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人教A版必修四 正弦函数、余弦函数的定义 课件(40张)


第一章

三角函数

正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

第一章

三角函数

1.问题导航

(1)角α的正弦值和余弦值都是唯一的吗?
(2)正弦值、余弦值的符号变化有什么规律? (3)一个周期函数一定有最小正周期,对吗?

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第一章

三角函数

2.例题导读 P15例1.通过本例学习,学会根据角α的终边上一点的坐标,求 角α的三角函数值. 试一试:教材P23习题1-4 A组T1你会吗? P15例2.通过本例学习,学会在直角坐标系中作出已知角,并 能求出其终边与单位圆的交点坐标.

试一试:教材P17练习T4你会吗?

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第一章

三角函数

1.任意角的正弦、余弦函数的定义 如图所示,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位 圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴非 负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),我们把点 v=sin α 纵坐标 v定义为角α的正弦函数,记作____________ P的_________ ; 横坐标 u定义为角α的余弦函数,记作u= 点P的_________ cos α ________ .

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第一章

三角函数

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第一章

三角函数

对于给定的角α,点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的, 所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量,以单位圆上点

的坐标为函数值的函数.在给定的单位圆中,对于任意角α
可以是正角、负角或是零角,所以,正弦函数v=sin α,余 全体实数 . 弦函数u=cos α的定义域为____________

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第一章

三角函数

2.正弦函数、余弦函数在各象限的符号

象限

第一象

第二

第三

第四

三角函数
sin α cos α


+ +

象限
+ -

象限
- -

象限
- +

注:按正值简记为:正弦一、二象限全为正;余弦偏在一、 四中.
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第一章

三角函数

3.终边相同的角的正、余弦函数 sin x ,k∈Z; (1)公式:sin(x+k· 2π)=_________ cos x cos(x+k· 2π)=_________ ,k∈Z. (2)意义:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别 相等 ____________ . 4.周期函数 非零实数 T,对定义域 (1)定义:对于函数f(x),如果存在____________ f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期 任意一个 x值,都有____________ 内的____________ T 函数,__________ 称为这个函数的周期. (2)正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的最小正周期均 2π 是___________.
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第一章

三角函数

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若sin α>0,则角α的终边在第一或第二象限.( × ) (2)若sin α=sin β,则α=β.( ) × (3)若sin(60°+60°)=sin 60°,则60°是正弦函数y=sin x 的一个周期.( × ) (4)若T是函数f(x)的周期,则kT,k∈N+也是函数f(x)的周 期.( √ )

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第一章

三角函数

解析:(1)错误.因为sin α>0,所以角α的终边还有可能在y轴 的正半轴上. (2)错误.正弦值相等,但两角不一定相等,如sin 60°=sin

120°,但60°≠120°.
(3)错误.举反例,sin(40°+60°)≠sin 40°,所以60°不是 正弦函数y=sin x的一个周期.

(4)正确.根据周期函数的定义知,该说法正确.

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第一章

三角函数

2.若角 α 的终边与单位圆相交于点? 值为( B ) 2 A. 2 1 C. 2

2 2? ,则 sin α 的 ,- ?2 2? 2 B.- 2 1 D.- 2
2 2? 到原 ,- ?2 2 ?

解析:利用任意角三角函数的定义可知,点?

2 - 2 2 点的距离为 1,则 sin α = =- ,故选 B. 1 2
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第一章

三角函数

3.对于任意的x∈R都有f(x+2)=f(x),则f(x)的一个周期为 2(答案不唯一) ___________________ . 解析:由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2.

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第一章

三角函数

1.对正弦函数、余弦函数定义的理解 (1)定义中,α 是一个任意角,同时它也可以是一个实数 (弧度 数 ). (2)角 α 的终边与单位圆 O 交于点 P(u,v),实际上给出了两个 对应关系,即 实数 α(弧度 )对应于点 P 的纵坐标 v 实数 α(弧度 )对应于点 P 的横坐标 u 正弦 余弦
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第一章

三角函数

(3)三角函数可以看成以实数为自变量, 以单位圆上的点的坐标 为函数值的函数.角与实数是一对一的.角和实数与三角函数 值之间是多对一的,如图所示.

(4)sin α 是一个整体, 不是 sin 与 α 的乘积, 单独的 “ sin” “ cos” 是没有意义的.

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第一章

三角函数

2.正弦函数、余弦函数定义的拓展 上面利用单位圆,给出了任意角的正弦、余弦函数的定义,实 际上,我们可以把这一定义进一步拓展,通过角的终边上任意 一点的坐标来定义正弦、余弦函数. 设 α 是一个任意角,α 的终边上任意一点 P 的坐标是 (x, y), 它与原点的距离是 r(r= x2+ y2>0),如下图,

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第一章

三角函数

y y 那么,比值 叫作 α 的正弦,记作 sin α ,即 sin α = ;比值 r r x x 叫作 α 的余弦,记作 cos α ,即 cos α = . r r

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第一章

三角函数

3.终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值 利用正弦函数、余弦函数的定义可知,当 α 的终边落在坐标轴 上时,正弦函数、余弦函数的取值情况如下表: 函数名称 终边位置 x 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴正半轴 y 轴负半轴 正弦函数 0 0 1 -1 余弦函数 1 -1 0 0

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第一章

三角函数

4.对周期函数的概念的理解 (1)定义域:在周期函数 y= f(x)中, T 是周期,若 x 是定义域内 的一个值,则 x+kT 也一定属于定义域,因此周期函数的定义 域一定是无限集. (2)“对定义域内的任意一个 x”这句话中“任意一个 x”的含义 是指定义域内所有的 x 值,即如果存在一个 x0,使 f(x0+T)≠ f(x0),那 T 就不是函数 f(x)的周期. (3)周期函数的周期有无限多个.若 T 是周期,则对定义域中任 意 x,总有 f(x+kT)= f(x+ (k- 1)T)= f(x+ (k- 2)T)=?=f(x)都 成立,即 f(x+kT)= f(x),所以 kT(k∈ Z, k≠ 0)也是周期. (4)值域:由于对定义域中任意 x,总有 f(x+ T)= f(x)成立,则周 期函数 y= f(x)的值域与函数 y= f(x)在一个周期内的值域相同.
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第一章

三角函数

利用正、余弦函数的定义求值
已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sin α, cos α的值. (链接教材P15例1)
[解 ] 法一:设射线 y= 2x(x≥0)与单位圆的交点为 P(x0,y0), 5 y0=2x0, ? ? ?x 0 = 5 , ? 2 2 则?x0+y0= 1, 解得? 2 5 ? ?x0≥0, ? ? y0 = 5 ,
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第一章

三角函数

2 5 5 2 5? ? 即P ,所以 sin α = y0= , 5 ?5 , 5 ? cos α = x0= 5 . 5

法二:设点 P(a, 2a)是角 α 终边上任意一点,其中 a>0. 因为 r= |OP|= a2+4a2= 5a, y 2a 2 5 x a 5 所以 sin α = = = , cos α = = = . 5 r r 5a 5a 5

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第一章

三角函数

本例中条件“角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上”若换为“ 角α的终边落在直线y=2x上”,其他条件不变,其结论又如 何呢?
解:(1)若 α 终边在第一象限内,设点 P(a, 2a)(a>0)是其终边 上任意一点,因为 r= |OP|= a2+4a2= 5a, y 2a 2 5 x a 5 所以 sin α = = = , cos α = = = . 5 r r 5a 5a 5

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第一章

三角函数

(2)若 α 终边在第三象限内,设点 P(a,2a)(a<0)是其终边上任 意一点,因为 r=|OP|= a2+4a2=- 5a(a<0), y 2a 2 5 所以 sin α = = =- , 5 r - 5a x a 5 cos α = = =- . 5 r - 5a

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第一章

三角函数

方法归纳 求任意角的三角函数值的两种方法 方法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点 P 的坐标, 然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值. 方法二:第一步,取点:在角 α 的终边上任取一点 P(x, y)(P 与原点不重合); 第二步,计算 r: r= |OP|= x2+ y2(r>0); y x 第三步,求值:由 sin α = , cos α = 求值. r r

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第一章

三角函数

1. (1)设角 α 的终边上有一点 P(4,- 3),则 2sin α + cos α 的值是 ( A ) 2 A.- 5 2 2 C.- 或 5 5 2 B. 5 D. 1

(2)已知 α 是第二象限角, P(x, 5)为其终边上一点, 且 cos α 10 2 = x,则 sin α =________ . 4 4 (3)已知 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, 求 sin α , cos α 的值.
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第一章

三角函数

3 =- , 5 42 +(- 3) 2 3? 4 4 ? cos α = = , 所以 2sin α + cos α = 2×?- ? 5 42 +(- 3) 2 5 4 2 + =- ,故选 A. 5 5 解: (1)由三角函数的定义可知 sin α = (2)因为 r= |OP |= x2 + 5, 2 所以 cos α = 2 = x. x +5 4 又因为 α 是第二象限角,所以 x<0, 10 10 所以 x=- 3,所以 sin α = 2 = .故填 . 4 4 x +5
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-3

x

5

第一章

三角函数

(3)因为 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,所以在角 α 的终边上任 取一点 P(4t,-3t)(t≠ 0),则 x= 4t, y=-3t, r= x2+ y2= ( 4t) 2+(-3t)2= 5|t|, y - 3t 3 x 4t 4 当 t>0 时, r= 5t, sin α = = =- , cos α = = = ; 5 r 5t r 5t 5 y - 3t 3 x 4t 当 t<0 时,r=- 5t,sin α = = = ,cos α = = =- r - 5t 5 r - 5t 4 . 5 3 4 3 4 综上可知,sin α =- ,cos α = 或 sin α = ,cos α =- . 5 5 5 5
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第一章

三角函数

单位圆中的角
8 在直角坐标系的单位圆中,已知 α= π . 3 (1)画出角 α; (2)求出角 α 的终边与单位圆的交点坐标; (3)求出角 α 的正弦函数值. (链接教材 P15 例 2)
[解 ] 8 2 (1)因为 α= π =2π + π , 3 3

2 所以角 α 的终边与 π 的终边相同. 3
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第一章

三角函数

如图,以原点为角的顶点,以 x 轴非负半轴为角 8 的始边,逆时针旋转 π ,与单位圆交于点 P, 3 则角 α 如图所示. 8 (2)因为 α= π ,所以点 P 在第二象限, 3 2π 由 (1)知∠ AOP= ,过点 P 作 PM⊥ x 轴于点 M. 3 π π 则在 Rt△ OMP 中,∠ OMP= ,∠ MOP= , 2 3 OP= 1,
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第一章

三角函数

1 3 由直角三角形的边角关系,得 OM= , MP= , 2 2 1 3 所以得点 P 的坐标为?- , ?. ? 2 2? 8π 3 (3)根据正弦函数的定义有 sin = . 3 2

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第一章

三角函数

方法归纳 (1)先将角 α 表示为 α= β+ 2kπ (-π <β ≤ π ,k∈Z)的形式, 则角 β 的终边即为角 α 的终边, k 为 x 轴的非负半轴逆(k>0) 或顺(k<0)旋转的周数. (2)求角 α 与单位圆的交点坐标,应利用角 α 的特殊性转化为 直角三角形的边角关系求解,进而即得角 α 的正弦、余弦值.

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第一章

三角函数

3 4? ? 2. (1)已知角 α 的终边和单位圆的交点为 P 5,-5 , 则 sin α ? ? 3 4
- 5 = ________ , cos α = ________ . 5

13 (2)在直角坐标系的单位圆中,已知 α=- π . 6 ①画出角 α; ②求出角 α 的终边与单位圆的交点坐标; ③求出角 α 的正弦、余弦值.

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第一章

三角函数

4 解: (1)根据正弦函数和余弦函数的定义知, sin α =- , cos 5 3 α = .故填和 . 5 π 13 (2)①因为 α=- π =-2π - ,所 6 6 π 以角 α 的终边与- 的终边相同,如 6 图,以原点为角的顶点,以 x 轴的非 13 负半轴为角的始边,顺时针旋转 π ,与单位圆交于点 P,则 6 角 α 如图所示.
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第一章

三角函数

13 ②因为 α=- π ,所以点 P 在第四象限. 6 π 由①知,∠ AOP= ,过点 P 作 PM⊥ x 轴于点 M, 6 π π 则在 Rt△ MOP 中,∠ OMP= ,∠ MOP= , OP= 1, 2 6 3 1 由直角三角形的边角关系,得 OM= , MP= , 2 2 所以得点 P 的坐标为? 3 1? ,- . ?2 2?

13 ? 1 ? ③根据正弦、余弦函数的定义,得 sin - 6 π =- , ? ? 2 13 ? 3 ? - π cos ? 6 ?= 2 .
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第一章

三角函数

判断三角函数值的符号及角所在象限

判断符号:(1)sin 340°cos 265°; (2)若 sin 2α >0,且 cos α <0,试确定 α 所在的象限.
[解 ] (1)因为 340°是第四象限角,265°是第三象限角,

所以 sin 340°<0, cos 265°<0.所以 sin 340° cos 265° >0. (2)因为 sin 2α >0,所以 2kπ <2α <2kπ + π (k∈ Z), π 所以 kπ <α <kπ + (k∈ Z). 2

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第一章

三角函数

π 当 k 为偶数时,设 k= 2m(m∈ Z),有 2mπ <α <2mπ + 2 (m∈ Z);当 k 为奇数时,设 k= 2m+ 1(m∈ Z), 3π 有 2mπ + π <α <2mπ + (m∈ Z).所以 α 为第一或第三象 2 限角.又由 cos α <0,可知 α 为第三象限角.

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第一章

三角函数

方法归纳 (1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆:一全正,二正弦,三 正切,四余弦(是正的 ). (2)对于确定 α 角所在象限问题,应首先界定题目中所有三角 函数的符号, 然后依据上述三角函数的符号来确定角 α 所在的 象限,则它们所在象限的公共部分即为所求.

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第一章

三角函数

3.(1)若α是第二象限角,则点P(sin α,cos α)在(
A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

) D

(2)填空:
二 象限角; ①如果sin α>0,且cos α<0,则α是第________ 四 象限角; ②如果cos α>0,且sin α<0,则α是第________ 一或三象限角; ③如果sin αcos α>0,则α是第________ 二或四 ④如果sin αcos α<0,则α是第________ 象限角.

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第一章

三角函数

(3)判断下列各式的符号. ① α 是第四象限角, sin α · cos α ; 23π ? ? ② sin 3· cos 4· cos - . ? 4 ?

解:(1)因为 α 是第二象限角, 所以 cos α <0,sin α >0. 所以点 P 在第四象限. (2)①二 ②四 ③一或三 ④二或四

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第一章

三角函数

(3)①因为 α 是第四象限角, 所以 sin α <0, cos α >0.所以 sin α · cos α <0. π 3π ②因为 <3<π ,π <4< , 2 2 所以 sin 3>0, cos 4<0. 23π π 因为- =- 6π + , 4 4 23π ? ? 所以 cos - >0. ? 4 ? 23 ? ? - π <0. 所以 sin 3· cos 4· cos ? 4 ?
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第一章

三角函数

周期性及其应用
已知函数 f(x)在定义域 R 上恒有: ① f(x)= f(- x),② f(2+ x)=f(2- x), 当 x∈ [0, 4)时, f (x)=- x2+ 4x. (1)求 f(8); (2)求 f(x)在[0, 2 015]内零点的个数.
[解 ] (1)由已知:f(8)= f(2+ 6)=f(2-6)=f(- 4)=f(4)= f(2+

2)=f(2-2)= f(0)= 0.

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第一章

三角函数

(2)因为 f(x)在定义域 R 上恒有 f(2+x)= f(2-x), 所以 f(x)= f(4- x)对 x∈ R 恒成立. 又 f(x)=f(- x)对 x∈ R 恒成立. 故有 f(-x)= f(4- x)对 x∈ R 恒成立. 即 4 是 f(x)的一个周期. 因为 x∈[0, 4)时, f(x)= 0 的根为 x= 0, 所以 f(x)= 0 在 R 上的根为 x= 4k, k∈ Z. 由 0≤ 4k≤2 015(k∈ Z)得 0≤k≤503.75(k∈ Z). 所以 f(x)在 [0, 2 015]内的零点共有 504 个.

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第一章

三角函数

方法归纳 (1)周期的定义是对定义域中每一个 x 值来说的. 如果只有个别 的 x 值满足 f(x+ T)=f(x),则不能说 T 是 f(x)的周期. (2)从等式 f(x+ T)= f(x)来看, 应强调自变量 x 本身加的常数才 是周期.如本题出现由 f(x)= f(4- x)得 4 是 f(x)的一个周期是 错误的.

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第一章

三角函数

4. (1)设 f(x)是以 4 为一个周期的函数,且当 x∈ (- 1, 0)时, 7? ? f(x)= 2x+ 1,则 f 2 的值为 ( B ) ? ? A. 2 C.-1 B.0 D.-3 1 (f(x)≠ 0) f( x)

(2)已知函数 f(x)满足 f(1)= 2,且 f(x+1)=-

2 对任意 x∈ R 恒成立,则 f(5)= ________ .
(3)已知 f(x+ a)=- f(x)(a>0),求证: f(x)是周期函数,并求出 它的一个周期.
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第一章

三角函数

解:(1) f(x)是以 4 为一个周期的函数, 所以 4k(k∈ Z, k≠ 0)也是 f(x)的周期. 所以 f(x- 4)=f(x), 7 ? ?7 7? ? 1? ? ? ? 故 f 2 = f 2-4 ,从而 f 2 = f -2 . ? ? ? ? ? ? ? ? 又当 x∈(-1,0)时, f(x)=2x+1, 7? ? 1 ? 1? ? ? 所以 f 2 =f -2 =2× -2 +1=0. ? ? ? ? ? ?

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第一章

三角函数

(2)因为 f(x+ 1)=-

1 1 ,所以 f(x+ 2)=- , f( x) f( x+1) 1

所以 f(x+ 2)=- = f(x), 1 - f( x) 所以 f(x)的周期为 2, 所以 f(5)= f(1)=2.故填 2. (3)因为 f(x+ 2a)= f[(x+ a)+a]=-f(x+ a)= - [- f(x)]= f(x), 所以 f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个周期.

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第一章

三角函数

易错警示

因不会挖掘隐含条件致误

θ 3 θ 4 已知 sin = , cos =- , 试确定 θ 是第几象限角. 2 5 2 5
θ 3 θ 4 [解 ] 因为 sin = >0, cos =- <0, 2 5 2 5 θ θ 3 2 3 所以 是第二象限角.又因为 sin = < = sin π . 2 2 5 2 4 θ 3 3 所以 2kπ + π < <2kπ +π (k∈ Z),所以 4kπ + π <θ <4k 4 2 2 π +2π (k∈ Z),所以 θ 是第四象限角.
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第一章

三角函数

[错因与防范 ]

θ 3 θ (1)在解答过程中, 往往只由 sin = ,cos = 2 5 2

θ 4 - ,知 是第二象限角,忽略给出了具体函数值,而所给的 5 2 θ θ 具体函数值则隐含着 范围的条件.没有进一步缩小 的范围 2 2 而出错. 故而得出错误结果 θ 是第三象限角或第四象限角或终 边落在 y 轴非正半轴上的角. (2)确定角的范围,不仅要结合正、余弦函数值的符号,还要结 合角的具体函数值缩小角的范围.

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第一章

三角函数

5.下列各式: ① sin(-100°);② cos(- 220°);③ cos π . 其中符号为负的个数有( D ) A. 0 个 C. 2 个
解析:-100°在第三象限, 故 sin(-100°)<0; -220°在第二象限,故 cos(-220°)<0; cos π =-1<0.
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B. 1 个 D. 3 个

第一章

三角函数

1.若 60°角的终边上有一点 P(4,a),则 a 的值为( B ) A.-4 3 C.2 3 B.4 3 D.-2 3

1 解析:因为 cos 60°= = , 2 2 16+ a 所以 a2+ 16=64, 又因为 a>0,所以 a= 4 3.

4

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第一章

三角函数

|sin α | |cos α | 2 . 2.当 α 为第二象限角时, - 的值是________ sin α cos α

解析:因为 α 为第二象限角,所以 sin α >0, cos α <0. |sin α | |cos α | sin α -cos α 所以 - = - =2. sin α cos α sin α cos α

3.已知函数f(x)是周期函数,周期T=6,f(2)=1,则f(14)= 1 ________ . 解析:f(14)=f(2×6+2)=f(2)=1.

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