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2012年全国高中数学联赛福建赛区预赛


2012 年福建省高中数学竞赛
一、 填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1. 已知集合 = {|| ? 1| < 2}, = {| log2 > log3 },则 ∩ =___________.
2

(考试时间:150min)

2. 已知函数(

) = √3sin2 + 2cos 2 + ,若()在区间?0, ?上的最小值为?1,则的值为

5. 已知正三棱锥 ? 底面正三角形的边长为2√3,内切球半径为√2 ? 1,则三棱锥的体 积为______________. 6. 已知数列{ }中,1 = 1, +1 =
(+1) 2

____________. 3. 若关于的方程 3 ? 3 2 ? 9 = 在区间[?2,3]上恰有两个不同的实根, 则实数的取值范 围为___________. ?????? ?????? ?????? ?????? 4. 已知点在△内部,且3 + 2 + = 4,记△的面积为1,△的面积 为2,则1的值为____________.
2



7. 有 14 个大小、形状相同的小球,其中 7 个红球,7 个白球。它们分别装在甲乙两个盒子 内,其中甲盒子内装有 4 个红球、3 个白球,乙盒子内装有 3 个红球、4 个白球。现从甲盒 子内随机摸出 1 个小球放入乙盒子内, 再从乙盒子内随机摸出 1 个小球放回甲盒子内, 记此 时乙盒子内红球的个数为,则的数学期望 =_______________。 8. 不等式 2 + ln > 的解集为____________。 (用区间表示) 9. 函数() = 2√ ? 3 + √5 ? 的最大值为_____________.


( ∈ ? ),则数列{ }的前项和为_________.

10. 对正整数, 记 = ? ? + ? 2 ? + ? 3 ? + ? + ? ?, 其中为满足2 ≥ 的最小整数, 符号[] 97, ? = 100 ? 97 = 3,因此,数 100 的“亏损数”为 3)则“亏损数”为 9 的最小正整 数为______________。 二、 解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11. 已知数列{ }为等差数列,且2 = 5, 8 = 23。数列{ }是各项均为正数的等比数列,
2 2

表示不超过的最大整数。 与的差, 即 ? 称为正整数的 “亏损数” 。 (如, = 100时, = ?
100 2

?+?

100 22

?+?

100 23

?+?

2

100 24

2



?+?

100 25

2



?+?

100 26

?+?

2



100 27

? = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 + 0 =

1 = 2且对任意正整数, 都有+ = ? 成立。 (1)求数列{ }, { }的通项公式; (2)求证:数列{ }中有无数多项在数列{ }中。 12. 已知双曲线: ?
2 2

其左焦点1 到渐近线的距离为√2。 A (1)求双曲线的方程; (2)若过点(2,0)的直线交双曲线于, 两点,且以为 直径的圆过坐标原点。求直线的方程。 13. 如图, 四边形是圆内接四边形, 且 ? = ? , 是对角线上一点。

= 1( > 0, > 0)的离心率 = √3,

B

E

C

D

(1)若是中点,求证:∠ = ∠; (2)若∠ = ∠,试问是否为中点?说明理由。 14. 已知函数() = ln( + 1) +
+1 2

的子集,符号||表示集合中元素的个数,()表示集合中所有元素的和。 (1)若集合中任意两个数的差都不是 101 的倍数,求||的最大值; (2) 若集合中任意两个数的差都不是 101 的倍数, 且任意两个数的和也不是 101 的倍数, 求||的最大值; (3) 若集合中任意两个数的差都不是 101 的倍数, 且任意两个数的和也不是 101 的倍数, 同时() = 2012,求||的最大值。

(1)当 = 1时,求()的最小值; (2)若 ∈ [0,2]时,() ≥ 0恒成立,求实数的取值范围。 15. 已知集合是由不超过 2012 的正整数组成的集合,即 = {1,2,3, ? ,2012}。集合是集合

+ ? 2(其中 > 0) 。


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