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二次函数在给定闭区间上的最值


○ 数学教学与研究 2011 年第 25 期

周刊

二次函数在给定闭区间上的最值(值域)求法
邢 峰
730700 )

(会宁县第四中学,甘肃 白银 二 次 函 数 是 重 要 的 初 等 函 数 之 一 ,很 多 问 题 都 要 化 归 为 二次函数来处理。 二次函数又与一元二次方程、一元二次不等 式有着密切的联系,因此必须熟练掌握它的性质,并能灵活地 运用它的性质去解决实际问题。 二次函数在给定闭区间上的最值或值域问题, 更是常见 的题型, 能够熟练地解决此类问题, 也是高考必备的能力要 求。 借助二次函数的图像,明确其对称轴与给定区间的关系, 是解决这类问题的关键所在。 下面我就对这一问题的解法谈 谈自己的见解,并进行归纳总结。 一、轴定区定问题 即二次函数的图像的对称轴明确,所给区间具体,只需结 合其图像,即可直接求得最值,进而得到其值域。 【例 1 】求二次函 数 y=-x +4x-2 在 区 间 [0 ,3 ]上 的 最 大 值 和 最小值。 解:∵y=- (x-2 ) +2 且 x∈ [0 ,3 ], ∴ 当 x=2 时,y 取得最大值 2 。 又 ∵f (0 )<f (3 ), ∴ 当 x=0 时,y 取得最小值 -2 。 用。 例如,若关于 x 的方程 9x + (4+a )3x+4=0 有实根,求实数 a 的 范围。分析:若令 3x=t ,则 t>0 ,原方程有解的充要条件是方程 t + (4+a )t+4=0 有正根,故解得:a≤-8 。 这种解法是根据一元二次 方程解的情况进行讨论, 思维方法是常规合理的, 但解法繁 琐,若采取以下解法 :因 为 a∈R,所以原方程有解的 a 的取值范 围为函数a=2 2 2 2

【例 2 】求函数 y=1-2sin x+2cosx ,x∈ [2 2

2

π π , ]的值域。 3 3

解:y=1-2sin x+2cosx=2cos x+2cosx-1=2 cosx+



1 2

∈3 2

2

∵x∈ [-

π π , ] 3 3

4 -3x-4的值域。根据基本不等式上式 a≤-2-4=- 3x

8。 则思维突破常规,利用函数与方程的转化,解法灵活简捷。 2. 用数学思 想 方 法 指 导 解 题 练 习 , 在 问 题 解 决 中 运 用 思
想方法,提高学生自觉运用数学思想方法的意识。 (1 )注 意 分 析 探 求 解 题 思 路 时 数 学 思 想 方 法 的 运 用 。 解 题 的 过 程 就 是 在 数 学 思 想 的 指 导 下 ,合 理 联 想 、提 取 相 关 知 识 ,调 用 一 定 数 学 方 法 加 工 、处 理 题 设 条 件 及 知 识 ,逐 步 缩 小 题设与题断间的差异的过程。 也可以说是运用化归思想的过 程 ,解 题 思 想 的 寻 求 就 自 然 是 运 用 思 想 方 法 分 析 解 决 问 题 的 过程。 (2 )用 数 学 思 想 指 导 知 识 、方 法 的 灵 活 运 用 ,进 行 一 题 多 解的练习,培养思维的发散性,灵活性,敏捷性;对习题灵活变 通,引申推广,培养思维的深刻性、抽象性;组织引导对解法的 简 捷 性 的 反 思 评 估 ,不 断 优 化 思 维 品 质 ,培 养 思 维 的 严 谨 性 、 批判性。 对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想,是 一题多解的思维本源。 丰富的、合理的联想,是对知识的深刻 理解,以及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用 的必然。 数学方法、 数学思想的自觉运用往往使我们运算简 捷、推理机敏,是提高数学能力的必由之路。 二、高中数学中常用的思想方法分类 1. 函数与方程的思想方法。 函数描述了自然界中量的依存关系, 是对问题本身的数 量本质特征和制约关系的一种动态刻画。 因此,函数思想的实 质是提取问题的数学特征, 用联系的变化的观点提出数学对 象,抽象其数学特征,建立函数关系。 很明显,只有在对问题的 观察、分析、判断等一系列的思维过程中,具备有标新立异、独

树 一 帜 的 深 刻 性 、独 创 性 思 维 ,才 能 构 造 出 函 数 原 型 ,化 归 为 方程的问题,实现函数与方程的互相转化接轨,达到解决问题 的 目 的 。 函 数 知 识 涉 及 到 的 知 识 点 多 、面 广 ,在 概 念 性 、应 用 性 、理 解 性 上 能 达 到 一 定 的 要 求 ,有 利 于 检 测 学 生 的 深 刻 性 、 独创性思维。 2. 数形结合的思想方法。 数形结合的思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的 图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认 识,数形结合的转化,培养思维的灵活性、形象性,使问题化难 为易,化抽象为具体。 3. 分类讨论的思想方法。 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法, 也是一种数学思 想,这种思想在人的思维发展中有着重要的作用。 原因有二, 其 一 :具 有 明 显 的 逻 辑 性 特 点 ;其 二 :能 训 练 人 的 思 维 的 条 理 性和概括性。 如何更好地让学生掌握好分类讨论思想的精髓 呢? 除从正面去引导、去探析分类讨论思想的方法、原理及技 巧外,另外一点是避免学生形成思维定势。 如:涉及一个方程 或 不 等 式 恒 成 立 ,求 其 参 数 范 围 问 题 ,除 用 分 类 讨 论 法 外 ,常 可用分离参数去避免讨论。 这种转化问题的方法也是数学思 想中另一类思想,即转化与化归思想的体现。 4. 等价转化的思想。 等价转化思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围 内可解的问题的一种重要的数学思想方法, 转化包括等价转 化和非等价转化, 等价转化要求转化过程中前因后果应是充 分必要的,能保证转化后的结果仍为原问题所需要的结果;而 非等价转化其过程是充分或必要的, 这样的转化能给人带来 思维的闪光点,找到解决问题的突破口,是分析问题中思维过 程的主要组成部分。 转化思想贯穿于整个高中数学之中,每个 问题的解题过程实质就是不断转化的过程。 总之,我们在数学教学的每一个环节中,都要重视数学思 想方法的教学。 “授之以鱼,不如授之以渔”,重视方法的掌握, 思想的形成,才能使学生受益终生。

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1 ,1 ] 2 1 π 1 ∴ 当 cosx= 即 x=± 时,ymin= ; 2 3 2 当 cosx=1 即 x=0 时,ymax=3 。 1 所以所求函数的值域为[ ,3 ]。 2 ∴cosx∈ [
【小 结 】对 于 二 次 函 数 f (x ) =a (x-h ) +k 在 区 间 [m ,n ]上 的 最值: 若 h∈ [m ,n ], 则 当 a>0 (a<0 ) 时 ,f (h ) 是 最 小 ( 大 ) 值 , 且 f (m )与 f (n )中最大(小)者为最大(小)值; 若 h埸 [m ,n ],则 f (x )在 区 间 [m ,n ]上 是 单 调 的 ,因 此 f (m ) 与 f (n )中的最大者为最大值,最小者为最小值。 二、轴动区定问题 即二次函数的图像的对称轴变化,而所给区间具体,这时 要根据对称轴“穿过”区间的不同方式进行分类讨论解决。 【例 3 】已 知 二 次 函 数 f ( x ) =-x +2ax+1-a ( a∈R ), 求 函 数 f (x ) 在 区 间 [0 ,1 ] 上 的 最 大 值 。 分析:抛物线开口方向明确,其对称轴为 x=a ,由于对称 轴 位 置 不 定 ,所 以 要 根 据 对 称 轴 “穿 过 ”区 间 的 不 同 方 式 进 行 分 类讨论。 解:函数 f (x )的图像的对称轴为 x=a 。 (1 )当 a<0 时,(如图 1.1 ),f (x )在[0 ,1 ]上是减函数, ∴ 当 x=0 时, f (x )max=f (0 )=1-a 。
2 2

分析:函数的图像的对称轴为 x=

1 ,注意 到 参 数 a 对 抛 4-3a

物 线 开 口 方 向 及 对 称 轴 位 置 的 影 响 ,同 时 注 意 对 称 轴 “穿 过 ” 区间的不同方式,因此应对参数 a 进行分类讨论。

1 (4-3a≠0 )。 4-3a 4 1 (1 )当 a> 时,4-3a<0 ,从而 x= <0 。 4-3a 3 此时当 x=0 时,f (x )max=f (0 )=a 。 (如图 2.1 )
解:易得函数图像的对称轴为 x=

图 2.1

%%%%% 图 2.2

图 1.1 (2 )当 0≤a≤1 时,(如图 1.2 ),此时函数的最大值在对称轴 处取得, ∴ 当 z=a 时,

f (x )max=f (a )=a -a+1 。

2

图 2.3 1 4 (2 )当 a< 时,4-3a>0 ,从而 x= >0 。 4-3a 3 2 1 1 ① 当 a≤ 时,0< ≤ , 3 4-3a 2 此时当 x=1 时,f (x )max=f (1 )=2-2a ;(如图 2.2 ) 2 4 1 1 ② 当 <a< 时, > , 4-3a 2 3 3 此时当 =0 时,f (x )max=f (0 )=a 。 (如图 2.3 ) 2 4 4 综上所述:(1 )当 <a< 或 a> 时,f (x )max=f (0 )=a ; 3 3 3 2 (2 )当 a≤ 时,f (x )max=f (1 )=2-2a 。 3 三、轴定区动问题 即二次函数的图像的对称轴位置给定,所给区间变化。 这 时要根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论解决。 【例 5 】已 知 函 数 f ( x ) =x -2x+2 在 x∈ [ t , t+1 ] 的 最 小 值 为 g (t )。 试写出函数 g (t )的解析表达式。 分析:二次函数 f (x )=x -2x+2 的图像的对称轴方程为 x=1 , 而对称轴可能在区间[t ,t+1 ]的左边,中间,右边。 因此分三种 情况加以讨论。 解:f (x )=x -2x+2 的图像的对称轴为 x=1 ,其开口向上。 (1 )当 t>1 时,对称轴在区间[t ,t+1 ]的左边 ,因 此 f (x )在 [t ,
2 2 2

图 1.2 图 1.3 (3 )当 a>1 时,(如图 1.3 ),f (x )在[0 ,1 ]上是增函数, ∴ 当 x=1 时, f (x )max=f (1 )=a 。 综上所述:当 a<0 时,f (x )max=f (0 )=1-a ; 当 0≤a≤ 时,f (x )max=f (a )=a -a+1 ; 当 a>1 时,f (x )max=f (1 )=a 。 【例 4 】已知二次函数 f (x )= (4-3a )x -2x+a (a∈R ),求 函 数 f (x )在区间[0 ,1 ]上的最大值。
2 2

t+1 ]上是增函数,所以 g (t )=f (t )=t -2t+2 ; (2 ) 当 t≤1≤t+1 , 即 0≤t≤1 时 , 对 称 轴 在 区 间 [ t , t+1 ] 的 中 间 , 因 此 f ( x ) 的 最 小 值 在 对 称 轴 处 取 得 , 所 以 g ( t ) =f ( 1 ) =1 ; (3 )当 t+1<1 ,即 t<0 时,对称轴在区间[t ,t+1 ]的右边,因此 f
(x )在[t ,t+1 ]上是减函数,所以 g (t )=f (t+1 )=t +1 。
2 2

2

t ≠+1(t<0) 综上所述,可得:g (t )=≠(0≤t≤1 ) 。 1 2 ≠-2t+2(t>1) t




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高中数学中反证法的具体运用
张少冬
(福建省惠安第四中学,福建 泉州 摘 要: 反证法是高中数学中一种非常重要的证明方法, 一般用于直接证明条件较少,关系不明确,问题形式较抽象,而 其反面较具体、较容易入手的情况。 本文作者以反证法为研究 对象,通过归纳反证法的题型,以对此数学证明方法作了一个 系统的研究。 关键词: 高中数学 反证法 常见题型 一、什么是反证法 反证法也称作归谬法, 通常人们是这样定义反证法的: “证 明 某 个 命 题 时 ,先 假 设 它 的 结 论 的 否 定 成 立 ,然 后 从 这 个 假 设 出 发 ,根 据 命 题 的 条 件 和 已 知 的 真 命 题 ,经 过 推 理 ,得 出 与 已 知 事 实 (条 件 、公 理 、定 义 、定 理 、法 则 、公 式 等 )相 矛 盾 的 结果。 从而证明了结论的否定不成立,间接地肯定了原命题的 结论成立。 这种方法就叫做反证法。 ”在使用反证法的时候,通 常通过以下步骤:“否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。 ”反证 法适合一些正面证明比较困难,但是否定则比较浅显的题目, 在高中数学中使用得较为广泛,在解决较难的问题的时候,反 证法更能体现其优越性。 二、反证法解决的常见题型 反证法虽然简单方便, 但是任何方法的使用都有它成立 的条件,都有它适用的范围。 如果超越了使用的范围就会出现 解 题 错 误 ,解 题 方 法 也 就 不 再 适 用 ,同 样 ,也 就 会 影 响 解 题 的 成功率。 因此,我们应该学会正确使用反证法来解题。 1. 否定性问题 例 题 1 :如 果 a ,b ,c 是 不 全 相 等 的 实 数 ,且 a ,b ,c 成 等 差 数 列,求证:

362100 )

分析:本题主要是探索某些存在性问题,可以尝试用反证法。 证明:假设对于一切 x ,y∈ 〔0 ,1 〕使 |xy-ax-by|< 令 x=0 ,y=1 ,则 |b|<

1 恒成立, 3

1 1 令 x=1 ,y=0 ,得 |a|< 令 x=y=1 ,得 :|1-a-b|< 3 3 1 1 1 1 ,但 |1-a-b|≥1-|a|-|b|>1- - = 产生矛盾,故欲 证 结 论 3 3 3 3

正确。 例题点评:在证明此类存在性命题的时候,使用反证法只 要其中一个结论,就可以论证题目当中的结论的合理性,比直 接证明省掉了一个证明的步骤,显得更为简单、明了。 3. 结论为“至多”、“至少”的命题 虽 然 反 证 法 是 一 种 很 积 极 的 证 明 方 法 ,用 反 证 法 证 题 还 有很多优点:如适用范围广、思想选择的余地大、推理方便等。 但是并不是每一道题都能用反证法来解的。 比如对以下两个 例题的分析。 例题 3 :若 z ,y 均为正整数,且 z+y>2. 求证:

1+x 1+y <2 或 <2 y x

中至少有一个成立。 分析:一般而言,如果题目中出现“至少”或者“至多”的字 眼,选择使用反证法要简单一些。

1 1 1 , , 不成等差数列。 a b c

1+x 1+y ≥2 与 ≥2 同 时 成 立 ,因 此 ,x>0 ,y>0 , y x 所以 1+x≥2y ,1+y≥2x 。 将以上两式相加 得 z+y≤2 , 这 与 已 知 条 件 z+y>2 矛 盾 ,因
证 明 :假 设 此可以证明这个假设不成立。 因此,可以得出

分析:因为题目所证的结论是一个否定性的结论,如果直 接证明的话让人有点无从下手, 但是采用反证法就显得容易 多了。

1+x 1+y <2 或 <2 中至少有一个成立。 y x
2

1 1 1 2 1 1 a+c , , 成等差数列,则 = + = , a b c b a c ac 2 a+c 由 于 a ,b ,c 成 等 差 数 利 ,因 此 2b=a+c① , 那 么 , = = b ac
证明:假设
2 2b ,即 b =ac② ,由 ①② 得 出 ,a=b=c ,与 a ,b ,c 是 不 全 相 等 的 实 ac 1 1 1 数矛盾。 故 , , 不成等差数列。 a b c

例题 4 :如 果 对 任 何 正 数 p ,二 次 方 程 ax +bx+c+p=0 的 两 个 根是正实数,则系数,试证之。 证明:假设 a>0 ,则二次函数 y=ax +bx+c+p 的图像是开口向 上的抛物线,显然可见,当 p 增大时,抛物线就沿 y 轴向上平移, 而当 p 值增大到相当大的正数时, 抛物线就上开到与 x 轴没有 交 点 ,则 对 这 样 的 一 些 p 值 ,二 次 方 程 的 实 数 根 就 不 存 在 。 因 此,a>0 ,这一假设与已知矛盾。 同理,a<0 ,也不合题意。 综上所述,当 a>0 和 a<0 时均不合题意。 因此,a=0 。 分 析 :看 了 本 题 的 证 明 过 程 似 乎 很 合 理 ,但 其 实 第 三 步 , 即肯定原结论成立的论证错了。 因为,本题的题设条件为对任 意正数 p ,y=0 有两个正实数根,结论是 a=0 ,但本题的题设条件 与结论是矛盾的。 当 a=0 时 ,二 次 方 程 就 变 成 了 一 次 方 程 bx+c+p=0 ,此 一 次 方程在 b≠0 时,对于任何正数 p ,它只有一个根;在 b=0 时,仅当 p=-c>0 的 条 件 下 ,它 有 无 数 个 根 ,否 则 无 根 ,但 总 之 不 会 有 两 个根。 题设条件和结论矛盾。 因此,本题不能用反证法来处理。 但是,如果原题改为“如果对于任何正数,只存在正实根, 图像,就会迎刃而解。 只有熟练掌握解决这一问题的思路与方 法 ,才 能 突 破 这 一 高 考 热 点 ,在 做 题 时 得 心 应 手 ,从 而 在 考 试 中取得优异成绩。
2

点评:在数学学习中,如果出现以下几种情况可以考虑使 用反证法来解题:第一,题目是用否定形式叙述的;第二,题目 选 择 使 用 “至 多 ”、“至 少 ”等 文 字 叙 述 的 ;第 三 ,题 目 成 立 非 常 明 显 ,而 直 接 证 明 时 所 用 的 理 论 较 少 ,且 不 容 易 说 明 白 的 ;第 四 ,题 目 呈 现 唯 一 性 命 题 特 征 ;第 五 ,如 果 题 目 的 论 证 从 正 面 较难入手证明,可以选择使用反证法。 2. 某些存在性命题 例 题 2 : 假 设 设 x ,y∈ (0 ,1 ), 求 证 : 对 于 a ,b∈R ,必 存 在 满 足条件的 x 、y ,使 |xy-ax-by|≥

1 成立。 3

四、结语 对于有关二次函数在给定闭区间上的最值或值域问题, 只要把握对称轴与给定闭区间的位置关系, 结合二次函数的

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