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福建省泉州一中06年高考数学(文史类)模拟试卷


福建省泉州一中 06 年高考数学(文史类)模拟试卷 2006-4-27
一. 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.“两条直线没有公共点”是“这两条直线异面”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知 ? 、 ? ? (0,

?

2

tan
),

?
2

1 ? tan 2
B.

?
2

?

3 ,且 2sin ? ? sin(? ? ? ) ,则 ? 的值为( 2



A.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

5? 12

3.已知 l、m 为两条不重合的直线,α、β 为两个不重合的平面,则下列条件中可以判断平面 α 与 平面 β 平行的是( A. l // ? , // ? l ) B.l ? ? , ? ? l C.l ? ? , // ?   l D.l、m ? ? , // ? , // ? l m

4.甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拨赛中所得的平均环数 x 及其方差 S2 如下表所示,则选送参 加决赛的最佳人选是 ( ) 甲 乙 9 6.2 丙 9 5.7 丁 8 6.4

x
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 S2

8 5.7

5.若不等式 (ax ? 1)( x ? b) ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} ,则不等式 A. {x |
1 ? x ? 1} 2

bx ? 1 ? 0 的解集是( ax ? 1



B. {x | x ?

1 , 或x ? 2} 2

C. {x | ?

1 ? x ? 1} 2

D. {x | x ? ?1, 或x ? 2}
2 2

6.将点 A(2,0) 按向量 a 平移至点 B,若过点 B 有且只有一条直线 l 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ?6 ? 0 相切,则当 | a | 最小时,直线 l 的方程是( A. y ? x ? 4 B. y ? ? x ? 4

?

?

) C. y ? x ? 4 D. y ? ? x ? 4 )

7.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

S S4 1 ? ,则 8 等于( S8 3 S16
C.

A.

3 10
n

B.

1 3

1 9

D.

1 8

1? ? 8.若二项式 ? x ? ? ? n ? 0且n ? N ? 的展开式中含有常数项,那么 n 必为( x? ?
A.奇数 9.函数 f ( x) ? B.偶数
1? x 的反函数为 f x
?1

) D.4 的倍数 )

C.3 的倍数
?1

( x) 。若 f

( x) ? 0 ,则 x 的取值范围是(

A.(-∞,0)

B.(-1,1)

C.(1,+∞)

D.(-∞,-1)

1

10.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条准线被它的两条渐近线截得的线段长等于它的焦 a2 b2
) C. 2 D.

点到渐近线的距离,则该双曲线的离心率为( A.

4 3

B.2

2 3 3

11.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1,且 AP=C1Q, M 为侧棱 BB1 上任意一点,则四棱锥 M-APQC 的体积为(
V A. 2 V B. 3 V C. 4


V D. 5
A1 P B1 Q A M C C1

12. 在股票买卖过程中, 经常用到两种曲线, 一种是即时价格曲线 y ? f (x) (实线表示) ,另一种是平均价格曲线 y ? g (x) (虚线表示)(如 f (2) = 3 是指开始买卖后二个小时的即时价格为 3 元; (2) = 3 表示二个小时内 g 的平均价格为 3 元),下图给出的四个图像中,其中可能正确的是( y y y y



B

x A B

x C

x

x D

二.填空题:(本大题共 4 小题,只要求直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律是零分。把答 案填在答题卡的相应位置) 13.给定两个向量 a =(1,2), b =(x,1),若 (a ?b)(a ?b) ? 0 ,则 x 的值等于_________; 14.已知抛物线 C1 : y ? 4 x 的图象与抛物线 C2 的图象关于直线 y ? ?x 对称。
2

?

?

? ? ? ?

则抛物线 C2 的准线方程是



15.7 个人坐成一排,现要调换其中 3 个人中每一个人的位置,其余 4 个人的位置不变,则不同的 调换方式有 种; (数字作答)

16 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 , 又 是 以 2 为 周 期 的 函 数 , 那 么

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (2008) 的值等于



三.解答题:(本大题共 6 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 17.已知等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a2 ? 6 , a3 ? a4 ? 72 。 .
2 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {an } 的前 n 项和为 S n .证明: Sn ? 2 ? Sn ? Sn ?1 。 (12 分)

2

18.已知△ABC 是锐角三角形,三个内角为 A、B、C,已知向量 p ? (2 ? 2 sin A, cos A ? sin A) ,

??

? ?? ? q ? (sin A ? cos A,1 ? sin A) ,若 p 与 q 是共线向量。
(1)求内角 A 的大小; (2)求函数 y ? 2 sin 2 B ? cos
C ? 3B 的最大值. (12 分) 2

19.如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAC⊥平面 ABC,且△SAC 是正三角形, △ABC 是等腰直角 三角形,其中 AC=CB=2,O 是 AC 的中点 (1) 求证:SO⊥AB; (2) 求二面角 B-SA-C 的大小. (12 分)
S

C O A

B

20.经统计,某汽车站,一个售票窗口每天上午 9 时排队购票的人数及相应的概率如下: 排队人数 概 率 0-5 0.1 6-10 0.15 11-15 0.25 16-20 0.25 21-25 0.2 25 人以上 0.05

(1) 该窗口每天上午 9 时不超过 20 人排队购票的概率是多少? (2)一周 7 天中, 若有 3 天以上(含 3 天) 在上午 9 时该窗口出现超过 15 人排队购票的概率大 于 0.70, 就需要增加售票窗口,请问该车站是否需要增加售票窗口? (12 分)

3

21.已知 f ( x) ? (1)当 | a |?

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x(a ? R) . 3

1 时,求证: f ( x) 在(-1,1)内是减函数; 4

(2)若 y ? f ( x) 在(-1,1)内有且只有一个极值点,求 a 的取值范围. (12 分)

22.已知:椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,一条经过点 (?3, 5) 且方向向量为 V ? (?2, 5) 的直线 l 通过椭圆 C 的左焦点 F,且交椭圆 C 于 A、B 两点,又 AF ? 2 FB 。 (1)求直线 l 的方程; (2)求椭圆 C 的方程。(14 分)

? ?

??? ?

??? ?

4

泉州一中 06 年高考数学(文史类)模拟试卷参考答案
一、 题号 选项 选择题(每题 5 分。满分 60 分) 1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 A 8 C 9 D 10 B 11 B 12 C

二、填空题(4 小题.只要求直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律是零分.共 16 分) 13.

?2

;14. y ? 1



15. 70

;16.

0 。

三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解: (1)有题意设公比为 q ( q ? 0 ) 得? 1分 3分

?
2

a1q ? 6

3 ? a1q ? a1q ? 72

解得 ?

? a1 ? 2 ?q ? 3

5分 6分 8分 11 分 12 分

故 an ? 2 ? 3n ?1 ; (2) Sn ? 3n ? 1
2 ? Sn? 2 ? Sn ? Sn?1 ? ?4 ? 3n ? 0
2 ? Sn? 2 ? Sn ? Sn?1

18. (1)解:∵p 与 q 是共线向量 ∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)(sin A-cos A)=0 整理得: 3 ? 4 sin 2 A ? 0 ,∴ sin A ? ∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60° (2) y ? 2 sin 2 B ? cos
? 1 ? cos 2B ? 3 2

2分 4分 6分

C ? 3B ? 2 sin 2 B ? cos(2B ? 60?) 2

1 3 cos 2B ? sin 2 B ? 1 ? sin(2 B ? 30?) 2 2

10 分

当 B=60° 时取函数取最大值 2. 此时三角形三内角均为 60° 19. (本小题 12 分) (1)证明: 12 分

?SAC 是正三角形, O 是 AC 的中点,

? SO ? AC .
又∵平面 SAC

2分

? 平面 ABC ,

5

? SO ? 平面 ABC ,

4分

S 5分 ? SO ? AB . (2) 法一:过 C 在平面 SAC 内作 CM ? SA ,且垂足为 M,连接 BM,7 分 ? ?ABC 是等腰直角三角形, 且 AC ? CB , M ? BC ? AC .

B C O

又∵平面 SAC

? 平面 ABC ,
A

? BC ? 平面SAC .
∴CM 为 BM 在平面 SAC 内的射影, ∴由三垂线定理得 BM

? SA ,
10 分

从而 ?CMB 是二面角 B ? SA ? C 的平面角 在 Rt ?BCM 中,? BC

? 2 ,则 AC ? CS ? SA ? 2 ,? CM ? 3 ,

? tan ?CMB ?
arctan 2 3 3
. 12 分

BC 2 2 3 ? ? CM 3 3

. 即 二 面 角

B? S? A

的 大 小 为 C

法二:由 (Ⅰ)知 SO ? 平面ACB ,故以 O 为坐标原点 ,分别以 OA, OD( OD ??

BC OS ), 为

x, y, z 轴,建立空间直角坐标系(如图所示),且 AC ? 2 ,
则 O(0,0,0) , A(1,0,0), C ( ?1,0,0) , B( ?1,2,0) , S (0,0, 设 n ? ( x, y , z ) 是平面 SAB 的法向量,则

3) D(0,1,0)
z S

7分

?

? n ? AS ? 0 ? ? ? ??? ?n ? AB ? 0 ?

? ???

即?

?? x ? 3z ? 0 ? ?2 x ? 2 y ? 0

?x ? 3 ? ? ? 取 z ? 1得 ? y ? 3 , ? n ? ( 3, 3,1) . ? z ?1 ? ? ??? ?
又 OD

C O B D A x y

10 分

? (0,1,0) 是平面 SAC 的法向量,

? ??? ? ? ???? 21 n ? OD 21 ? ? cos ? n, OD ?? ? ??? ? ,?所求二面角 B ? SA ? C 的大小为 arccos
n OD 7
7

12 分

20.解(1)解:每天上午 9 时不超过 20 人排队购票的概率为:P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75,即 不超过 20 人排队购票的概率是 0.75. 4分

6

(2)解:每天超过 15 人排队购票的概率为:0.25+0.2+0.05=

1 , 2

6分

0 1 一周 7 天中,没有出现超过 15 人排队购票的概率为 C 7 ( ) 7 ; 2

1 1 1 一周 7 天中,有一天出现超过 15 人排队购票的概率为 C 7 ( )( ) 6 ; 2 2 1 2 1 一周 7 天中,有二天出现超过 15 人排队购票的概率为 C 7 ( ) 2 ( ) 5 ; 2 2

9分

所以有 3 天或 3 天以上出现超过 15 人排队购票的概率为:

1 99 0 1 1 1 1 2 1 1 ? [C7 ( )7 ? C7 ( )( )6 ? C7 ( ) 2 ( )5 ] ? ? 0.70 , 2 2 2 2 2 128
故该汽车站需要增加构票窗口. 21.解: (1) 解法一:? f ? x ? ?

11 分 12 分 1分

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x,? f ' ? x ? ? 2 x 2 ? 4ax ? 3. 3

? ' 1? ? ? f ? ?1? ? 4 ? a ? 4 ? ? 0, 1 ? ? ? ? a ? ,? ? 4 ? ' 1? ? f ?1? ? ?4 ? a ? ? ? 0. ? 4? ? ?
∵二次函数 f ?( x) 的图像开口向上,
' ?在(-1,1)内 f ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在(-1,1)内是减函数.

4分

6分 1分

解法二:∵ f ( x) ?

2 3 x ? 2ax2 ? 3x ,∴ f ?( x) ? 2 x 2 ? 4ax ? 3 . 3 1 , 4 1 ? 1 ? 3 =0, 4

∵ x? (-1,1),即 x ? 1 ,又 a ?
2

2 ∴ f ?( x) ? 2 x ? 4ax ? 3 ≤ 2 x ? 4 a ? x ? 3 < 2 ? 12 ? 4 ?

4分

即当 x?(-1,1), f ?( x) ? 0 . 所以当 a ?

1 时, f (x) 在(-1,1)内是减函数. 4
'

6分 7分

(2)设极值点为 x0 ? ?1 ? x0 ? 1? ,则 f

? x0 ? ? 0 .

? ' 1? ? ? f ? ?1? ? 4 ? a ? 4 ? ? 0, 1 ? ? ? 当 a ? 时,? ? 4 ? f ' ?1? ? ?4 ? a ? 1 ? ? 0, ? ? ? 4? ? ?
' ' ?在 ? ?1, x0 ? 内 f ? x ? ? 0 ,在 ? x0 ,1? 内 f ? x ? ? 0 ,

7

即 f ? x ? 在 ? ?1,x0 ? 内是增函数, f ? x ? 在 ? x0 ,1? 内是减函数.

?当 a ?

1 时 f ? x ? 在(-1,1)内有且只有一个极值点,且是极大值点. 4

9分

当a ? ? 当?

1 时,同理可知, f ? x ? 在(-1,1)内有且只有一个极值点,且是极小值点.10 分 4
11 分

1 1 ? a ? 时,由(Ⅰ)知 f ? x ? 在(-1,1)内没有极值点. 4 4
? ? 1? ?1 ? ? ? ? , ?? ? . 4? ?4 ?

故所求 a 的取值范围为 ? ??, ?

12 分

另解:设极值点为 x0 ? ?1 ? x0 ? 1? ,则 f

'

? x0 ? ? 0 .

7分

2 因 f ? x ? 在(-1,1)内有且只有一个极值点,且 f ?( x) ? 2 x ? 4ax ? 3 为开口向上的二次函



? f ? ?1? f ?1? ? 0
' '

??1 ? x轴=a ? 1 ??1 ? x轴=a ? 1 ? ? 或 ? f ' ? ?1? ? 0 或 ? f ' ? ?1? ? 0 ? f ' ?1? ? 0 ? f ' ?1? ? 0 ? ?
或 空集

10 分

即 ?16 ? a ?

? ?

1 ?? 1? ?? a ? ? ? 0 4 ?? 4?
? ?

故 a 的取值范围为 ? ??, ?

1? ?1 ? ? ? ? , ?? ? . 4? ?4 ?

12 分

22.解:(1)直线 l 过点 (?3, 5) 且方向向量为 V ? (?2, 5) = ?2(1, ? 则 l 的斜率 K= ?

? ?

5 ) , 2 5 ( x ? 1) 2
4分

5 2

2分

故 I 方程为 y ? ?

(2)设直线 y ? ?

x2 y 2 5 ( x ? 1) 与椭圆 2 ? 2 ? 1 交于 A(x1,y1),B(x2,y2) 2 a b

6分 8分

由 AF ? 2 FB 求得 y1 ? ?2 y2

??? ?

??? ?

x2 y 2 2 y ? 1代入 2 ? 2 ? 1中 将x?? a b 5
整理得 ( b ? a ) y ?
2 2 2

4 5

4 2 b y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 5

9分

8

4 2 ? b ? 5 ? ? y2 ? y1 ? y2 ? 4 2 2 ? b ?a ? 由韦达定理可知: ? 5 ? b 2 (1 ? a 2 ) ? y1 y2 ? ? ?2 y 2 2 4 2 ? b ? a2 ? 5 ?
由(1)2/(2)知 32b ? (4b ? 5a )(a ? 1)
2 2 2 2

(1)
11 分

(2)

又 a ? b ? 1 ,故可求得 ?
2 2

?a 2 ? 4
2 ?b ? 3

13 分

故椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 。 4 3

14 分

9


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