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2013高三数学辅导资料三角函数的概念


(13)三角函数的概念、同角三角函数的关系
【知识要点解读】 一、角的概念的推广 1、角的分类: (1)按旋转方向分: ?零角 ?
?负角 ? ?正角

(2)按终边所在的位置分: ?

?象限角 ?轴线角

2、终边相同的角的集合:与 ? 的终边相同的角的集合: {? | ? ? 2k? ? ? , k ? Z } 3、角的对称问题: (1) ? 与 ? 的终边关于 x 轴对称,则: ? ? ? ? k ? 3600 , k ? Z (2) ? 与 ? 的终边关于 y x 轴对称,则: ? ? ? ? (2k ? 1) ? 1800 , k ? Z (3) ? 与 ? 的终边关于原点对称,则: ? ? ? ? (2k ? 1) ? 1800 , k ? Z (4) ? 与 ? 的终边在一条直线上,则: ? ? ? ? k ? 1800 , k ? Z 二、弧度制 1、角度制:规定周角的
1 360

为 1 度,这种用度作单位来度量角的制度叫做角度制。
l r

| 2、 弧度制: 把长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。 弧度数的公式为:? |? 。

3、角与实数成一一对应。 4、角度与弧度的换算公式: 1800 ? ?rad 5、弧长与扇形面积公式: l ?| ? | ?R ,扇形面积公式 S ? lR ?
1 2 1 | ? | ?R 2 2

三、任意角的三角函数: 1、定义:设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y) ,那么: (1) y 叫做 ? 的 正弦,记作 sin? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? x ;(3) 切,记作 tan? ,即 tan ? ?
y ( x ? 0) x
y x

叫做 ? 的正



2、三角函数值在各象限内的符号:
y y o o x x y

o

x

sin ?

cos?

tan?

3、单位圆中的三角函数线: 4、同角三角函数的基本关系: (1) 平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 1 ? tan2 ? ? sec2 ? , 1 ? cot2 ? ? csc2 ? (2)倒数关系: tan? ? cot? ? 1 , sin? ? csc? ? 1 , cos? ? sec? ? 1 (3)商数关系: tan ? ? 5、三角函数的诱导公式 (1)sin(2k? ? ?) ? ________ (2) sin(? ? ?) ? ________ (3) sin(? ? ?) ? ________ (4) sin(2? ? ?) ? ________ (5) sin(??) ? ________ (6) sin(
?
2 ? ? ) ? ________

sin ? cos? , cot? ? cos? sin ?
cos(2k? ? ?) ? ________ cos(? ? ? ) ? ________ cos(? ? ? ) ? ________ cos(2? ? ?) ? ________ cos(?? ) ? ________
cos(

tan(2k? ? ?) ? ________ tan(? ? ?) ? ________ tan(? ? ?) ? ________ tan(2? ? ?) ? ________ tan(?? ) ? ________
tan(

?
2

? ?) ?

________

? ? ? ) ? ________ 2

(7)sin( (8)

? ? ? ) ? ________ 2 3? sin( ? ? ) ? ________
2 3? ? ?) ? 2

cos(

?
2

? ?) ?

________ ________ ________

tan(

cos(

3? ? ?) ? 2

? ? ? ) ? ________ 2 3? tan( ??) ?
2 3? ? ?) ? 2

________ (9) sin( ________ 【例 1】 (1)若θ 是第二象限的角,则 (2)π <α +β <
sin cos?) ( 的符号是什么? cos sin 2?) (

________

cos(

3? ? ?) ? 2

tan(

4π π ,-π <α -β <- ,求 2α -β 的范围. 3 3

1 π cot ? ? ? π )sin 2π ? ?) ( ? ( 【例 2】 已知 cosα = ,且- <α <0,求 的值. cos ? ?) tan ? ( ? 3 2

【例 3】求下列函数的定义域: (1) y ?
1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 1)

(2) y ?

3 tan x ? 3

【例 4】已知关于 x 的方程 2 x2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin? 、 cos? ,其中 m ? (0,2? ) 。 (1)求 m 的值; (2)求
sin ? cos? 的值。 ? 1 ? cot? 1 ? tan?

【闯关练习】 1、已知角α 是第三象限角,则角-α 的终边在( A、第一象限 B、第二象限
4? 3

) D、第四象限

C、第三象限 )

2、在 0 到 2? 范围内,与角 ? A.
? 6

终边相同的角是( C. )
2? 3

B.

? 3

D.

4? 3

3、若 cos? ? 0 , sin? ? 0 ,则角 ? 的终边在( A.第一象限 4、 sin 1500 的值等于( A.
1 2

B.第二象限 ) B. ?
1 2

C.第三象限

D.第四象限

C.

3 2

D. ?

3 2

5.角α 的终边过点 P(-8m,-6cos60°)且 cosα =- A.
1 2

4 ,则 m 的值是( 5
3 2


3 2

B.-

1 2

C.-
1

D. )

6.(2009 陕西,理 5)若 3sin? ? cos? ? 0 ,则 A、
10 3

cos2 ? ? sin 2?
2 3

的值为( D、 ?2

B、

5 3
1 2

C、

7、在 [0,2? ] 上满足 sin x ? 的 x 取值范围是(
? ?? A. ?0, ? ? 6? ? ? 5? ? B. ? , ? ?6 6 ?
2? 3


? 5? ? D. ? ,? ? ? 6 ?

? ? 2? ? C. ? , ? ?6 3 ?

8、若角

的终边上有一点 ?? 4, a ?,则 a 的值是(
3

) D. 。
3

A. 4

B. ? 4 =
cos x cos x ? tan x tan x

3

C. ? 4
11 ? ) 6

3

9、 (1) cos

9? 4

; (2) tan(? 的值域

= 。

10、函数 y ?

11.已知 sinθ =

1? a 3a ? 1 ,cosθ = ,若θ 是第二象限角,则实数 a 的值是 1? a 1? a

12.已知 tan110°=a,则 tan50°=_________.

13、已知 tan(? ? ?) ? 3, 求 2 cos(? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) 的值。
4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? )

14、 (1)已知 sin ? ? (2)已知 cos ? ? ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , cot ? . 13

4 ,求 sin ? , tan ? . 5

15、已知 sin ? ? 2cos? ,求下列各式的值: 2 2 (1) sin ? ? 4 cos? (2) 2sin ? ? 2sin ? cos ? ? cos ?.
5 sin ? ? 2 cos?

16、已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos? ? 解:

1 .(1)求 tan 5

? 的值; (2)求 cos2 ? ? sin( ? ? )

?
2

的值.

17.化简

sin? k ? 1 π ? ? ? ? cos? k ? 1 π ? ? ? ( ) ( ) (k∈Z). sin kπ ? ?) cos kπ ? ?) ( ? (

(13)三角函数的概念、同角三角函数的关系
【知识要点解读】 一、角的概念的推广 1、角的分类: (1)按旋转方向分: ?零角 ?
?负角 ? ?正角

(2)按终边所在的位置分: ?

?象限角 ?轴线角

2、终边相同的角的集合:与 ? 的终边相同的角的集合: {? | ? ? 2k? ? ? , k ? Z } 3、角的对称问题: (1) ? 与 ? 的终边关于 x 轴对称,则: ? ? ? ? k ? 3600 , k ? Z (2) ? 与 ? 的终边关于 y x 轴对称,则: ? ? ? ? (2k ? 1) ? 1800 , k ? Z (3) ? 与 ? 的终边关于原点对称,则: ? ? ? ? (2k ? 1) ? 1800 , k ? Z (4) ? 与 ? 的终边在一条直线上,则: ? ? ? ? k ? 1800 , k ? Z 二、弧度制 1、角度制:规定周角的
1 360

为 1 度,这种用度作单位来度量角的制度叫做角度制。
l r

| 2、 弧度制: 把长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。 弧度数的公式为:? |? 。

3、角与实数成一一对应。 4、角度与弧度的换算公式: 1800 ? ?rad 5、弧长与扇形面积公式: l ?| ?
| ?R ,扇形面积公式 S ?

1 1 lR ? | ? | ?R 2 2 2

三、任意角的三角函数: 1、定义:设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y) ,那么: (1) y 叫做 ? 的 正弦,记作 sin? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? x ;(3) 切,记作 tan? ,即 tan ? ?
y ( x ? 0) x

y x

叫做 ? 的正



2、三角函数值在各象限内的符号:

y y o o x x

y

o

x

sin ?

cos?

tan?

3、单位圆中的三角函数线: 4、同角三角函数的基本关系: (1) 平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 1 ? tan2 ? ? sec2 ? , 1 ? cot2 ? ? csc2 ? (2)倒数关系: tan? ? cot? ? 1 , sin? ? csc? ? 1 , cos? ? sec? ? 1 (3)商数关系: tan ? ? 5、三角函数的诱导公式 (1)sin(2k? ? ?) ? ________ (2) sin(? ? ?) ? ________ (3) sin(? ? ?) ? ________ (4) sin(2? ? ?) ? ________ (5) sin(??) ? ________ (6) sin( (7)sin( (8)
?
2 ? ? ) ? ________

sin ? cos? , cot? ? cos? sin ?
cos(2k? ? ?) ? ________ cos(? ? ? ) ? ________ cos(? ? ? ) ? ________ cos(2? ? ?) ? ________ cos(?? ) ? ________ ? cos( ? ? ) ? ________ 2 ? cos( ? ? ) ? ________ 2 3? cos( ? ? ) ? ________ 2
3? ? ?) ? 2

tan(2k? ? ?) ? ________ tan(? ? ?) ? ________ tan(? ? ?) ? ________ tan(2? ? ?) ? ________ tan(?? ) ? ________ ? tan( ? ? ) ? ________ 2 ? tan( ? ? ) ? ________ 2 3? tan( ??) ? 2
3? ? ?) ? 2

? ? ? ) ? ________ 2 3? sin( ? ? ) ? ________ 2
3? ? ?) ? 2

________ (9) sin( ________ 【例 1】 (1)若θ 是第二象限的角,则 (2)π <α +β <
sin cos?) ( 的符号是什么? cos sin 2?) (

________

cos(

________

tan(

4π π ,-π <α -β <- ,求 2α -β 的范围. 3 3

剖析: (1)确定符号,关键是确定每个因式的符号,而要分析每个因式的符号,则关键 看角所在象限. (2)可以把α +β 与α -β 看成两个变量(整体思想) ,然后把 2α -β 用这两个变量 表示出来即可. 解: (1)∵2kπ +
π <θ <2kπ +π (k∈Z) , 2

∴-1<cosθ <0,4kπ +π <2θ <4kπ +2π ,-1<sin2θ <0. ∴sin(cosθ )<0,cos(sin2θ )>0. ∴
sin cos?) ( <0. cos sin 2?) (

(2)设 x=α +β ,y=α -β ,2α -β =mx+ny, 则 2α -β =mα +mβ +nα -nβ =(m+n)α +(m-n)β .
?m ? n ? 2, 1 3 ∴? ∴m= ,n= . 2 2 ?m ? n ? ?1.

∴2α -β = ∵π <x< ∴

1 3 x+ y. 2 2

4π π ,-π <y<- , 3 3

π 1 2π 3π 3 π < x< ,- < y<- . 2 2 2 3 2 2

1 3 π x+ y< . 2 2 6 评述: (1)解此题的常见错误是:

∴-π <

π <α +β <

4 π, 3

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

π , 3 ①+②得 0<2α <π ,

-π <α -β <-

由②得

π <β -α <π , 3 4π 7π 2π 7π <2β < ,∴ <β < . 3 3 3 6

①+④得 ∴-

7π 2π <-β <- . 6 3

7π π <2α -β < . 6 3 (2)本题可用线性规划求解,读者不妨一试.

③+⑥得-

1 π 【例 2】 已知 cosα = ,且- <α <0, 3 2



cot ? ? ? π )sin 2π ? ?) ( ? ( 的值. cos ? ?) tan ? ( ?

1 剖析:从 cosα = 中可推知 sinα 、cotα 的值,再用诱导公式即可求之. 3 1 π 解:∵cosα = ,且- <α <0, 3 2

∴sinα =- ∴原式=

2 2 2 ,cotα =- . 4 3

2 cot ? ?)sin? ? cot ? ? sin? ( ? = =-cotα = . 4 cos ? ?) tan ? ( ? sin? 评述:三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题,也是常考的问题之一. 1、定义域问 题: 【例 3】求下列函数的定义域:

(1) y ?

1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 1)

(2) y ?

3 tan x ? 3

5 答案: (1) [2k? ? ,2k? ? ? )( k ? Z ) 3 6

?

(2) {x | k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
2

, k ? z}

【例 4】已知关于 x 的方程 2 x2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin ? 、 cos? ,其中 ? ? (0,2? ) 。 (1)求 m 的值;

(2)求

sin ? cos? 的值。 ? 1 ? cot? 1 ? tan?

解: (1) m ? (2)

3 2 3 ?1 2

sin ? cos? sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? ? ? ? sin ? ? cos? ? 1 ? cot? 1 ? tan? sin ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? ? cos?

【闯关练习】 1、已知角α 是第三象限角,则角-α 的终边在( B ) A、第一象限 B、第二象限
4? 3

C、第三象限

D、第四象限

2、在 0 到 2? 范围内,与角 ? A.
? 6

终边相同的角是( C ) C. ) C.第三象限 D.第四象限
2? 3

B.

? 3

D.

4? 3

3、若 cos? ? 0 , sin? ? 0 ,则角 ? 的终边在( D A.第一象限 4、 sin 1500 的值等于( A A.
1 2

B.第二象限 ) B. ?
1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

5.角α 的终边过点 P(-8m,-6cos60°)且 cosα =- A.
1 2

4 ,则 m 的值是( A 5
3 2


3 2

B.-

1 2

C.-
?8 m 64m ? 9
2

D.

解析:P(-8m,-3) ,cosα = 答案:A

=-

4 1 1 .∴m= 或 m=- (舍去). 5 2 2

6.(2009 陕西,理 5)若 3sin? ? cos? ? 0 ,则 A、
10 3

1 cos2 ? ? sin 2?
2 3

的值为( A D、 ?2



B、

5 3
1 2

C、

7、在 [0,2? ] 上满足 sin x ? 的 x 取值范围是( B
? ?? A. ?0, ? ? 6? ? ? 5? ? B. ? , ? ?6 6 ?
2? 3


? 5? ? D. ? ,? ? 6 ? ?

? ? 2? ? C. ? , ? ?6 3 ?

8、若角

的终边上有一点 ?? 4, a ?,则 a 的值是( A
3

) D.
3

A. 4

B. ? 4

3

C. ? 4

3

【解析】 ? tan 9、 (1) cos
9? 4

2? a 2? ? ? ,? a ? ?4 tan ? 4 tan ? 4 3 ,故选 3 ?4 3 3

A。 。
3 3


cos x cos x ? tan x tan x

; 的值域

2 2

(2) tan(?

11 ? ) 6



10、函数 y ?

。 {?2,0,2}

11.已知 sinθ =

1? a 3a ? 1 ,cosθ = ,若θ 是第二象限角,则实数 a 的值是 1? a 1? a

? 1? a ?0 ? 1 ? a ? 1, ? 3a ? 1 ? 解:依题意得 ?? 1 ? ? 0, 1? a ? ? 1? a 2 3a ? 1 2 ( ( ? 1 ? a ) ? 1 ? a ) ? 1. ?

解得 a=

1 或 a=1(舍去). 9 1 . 9

故实数 a=

12.已知 tan110°=a,则 tan50°=_________. 解析:tan50°=tan(110°-60°)=
tan110? ? tan 60? a ? 3 = . 1 ? tan110? tan 60? 1 ? 3a

答案:

a? 3 1 ? 3a
4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? )

13、已知 tan(? ? ?) ? 3, 求 2 cos(? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) 的值。 解: ?tan(? ? ?) ? 3,?tan? ? 3. , 原式 ? 14、 (1)已知 sin ? ? (2)已知 cos ? ? ?
?2cos? ? 3sin? ?2 ? 3 tan ? ?2 ? 3 ? 3 ? ? ? 7. 4cos? ? sin? 4 ? tan ? 4?3

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , cot ? . 13

4 ,求 sin ? , tan ? . 5 13 13 5 sin ? ∴ cos ? ? 0 ,即有 cos ? ? ? ,从而 tan? ? cos? 13

2 2 12 2 5 2 2 2 解: (1)∵ sin ? ? cos ? ? 1 , ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? ( ) 又∵ ? 是第

二象限角,
cot? ? 1 5 ?? tan ? 12

??

12 , 5

(2)∵ sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 又∵ cos ? ? ?

2 2 2 2 ∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ( ) ,

4 5

3 5

4 ?0, 5

∴ ? 在第二或三象限角。

当 ? 在第二象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ?

3 sin ? 3 ?? ; , tan ? ? 5 cos ? 4 3 sin ? 3 ? . , tan ? ? 5 cos ? 4

当 ? 在第三象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? ? 15、已知 sin ? ? 2cos? ,求下列各式的值:

(1) sin ? ? 4 cos? 解: (1) ? sin ? ? 2 cos? (2) 2sin 2 ?

5 sin ? ? 2 cos?

(2) 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ?.

? tan ? ? 2 ? sin ? ? 4 cos? ? tan ? ? 4 ? ?2 ? ? 1 5 sin ? ? 2 cos? 5 tan ? ? 2 12 6 11 2 ? 2sin ? cos ? ? cos ?. = 5
1 .(1)求 tan 5

16、已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos? ? 解: (1) ? (2) ? 17.化简
4 3 2 5

? 的值; (2)求 cos2 ? ? sin( ? ? )

?
2

的值.

sin? k ? 1 π ? ? ? ? cos? k ? 1 π ? ? ? ( ) ( ) (k∈Z). sin kπ ? ?) cos kπ ? ?) ( ? ( sin 2nπ ? π ? ?)cos 2nπ ? π ? ?) ( ? ( sin 2nπ ? ?)cos 2nπ ? ?) ( ? (

解:当 k=2n(n∈Z)时, 原式= =

? sin? ( ? cos?) ? =-1. ? sin? ? cos? sin? 2n ? 2)π ? ? ? ? cos? 2n ? 2)π ? ? ? ( ( sin 2nπ ? π ? ?)cos 2nπ ? π ? ?) ( ? (

当 k=2n+1(n∈Z)时, 原式= =

sin? ? cos? =-1. sin? ( ? cos?) ?

综上结论,原式=-1.


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