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第二章 推理与证明 在日常生活中, 人们常常需要进行这样 那 样的推理 .例如,医生诊断病人的病症 , 警察 侦破案件 ,气象专家预测天气的可 能状态, 考古学家推断遗址的年 代 , 数学家论证命 题的真伪等等 , 其中都包含了推理活动 .在 数学中, 证明过程更离不开推理 . 本章我们将学习两种基 本的推理 合情 推理和演绎推理.合情推理具有猜测和发 现新结论、探索和

提供 解决问题的思路 和方向的作用 ;演绎推理则具有证明结 论, 整理和建构知识体系的 作用 , 是公理体系 中的基本推理方法. 因此它们联系紧密、 相辅相成 , 成为获得数学结论的基 本手 段.同时我们还要学习证明 的两类基本方 法 直 接证明的方法 (如分析法、综 合 法、数学归纳法 ) 和间接 证明的方法(如 反证法) , 从中体会证明的功能和 特点 ,了 解数学证明的基本方法 , 感受逻辑证明在 数学以及日常生活中的 作用, 养成言之有 理、论证有据的习惯 . 2.1 合情推理与演绎推理 推理是人们思维活动的 过程, 是根 据一个或几个已知的判断来确定 一个新的判断的思维过 程.本节将 介 绍人们在日常活动和科 学研究 中经常使用的两种推理 合情推 理和演绎推理 . 2.1.1 合情推理 数学中有各种各样的猜 想, 如著名的哥德巴赫 (Goldbach )猜想、费马 (Fermat )猜想、地图的 四色猜想、歌尼斯堡七桥猜想等 等.某些猜想 的证明吸引了大批的数 学家 和数学爱好者 ,有 的人甚至为之耗费了毕 生心血 .你知道这些数 学猜想是怎样提出来的 吗 ? 下面看一下哥德巴 赫提出猜想的过程 . 据说哥德巴赫无意中观 察到 : 3 ? 7 ? 10,3 ? 17 ? 20,13 ? 17 ? 30, 他有意把上面的式子改 写成 : 10 ? 3 ? 7,20 ? 3 ? 17,30 ? 13 ? 17. 其中反映出这样一个规 律: 偶数 ? 奇质数 ? 奇质数. 于是哥德巴赫产生了一 个想法 : 10,20,30都是偶 数,那么其他偶数是否也有 类似的规律呢? 显然,第一个等于两个奇质数 之和的偶数是 6, 即 6 ? 3 ? 3, 再看看超过6的偶数 : 8 ? 3 ? 5,10 ? 5 ? 5,12 ? 5 ? 7,14 ? 7 ? 7,16 ? 5 ? 11 ,? ? ? ? ? ? 1000 ? 29 ? 971 ,1002 ? 139 ? 863,? ? ? ? ? ? 继续上述过程 , 你能提出一个猜想吗 ? 根据上述过程 , 哥德巴赫大胆地猜想: 任何一个 不小于6 的偶数都等于两个奇质 数的和.这是正 确的吗? 多少年来 , 许多优秀的数学家都在 努力 证明这个猜想 , 而且取得了很好的进展 . 现在, 我们来考察一下哥德巴 赫提出猜想的推理 过程 : 通过对一些偶数的验证 , 他发现它们总可 以表示成两个奇质数之 和,而且没有出现反例 .于 是, 提出猜想 任何一个不小于 6的偶数都等于 两个奇质数之和 . 这种由某类事物的部分 对象具有某些特征 ,推 出该类 事物的全部对象都具有 这 些特征的推 论, 或者由个别事实概括出 一般结论的推理 ,称 为归纳推理 ?简称归纳?.简言之,归纳推理是由 部分到整体、由个别到 一般的推理 . 例如 ,由铜、铁、铝、金、银 等 金 属能导电 , 归纳出 一切金属都能导电 ; 由直角三角形、 等腰三角形、等边三角 形的内角和都是 1800 , 归纳出 所有三

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