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2014年全国高中数学联赛模拟试题(一)


2014 年全国高中数学联合竞赛模拟试题(一) 一试
说明:
①本次考试时间:8:00-9:20,满分:120 分 ②本次考试禁止使用计算器 ③请答在答题纸上,答在试题纸及草稿纸上无效

试题纸

一、填空题(本大题共 8 题,每题 8 分,共 64 分)
1、已知 x, y, z ? R + 且

1 x x + + 1 ,那么 x + y + z 的最小值为____________。 x y z
z- 2 的辐角主值的最小值为_______________。 z +3
2

2、如果复数 z 满足: z = 1, Im z > 0 ,那么

3、三角形 ABC 面积为 1,用 a , b, c 表示三边长度,那么 a + 2bc 的最小值为___________。

4、不等式

x+y p - arctan + tan 2 x +1 ? 4 p

2 tan x (cos x sin x) 的解集为__________。

5、区间 (a, b),(a, b],[a, b),[a, b] 的区间长度均为 b - a , 若干不想交区间的并集的区间长度
2014

定义为这些区间的长度的和,那么不等式

?

k =1

k ? 2015 的解集长度为____________。 x- k

6、实数 x, y 满足 2x2 + 4xy + 2 y2 + 2 x2 y2 = 9,则 z = 2 ( x + y) + 3 3xy的取值范围是 ___________。

7、 函数 f ( x) =

(k +1) x 2 + (k + 3) x + (2k - 8) 的定义域记为 D , 则使 f ( x) > 0 对任意 x ? D (2k - 1) x 2 + (k +1) x + (k - 4)

成立的 k 的取值范围为____________。 8、离心率为 e ,焦准距为 p 的椭圆 C 的右焦点为圆心做圆 G,现已知平面存在上一点使得 该 点到 圆 G上任 意一 点对椭 圆 C 两 切线切 点所 确定直 线距 离为定 值, 那么该 定值 为 ___________。

2014 年全国高中数学联合竞赛 模拟试题(一) 一试 试题纸 第一页 共二页

二、(本题满分 16 分) 已知 A 1 , A2 , F 1 , F2 为椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左右顶点、焦点,点 A 是椭圆上一点,过 a 2 b2

原点做 AF1 , AF2 的平行线于椭圆在 A 处的切线 l 于点 M , N ,试求:三角形 OMN 外心的轨 迹。 三、(本题满分 20 分) 已 知 数 列 {an } 对 任 意 n ? 1 满 足 a1 > 0, an +1 =

an ,证明:一定存在正整数 n 使得 an 2 +1

an >

7 10 n

四、(本题满分 20 分) 记 f (a, b) 为方程 x + x = 1 的最大根,证明:
a b



n

n

f (i, j ) < n 2 - n +1

i =1 j =1

2014 年全国高中数学联合竞赛 模拟试题(一) 一试 试题纸 第二页 共二页

2014 年全国高中数学联合竞赛模拟试题(一) 加试
说明:
①本次考试时间:9:40-12:10,满分:180 分 ②本次考试禁止使用计算器 ③请答在答题纸上,答在试题纸及草稿纸上无效 ABC 的 A - 旁切圆,在 BC 上的切点为 D ,直线 AD 交 一、 (本题满分 40 分)已知圆 J 是 D 圆 J 于点 E ,过 E 的切线交 BC 于点 P , 过 C 作 CF // PE 交 AE 于点 F , 射线 BF 交圆 J 于 点 N ,线段 CF 交圆 J 于点 Q ,求证: ? ENP

试题纸

QNE

二、 (本题满分 40 分)记 Sn = 1!+ 2!+鬃 ? n!,求证:存在正整数 n ,使得 Sn 有大于 10 的素因子

2014

三、 (本题满分 50 分)设 s1 , s2 ,鬃 是一个严格递增的正整数数列,使得它的两个子数列:

ss1 , ss2 ,鬃 和 ss1 +1 , ss2 +1 ,鬃 都是等差数列,证明:数列 s1 , s2 ,鬃 本身也是个等差数列。

四、 (本题满分 50 分)设 k + l 元实数集 S = {x1 , x2 ,鬃, xk +l } 满足:

0# xi 1,(i = 1, 2,鬃 ? k l ), k , l ? N +
如果满足:

1 1 xi 邋 k xi 挝A l xi

S\A

xi

k +l ,则称 S 的一个 k 元子集 A 为“好的” ,证明:至少 2kl



2Ckk+l 个好子集 k +l

第一题图 2014 年全国高中数学联合竞赛 模拟试题(一) 加试 试题纸 第一页 共一页


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