区 本次被抽取的总户数为( B ) A. 20 B. 24 C. 30 D. 36

6. (广东省广雅金山佛一中)一个总体分为 A、B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 30 的样 广东省广雅金山佛一中) 广东省广雅金山佛一中 本,已知 B 层中每个个体被抽到的概率都是

1 ,则总体中的个体数为 360 12



7.【2010·陕西文数】如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 本标准差分别为 sA 和 sB,则( )

,样

A.



,sA>sB B.



,sA>sB

C.



,sA<sB D.



,sA<sB

1

8.【2010·北京文数】从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数 为 b,则 b>a 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

9.【2010·山东青岛二模】甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 解决这个问题的概率是 ,那么其中至少有一人解决这个问题的概率是( )

,乙

A.

B.

C.

D.

【解析】至少有 1 人能解决这个问题的对立事件是两人都不能解决,两人解决问题是相互独 立的,故所求概率为 .

10. 月高三第二学期第一次调研文科) 10.(广东省珠海一中 2011 年 2 月高三第二学期第一次调研文科)(本小题满分 14 分) 为了解高中一年级学生身高情况,某校按 10%的比例对全校 700 名高中一年级学生按性别进行抽样检查, 测得身高频数分布表如下表 1、表 2. 表 1:男生身高频数分布表
身身(cm) [185,190)

[160,165) [165,170) [170,175)

[175,180) [180,185)

男频

2

5

14

13

4

2

表 2::女生身高频数分布表
身身(cm) [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180)

男频

1

7

12

6

3

1

(1)求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图; 男男 (2)估计该校学生身高在 165 : 180cm 的概率; 组组 0.07 (3)从样本中身高在 180 : 190cm 之间的男生中任选 0.06 2 人,求至少有 1 人身高在 185 : 190cm 之间的 0.05 0.04 概率。 0.03 (1)样本中男生人数为 40 , 0.02 0.01 由 分 层 抽 样 比 例 为 10% 可 得 全 校 男 生 人 数 为 身身/c m 0 160 165 170 175 180 185 190 400.----2 分 男男男男男男男男男男男 频 率 分 布 直 方 图 如 右 图 示 : --------------------------------------------------4 分 (2)由表 1、表 2 知,样本中身高在 165 : 180cm 的学生人数为:5+14+13+6+3+1=42,样本容量为 70 ,所以样本中学生身高在 165 : 180cm
2






0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02

男男 组组

f =

42 3 = -------------------------------------------------------6 分 70 5

故由 f 估计该校学生身高在 165 : 180cm

0.01 3 身身/cm 的概率 p = .----------------------------8 分 0 5 男男男男男男男男男男男 (3)样本中身高在 180 : 185cm 之间的男生有 4 人,设其编号 为①②③④ 样本中身高在 185 : 190cm 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤⑥从上述 6 人中任取 2 人
160 165 170 175 180 185 190

的树状图为:
2 3 1 4 5 6 2 3 4 5 6 3 4 5 6 4 5 6 5 6

故从样本中身高在 180 : 190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15,求至少有 1 人身高在 185 : 190cm 之间的可能结果数为 9,因此,所求概率 p =

9 3 = .---------------14 分 15 5

11.(广东省江门市 2011 年高考一模文科 广东省江门市 年高考一模文科)(本小题满分 12 分)某地为了 建立幸福指标体系,决定用分层抽 样的方法从公务员 、教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见 下表(单位:人). ⑴求研究小组的总人数; ⑵若从研究小组的公务员和教师中随机选 2 人撰写研究报告, 求其中恰好有 1 人来自公务员的概率. 8.⑴依题意, 公务员 教师 自由职业者 相关人员数 32 48 64 抽取人数

x y
4

64 48 32 = = ……2 分,解得 y = 3 , x = 2 ……4 分,研究小组的总人数为 2 + 3 + 4 = 9 4 y x
64 ……4 分, = 9 ……6 分) 64 + 48 + 32

(人)……6 分.(或 4 ÷

教师为 b1 、 2 、 3 , b b 从中随机选 2 人, 不同的选取结果有:a1 a 2 、a1 b1 、 ⑵设研究小组中公务员为 a1 、a 2 ,

a1 b2 、 a1 b3 、 a 2 b1 、 a 2 b2 、 a 2 b3 、 b1 b2 、 b1 b3 、 b2 b3 ……8 分,共 10 种……9 分,其中恰好有 1
人来自 公务员的结果有: a1 b1 、 a1 b2 、 a1 b3 、 a 2 b1 、 a 2 b2 、 a 2 b3 ……10 分,共 6 种……11 分,所 以恰好有 1 人来自公务员的概率为 P =

6 3 (= = 0.6) ……12 分. 10 5

3

12.(广东省广雅金山佛一中 2011 年 2 月高三联考文科)(本小题满分 12 分) 广东省广雅金山佛一中 月高三联考文科) 雅山中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出 20 名学生作为样本,其选报文科理 科的情况如下表所示。 男 文科 理科 2 10 女 5 3[来源 学_科_ 来源:学 科 来源 网 Z_X_X_K]

(Ⅰ)若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出 3 人召开座谈会,试求 3 人中既有男生也有女生概 (Ⅱ)用假设检验的方法分析有多大的把握认为雅山中学的高三学生选报文理科与性别有关? 参考公 数据: K =
2

n(ad ? bc) 2 (a + c)(b + d )(a + b)(c + d )

p( K 2 ≥ k )
k

0.15 2.07

0.10 2.71

0.05 3.84

0.025 5.02

0.010 6.64

0.005 7.88

0.001 10.83

解:(Ⅰ)设样本中两名男生分别为 a,b,5 名女生分别为 c,d,e,f,g,则基本事件空间为; (abc)(abd) (abe) (abf) (abg) (acd) (ace) (acf) (acg) (ade) (adf) (adg) (aef) (aeg) (afg) (bcd) (bce) (bcf) (bcg) (bde) (bdf) (bdg) (bef) (beg)

(bfg) (cde) (cdf) (cdg) (cef) (ceg) (cfg) (def) (deg) (dfg) (efg) 共 35 种, …………………………………………………………3 分 其中,既有男又有女的事件为前 25 种,……………………………………………4 分 故 P(“抽出的 3 人中既有男生也有女生”)=

25 5 = 。…………………………6 分 35 7

(Ⅱ) k =

20 × ( 50 ? 6 )

2

7 ×13 ×12 × 8

=4.43

………………………………………………9 分 ………………………………………………10 分

> 3.841,

对照参考表格,结合考虑样本是采取分层抽样抽出的,可知有 95%以上的把握认为学生选报文理科与 性别有关。 ………………………………………………12 分

13.(广东省东莞市 2011 年高三一模文科)(本小题满分 12 分)某班 ( 年高三一模文科) 主任统计本班 50 名学生放学回家后学习时间的数据, 用条形图表示 (如 图)。 (1)求该班学生每天在家学习时间的平均值; (2)该班主任用分层抽样方法(按学习时间分五层)选出 10 个学生 谈话,求在学习时间为 1 个小时的学生中选出的人数; (3)假设学生每天在家学习时间为 18 时至 23 时,已知甲每天连续
4

学习 2 小时,乙每天连续学习 3 小时,求 22 时甲、乙都在学习的概率. 解:(1)平均学习时间为 (2) 20 ×

20 × 1 + 10 × 2 + 10 × 3 + 5 × 4 = 1.8 小时 50

4分 7分

10 =4 50

(3)设甲开始学习的时刻为 x ,乙开始学习的时刻为 y ,试验的全部结果所构成的区域为 学习”,所构成的区域为 A = 一个几何概型,所以 P ( A ) =

? = {( x, y ) 18 ≤ x ≤ 21,18 ≤ y ≤ 20} ,面积 S? = 2 × 3 = 6 . 事件 A 表示“22 时甲、乙正在

{( x, y ) 20 ≤ x ≤ 21,19 ≤ y ≤ 20} ,面积为 S
SA 1 = S? 6

A

= 1× 1 = 1 ,这是
12 分[

14.(广东执信中学 2011 年 2 月高三考试文科)(本小题满分 12 分)某中学一位高三班主任对本班 50 名 月高三考试文科) ( 学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查,得到的统计数据如下表所示:
[来源.X.K] 学习积极性高 学习积极性一般 合计 积极参加班级工作 18 6 24 不太主动参加班级工作 7 19 26[来源:.] 合计 25 25 50

(1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是 多少?抽到不太积极参 加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系?说明理由.

15.(广东省深圳市 2011 年 3 月高三第一次调研文科)(本小题满分 14 分) ( 月高三第一次调研文科) 1 已知函数 f ( x) = x3 ? ax + b ,其中实数 a,b 是常数. 3
(1)已知 a ∈ {0,, } , b ∈ {0,, } ,求事件 A“ f (1) ≥ 0 ”发生的概率; 1 2 1 2
(2)若 f ( x)是 R 上的奇函数, g(a)是 f ( x)在区间 [ ?1, ] 上的最小值,求当 a ≥ 1 时 g(a)的解析式. 1 【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、 命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识 考查化归与转化、 古典概型 零点 分类列举等数学思想方法,以及运算求解能力 分类列举等数学思想方法,以及运算求解能力. 数学思想方法 【解析】(1) 当 a ∈ {0,1, 2} , b ∈ {0,1, 2} 时,等可能发生的基本事件 (a, b) 共有 9 个:

(0,,,,, (1,,,,, ,,,,,, …………………………4 分 0) (0 1) (0 2), 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2).
其中事件 A “ f (1) =

1 ? a + b ≥ 0 ”,包含 6 个基本事件: 3

(0,,,,,,,,,, , …………………………4 分 0) (0 1) (0 2) (11) (1 2) (2 2).
5

故 P ( A) =

6 2 = .…………………………6 分 9 3 2 答:事件“ f (1) ≥ 0 ”发生的概率 .………………7 分 3 1 3 (2) f ( x ) = x ? ax + b, 是 R 上的奇函数,得 f (0) = 0, b = 0. ………………8 分 3 1 3 f ′( x) = x 2 ? a , ………………………9 分 ∴ f ( x ) = x ? ax, 3
① 当 a ≥ 1 时,因为 ?1 ≤ x ≤ 1 ,所以 f ′( x ) ≤ 0 , f ( x ) 在区间 [ ?1,1] 上单调递减,

从而 g ( a ) = f (1) =

1 ? a ;……………………11 分 3

② 当 a ≤ ?1 时,因为 ?1 ≤ x ≤ 1 ,所以 f ′( x ) > 0 , f ( x ) 在区间 [ ?1,1] 上单调递增, 从而 g ( a ) = f ( ?1) = ?

1 + a . ……………………13 分 3

? 1 ? a ? 3 , a ≤ ?1 ? 综上,知 g ( a ) = ? . ?? a + 1 , a ≥ 1 ? 3 ?

……………………14 分

16.【2010·陕西文数】为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进 行出样检查,测得身高情况的统计图如下:

(1)估计该校男生的人数; (2)估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; (3) 从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的概率. 解:(1)样本中男生人数为 40 ,由分层出样比例为 10%估计全校男生人数为 400.

6

(2)由统计图知,样本中身高在 170~185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人,样本容

量为 70 ,所以样本中学生身高在 170~185cm 之间的频率 身高在 170~180cm 之间的概率 .

,故有 f 估计该校学生

(3)样本中身高在 180~185cm 之间的男生有 4 人,设其编号为①,②,③,④,样本中 身高在 185~190cm 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤,⑥,从上述 6 人中任取 2 人的树状图 为:

故从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15,求至少有

1 人身高在 185~190cm 之间的可能结果数为 9,因此,所求概率

.

17.【2010·辽宁文数】为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔 做实验,将这 200 只家兔随机地分成两组。每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射 药物 B.下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果.(疱疹面积单位: )

(Ⅰ)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

7

(Ⅱ)完成下面

列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面

积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.

附: 解:(Ⅰ)

图 1 是注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图,图 2 是注射药物 B 后皮肤疱疹面 积的频率分布直方图.可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间, 而注射药 物 B 后的疱疹面积的中位数在 70 至 75 之间,所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射 药物 B 后疱疹面积的中位数. (Ⅱ)

8

疱疹面积小于 注射药物 注射药物 合计

疱疹面积不小于

合计

由于

,所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后

的疱疹面积有差异”. 18.【2010·山东文数】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3, 4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取 一个球,该球的编号为 n,求 的概率.

19.【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况, 随机抽取了 500 户居民去年的月均用电量(单位:kw/h),将所得数据整理后,画出频率分布 直方图如下,其中直方图从左到右前 3 个小矩形的面积之比为 1︰2︰3,试估计: (Ⅰ)该乡镇月均用电量在 39.5~43.5 内的居民所占百分比约是多少?
9

(Ⅱ)该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少?(精确到 0.01)

解:(Ⅰ)设直方图从左到右前 3 个小矩形的面积分别为 P,2P,3P. 由直方图可知,最后两个小矩形的面积之和为(0.0875+0.0375)×2=0.25. 因为直方图中各小矩形的面积之和为 1,所以 P+2P+3P=0.75,即 P=0.125. 所以 3P+0.0875×2=0.55. 由此估计,该乡镇居民月均用电量在 39.5~43.5 内的居民所占百分比约是 55%. (Ⅱ)显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内,且该矩形在面积平分线左侧部 分的面积为 0.5-P-2P=0.5-0.375=0.125,设样本数据的中位数为 39.5+x.

因为正中间一个矩形的面积为 3P=0.375,所以 x︰2=0.125︰0.375,即 x= ≈0.67. 从而 39.5+x≈40.17, 由此估计,该乡镇居民月均用电量的中位数约是 40.17(kw/h).

10


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