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高中 - 辽宁省瓦房店市五校协作体10-11学年度高二上学期竞赛试题(数学理)


2010-2011 学年度上学期五校协作体尖子生竞赛 高二数学竞赛(理) 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1.设集合 S={x|x2?5|x|+6=0}, T={x|(a?2)x=2}, 则满足 TS 的 a 的值共有 A.5 B.4 C.3 D.2
2 2

(

)

2.

过点 M (1,2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) + y = 9 分成两段弧,当其中的优弧最长时, 直线 l 的方程是( A. x = 1 ) B. y = 1 C. x ? y + 1 = 0 D. x ? 2 y + 3 = 0

2 2 3.已知 a =(cos 3 π, sin 3 π), OA = a ? b , OB = a + b ,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰
直角三角形,则△OAB 的面积等于( )

A.1

1 B. 2

C.2

3 D. 2

g ( x) = f (log a x)(0 < a < 1) 4.函数 f ( x ) ( x ∈ R ) 的图象如右图所示, 则函数 的单调递减区间是 y ( )
1 [0, ] A. 2 1 (?∞,0) ∪ [ ,+∞) 2 B.

C. [ a ,1]

D . [ a , a + 1]

O

1 2

1

x

5.已知 A. 3 6.若 (

f ( x) = 2 + log 3 x, x ∈ [1,9] 则函数 y = [ f ( x)]2 + f ( x 2 ) 的最大值为(
B. 6 C. 13 D. 22
π



f ( x ) = sin ( 2 x + θ ) + 3 cos ( 2 x + θ )

为奇函数, 且在[0, 4 ]为增函数, 则 θ 的一个值为

)

2π A. 3

π
B. ? 3

5π C. 6

π
D. ? 6

7.已知定义在 R 上的函数

y = f ( x)

满足下列三个条件:

f (x + 2) =
①对任意的 x∈R 都有 ②对于任意的

?1 f (x ) ;

0 ≤ x1 < x2 ≤ 2 ,都有 f ( x1 ) < f ( x2 );
则下列结论中正确的是 ( )

③ y = f ( x + 2) 的图象关于 y 轴对称. A. f (6.5) > f (5) > f (15.5) C. f (5) < f (15.5) < f (6.5)

B. f (5) < f (6.5) < f (15.5) D. f (15.5) > f (6.5) > f (5) ) 。

8.若 f(x)=|lgx|,当 a<b<c 时,f(a)>f(c)>f(b).则下列不等式中正确的为(
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A.(a-1)(c-1)>0

B.ac>1

C.ac=1

D.ac<1

C 9. A 、B 、 、D 是半径为 R 的球面上的四点, 设 且满足 AB ⊥ AC ,AD ⊥ AC ,AB ⊥ AD ,


S ?ABC + S ?ABD + S ?ACD
A. 2R
2

的最大值是 (
2

) C. 3R
2

B. R

D. 4R

2

2 10.已知 f ( x) = x ? bx + c ,满足 x ∈ R 时有 f (1 + x) = f (1 ? x) 恒成立,且 f (0) = 3

f (b x )

x 与 f (c ) 的大小为 (

)
x x C. f (b ) < f (c ) x x D. f (b ), f (c ) 大小不定

x x A. f (b ) ≥ f (c )

x x B. f (b ) ≤ f (c )

11. 函数 f (x ) 是定义在 R 上恒不为 0 的函数, 对任意 x、y ∈ R 都有 f ( x ) ? f ( y ) = f ( x + y ) ,



a1 =

1 , a n = f (n)(n ∈ N * ) {a } 2 ,则数列 n 的前 n 项和 Sn 的取值范围是





?1 ? ? ,1? A. ? 2 ?

?1 ? ? , 2? B. ? 2 ?

?1 ? ? ,1? C. ? 2 ?

?1 ? ? ,2 ? D. ? 2 ?

12.函数 f ( x ) 的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时,都有 f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) , 则称函数 f ( x ) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x ) 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条

件:① f (0) = 0 ;

x 1 f ( ) = f ( x) 2 ② 3

③ f (1 ? x ) = 1 ? f ( x)

?2? 1 1 f( )+ f( ) f? ? 8 + ? 15 ? 等于 则 3 3 A. 4 1 B. 2





C.1

2 D. 3

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分)
?x ? y + 6 ≥ 0 ? ?x + y ≥ 0 ?x ≤ 3 ?

13.已知 x, y 满足 , 若 z = ax + y 的最大值为 3a + 9 , 最小值为 3a ? 3 , 则 a 的取值范围是______________

f ( x) = lg
14.关于函数

x2 +1 ( x ≠ 0, x ∈ R ) x

有下列命题:

①函数 y = f (x ) 的图象关于 y 轴对称 ②在 (0,+∞) 上 f (x ) 是增函数;在 (?∞,0) 上 f (x ) 是减函

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③函数 f (x ) 的最小值是 lg 2 ④在 (?1,0); (1,+∞) 上 f (x ) 为增函数

⑤ f (x ) 无最大值,也无最小值 ,其中正确命题的序号是_________ 15.设有一组圆

Ck : ( x ? k + 1) 2 + ( y ? 3k ) 2 = 2k 4 ( k ∈ N * )

.下列四个命题:

A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点 其中真命题的代号是 . (写出所有真命题的代号) 16. 抛物线 y = x 上不存在关于直线 y = m( x ? 3) 对称的两点,则 m 的取值范围是
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

?π ? ?π π? f ( x) = 2 sin 2 ? + x ? ? 3 cos 2 x x ∈ ? , ? ?4 ? ?4 2? . 17. (本小题满分 10 分)已知函数 ,
(1)求 f ( x ) 的最大值和最小值;

(2)若不等式

f ( x) ? m < 2

?π π? x∈? , ? ? 4 2 ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 在

2 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = ax ? ( a + 2) x + 1 .若 a 为整数,且函数 f ( x ) 在

(?2, ?1) 内恰有一个零点,求 a 的值.

19. (本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

E 、 F 分别为棱 AD 、 AB 的中点.
(1)求证: EF ∥平面 CB1 D1 ; (2)求证:平面 CAA1 C1 ⊥平面 CB1 D1 ; (3) 如果 AB = 1 , 一个动点从点 F 出发在正方体的表面上 依次经过棱 BB1 、 B1C1 、 C1 D1 、 D1 D 、 DA 上的点,最终

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又回到点 F ,指出整个路线长度的最小值并说明理由.

C:
20.已知椭圆

x2 y 2 3 + 2 = 1(a > b > 0) (1, ) 2 a b 过点 2 ,且离心率 e=.

(1)求椭圆方程; (2)若直线 l : y = kx + m( k ≠ 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂直平分线

1 G ( ,0 ) ,求 k 的取值范围。 过定点 8

21. (本小题满分 12 分)设函数 y = f ( x) 的定义域为 R,当 x < 0 时, f ( x ) > 1 ,且对任意实 数 x, y , 都 有

f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) 成 立 , 数 列

{an }

满 足

a1 = f (0)



f (an +1 ) =

1 (n ∈ N * ). f (?2 ? an )
的值;

(1)求

a2008

(1 +
(2)若不等式

1 1 1 )(1 + ) LL (1 + ) ≥ k 2n + 1 * a1 a2 an 对一切 n ∈ N 均成立,求 k 的最大值.

22. (本小题满分 12 分)对于函数 f ( x ) ,若 f ( x ) = x ,则称 x 为 f ( x ) 的“不动点”,若
f ( f ( x )) = x

,则称 x 为 f ( x ) 的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B , ,



A = { x | f ( x ) = x}

B = x | f ( f ( x)) = x

{

}.

(1)求证: A ? B ; (2)若

f ( x ) = ax 2 ? 1( a ∈ R, x ∈ R )

,且 A = B ≠ ? ,求实数 a 的取值范围;

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x x (3)若 f ( x ) 是 R 上的单调递增函数, 0 是函数的稳定点,问 0 是函数的不动点吗?若是,
请证明你的结论;若不是,请说明的理由.

理答案: 一、选择题

二、填空题 13, ?1≤ a ≤1 14, 三、解答题

①③④ 15, B,D

m≥?
16,

1 2

? ?π ?? ∵ f ( x) = ?1 ? cos ? + 2 x ? ? ? 3 cos 2 x = 1 + sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ?? ? 17,解: (Ⅰ)
π? ? = 1 + 2 sin ? 2 x ? ? 3?. ?
π? ?π π? ? ∵ x ∈ ? , ? ∴ π ≤ 2 x ? π ≤ 2π 2 ≤1 + 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 3? ?4 2? , 6 ? 3 3 ,即 又 , ∴ f ( x)max = 3,f ( x) min = 2
.…………5 分

?π π? x∈? , ? ∵ f ( x) ? m < 2 ? f ( x) ? 2 < m < f ( x) + 2 ?4 2? , , (Ⅱ)
∴ m > f ( x) max ? 2


m < f ( x) min + 2



, ∴1 < m < 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) .…………10分
18.解: (1)a = 0 时,令 f ( x ) = ?2 x + 1 = 0 得 2分
2 2 2 (2) a ≠ 0 时,由 f ( x ) = ax ? ( a + 2) x + 1, ? = ( a + 2) ? 4a = a + 4 > 0 恒成立,

x=

1 2 ,所以 f ( x) 在 (?2, ?1) 内没有零点;…

2 知 f ( x ) = ax ? ( a + 2) x + 1 必有两个零点.

…………5 分

若 f ( ?2) = 0 ,解得

5 3 a = ? ?Z a = ? ?Z f (?1) = 0 ,解得 6 2 ;若 ,

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所以 f ( ?2) f ( ?1) ≠ 0 .

…………7 分

又因为函数 f ( x ) 在 (?2, ?1) 内恰有一个零点, 所以 f ( ?2) f ( ?1) < 0 即 (6a + 5)(2a + 3) < 0 . …………10 分

解得

?

3 5 <a<? , 2 6

由 a ∈ Z,

∴ a = ?1

综上所述,所求整数 a 的值为 ? 1 . 19. (1)证明:连结 BD . 在正方体

…………12 分

AC1 中,对角线 BD // B1 D1 .

又Q E、F 为棱 AD、AB 的中点,

∴ EF // BD .
∴ EF // B1 D1 .
又 B1D1 平面 …………2 分

CB1 D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,
…………4 分

∴ EF∥平面 CB1D1.
(2)证明:Q 在正方体

AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,

∴ AA1⊥B1D1. 又Q 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1, ∴ B1D1⊥平面 CAA1C1. …………6 分 又Q B1D1 平面 CB1D1, ∴ 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. …………8 分
(3)最小值为 3 2 . …………9 分

而 B1D1 平面 A1B1C1D1,

F

F

如图,将正方体六个面展开成平面图形, …………10 分 从图中 F 到 F,两点之间线段最短,而且依次经过棱 BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA 上的中点, 所求的最小值为 3 2 . 20.解由题意椭圆的离心率 …………12 分.

∴e =

c 1 = a 2

∴ a = 2c

∴ b 2 = a 2 ? c 2 = 3c 2

x2 y2 + 2 =1 2 3c ……2 分 ∴椭圆方程为 4c

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3 (1, ) 又点 2 在椭圆上

3 ( )2 1 ∴ 2 + 2 2 =1 4c 3c

∴c 2 = 1

x2 y2 + =1 3 ∴椭圆的方程为 4 ……4 分

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )
2 2

? x2 y 2 =1 ? + 3 ?4 ? y = kx + m 由?
2

消去 y 并整理得 (3 + 4k ) x + 8kmx + 4m ? 12 = 0 ……6 分 ∵直线 y = kx + m 与椭圆有两个交点

? = (8km) 2 ? 4(3 + 4k 2 )(4m 2 ? 12) > 0 ,即 m 2 < 4k 2 + 3 ……8 分
x1 + x2 = ?



8km 3 + 4k 2

∴ MN 中点 P 的坐标为

(?

4km 3m , ) 2 3 + 4k 3 + 4k 2 ……9 分

1 1 y = ? (x ? ) k 8 设 MN 的垂直平分线 l ' 方程: ∴ 3m 1 4km 1 = ? (? ? ) 2 2 3 + 4k k 3 + 4k 8

Q p 在 l' 上
∴m = ?

即 4k + 8km + 3 = 0
2

1 (4k 2 + 3) 8k ……11 分 ∴k 2 > 1 20

(4k 2 + 3) 2 < 4k 2 + 3 64k 2 将上式代入得



k>

5 5 k<? 10 10 或

∴ k 的取值范围为

(?∞,?

5 5 ) U ( ,+∞) 10 10

21,解(1)令 x=-1,y=0,得 f (? 1) = f (? 1) f (0 ), f (0 ) = 1, ∴ a1 = f (0 ) = 1

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15.解:(1)令x = ?1, y = 0, 得f (?1) = f (?1) f (0), f (0) = 1.∴ 当x>0时,-x<0,f(0)=f(x)f(-x)=1, ∴ 0<f(x)<1. 设x1,x2 ∈ R,且x1<x2 ,则x2 -x1>0,f(x2 -x1 )<1, f(x1 )-f(x2 )=f(x1 )-f(x1 +x2 -x1 )=f(x1 )[1-f(x2 -x1 )]>0. ∴ f(x1 )>f(x2 ),函数y=f(x)在R上是单调递减函数. 1 得f (an+1 ) f (?2 ? an ) = 1. f(-2-an )

a1 = f (0) = 1

由f(an+1 )=

∴ f (an + 1 ? an ? 2) = f (0), an+1 ? an ? 2 = 0.即an+1 ? an = 2 ∴ an = 2n ? 1, a2008 = 4015 (2)由(1 + (1 + k≤ 1 1 1 )(1 + )LL(1 + ) ≥ k 2n + 1恒成立,知 a1 a2 an

恒成立. 2n + 1 1 1 1 (1 + )(1 + )LL(1 + ) a1 a2 an 设F(n)= ,则 2n + 1 F ( n) > 0 (1 + 且F (n + 1) = 又 1 1 1 )(1 + ) LL(1 + ) a1 a2 an+1 2n + 3

1 1 1 )(1 + ) LL(1 + ) a1 a2 an

2(n + 1) F (n + 1) = > 1,即F (n + 1) > F (n) F (n) 4(n + 1)2 ? 1 2 3 3

∴ F (n) ≥ F (1) = 所以,k ≤

2 2 3,即k的最大值为 3. 3 3

22 . 解 :( 1 ) 若 A = ? , 则 A ? B 显 然 成 立 ; 若 A ≠ ? , 设 t ∈ A , 则

f ( t ) = t, f ( f ( t ) ) = f ( t ) = t



∴t ∈ B
…………3 分





A? B.

1 2 ∴a ≥ ? a ( ax 2 ? 1) ? 1 = x Q A ≠ ?,∴ ax 2 ? 1 = x 有实根, 4 .又 A ? B ,所以 , (2)

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即 a x ? 2a x ? x + a ? 1 = 0 的左边有因式 ax ? x ? 1 ,
3 4 2 2 2

从而有

( ax

2

? x ? 1) ( a 2 x 2 + ax ? a + 1) = 0

.

…………5 分

2 2 2 Q A = B , ∴ a x + ax ? a + 1 = 0 要么没有实根,要么实根是方程 ax ? x ? 1 = 0 的根.若

a x + ax ? a + 1 = 0 没 有 实 根 , 则
2 2

a<

3 4 ; 若 a 2 x 2 + ax ? a + 1 = 0 有 实 根 且 实 根 是 方 程

ax 2 ? x ? 1 = 0 的根,则由方程 ax 2 ? x ? 1 = 0 ,得 a 2 x 2 = ax + a ,代入 a 2 x 2 + ax ? a + 1 = 0 ,
有 2ax + 1 = 0 .由此解得

x=?

1 1 1 3 a= + ?1 = 0 2a ,再代入得 4a 2a 4 ,故 a 的取值范围 ,由此

? 1 3? ?? 4 , 4 ? ?. 是?
(3)由题意: 数,则 则

…………8 分

x0 是函数的稳定点则 f ( f ( x0 ) ) = x0 ,设 f ( x0 ) > x0 , f ( x ) 是 R 上的单调增函
,所以

f ( f ( x0 ) ) > f ( x0 )

x0 > f ( x0 )

,矛盾.若

x0 > f ( x0 )

, f ( x ) 是 R 上的单调增函数, ………

f ( x0 ) > f ( f ( x0 ) )

, 所以

f ( x0 ) > x0

, 矛盾, 故

f ( x0 ) = x0

, 所以

x0

是函数的不动点.

12 分

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