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立体几何基础练习题


立体几何基础练习题 立体几何基础练习题 基础
(一)平面基本性质 一 平面基本性质 1. 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E为AB 的中点,F
D P

为 AA1 的中点。 求证: (1) E , C , D1 , F 四点共面 (2) CE , D1 F , DA 三线共点

D1

A O 1

C

A1
F
D

C

B

B1
C

A

E

B

2.

平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条

数为 __________ 面间的位置关系 (二)线、面间的位置关系 (注意线线、线面、面面间关系的转化及平行和垂直两种特殊关系) 注意线线、线面、

1.

对于任意的直线 l与平面α ,在平面 α 内必有直线 m,使 m与l (



A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 互为异面直线 D 2. 如右图,在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, C1 E、F 分别是 AB1,BC 1 的中点,则以下结 B1 A1 论中不成立的是( ) C D A. EF 与 BB1 垂直 B. EF与BD 垂直 C. EF与CD 垂直 D. EF与A1C1 异面 A B 3. 已知 a, b, c是三条不重合的直线, α , β , γ 是三个不重合的平面,下面 四个命题正确的有_________ (1) a // c, b // c ? a // b (2) a // γ , b // γ ? a // b (3) c // α , c // β ? α // β (4) γ // α , β // γ ? α // β 4. 以下四个命题正确的有________ (1)垂直于同一个平面的两个平面平行; (2)垂直于同一条直线的两个平面平行;
1

1

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行; (4)垂直于同一条直线的两条直线平行; 5. 下列四个命题 (1) 异面直线是指空间两条既不平行又不相交的直线 (2) 两条异面直线 a,b,若 a α , 则b α (3) 两条异面直线 a,b,若 a ⊥ α , 则b ⊥ α (4) 两条异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行线 其中正确的命题的序号是__________ 6. 在空间中,给出下列四个命题: (1) 有两组对边相等的四边形是平行四边形 (2) 四边相等的四边形是菱形 (3) 两边分别平行的两角相等 (4) 交于一点的三线共面 其中正确的命题数为________ 7. 设有四个命题: (1) 底面是矩形的平行六面体是长方体 (2) 棱长相等的直四棱柱是正方体 (3) 有四条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 (4) 对角线相等的平等六面体是直平行六面体 以上四个命题中,真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8. 若直线 l 与平面 α 所成角为 60° , 则直线 l 与平面 α 内所有的直线所成的 ) 角的最大值是( A. 60° B. 90° C.120° D.180° 9. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中 N ①BM 与 ED 平行; D M C ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°的角; ④DM 与 BN 垂直 E A B 以上四个命题中,正确命题的序号是________
F

10. ?A′B′C ′ 是用“斜二侧画法”画出的等腰直角三角形 ABC 的直观图, S′ 记 ?A′B′C ′ 的面积为 S ′ , ?ABC 的面积为 S,则 = ______ S 11. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB = BC = BB1 = 2 ,E、F 分别为 AA1, C1 B1 的中点,沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度为
2

________ 12. 已知 E、F、G、H 分别是三棱锥 A-BCD 棱 AB、BC、CD、DA 的中点, (1)①四边形 EFGH 是_______形 ②在正三棱锥中,四边形 EFGH 是 _______形 ③在正四面体中,四边形 EFGH 是 _______形 (2) AC ⊥ BD, AC = BD, 则EG与BD 所成的角 大小为________ (3)AC 与 BD 所成角为 60° ,且 AC=BD=1,则 EG=_______

A E B F C G H D

13. 已知 SA,SB,SC 是三条射线, (1) ∠ASB = ∠BSC = ∠CSA = 60° ,则 SA 与平面 SBC 所成角大小为_______ (2)∠BSC=60°,SA 上一点 P 到平面 BSC 的距离是 3, P 到 SB,SC 的距离均 是 5,则 SA 与平面 BSC 所成的角大小为________ 14. (1) 正三角形 ABC 的边长为 6cm,点 O 到 ?ABC 各顶点的距离都是 4cm, 则点 O 到这个三角形所在平面的距离为________ (2)三棱锥的底面是两条直角边长分别为 6cm 和 8cm 的直角三角形, 各侧面与底面所成角都是 60° ,则棱锥的高为_________ 15. 在三棱锥 P-ABC 中,分别满足以下条件,点 P 在平面 ABC 上的射影 点分别为三角形 ABC 的 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 (1)PA=PB=PC ( ) (2)三条侧棱与底面 ABC 所成角相等 ( ) (3)三个侧面与底面 ABC 所成的角相等 ( ) (4)三条斜高相等且射影点在三角形内部( ) (5)PA,PB,PC 两两垂直 ( ) (6)三个侧面两两垂直 ( ) (7)射影点与三顶点连线将 ?ABC 分为面积相等的三个三角形( ) 16. 棱长为 4 的正方体外接球的表面积是_____,内接球的体积是______ 17. 已知球面上的三点 A、B、C,且 AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,球的半径 为 13cm.则球心到平面 ABC 的距离为_________ 18. 我国某远洋考察船位于北纬 30° 东经 125° 处, 则它此时离南极的球面距
3

离为________(地球半径为 R) 19. 设地球半径为 R,在北纬 60° 的纬度圈上有 A,B 两地,它们的经度差 是 90° (1) 求 A,B 两地间的纬度线长 (2) 求 A,B 两地间的球面距离

20. 如图,在空间平移 ?ABC到?A1 B1C1 ,连接对应顶点, CA = CB = 1 ,已 知 CC1 ⊥ 平面ABC , ∠BCA = 90°,AA 1 = 2 ,M、N 分别是 A1 B1,A 1 A 的中 C1 点。

(1) 求 BN 的长 (2) 求 cos < BA1 , CB1 > 的值 (3) 求证 A1 B ⊥ C1 M
→ →



A1 M N B1

.
C

A

B

21. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,E、G 分别是 BC、C 1 D1 的中点 (1) 求证: EG // 平面BDD1 B1 D1 C1 G (2) 求 E到平面BDD1 B1 的距离
A 1 B1

D E
A B

C

22. 三棱锥 P-ABC 中,PA ⊥平面 ABC,PA=3,AC=4,PB=PC=BC (1)请作出过 PA 与 BC 垂直的平面,并说明理由 P (2)求二面角 P-BC-A 的大小

A B

C

4

23. 在矩形 ABCD 中, AB=3, BC=4, 沿对角线 BD 对折成二面角 A-BD-C, 使 A 在平面 BCD 上的射影 E 在 BC 上。 A (1)求异面直线 AB 与 CD 所成的角; (2) 求 AB 和 CD 间的距离; (3)求二面角 C-BD-A 的大小
B E C D

(三)排列、组合及二项式定理 排列、组合及二项式定理 1. (1)用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A.8 B.24 C.48 D.120 (2)0 到 9 这 10 个数字可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A.324 B.328 C.360 D.648 (3)从 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数, 组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为 ( ) A.432 B.288 C.216 D.108 (4)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个 位、十位上的数字之和为偶数的四位数共有 个 2. 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志 愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其 中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则 不同的选派方案共有( ) A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种 3. 某同学有同样的画册 2 本,同本的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 其它每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( ) A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 4. (1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有( ) A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.30 种 (2)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有________
5

将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名 学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 A.18 B.24 C.30 D.36 6. 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一 级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 7. 某地政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业各有 1 人到会,会上有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企业 的可能情况的种数为( ) B.16 C.20 D.48 A.14 8. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女 生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 9. 将标号为 1,2,...,10 的 10 个球放入标号为 1,2,...,10 的 10 个盒 子里,每个盒内放一个球,恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不一 ) 致的放入方法种数为( A.120 B.240 C.360 D.720.5.u.c. 10. A、B、C、D、E 五人并排站在一块,若 B 必须站在 A 的右边(A、B 可 以不相邻) ,那么不同的排法数有_________ 5.
11. 若 (1 ? 2 x) 2009 = a0 + a1 x + L + a2009 x 2009 ( x ∈ R ) ,
(1) a 0 = _______,

a1 = ________

(2) a1 + a 2 + a3 + ? ? ? + a 2009 = _______ (3) a 0 + a 2 + a 4 + ? ? ? + a 2008 = _______ (4)

a a1 a2 + 2 + L + 2009 =_______ 2 2 22009

12. 在 ( x + y ) n 展开式中,若第 7 项的系数最大,则 n 的取值集合为______ (三)概率与统计 1. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次,至少出现一次 6 点向上的概率 是 _______ 2. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛。 (I) 所选 3 人都是男生的概率_______ (II)所选 3 人中恰有 1 名女生的概率________
6

(III)所选 3 人中至少有 1 名女生的概率________ 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能 答对其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随 机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格. (Ⅰ)甲考试合格的概率为______;乙考试合格的概率为________ (Ⅱ)甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为________ 4. 某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位, 二班有 2 位,其它班有 5 位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序, 则一班有 3 位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连) ,而二班的 2 位 同学没有被排在一起的概率为_______ 5. 为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施 可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概 率(记为 P)和所需费用如下表: 预防措施 甲 乙 丙 丁 P 0.9 0.8 0.7 0.6 费用(万元) 90 60 30 10 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施, 在总 费用不超过 120 万元的前提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件 不发生的概率最大. 3.

6.

某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一 个容量为 100 的样本,记这项调查为①;在丙地区中有 20 个特大型销焦 点, 要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况, 记这项调查为②, 则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A. 分层抽样,系统抽样法 B. 分层抽样法,简单随机抽样法 C. 系统抽样法,分层抽样法 D. 简单随机抽样法,分层抽样法 7. 某校有老师 200 人,男学生 1200 人,女学生 1000 人.现用分层抽样的方法 从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本; 已知从女学生中抽取的人数为 80 人,则 n= ______
7

用随机变量 ξ 表示选出的志愿者中女生的人数,则 Eξ = _______ 9. 设某运动员投篮投中的概率为 p=0.6 (1) 求一次投篮时投中次数 ξ 的期望和方差 (2) 求重复 5 次投篮时投中次数 η 的期望和方差

8.

某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者,若

10. 某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入 下一轮考核,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三、四 4 3 2 1 轮的问题的概率分别为 、 、 、 , 且各轮问题能否正确回答互不影响。 5 5 5 5 记 ξ 为该选手能够进入的轮数 (1)求 ξ 的分布列 (2)求 Eξ

w.w 4 求每个盒子中最大球数 ξ 的 11. (1) 个不同的球放入 3 个不同的盒子中, 分布列 (2)4 个不同的球放入 4 个不同的盒子中,求每个盒子中最大球数 ξ 的 分布列 (3)4 个不同的球放入 4 个不同的盒子中,求空盒子数 ξ 的期望与方差

8

解:方案 1:单独采用一种预防措施的费用均不超过 120 万元.由表可知,采用甲措施, 可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为 0.9. 方案 2:联合采用两种预防措施,费用不超过 120 万元,由表可知.联合甲、丙两种预防措 施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为 1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97. 方案 3:联合采用三种预防措施,费用不超过 120 万元,故只能联合乙、丙、丁三种预防 措施,此时突发事件不发生的概率为 1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=1-0.024=0.976. 综合上述三种预防方案可知,在总费用不超过 120 万元的前提下,联合使用乙、丙、丁三种预 防措施可使此突发事件不发生的概率最大

9


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