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2012高中数学 3章整合 精品课件同步导学 新人教A版选修1-1


? 1.导数概念及其几何意义

? (1)了解导数概念的实际背景.
? (2)理解导数的几何意义.

2.导数的运算 (1)能根据导数定义求函数 y=C,y=x,y=x2,y=x3,y 1 =x, y= x的导数. (2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数. 常见基本初等函数的导

数公式和常用的导数运算公式:

(C)′=0(C 为常数);(xn)′=nxn 1(n∈N+); (sin x)′=cos x;(cos x)′=-sin x; (ex)′=ex;(ax)′=axln a(a>0 且 a≠1); 1 1 (ln x)′= ;(logax)′= logae(a>0 且 a≠1). x x 法则 1:[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x). 法则 2:[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). 法则
? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? 3:? (g(x)≠0). ?′= g2?x? ?g?x??



? 3.导数在研究函数中的应用 ? (1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次) .

? (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用
导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次) ;会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不 超过三次).

? 4.生活中的优化问题 ? 会利用导数解决某些实际问题.

? 高考对导数的考查形式多样,难易均有,可以在选择题和 填空题中出现,主要以导数的运算、导数的几何意义、导数

的应用为主(研究单调性、极值和最值等);也更容易在解答题
中出现,有时候作为压轴题,考查导数的综合应用,主要以 函数为背景,以导数为工具,考查运用导数研究函数的单调 性、极值和最值问题,在函数、不等式、解析几何等知识网 络交汇点命题.

? 导数几何意义的应用

? 函数y=f(x)在点x0 处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点P(x0
,f(x0))处的切线的斜率k. ? (1)曲线y=f(x)在点P(x0 ,y0)处的切线的方程为y-f(x0)= f′(x0)(x-x0).

? (2)求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程
? ①若P(x0,y0)是切点,则切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0); ? ②若P(x0 ,y0)不是切点,设切点为Q(x1 ,y1),则切线方程 为y-y1=f′(x1)(x-x1), ? 再由切线过P点得y0-y1=f′(x1)(x0-x1)① ? 又y1=f(x1)② ? 由①②求出x1、y1的值,

? 即得出了过点P(x0,y0)的切线方程.

? .

求曲线y=3x4 -2x3 -9x2 +4在点(1,-4)处的切线方程

? 解析:

f′(x)=12x3-6x2-18x,f′(1)=-12,

? ∴曲线在点(1,-4)处的切线方程为y+4=-12(x-1),

? 即12x+y-8=0.

?

已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与

曲线C相切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标. y0 解析: ∵直线 l 过原点,则 k=x (x0≠0),由点(x0,y0) 0
在曲线 C 上,得
2

y0 2 3 2 y0=x0-3x0+2x0,∴x =x0-3x0+2. 0

y0 ∵y′=3x -6x+2,又 k=x , 0
2 ∴3x0-6x0+2=x2-3x0+2. 0

2 整理,得 2x0-3x0=0.

3 3 1 ∵x0≠0,∴x0= ,此时 y0=- ,k=- . 2 8 4
?3 3? 1 ∴直线 l 的方程为 y=-4x,切点坐标为?2,-8?. ? ?

? 利用导数求函数的单调区间的一般步骤: ? (1)求函数y=f(x)的定义域;

? (2)求导数f′(x);
? (3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0; ? (4)确认并指明函数的单调增区间、减区间.

求函数 f(x)= x-2x 的单调区间.
解析: 函数的定义域为[0,+∞),f′(x)= -2. 2 x 1 令 -2>0,解得 0<x< ; 16 2 x 1 令 -2<0,解得 x> . 16 2 x ∴函数
? 1? f(x)的单调递增区间为?0,16?, ? ?

1

1 1

?1 ? 单调递减区间为?16,+∞?. ? ?

1 3 已知函数 f(x)= x +ax2+bx, f′(-1)=0, 且 试用 3 含 a 的代数式表示 b,并求 f(x)的单调区间.

解析: (1)依题意,得 f′(x)=x2+2ax+b. 由 f′(-1)=1-2a+b=0 得 b=2a-1, 1 3 从而 f(x)= x +ax2+(2a-1)x, 3 故 f′(x)=(x+1)(x+2a-1). 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1-2a.

? ①当a>1时,1-2a<-1. ? 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x f′ (x) f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 (-∞,1- 2a) + (1-2a, -1) - (-1,+ ∞) +

? 由此得,函数f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1,+ ∞),单调减区间为(1-2a,-1). ? ②当a=1时,1-2a=-1,此时有f′(x)≥0恒成立,且仅在x =-1处f′(x)=0, ? 故函数f(x)的单调增区间为R.

? ③当a<1时,1-2a>-1,
? 同理可得,函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1-2a, +∞),单调减区间为(-1,1-2a). ? 综上:当a>1时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和( -1,+∞),单调减区间为(1-2a,-1); ? 当a=1时,函数f(x)的单调增区间为R; ? 当a<1时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1-2a,

+∞),单调减区间为(-1,1-2a).

? 1.应用导数求函数极值的一般步骤: ? (1)确定函数f(x)的定义域;

? (2)解方程f′(x)=0的根;
? (3)检验f′(x)=0的根的两侧f′(x)的符号. ? 若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值; ? 若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值; ? 否则,此根不是f(x)的极值点.

? 2.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法
与步骤: ? (1)求f(x)在(a,b)内的极值; ? (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较,其中最大的一个值 为最大值,最小的一个值为最小值. ? 特别地,①当f(x)在[a,b]上单调时,其最小值、最大值在 区间端点取得;

? ②当f(x)在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处f(x)
有极大(或极小)值,则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小) 值,这里(a,b)也可以是(-∞,+∞).

?

已知函数f(x)=ax3 +bx2 +cx在点x0 处取得极小值-4,

使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1,3). ? (1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值; ? (2)当x∈[2,3]时,求g(x)=f′(x)+6(m-2)x的最大值.

? 解析: 3)(a<0)

(1)由题意知f′(x)=3ax2 +2bx+c=3a(x-1)(x-

? ∴在(-∞,1)上f′(x)<0,f(x)是减函数, ? 在(1,3)上f′(x)>0,f(x)是增函数, ? 在(3,+∞)上f′(x)<0,f(x)是减函数. ? 因此,f(x)在x0=1处取得极小值-4,在x=3处取得极大值



?a+b+c=-4 ? ∴?f′?1?=3a+2b+c=0 ?f′?3?=27a+6b+c=0 ?



解得 a=-1,b=6,c=-9, ∴f(x)=-x3+6x2-9x. 则 f(x)在 x=3 处取得极大值 f(3)=0.

(2)g(x)=-3(x-1)(x-3)+6(m-2)x =-3(x2-2mx+3), g′(x)=-6x+6m=0,得 x=m. ①当 2≤m≤3 时,g(x)max=g(m)=3m2-9; ②当 m<2 时,g(x)在[2,3]上是递减的, g(x)max=g(2)=12m-21; ③当 m>3 时,g(x)在[2,3]上是递增的, g(x)max=g(3)=18m-36.

?12m-21 ? 2 因此 g(x)max=?3m -9 ?18m-36 ?

?m<2? ?2≤m≤3? ?m>3?

.

? 由函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增(减),求参数的取 值范围的基本思路是由题设把问题转化为对x∈(a,b)恒有 f′(x)≥0(或f′(x)≤0)成立来解.

?

已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在(-∞,+∞)上是减函数

,求a的取值范围.

解析: f′(x)=3ax2+6x-1, 由 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,知对任意 x∈(-∞, +∞)都有 f′(x)≤0 成立,
?3a<0 ? 即? ?Δ=36+12a≤0 ?



解得 a≤-3, ∴a 的取值范围为(-∞,-3].

? 利用导数可以解决生产、生活中的最优化问题,如利润 最大、效率最高、用料最省、面积、容积最大等问题.解决 这类问题的关键是正确建立实际问题的数学模型,运用导数 解决.

? 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方

的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一
定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元) 与年产量t(吨)满足函数关系x=2 000.若乙方每生产一吨产品 必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格). ? (1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求

出乙方获得最大利润的年产量;

? (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元) ,在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方 要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多 少?

解析: (1)依题意知,赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的 实际年利润为:w=2 000 t-st. ∵w=2 000 t-s( ∴当
?1 t=? ? ? 2 t) =-s? ?

1 000?2 1 0002 ? t- s ?+ s ,

000?2 ? 时,w 取得最大值. s ?
?1 t=? ?

所以乙方获得最大利润的年产量

000?2 ? s ? (吨).

(2)设甲方净收入为 v 元,则 v=st-0.002t2. 将
?1 t=? ?

000?2 ? s ? 代入上式,得甲方净收入 v 与赔付价格 s

3 1 0002 2×1 000 之间的函数关系式为 v= s - s4 3 2 3 1 0002 8×1 000 1 000 ×?8 000-s ? 又 v′(s)=- s2 + = , s5 s5

令 v′(s)=0,得 s=20.
当 s<20 时,v′(s)>0;当 s>20 时,v′(s)<0, ∴s=20 时, 取得最大值. v 因此甲方向乙方要求赔付价 格 s=20(元/吨)时,获得净最大收入.

1.设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6 =0 平行,则 a=( A.1 1 C.-2 ) 1 B. 2 D.-1

? 解析:

y′=2ax,于是切线的斜率k =y′|x=1=2a,

? ∴2a=2?a=1. ? 答案: A

sin θ 3 3cos θ 2 2.设函数 f(x)= 3 x + 2 x +tan θ,其中 θ∈
? 5π? ?0, ?,则导数 12? ?

f′(1)的取值范围是( B.[ 2, 3] D.[ 2,2]

)

A.[-2,2] C.[ 3,2]

解析: 对函数 f(x)求导,f′(x)=x2sin θ+x 3cos θ, 所以 f′(1)=sin θ+ 3cos
? π? θ=2sin?θ+3?, ? ? ? 2 ? ,1?, 2 ?

? ? 5π? π? ? ∵θ∈?0,12?,∴sin?θ+3?∈? ? ? ? ? ? ?

∴f′(1)∈[ 2,2].故选 D.

? 答案:

D

? 3.已知函数f(x)的导数f′(x)=4x3 -4x,当函数f(x)取得极 大值时x的值为( ? A.-1 ? C.1 ) B.0 D.±1

? 解析:

令f′(x)=4x3-4x=0,得x=0或x=±1.

? 当x<-1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; ? 当-1<x<0时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; ? 当0<x<1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; ? 当x>1时,f(x)>0,函数f(x)单调递增. ? 故x=0时,f(x)取得极大值.故选B.

? 答案:

B

? 4.若函数f(x)=ax3 -3x在(-1,1)上单调递减,则实数a的 取值范围是( ? A.a<1 ? C.0<a<1 ) B.a≤1 D.0<a≤1

解析: ∵f′(x)=3ax2-3, 由题意 f′(x)≤0 在(-1,1)上恒成立. 若 a≤0,显然有 f′(x)<0; 1 1 1 若 a>0,由 f′(x)≤0 得- ≤x≤ ,于是 ≥1, a a a ∴0<a≤1,综上知 a≤1. ? 答案: B

5.已知函数 ________.

?π? f(x)=f′ ?4? cos ? ?

x+sin x,则

?π ? f ?4? 的值为 ? ?

解析: 因为 所以

?π? f′(x)=-f′?4?sin ? ?

x+cos x,

?π? ?π? π π ? ?=-f′? ?sin +cos , f′ 4 4 4 ? ? ?4? ?π? f′?4?= ? ?

整理得

2-1.



?π? ?π? π π f?4?=f′?4?cos4+sin4, ? ? ? ? ?π? f?4?=1. ? ?

解得

? 答案:

1

? 6.设a∈R,若函数y=ex +ax(x∈R)有大于零的极值点,
则a的取值范围是________. ? 解析: ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a,

? 令y′=ex+a=0,则ex=-a, ? 即x=ln(-a),又∵x>0, ? ∴-a>1,即a<-1. ? 答案: a<-1

7. (2011· 山东高考)某企业拟建造如图所示的容器(不计 厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端 80π 均为半球形, 按照设计要求容器的容积为 3 立方米, l≥2r. 且 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分 每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用 为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

解析: (1)设容器的容积为 V, 4 3 80π 由题意知 V=πr l+3πr ,又 V= 3 ,
2

4 3 V- πr 3 80 4 4?20 ? 故 l= = 2- r= ? r2 -r?. 2 πr 3r 3 3? ? 由于 l≥2r, 因此 0<r≤2.

4?20 ? 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr c=2πr×3? r2 -r?×3+ ? ?
2

4πr2c, 160π 因此 y=4π(c-2)r + r ,0<r≤2.
2

160π 8π?c-2?? 3 20 ? ? ? r- (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- 2 = 0 c-2?, r r2 ? ? ? <r<2. 由于 c>3,所以 c-2>0, 3 20 20 当r - =0 时,r= . c-2 c-2
3



3

20 =m,则 m>0, c-2

8π?c-2? 所以 y′= r2 (r-m)(r2+rm+m2).

9 ①当 0<m<2 即 c>2时,当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0. 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点.

9 ②当 m≥2 即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤2时,建造费用最小时 r=2; 3 20 9 当 c>2时,建造费用最小时 r= . c-2

? 8.已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0),且在点 P处的切线与直线3x+y=0平行. ? (1)求函数f(x)的解析式; ? (2)求函数f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值; ? (3)在(1)的结论下,关于x的方程f(x)=c在区间[1,3]上恰有 两个相异的实根,求实数c的取值范围.

? 解析:

(1)因为f′(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜

率为:f′(1)=3+2a, ? 即3+2a=-3,a=-3. ? 又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2. ? 所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.

? (2)由f(x)=x3-3x2+2,f′(x)=3x2-6x, ? 由f′(x)=0得,x=0或x=2. ? ①当0<t≤2时, ? 在区间(0,t)上,f′(x)<0,f(x)在[0,t]上是减函数, ? 所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2. ? ②当2<t<3时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化状态见表:

x f′(x )

0

(0,2)

2

(2,

t) +

t 3t2- 6t

0



0


f(x) 2 ? ? 2 +2 f(x)min=f(2)=-2,f(x)max 为 f(0)与 f(t)中较大的一个.
f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0. 所以 f(x)max=f(0)=2.

t3-3t2

(3)令 g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c, g′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 在 x∈[1,2)时,g′(x)<0;在 x∈(2,3]时,g′(x)>0. 要使 g(x)=0 在[1,3]上恰有两个相异的实根, ?g?1?≥0 ? 则?g?2?<0 ?g?3?≥0 ?



解得-2<c≤0.


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