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高二数学几何概型2


复习回顾:
1.几何概型的特点:
⑴、有一个可度量的几何图形S; ⑵、试验E看成在S中随机地投掷一点; ⑶、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中.

2.古典概型与几何概型的区别.
相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个.

3.几何概型的概率公式.

构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)? . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

4.几何概型问题的概率的求解.

巩固练习:
1、某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过, 乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的,求乘客等 车不超过3分钟的概率. 3

p?

5

2、如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别 计算它落到阴影部分的概率.

? 3 P2 ? 8

P 1 ?

1

3、某商场为了吸引顾客,设立 了一个可以自由转动的转盘, 黄 并规定:顾客每购买 100 元的 绿 商品,就能获得一次转动转盘 绿 黄 的机会. 如果转盘停止时,指针 正好对准红、黄或绿的区域, 绿 顾客就可以获得 100 元、 50 元、 绿 红 20 元的购物券(转盘等分成 20 份). 甲顾客购物120元,他获得购物券的概率是多少?

他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少?

7 p1 ? 20

1 p2 ? 20

1 p3 ? 10

1 p4 ? 5

例题讲解:
例1.在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一 C 点M,求AM小于AC的概率.

解: 在AB上截取AC’=AC, 故AM<AC的概率等于 AM<AC’的概率.
记事件A为“AM小于AC”, B

A

M

C’

AC AC ? AC 2 P ( A) ? ? ? ? AB AB 2 2 AC

答:AM<AC的概率等于

2 2

例2. 抛阶砖游戏.
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一 . 参与 者只须将手上的“金币”(设“金币”的直径为 r ) 抛向离身边若干距离的阶砖平面上,抛出的“金币” 若恰好落在任何一个阶砖(边长为 a 的正方形)的范 围内(不与阶砖相连的线重叠),便可获奖.

问:参加者获奖的概率有多大?

设阶砖每边长度为a , “金币”直径为r . 若“金币”成功地落 在阶砖上,其圆心必 位于右图的绿色区域 A内. a A
S

a 问题化为:向平面区域S (面积为a2)随机投 点( “金币” 中心),求该点落在区域A内 的概率.

于是成功抛中阶砖的概率
A的面积 p? S的面积 (a ? r ) ? 2 a
2

a

A

0<r<a

a

由此可见,当r接近a, p接近于0; 而当r接近0, p接近于1. 若r>a, 你还愿意玩这个游戏吗?

例 3. (会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 17点之 间在某地会面,先到者等一个小时后即离去设二人在 这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影 响.求二人能会面的概率. 解: 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是 y 即 点 M 落在图中的阴影部 5 分.所有的点构成一个正方 4 形,即有无穷多个结果.由 3 .M(X,Y) 于每人在任一时刻到达都是 2 等可能的,所以落在正方形 1 内各点是等可能的. 0 1 2 3 4 5 x

二人会面的条件是:| X ? Y |? 1,
阴影部分的面积 P ( A) ? 正方形的面积 1 2 25 ? 2 ? ? 4 9 2 ? ? 25 25.

y

y-x =1 y-x =-1

答:两人会面的概率等于 25

5 4 3 2 1 9 0

1

2 3 4

5 x

【变式题】假设你家订了一份报纸
送报人可能在早上6:30—7:30之间把报 纸送到你家

你父亲离开家去工作的时间在 早上7:00—8:00之间

问你父亲在离开家前能得到报纸 (称为事件A)的概率是多少?

6:30—7:30之间 报纸送到你家 7:00—8:00之间 父亲离开家 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率 是多少? 提示: 如果用X表示报纸送到时间 用Y表示父亲离家时间 那么X与Y之间要满足哪些关系呢?

解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在 离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以

30 60 ? 2 ? 87.5%. P( A) ? 602
2

2

例4.在一个圆上任取三点A、B、C, 求能构成锐角三 角形的概率. 解:在一个圆上任取三点A、B、C,构成的三角形内 角分别为∠A、 ∠B、 ∠C. ?0 ? x ? ? , 设∠A=x, ∠B=y,则 ? ?0 ? y ? ? ? x . A
? ? ?0 ? x ? 2 , B ? C ? ? ?0 ? y ? , 2 构成锐角三角形的(x,y)应满足的条件是:? ? ? ?x ? y ? 2 ?

它们构成本试验的样本空间 S.

?0 ? x ? ? , ? ?0 ? y ? ? ? x .

? ? ?0 ? x ? 2 , ? ? ? ?0 ? y ? , 2 ? ? ? ?x ? y ? 2 ?
1 4

y

?
? 2
O

S
? 2

?

x

由几何概率计算得所求概率为

练一练
1.在线段 AD 上任意取两个点 B、C,在 B、C 处折断 此线段 而得三折线,求此三折线能构成三角形的概率.

2. 在一张方格纸上随机投一个直径 1 的硬币,问方 格多小才能使硬币与线相交的概率大于 0.99 ? 3.Bertrand 问题:已知半径为 1 的圆的内接等边 三角形边长是 3 ,在圆内随机取一条弦,求弦长 超过 3 的概率.
4.一个服务窗口每次只能接待一 名顾客,两名顾客将在 8 小时内 随机到达.顾客甲需要 1 小时服务 时间,顾客乙需要 2 小时.计算有 人需要等待的概率.

回顾小结:
1.几何概型的特点:
⑴、有一个可度量的几何图形S; ⑵、试验E看成在S中随机地投掷一点; ⑶、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中.

2.古典概型与几何概型的区别.
相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个.

回顾小结:
3.几何概型的概率公式.

构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)? . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
4.几何概型问题的概率的求解.

课后作业:

课本 P103 习题3.3 No.4、5、6.

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透亮,柔软筋道,再浇上点陕西红彤彤的油泼辣椒和各种调料,这就是一碗垂涎欲滴的擀面皮。”听着这些勾引胃口的话,几 个老乡的馋虫被勾了出来,都“口水飞流三千尺”了。马启明又说:“你们知道‘遥看瀑布挂前川’、‘飞流直下三千尺’是 什么意思?”大家愣愣地看着马启明,不知道他又玩什么花招。“那是李白吃臊子面时,有感而发,是吃臊子面的壮观场面!” 马启明哈哈大笑。“李白除了喝酒作诗,还对臊子面也感兴趣?”“嗯。”马启明打开一瓶花开啤酒,泡沫不停地望上涌。有 一个老乡为冒出的啤酒泡沫而感到惊奇,问道:“唉!你们做啤酒的把啤酒泡沫流出来我倒不奇怪,奇怪的是原先是怎么把这 些泡沫塞进瓶里去的?”马启明楞了一下,神神秘秘地说:“就用嘴直接吹!”大家轰然大笑。随着一瓶瓶啤酒下肚,乱七八 糟的谈话也一股脑地端了出来。马启明面色酡红地问道,“为什么在学校南方同学吃米饭时没有吃到小沙子小石子,而北方同 学却老是吃到小沙子小石子?”坐在马启明旁边的江文轩解释道:“我们以前在学校时,也特别奇怪为什么南方的同学吃米饭 吃不到小沙子和小石子,而北方的同学却总是吃到小沙子小石子,就好像那些小沙子小石子专门欺负咱北方人。现在再一琢磨 给琢磨出来了,原来是南方的同学习惯吃米饭,在西安那个地方天天吃馒头等面食,吃烦了,自然也特别想吃米饭。可学校一 个周就供应一二次米饭。当知道当天要供应米饭时,南方的学生早早做好准备,一下课就以百米冲刺的速度冲向食堂。我们学 校的短跑冠军‘飞毛腿’就是那一次被体育老师发现的。难得吃一回米饭,又是费劲‘抢’到的,自然是迫不及待地狼吞虎咽, 先解了馋再说,那还顾得上细嚼慢咽。而北方的同学吃米饭,只是想换换口味,细细品味,当然就能吃出沙子、石子来了。” 江文轩是马启明在饭桌上刚认识的,在离马启明不远的另一个镇上工作,在镇办集体企业护佑制药厂里面当技术员,祖籍宁夏。 旁边,坐着不显山、不露水的一位漂亮女生---李若兰,是江文轩的未婚妻,也是和他同批从陕西招人过来的,祖籍山东,随 她父母在新疆,和刘丽娟是正儿八经的老乡,和江文轩是大学同班同学,现在也在护佑制药厂工作。马启明继续刨根问底地问 道:“我就纳闷了,在学校时吃米饭总有沙子石子,可现在在这吃的米饭却从来没有沙子石子?”“真是这样,同样是米,这 边怎么一粒石子都吃不到?”几个老乡把筷子放下也讨论起来。看大家越来越来劲啦,江文轩也更加来劲,侃侃而谈:“大米 收获时,大多数人习惯在公路上晾晒。以前公路的质量远比不上现在的质量,沙子、小石子到处都是,一扫就把沙子石子给扫 进去了,现在都不在公路上晒大米了。说到吃米饭,我给你们讲个笑话,是真实


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