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辽宁省沈阳市高一数学竞赛试题


沈阳市数学竞赛高中一年级参考答案
一.选择题 1 .设圆 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,直线 l 的方程为 (m ? 1) x ? my ? 1 ? 0
2 2

( m ? R ),圆 C 被直线 l 截得的弦长等于 (A) 4 (B) 2 2 (C) 2 (D) 与 m 有关 [答] ( A )

r />
2 数 f ( x) ? sin 2 ( x ?

?

(A) 周期为 ? 的偶函数 (C) 周期为 2? 的偶函数

) ? sin 2 ( x ? ) 是 4 4

?

(B) 周期为 ? 的奇函数 (D) 周期为 2? 的奇函数

[答] ( B )

3.设函数 f ( x) 的定义域为 (??, a) ? (a, ??) , f ( x) ? 0 的解集为 M , f ( x) ? 0 的解集 为 N ,则下列结论正确的是 (A) M ? CR N (C) M ? N ? R (B) CR M ? CR N ? ? (D) CR M ? CR N ? R [答] ( D )

4.已知 a, b, c 为三条不同的直线,且 a ? 平面 M , b ? 平面 N , M ? N ? c . (1) 若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a 、 b 中的一条相交; (2) 若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直; (3) 若 a ∥ b ,则必有 a ∥ c ; (4) 若 a ? b , a ? c ,则必有 M ? N . 其中正确的命题的个数是 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
2

[答] ( C )

5.函数 f ( x) ? log a (?ax ? 3x ? 2a ? 1) 对于任意的 x ? (0,1] 恒有意义,则实数 a 的取值 范围是 (A) a ? 0 且 a ? 1 (C) a ? (B) a ?

1 且a ?1 2
[答] ( B )

1 且a ?1 2

(D) a ? 1

6. 连掷两次骰子得到的点数分别为 x 和 y , 记向量 a ? ( x, y ) 与 b ? (1, ?1) 的夹角为 ? , 则 ? ? (0,

?

?

?

2 5 (A) 12

) 的概率是
(B)

1 2

(C)

7 12

(D)

5 6

[答] ( A )

二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分)

7,正三棱锥 P ? ABC 外接球的球心为 O ,半径为 1 ,且 OA ? OB ? OC ? 0 .则

??? ? ??? ? ????

?

VP ? ABC ?

3 4

.

8 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 : f ( ? x) ? f ( ? x) ? 2 , 则

1 2

1 2

1 2 7 f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ? 8 8 8
?cos ? x 2 9.已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 ? e
合的元素个数为

7

. ,若 f (2) ? f ( a) ?2 ,则实数 a 组成的集

?3 ? x ? 0 x?0
2

5
2

.

10.已知关于 x 的方程 x ? 2 px ? (q ? 2) ? 0 ( p, q ? R )无实根,则 p ? q 的取值 范围是

(?2, 2)

.

11 . 在 ?ABC 中 , 若 AB ? 2 , AC ? 3 , BC ? 4 , O 为 ?ABC 的 内 心 , 且

??? ?

????

??? ?

???? ??? ? ??? ? A O ? ? A B? ? B C ,则 ? ? ? ?

7 9

.(提示:在 ?ABC 中,角 A 的平

分线与 BC 交于 E ,则 AB : AC ? BE : EC ) 12 .关于 x 的不等式 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? a 的解集为 A ,集合 B ? x ?1 ? x ? 3 ,若

?

?

A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是
三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 13. (本小题满分 20 分)

(??,10)

.

如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , D 是 ?ABC 外接圆 AC 上的一点, AE ? BD于 E ,求证:

A

BE ? CD? DE.
证明:延长 BD 到 F 使 AF ? AC .连结 AF 、 CF 、 CD ,则有 ?AFB ? ?ABF , ?AFC ? ?ACF . ? D 在 ?ABC 的外接圆上, ? ?ACD ? ?ABD , 从而 ?AFD ? ?ACD , ??DCF ? ?DFC , ? DF ? CD . ? AE ? BF , AB ? AF , 14.(本小题满分 25 分) 设

F D E B
C

? BE ? EF ? ED ? DF ? ED ? CD .
sin 2 x ? cos 2 x ? 1

f ( x) ?

? cos( ? x) . ? 2 2 sin( ? x) 4

?

(1) 求 f ( x) 的定义域; (2) 当 x ? [?

, ] 时,求 f ( x) 的最大值; 6 6 (3) 设 ?? ? ? ? 0 ,且 f (? ) ? 2 ,求 tan ? 的值.

? ?

解: (1)

?x | x ? k? ?

?
4

, k ? Z} ,

(2)

f ( x) ? 5 cos( x ? ? ) ,其中 0 ? ? ?

?
2

, sin ? ?

5 . 5



5 1 ? ? ? ? ,故 0 ? ? ? , 0 ? [? ? , ? ? ] . 5 2 6 6 6

又? x ? [?

? ?

, ] , x ? ? ? [? ? , ? ? ] , 6 6 6 6

?

?

? x ? ? ? 0 时 f ( x) 的最大值为 5 .
(3)

2cos ? ? sin ? ? 2 ,
sin

?

2

(2sin ?

?

??

?
2

?
2

? cos ) ? 0 , 2 2

?

? 0 ,? tan

?

1 ?? , 2 2

4 ? tan ? ? ? . 3 2 2 2 15. (本小题 20 分) 圆 O 的方程是 x ? y ? r (r ? 0) ,点 P 是圆 O 上一个动点,点
点 P 绕圆心 O 按逆时针方向旋转 Q 是 P 关于点 A(0, ?2) 的对称点, 当点 P 在圆 O 上移动时,点 Q 、 R 之间距离的最大值和最小值. 解:设 P( x, y ) , R( x?, y?) , ?XOP ? ? ,设圆的参数方程为 ? 点 Q 是关于点 A(0, ?2) 的对称点,? Q . (? x, ? 4 ? y)

? 后所得的点为 R , 求 2

? x? ? ? y ? x ? r cos ? ,则 ? , ? y? ? x ? y ? r sin ?

? ?1 ? sin(? ? ) ? 1 , 4 ? 当 sin(? ? ) =1 时, QR 有最大值 2(r ? 2 2) |; 4 ? 当 sin(? ? ) ? ?1 时,| QR |有最小值 2 | r ? 2 2 | . 4 16 . ( 本 小 题 25 分 ) 设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 (0, ??) , 且 对 任 意 y ? R 都 有
f ( xy ) ? y f ( x).
(1) 若对常数 m ? (0,1) , f (m) ? 0 ,判断 f ( x) 在 (0, ??) 上的单调性; (2) 在 ?ABC 中,BC ? AC ? 0 ,CD ? (CB ? CA) ? 0( D 在线段 AB 上) , BD ? p ,

| QR |2 ? 2r 2 ? 8 2r sin(? ? ) ? 16 , 4

?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

???? ??? ? 2 CD ? q ,AD ? r , 其中 p ? q ? r ? 1 , 比较 f ( p) f (r ) 与 [ f ( q )] 的大小. (提示: 当a ? b

时, ab ? ?

? a?b? ? ) ? 2 ?

2

解:(1) 对任意 0 ? x1 ? x2 ,由 m ? (0,1) ,存在 s, t 使得

x1 ? m s , x2 ? mt 且 s ? t ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( s ? t ) f (m) ,
又? s ? t ? 0, f (m) ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,

f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.
(2) 若 f ( x) 在 (0, ??) 上是常函数,则 f ( p) f (r ) = [ f ( q )] .
2

若 f ( x) 在 (0, ??) 上是非常数函数, 在 ?ABC 中, BC ? AC ? 0 , CD ? (CB ? CA) ? 0 ( D 在线段 AB 上) ,则

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?C ? 90? , CD ? AB ,由射影定理得 q 2 ? pr .

? p ? q ? r ? 1 ?存在正数 m1 , m2 (m1 ? m2 ) 使得
p ? q m1 , r ? q m2 ,

? q 2 ? q m1 ? m2 .
m1 ? m2 ? 2

? f ( p) f (r ) = f (q m1 ) f (q m2 ) ? m1m2 [ f (q)]2 ? [ f (q)]2 , ? f ( p) f (r ) ? [ f ( q )]2 .


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